3.2.2 公式法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 3.2.2 公式法 复习导入 用配方法解方程： (1) x2 + 4x + 2=0；(2) 2x2－3x + 5 = 0. 解：(1) 配方，得 x2+ 4x +22－22 + 2=0, 因此 (x+2)2= 2. 由此得 x +2 = 或 x +2 = . 解得 用配方法解方程： (1) x2 + 4x + 2=0；(2) 2x2－3x + 1 = 0. 解：(2) 将二次项系数化为1，得 配方，得 因此 由此得 解得 运用配方法解一元二次方程时，对于每一个具体的方程，都重复使用了一些相同的计算步骤，这启发我们去探索：能不能对一般形式的一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0) 使用配方法，求出这个方程的根呢？ 新课探究 探究 对于方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 为了便于配方，在方程①的两边同除以a，得 把方程的左边配方，得 ① 因此 当b2－4ac≥0，方程②可化为 ② 根据平方根的意义，得 将一元二次方程转化为两个一元一次方程 解得 于是，一元二次方程 ax2 + bx +c =0 (a≠0)在b2－4ac≥0 的条件下，它的根为: ③ ③ ③ 式叫作一元二次方程 ax2 + bx +c =0 (a≠0)的求根公式 . 由求根公式可知，一元二次方程的根由方程的系数a，b，c决定，这也反映出了一元二次方程的根与系数 a，b，c 之间的一个关系. 今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 例5 用公式法解下列方程: (1) x2－x －2=0； (2) x2－2x = 1. 解：(1) 这里a = 1，b =－1，c = －2. 因而 b2－4ac = (－1)2－4×1× (－2) = 1+8=9>0， 因此，原方程的根为 x1 = 2，x2 = －1. 所以 例5 用公式法解下列方程: (1) x2－x －2=0； (2) x2－2x = 1. 因而 b2 － 4ac = (－2)2 －4×1× (－1) = 8 > 0， 所以 这里 a=1，b =－2，c =－1. (2) 移项，得 x2－ 2x － 1=0， 因此，原方程的根为 先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值 例6 用公式法解方程： 9x2+12x +4=0. 因而 b2－4ac = 122－4×9×4 = 0， 所以 解：这里 a = 9，b = 12，c = 4. 因此，原方程的根为 x1 = x2 = . 此时方程的两个实数根相等 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1) 化：把一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值； (2) 求：求出b2－4ac的值； (3) 代：若 b2－4ac ≥ 0，则利用求根公式求解；若 b2－4ac < 0则方程没有实数根. 不要漏掉符号 随堂诊断 利用公式法解下列方程： (1) 2x2－5x－7 =0； (2) 2x (x－3)= x2－1； (3) －3y2+7y =8； (1) 2x2－5x－7 =0； 因而 b2－4ac = (－5)2－4×2×(－7) = 81>0， 所以 解：这里 a = 2，b = －5，c = －7. 因此，原方程的根为 . (2) 2x (x－3)= x2－1； 因而 b2 － 4ac = (－6)2 －4×1× 1 = 32 > 0， 所以 这里 a=1，b =－6，c =1. 解：(2) 将原方程整理为一般式，得 x2－ 6x + 1=0 因此，原方程的根为 (3) －3y2+7y =8； 因而 b2 － 4ac = 72 －4×(－3)× (－8) = －47<0， 所以该方程无实数根. 这里 a=－3，b =7，c =－8. 解：(3) 移项，得 －3y2 + 7y － 8=0 所以 解：(4) 移项，得 这里 a=3，b = ，c =1. 因而 b2 － 4ac = －4×3× 1 = 0， 因此，原方程的根为 思考 如图 3.2-1，我们已经知道，若 ，则 称为黄金分割比 ，其数值为 .问：这个数值是如何求出的？ A B C 图 3.2-1 A B C 图3.2-1 设AB = 1，AC = x，那么BC =1－x. 因为 所以 即 x2+x－1=0 所以 练习 用公式法解下列方程: (1) x2－6x + 1 =0； (2) 2x2 － x =6； (3) 4x2－3x－1=x－2； (4) 3x (x－3)=2 (x－1) (x+1). (1) x2－6x + 1 =0； (2) 2x2 － x =6； (3) 4x2－3x－1=x－2； (4) 3x (x－3)=2 (x－1) (x+1). 解：(1) 这里a = 1，b =－6，c = 1. 因而 b2－4ac = (－6)2－4×1×1=36－4 = 32>0， 所以 因此，原方程的根为 (1) x2－6x + 1 =0； (2) 2x2 － x =6； (3) 4x2－3x－1=x－2； (4) 3x (x－3)=2 (x－1) (x+1). 因而 b2－4ac = (－1)2－4×2× (－6)=1+48=49>0， 所以 这里 a = 2，b =－1，c = －6. 解：(2)移项，得 2x2－x － 6=0， 因此，原方程的根为x1=2，x2= . (1) x2－6x + 1 =0； (2) 2x2 － x =6； (3) 4x2－3x－1=x－2； (4) 3x (x－3)=2 (x－1) (x+1). 因而 b2－4ac = ( －4)2－4×4×1=0， 所以 这里 a = 4，b =－4，c = 1. 解：(3) 移项，得 4x2－ 4x +1=0， 因此，原方程的根为x1=x2= . (1) x2－6x + 1 =0； (2) 2x2 － x =6； (3) 4x2－3x－1=x－2； (4) 3x (x－3)=2 (x－1) (x+1). 因而 b2 － 4ac = (－9)2－4×1×2 = 73>0， 所以 这里 a = 1，b = － 9，c = 2. 解：(4)整理，得 x2－ 9x +2=0， 因此，原方程的根为x1= ， x2= . 课堂小结 一元二次方程ax2 + bx +c =0 (a≠0)在b2-4ac ≥ 0的条件下，它的根为: 今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. $