常见的递推关系求数列通项常见题型及解题策略 讲义-2027届高三数学一轮复习

常见的递推关系求数列通项常见题型及解题策略 【学生版】 常见的递推关系求数列通项常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）递推关系的读法与通项公式的入口 1. 数列的递推关系是「相邻若干项之间的等式」。求通项的第一步，是把递推式改写成两种标准形之一：相邻两项之差，或相邻两项之比。凡是能整理成这两种形的，分别走累加法与累乘法。 2. 给定的首项是解题的锚点。累加、累乘、构造等比之后都要用把常数定出来，首项用错或忘记代入，通项就会整体偏移。若题中给的是或，先用递推式退回再进入通法。 3. 通项公式求出后应当回代自检：把 n=1、n=2 代入所得是否等于已知首项与前几项。这是排除「构造过程中算错常数」最省时的检查，也是解答题里必须交代的一步。 4. 等差数列、等比数列是两种最基本的递推：与。很多复杂递推经变形后，会变成「新数列」的等差或等比，所以先要熟练判断一个式子是不是等差、等比的形式。 （二）递推式变形的两条主线 5. 累加法适用于。把 n 依次取 1,2,···,n−1 写出全部等式后左右分别相加，中间项逐对消去，得。f(n) 是一次、二次式或指数式时都可累加，只是右端求和要会算。 6. 累乘法适用于。把 n 依次取 1,2,···,n−1 的等式相乘，分子分母约去中间项，得。f(n) 是分式、一类时约分最痛快。 7. 构造等比（辅助数列）适用于（p≠1）。设，解得，则是公比为 p 的等比数列。递推式为时，两边同除，化为关于的等差或等比。 与互化的核心式是（n≥2）。已知的递推或含与的混合等式时，用它把消掉换成，或把消掉换成，使式子只含一种量；所得通项必须回代检验 n=1。 9. 取倒数适用于分式递推。两边取倒数得，化为关于的线性递推，再用构造等比。递推中含、或按 n 的奇偶给出不同式子时，要分奇偶两组分别处理。 （三）求通项之后常见的三类延伸 10. 求前 n 项和：通项形如「等差×等比」用错位相减，形如（且为等差）用裂项相消，其余按分组求和处理。求前先确认的通项已经算对。 11. 含或分段符号（如）的求和，先看的正负分界或符号周期，再分组求和；周期型常四个一组求每组的和。 12. 证明型问题（证明 {某数列} 为等差、等比，或证明某等式）的关键，是把待证式子整理成定义的样子：等差证「相邻两项之差为常数」，等比证「相邻两项之比为非零常数」，之后再写通项。 二、方法提炼 方法1　累加法与累乘法：递推式能整理成就用累加：写出 n=1,2,···,n−1 的全部等式相加，消去中间项得，右端按 f(n) 的类型求和。能整理成就用累乘：同样写出全部等式相乘，约去中间项得。两条路线都先认形式、再回代 n=1 自检。 方法2　构造等比与辅助数列：（p≠1）时设辅助数列为等比，由定出常数。时两边同除，把作为新数列。分式递推取倒数，化为关于的线性递推再构造等比或直接用公式。共同点是把原式变形，使「新数列」成等差或等比。 方法3　S 与 a 的互化：抓住（n≥2）。已知的递推式时，把它写成的形式，或用两个相邻式子作差；已知含与的混合等式时，用把整体换成 S 的差，使式子只含。无论走哪条路，算完都要单独核对 n=1 是否满足，不满足就写成分段形式。 方法4　分段递推与奇偶分项：递推式按 n 的奇偶分成两式、或含时，把奇、偶下标各自的项抽出来单独成列。常用手法是消元：写出相邻两式（如与的关系）相消，得到只含奇数项或只含偶数项的递推，再构造等比求这两列的通项，最后合并求 S。分组求和时按奇偶两组分别取项数。 三、易错提醒 ◆ 漏掉 n 的取值范围。用时只在 n≥2 成立，算出的通项必须把 n=1 单独代入已知的（或）核对，相符才写成一个式子，不符就分「n=1」与「n≥2」两段。 ◆ 累加或累乘时上下限写错。