3.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 3. 4 一元二次方程根与系数的关系 当Δ >0 时，方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0 时，方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ < 0 时，方程没有的实数根. 对于 一元二次方程ax2+bx +c = 0( a ≠ 0) 1 2 3 复习回顾 复习回顾 我们已经知道，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？ ax2+bx +c = 0( a ≠ 0) x1，x2 a，b，c 新课探究 做一做 (1) 填空： ① 方程x2+2x=0 的两个根为x1=_____，x2=______，所以x2+2x=(x－_____) (x－_____)，且x1+x2=_____，x1x2=_____； 0 －2 0 (－2) －2 0 ② 方程x2－4x+4 =0 的两个根为x1=____，x2=____，所以x2－4x+4 =(x－____) (x－____)，且x1+x2=_____，x1x2=_____； ③ 方程x2－5x+6 =0 的两个根为x1=____，x2=____，所以x2－5x+6 =(x－____) (x－____)，且x1+x2=_____，x1x2=_____； 2 2 2 2 4 4 2 3 2 3 5 6 (2) 由 (1) 可发现：若方程 x2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_____，x1x2=______. －b c ① x2+2x=0 x1+x2=_____，x1x2=_____； ② x2－4x+4 =0 x1+x2=_____，x1x2=_____； ③ x2－5x+6 =0 x1+x2=_____，x1x2=_____； －2 0 4 4 5 6 由本章 3.2 节知识可知，若方程x2+bx+c=0 的两个根为x1，x2，则方程左边的多项式可分解成 x2 + bx + c = (x－x1)(x－x2) 又 (x－x1)(x－x2) = x2－(x1+x2)x+x1x2 根据两个多项式相等，得 x1+x2 = －b，x1x2= c. 对于任意一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 思考 对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ，当Δ≥0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？ 当 Δ ≥ 0时，设方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则 根据两个多项式相等，得 即 这表明，当 Δ≥0 时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. 这个关系通常称为韦达定理. 例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积: (1) 2x2 － 3x+1 = 0； (2) x2－3x +2 = 10； (3) 7x2－5 = x+8. 解 (2) 整理，得x2－3x－8=0，所以 x1+x2=－(－3)=3，x1x2=－8. (1) 例1 不解方程，求下列方程的两根x1，x2的和 与积: (1) 2x2 － 3x+1 = 0； (2) x2－3x +2 = 10； (3) 7x2－5 = x+8. (3) 整理，得7x2－x－13=0，所以 例2 已知关于 x 的方程 3x2－19x+m =0 的一个根为1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设3x2－ 19x +m = 0的一个根x1=1，另一个根为x2，则由根与系数之间的关系得 于是 于是 m =16. 因此，方程的另一个根是 m 的值为16. 还可用其他方法求出 m 的值吗？ 例2 已知关于 x 的方程 3x2－19x+m =0 的一个根为1，求它的另一个根及 m 的值. 解：将其中的一个根1代入方程 3x2＋ 19x +m = 0，得 3×12－ 19×1 +m = 0， 所以 m = 16. 所以 原方程为 3x2＋ 19x +16 = 0， 于是 随堂诊断 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积 (1) 3x2 + 2=1－5x； (2) x(x－1) =3x+7. 解：(1) 整理，得 3x2 + 5x+1 = 0，所以 随堂诊断 1. 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积 (1) 3x2 + 2=1－5x； (2) x(x－1) =3x+7. 解：(2) 整理，得 x2 － 4x－7 = 0，所以 2. 若x1，x2是方程 x2+2x－100=0的两个根，求下列式子的值： 解：由题意得，x1+x2=－2，x1x2 =－100. 2. 若x1，x2是方程 x2+2x－100=0的两个根，求下列式子的值： 与一元二次方程有关得代数式的常见变形 与一元二次方程有关得代数式的常见变形 1. 不解方程，求下列方程两个根的和与积: (1) x2－6x+1=0； (2)2x2－x =6. 解: (1) (2) 整理，得2x2－x－6 = 0，所以 练习 2. 已知一元二次方程 x2+3x +m=0的一个根为－3，求它的另一个根及 m 的值. 解：设 x2+3x +m =0 的一个根为x1=－3，另一个根为x2，则由根与系数的关系得 －3 + x2=－3. 于是 x2 = 0 又 x1x2 =－3×0 = m 于是 m = 0 因此，方程的另一个根是0， m 的值为0. 课堂小结 这表明，当 Δ≥0 时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. $