第61卷 计数原理与排列组合（1）-考点训练卷 2027年山东省（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第61卷 计数原理与排列组合（1） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某中等职业学校的医学专业有两个班：一班有30人，二班有40人.若从两个班中任选一人去参加社会志愿活动，则不同的选法有（   ）. A．30 B．40 C．70 D．1200 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理可得. 【详解】一班有30人，二班有40人.若从两个班中任选一人去参加社会志愿活动，则不同的选法有. 故选：C. 2．有10名中职生前往某宾馆实习，7人担任客房服务工作，余下3人担任前厅接待工作，则所有分工方案的种数是（    ） A．4 B．120 C．24 D．72 【答案】B 【分析】根据组合数的计算求解即可. 【详解】由题意可知，从10名中职生中选出7人担任客房服务工作，余下3人担任前厅接待工作，所以所有分工方案共有：种. 故选：B. 3．将3种植物种植在4块试验田内（3种植物都要种），如表所示： 第1试验田 第2试验田 第3试验田 第4试验田 若每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先在种植物中选出种，安排在块不相邻的两块试验田，剩下的种植物安排在剩下的块试验田，再由分步计数原理计算即可. 【详解】首先在种植物中选出种，安排在块不相邻的两块试验田中，共有种情况，剩下的块试验田安排在剩下的块试验田中，有种情况，则有种不同的种植方法. 故选：C. 4．某职业学校的一个技能训练社团有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加技能比赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法种数是（    ）. A．10 B．30 C．31 D．40 【答案】B 【分析】根据题意分类讨论名男生，名女生和名男生，名女生时，结合组合数的计算即可得解. 【详解】一个技能训练社团有4名男生和3名女生，从这7名学生中任选3名参加技能比赛，要求既有男生又有女生， 当名男生，名女生时，选法有种； 当名男生，名女生时，选法有种； 所以共有种， 故选：. 5．若x，y分别在0，1，2，…，10中取值，则点在第一象限中的个数是（   ） A．100 B．99 C．121 D．81 【答案】A 【分析】第一象限的点的坐标是横坐标大于0，纵坐标大于0，选出点的横坐标，共有10种结果，再选出纵坐标，共有10种结果，根据分步计数原理得到结果． 【详解】第一象限的点的坐标特点，横坐标大于0，纵坐标大于0， 首先选出点的横坐标，共有10种结果，再选出纵坐标，共有10种结果， 根据分步乘法计数原理知共有种结果. 故选：A． 6．已知，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合数与排列数的运算法则计算即可. 【详解】，即，则， 所以， 故选：B. 7．现有6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，则不同分法的种数是（    ） A．15 B．30 C．45 D．90 【答案】A 【分析】根据题意结合均匀分堆的原则即可得解. 【详解】6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本， 分法的种数是， 故选：. 8．把标号为1，2，3，…，10的10个小球随机放入标号为1，2，3，…，10的10个盒子中，每个盒子放入一个球，若有且仅有3个小球的标号与盒子的标号不一致，则共有（    ）种放法. A．168 B．208 C．240 D．256 【答案】C 【分析】先从10个小球中选3个小球，再对这3个小球进行错位排列，根据分步计数原理即可求解. 【详解】依题意，从10个小球中任取3个小球有种方法， 取出的三个小球放入对应的三个盒子中，且标号与盒子标号均不一致的放法有2种， 所以一共有种放法. 故选：C. 9．某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高度不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法种数有（   ）. A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】B 【分析】先排最高和最矮的两棵树木，再将剩余的全排列即可得解. 【详解】先将最高和最矮的两棵树木种在两头，有种方法， 再将其余的树种在中间的位置有种方法， 所以共有种方法， 故选：. 10．把3个男生和2个女生排成一排，要求2个女生之间恰有1个男生，则共有（    ）种排法． A．32 B．24 C．48 D．36 【答案】D 【分析】利用捆绑法构造符合要求的捆绑单元，结合分步乘法计数原理，分别计算单元内部排列数与整体全排列数，相乘得到总排法数. 【详解】第一步，构造捆绑单元：从3个男生中任选1人放在2名女生中间，选法为种，2名女生可交换左右位置，排列数为种， 因此捆绑单元内部的排列数为种； 第二步，整体全排列：将捆绑单元视为1个独立元素，与剩余2名男生共3个元素进行全排列，排列数为种， 根据分步乘法计数原理，总排法数为种. 故选：D. 11．某科技公司为训练AI模型，需从5个图像数据集、4个文本数据集中共选出4个数据集输入模型，要求图像数据集至少选2个，则不同的选法共有（    ） A．86种 B．90种 C．94种 D．105种 【答案】D 【分析】根据条件分类讨论，利用组合数公式及计数原理求解. 