累加写到 n−1 而不是 n，右端最后一项是 f(n−1)；写成 f(n) 会多算一项，通项整体偏大。 ◆ 构造等比时常数 λ 解错。中，分母是 p−1 不是 1−p；p=1 时不能这样设（此时本身就是等差数列），要单独讨论。 ◆ 把等比数列的公比误当正数。递推中出现或经变形后公比为负数时，通项会正负交替，不能只算前几项是正的就断定各项为正。 ◆ 求时用错方法。通项是「等差×等比」却去硬套等比求和公式，或通项是分式却没看出可以裂项。先判断通项的结构再定求和方法。 ◆ 分段递推只处理了一部分。奇偶分项时只算了奇数项就下结论，或消元时把某一支的式子代回另一支导致重复计数，结果少算或多算若干项。 四、例题精讲 【例 1】 构造等比与辅助数列 题注：递推式 a(n+1)=2a(n)+1 的两边都加上同一个常数，就能配成等比。先定常数，再写等比数列的通项，最后用首项校准。 （2026·湖南湘潭·二模）数列满足，，则数列的前 8 项和　　　　　。 【例 2】 分段递推与奇偶分项 题注：递推式按 n 的奇偶分成两支，就把奇数项、偶数项各抽成一列。分别消元后两列都成了等比，再各自求和。 （2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且 设表示的前 n 项和，则　　　　　。 【例 3】 S 与 a 的互化 题注：从第 n 项一直加到第 2n 项的和记作 b(n)。先用 a(n) 表示 b(n)，再让 n 退一步作差，就把「和」变成了「项」。 （2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足。 (1) 若，求的值； (2) 若，且恒成立，求 t 的取值范围。 【例 4】 构造等比与辅助数列 题注：a(n)=2a(n−1)+1 与例 1 同型，只是把 a(n+1) 换成了 a(n)。两边加 1 立刻配成等比，再由首项定出通项。 （2026·江苏泰州中学·2025—2026 学年高三期中）已知数列中，，（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　） 　　　　　　 五、巩固练习 1. 累加法与累乘法 1.（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，。 (1) 证明：数列是等差数列； (2) 给定正整数 m，设函数，求 f′(−2)。 2. S 与 a 的互化 2.（2026·天津卷·高考真题）已知，，则（　　） A. 68　　B. 56　　C. −3　　D. −4 3. S 与 a 的互化 3.（2026·天津·模拟预测）已知数列的前 n 项和为，则的前 7 项和为（　　） A. 189　　B. 191　　C. 381　　D. 383 4. 构造等比与辅助数列 4.（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前 n 项和为，，，则下列结论正确的有（　　） A. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 5. 构造等比与辅助数列 5.（2026·陕西西安第一中学·第三次模拟）已知正项数列满足，n∈N*，数列的前 n 项和。给出下列四个结论： ① 当时，； ② 当时，数列单调递增； ③ 当时，（n≥2，n∈N*）； ④ 当时，∀n∈N*，都有成立。 其中正确结论的序号是　　　　　。 6. S 与 a 的互化 6.（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前 n 项和为，且。 (1) 求的通项公式； (2) 若，记数列的前 n 项和为，求。 六、拓展 ① 一阶线性递推的一般公式：（p≠1）的通项可直接写出：。它正是「设、」的展开式，记住结论可以快速验算构造法得到的通项。p=1 时退化为等差数列。 ② 二阶线性递推与特征根：称为二阶线性递推，对应的特征方程是。若有两不等实根，则，由、定出 A、B；若为重根 r，则。例 3 第 (3) 问里由的差式得到的就是一阶特例。 ③ 不动点法求通项：形如的分式递推，先解不动点方程。若有两个不动点 α、β，则是等比数列；若只有一个不动点 α，则是等差数列。取倒数（本册方法四）是它的一个特例，不动点法能处理更一般的情形。 ④ 数学归纳法验证通项：当递推关系较复杂、直接构造不易时，可以先由前几项猜出通项，再用数学归纳法证明：验证 n=1 成立，假设 n=k 成立，利用递推式推出 n=k+1 也成立。归纳法与「先猜后证」配合，是处理新定义递推、分式递推与含指数的复杂递推的一条稳妥退路。 学科网（北京）股份有限公司 $ 常见的递推关系求数列通项常见题型及解题策略 常见的递推关系求数列通项常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）递推关系的读法与通项公式的入口 1. 数列的递推关系是「相邻若干项之间的等式」。求通项的第一步，是把递推式改写成两种标准形之一：相邻两项之差，或相邻两项之比。凡是能整理成这两种形的，分别走累加法与累乘法。 2. 给定的首项是解题的锚点。累加、累乘、构造等比之后都要用把常数定出来，首项用错或忘记代入，通项就会整体偏移。若题中给的是或，先用递推式退回再进入通法。 3. 通项公式求出后应当回代自检：把 n=1、n=2 代入所得是否等于已知首项与前几项。这是排除「构造过程中算错常数」最省时的检查，也是解答题里必须交代的一步。 4. 等差数列、等比数列是两种最基本的递推：与。很多复杂递推经变形后，会变成「新数列」的等差或等比，所以先要熟练判断一个式子是不是等差、等比的形式。 （二）递推式变形的两条主线 5. 累加法适用于。把 n 依次取 1,2,···,n−1 写出全部等式后左右分别相加，中间项逐对消去，得。f(n) 是一次、二次式或指数式时都可累加，只是右端求和要会算。 6. 累乘法适用于。把 n 依次取 1,2,···,n−1 的等式相乘，分子分母约去中间项，得。f(n) 是分式、一类时约分最痛快。 7. 构造等比（辅助数列）适用于（p≠1）。设，解得，则是公比为 p 的等比数列。递推式为时，两边同除，化为关于的等差或等比。 与互化的核心式是（n≥2）。已知的递推或含与的混合等式时，用它把消掉换成，或把消掉换成，使式子只含一种量；所得通项必须回代检验 n=1。 9. 取倒数适用于分式递推。两边取倒数得，化为关于的线性递推，再用构造等比。递推中含、或按 n 的奇偶给出不同式子时，要分奇偶两组分别处理。 （三）求通项之后常见的三类延伸 10. 求前 n 项和：通项形如「等差×等比」用错位相减，形如（且为等差）用裂项相消，其余按分组求和处理。求前先确认的通项已经算对。 11. 含或分段符号（如）的求和，先看的正负分界或符号周期，再分组求和；周期型常四个一组求每组的和。 12. 证明型问题（证明 {某数列} 为等差、等比，或证明某等式）的关键，是把待证式子整理成定义的样子：等差证「相邻两项之差为常数」，等比证「相邻两项之比为非零常数」，之后再写通项。 二、方法提炼 方法1　累加法与累乘法：递推式能整理成就用累加：写出 n=1,2,···,n−1 的全部等式相加，消去中间项得，右端按 f(n) 的类型求和。能整理成就用累乘：同样写出全部等式相乘，约去中间项得。两条路线都先认形式、再回代 n=1 自检。 方法2　构造等比与辅助数列：（p≠1）时设辅助数列为等比，由定出常数。时两边同除，把作为新数列。分式递推取倒数，化为关于的线性递推再构造等比或直接用公式。共同点是把原式变形，使「新数列」成等差或等比。 方法3　S 与 a 的互化：抓住（n≥2）。已知的递推式时，把它写成的形式，或用两个相邻式子作差；已知含与的混合等式时，用把整体换成 S 的差，使式子只含。无论走哪条路，算完都要单独核对 n=1 是否满足，不满足就写成分段形式。 方法4　分段递推与奇偶分项：递推式按 n 的奇偶分成两式、或含时，把奇、偶下标各自的项抽出来单独成列。常用手法是消元：写出相邻两式（如与的关系）相消，得到只含奇数项或只含偶数项的递推，再构造等比求这两列的通项，最后合并求 S。分组求和时按奇偶两组分别取项数。 三、易错提醒 ◆ 漏掉 n 的取值范围。用时只在 n≥2 成立，算出的通项必须把 n=1 单独代入已知的（或）核对，相符才写成一个式子，不符就分「n=1」与「n≥2」两段。 ◆ 累加或累乘时上下限写错。累加写到 n−1 而不是 n，右端最后一项是 f(n−1)；写成 f(n) 会多算一项，通项整体偏大。 ◆ 构造等比时常数 λ 解错。中，分母是 p−1 不是 1−p；p=1 时不能这样设（此时本身就是等差数列），要单独讨论。 ◆ 把等比数列的公比误当正数。递推中出现或经变形后公比为负数时，通项会正负交替，不能只算前几项是正的就断定各项为正。 ◆ 求时用错方法。通项是「等差×等比」却去硬套等比求和公式，或通项是分式却没看出可以裂项。先判断通项的结构再定求和方法。 ◆ 分段递推只处理了一部分。奇偶分项时只算了奇数项就下结论，或消元时把某一支的式子代回另一支导致重复计数，结果少算或多算若干项。 四、例题精讲 【例 1】 构造等比与辅助数列 题注：递推式 a(n+1)=2a(n)+1 的两边都加上同一个常数，就能配成等比。先定常数，再写等比数列的通项，最后用首项校准。 （2026·湖南湘潭·二模）数列满足，，则数列的前 8 项和　　　　　。 【答案】502 【解析】第一步，给递推式配上常数，凑成等比。 在两边同时加 1，得。 因为，所以恒不为 0，是首项为 2、公比为 2 的等比数列。 第二步，写出等比数列的通项，再还原。 ，所以。 第三步，求前 8 项和。 。 【点拨】a(n+1)=p·a(n)+q（p≠1）的通用构造是两边加 λ，使，解得。本题 q=1、p=2，λ=1，正好是把与各加 1。求出通项后回代 n=1，得，与已知相符。 【例 2】 分段递推与奇偶分项 题注：递推式按 n 的奇偶分成两支，就把奇数项、偶数项各抽成一列。分别消元后两列都成了等比，再各自求和。 （2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且 设表示的前 n 项和，则　　　　　。 【答案】（即 −8114） 【解析】第一步，先把递推式写成两组更清楚的形式。 当 n 为偶数时；当 n 为奇数时。于是，（k∈N*）。 第二步，先把奇数项这一列消化成等比。 由得，代入得， 即。由，得是首项 −4、公比 2 的等比数列， ，即。 第三步，再把偶数项那一列消化成等比。 当 k≥2 时，把代入， 得，即。由，得是首项 −4、公比 2 的等比数列， ，即。 第四步，两组分别求和再相加（各 10 项）。 ； 。 所以。 【点拨】两支递推的关键是「消元」：用把一个偶数项换成奇数项，使得同一个式子只含奇数下标，从而把奇数项这一列隔离出来。偶数项列同理。两列各自是等比，求和时各取 10 项，别把 20 项当成一整段等比。 【例 3】 S 与 a 的互化 题注：从第 n 项一直加到第 2n 项的和记作 b(n)。先用 a(n) 表示 b(n)，再让 n 退一步作差，就把「和」变成了「项」。 （2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足。 (1) 若，求的值； (2) 若，且恒成立，求 t 的取值范围。 【答案】(1) 98　(2) [1,4] 【解析】(1) 先把、、按定义展开。 ； ； 。 所以。 (2) 第一步，把用等差数列求和写出来。 时，。 第二步，把裂项。 ， 于是。 第三步，把恒成立翻译成关于 t 的不等式。 左边始终小于，要它恒成立，只需。 设（s≥0），则，即，，解得 1≤s≤2， 所以 1≤t≤4，即 t 的取值范围为 [1,4]。 【点拨】这种「滑动区间求和」，下标从 n 走到 2n，是等差型的就直接用求和公式；若是等比，则也是等比，可用等比求和。裂项之后的和是一个单调递增且有上界的量，所以「恒成立」只需在这个上界处取等。 【例 4】 构造等比与辅助数列 题注：a(n)=2a(n−1)+1 与例 1 同型，只是把 a(n+1) 换成了 a(n)。两边加 1 立刻配成等比，再由首项定出通项。 （2026·江苏泰州中学·2025—2026 学年高三期中）已知数列中，，（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　） 　　　　　　 【答案】D 【解析】第一步，两边加 1，凑等比。 两边加 1，得（n≥2）。 第二步，认首项与公比。 ，所以是以 2 为首项、2 为公比的等比数列。 第三步，写出通项并还原。 ，所以。选 D。 【点拨】对照选项回代：n=1 时，n=2 时，而，两者一致。A、B 的指数写错，C 缺了常数项，代入 n=1 都不等于 1，可快速排除。这题与例 1 是同一个方法，只是下标平移一位。 五、巩固练习 1. 累加法与累乘法 1.（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，。 (1) 证明：数列是等差数列； (2) 给定正整数 m，设函数，求 f′(−2)。 【答案】(1) 证明见解析　 【解析】(1) 把递推式两边同乘，消去分母。 两边同乘， 得，即。 又，所以是首项为 3、公差为 1 的等差数列。 (2) 第一步，由 (1) 先写出。 ，所以。 第二步，求导后把 x=−2 代入。 ， 。这串加法的第 k 项是，k 从 1 取到 m，记这个和为 S。 第三步，用错位相减求和。 把 S 与 −2S 写成两行再相减： ， ， 两式相减得 。 又，代入得， 所以。 【点拨】第 (1) 问是「同除/同乘化为等差」的典型：递推式里出现与，乘 n(n+1) 后指数与分母同时消失，露出这个整体。第 (2) 问的求和是「等差×等比」，用错位相减；注意 f′(−2) 的通项是，公比是 −2，符号要一路带对。 2. S 与 a 的互化 2.（2026·天津卷·高考真题）已知，，则（　　） A. 68　　B. 56　　C. −3　　D. −4 【答案】C 【解析】把 n 依次取 1,2,3,4，逐步解出各段的和。 n=1：，即； n=2：，即。由得； n=3：，即，所以； n=4：，即， 所以。故选 C。 【点拨】表示「从第 n+1 项到第 2n 项的和」。把它按 n=1,2,3,4 逐层写出，每一层的差里都含有上一层已经算出的量，于是可以一层层往 n 大的方向推。这类题的套路就是「逐步代入、层层相消」。 3. S 与 a 的互化 3.（2026·天津·模拟预测）已知数列的前 n 项和为，则的前 7 项和为（　　） A. 189　　B. 191　　C. 381　　D. 383 【答案】C 【解析】第一步，由求。 n=1 时； n≥2 时。 n=1 时也成立，所以。 第二步，取绝对值。 ，是首项为 3、公比为 2 的等比数列。 第三步，求前 7 项和。 。故选 C。 【点拨】由求是本节最常考的一类。一定要用（n≥2），再单独检验 n=1。本题恰好也满足 n≥2 的式子，所以能合并写成一个通项；若不满足，就要写成分段形式。取绝对值后公比由 −2 变成 2，别忘记变号。 4. 构造等比与辅助数列 4.（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前 n 项和为，，，则下列结论正确的有（　　） A. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 【答案】BC 【解析】第一步，由递推式配出等比数列（先看 C）。 由及（n≥2）， 对后一式两边同乘 3，不影响恒等，可整理出。 事实上，两边同减：，即（注意）。 更简洁的推导：设，则。 所以是首项、公比为 −1 的等比数列，C 正确。 第二步，判断 A。 ，由得；由得。，所以不是等比数列，A 错误。 第三步，判断 B。由 C 得，故。 用递推式求更省事：，，， ，B 正确。 第四步，判断 D。先由 C 写出通项：，所以，特别地。 把配对计算：，而每对， 于是（代入的等比求和整理即得）。 检验 n=1：，而，符合；，所以 D 的错误。故选 BC。 【点拨】递推式（含的式子）时，把与的差看成一个整体，会发现，于是是公比为 −1 的等比数列。这类「和式递推」配出的等比公比常常是 −1，通项正负交替，是本题的陷阱点；判断 D 时最省事的办法是代入 n=1，用排除。 5. 构造等比与辅助数列 5.（2026·陕西西安第一中学·第三次模拟）已知正项数列满足，n∈N*，数列的前 n 项和。给出下列四个结论： ① 当时，； ② 当时，数列单调递增； ③ 当时，（n≥2，n∈N*）； ④ 当时，∀n∈N*，都有成立。 其中正确结论的序号是　　　　　。 【答案】①③ 【解析】首先看清递推结构：，数列为正项，所以。令，得不动点 x=2（取正根），因此的走势由与 2 的大小决定。 ① 直接算。时，，；，。 于是，。 比较：，而，所以，①正确。 时，考察相邻两项的大小。，当时，所以，数列递减而非递增，②错误。 时，由不动点 x=2 知数列由 1 递增、且各项都小于 2（因为只要就有）。 于是，只需更细一点：，而共 n−1 项且每项都小于 2，所以，③正确。 时取，则，而，不等式在 n=1 就不成立，④错误。 综上，正确结论的序号是 ①③。 【点拨】「正项数列 + 递推 + 单调性/放缩」是数列压轴常见组合。破题第一步先解不动点方程（这里即，x=2），由与不动点的位置关系判断数列递增还是递减。判断含参结论时，「举出一个反例」往往比正面证明更快，如 ④ 取立刻否定。 6. S 与 a 的互化 6.（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前 n 项和为，且。 (1) 求的通项公式； (2) 若，记数列的前 n 项和为，求。 【答案】　(2) 2025 【解析】(1) 用。 n=1 时； n≥2 时。 n=1 时 2×1−1=1 也成立，所以。 (2) 第一步，写出的周期结构。 ，而以 4 为周期取 1,0,−1,0， 于是 第二步，四个一组求和。 。 第三步，分组求。 2026=4×506+2，前 2024 项是 506 组，每组和为 −4，共 −4×506=−2024； 再加末两项：2025=4×506+1，，。 所以。 【点拨】符号周期型求和（含或）都先「四个一组」求出每组的和，再数一共有多少整组、剩下几项。本题每组和恒为 −4，剩 2 项，别把 2026 当成正好 506 组加 2 项之外还有余。 六、拓展 ① 一阶线性递推的一般公式：（p≠1）的通项可直接写出：。它正是「设、」的展开式，记住结论可以快速验算构造法得到的通项。p=1 时退化为等差数列。 ② 二阶线性递推与特征根：称为二阶线性递推，对应的特征方程是。若有两不等实根，则，由、定出 A、B；若为重根 r，则。例 3 第 (3) 问里由的差式得到的就是一阶特例。 ③ 不动点法求通项：形如的分式递推，先解不动点方程。若有两个不动点 α、β，则是等比数列；若只有一个不动点 α，则是等差数列。取倒数（本册方法四）是它的一个特例，不动点法能处理更一般的情形。 ④ 数学归纳法验证通项：当递推关系较复杂、直接构造不易时，可以先由前几项猜出通项，再用数学归纳法证明：验证 n=1 成立，假设 n=k 成立，利用递推式推出 n=k+1 也成立。归纳法与「先猜后证」配合，是处理新定义递推、分式递推与含指数的复杂递推的一条稳妥退路。 学科网（北京）股份有限公司 $