【详解】由题意，有以下三种情况： ①选2个图像数据集、2个文本数据集，选法种数为种； ②选3个图像数据集、1个文本数据集，选法种数为种； ③选4个图像数据集，选法种数为种， 所以，总的选法共有种. 故选：D. 12．用数字组成没有重复数字的三位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】运用排列数计算即可. 【详解】用数字组成没有重复数字的三位数， 共有个， 故选：A. 13．将名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排名学生，则互不相同的安排方法的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知甲乙两个宿舍必然是一个宿舍名学生，而另一个宿舍名学生，再结合排列组合公式及分步计数原理计算可得答案. 【详解】将名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排名学生， 那么必然是一个宿舍名学生，而另一个宿舍名学生， 所以共有（种）． 故选：. 14．某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（   ） A．84 B．80 C．76 D．72 【答案】B 【分析】分析题意可知，需分两类进行求解，第一类，只有一个入选，第二类：同时入选，再利用分类加法原理进行计算即可求解. 【详解】根据题意，可以分两类：第一类，从中选一个节目有种选法， 则从剩余4个节目中选择2个节目有种， 再将这3个节目全排列，所以不同演出顺序有种； 第二类：同时入选，则从剩余4个节目中选择一个节目有种， 因为当同时入选时，不能相邻演出，所以3个节目中不相邻的排法有2种， 则不同演出顺序有种， 所以所有不同演出顺序的种数是（种）. 故选：B. 15．北京举办了举世瞩目的第届冬奥会，在冬奥会期间，某高校有中、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要，甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数和组合数的计算，结合分步乘法计数原理即可解得. 【详解】由题，每一位志愿者只能去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者， 则共有种方法， 其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法有种， 则甲同学和乙同学不能去同一场馆，所有不同的安排方法种数为种. 故选：A 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．已知，则__________. 【答案】27 【分析】根据排列数与组合数的计算公式求解即可. 【详解】∵，则有， 化简有，即，解得. 故答案为：27. 17．用这五个数字，可以组成__________个没有重复数字的两位数． 【答案】16 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，可先排十位数，再排个位数，即可求解. 【详解】由题意，用这五个数字，可以组成个没有重复数字的两位数. 故答案为：16. 18．学校举办趣味运动会，甲乙丙三人报名参加，每人可从投飞镖、滚轮、穿板鞋、袋鼠跳4个项目中任选一项，则不同的选法种数是______. 【答案】 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加投飞镖、滚轮、穿板鞋、袋鼠跳4个项目，每人任选一项, 则每人有4种报名方法， 根据分步计数原理，不同的报名方法数为：（种）. 故答案为： 19．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 【答案】112 【详解】当取到的3个产品编号是相邻整数时，不符合要求， 即， 这8种情况不符合要求，所以抽取方法种数为. 故答案为：112. 20．某班主任准备请年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】分为甲乙参加一人和两人同时参加两种情况，再分别由排列数和组合数计算两种情况的数目，再使其相加即可. 【详解】若甲乙同时参加，先从其余人中选出人，共种选法， 甲乙进行排列，有种情况， 再选好的两人中，选出一人在甲乙中间发言，有种情况， 甲乙位于一，三发言或二，四发言，有种情况， 共种不同发言顺序， 若甲乙参加一人，则在甲乙中选1人，有种选法， 再从其余的人中选出人，共种选法， 再将选出的人全排列，有种不同情况， 共种不同顺序， 所以一共有种不同的发言顺序， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．计算：（用数字作答） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用排列数，组合数和阶乘的定义计算即可； （2）利用组合数的定义直接计算或者是利用组合数的性质计算即可. （1）原式. （2）法一（直接计算）：原式 法二（组合数的性质）：原式 22．6个女生（其中有1个领唱）和2个男生分成两排表演． (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)40320 (2)5760 【分析】（1）根据题意，结合排列数的应用，即可求解； （2）根据题意，结合元素有限制的排列数的应用，即可求解. 【详解】（1）由题意，将6个女生和2个男生全排列，共有种不同的排法； （2）由题意，领唱站在前排，男生站在后排，共有种不同的排法. 23．从5名男生、4名女生中选4人. (1)恰选2名女生有多少种方法； (2)至少选1名女生有多少种方法. 【答案】(1)60种 (2)121种 【分析】（1）利用组合数公式及分步乘法计数原理求解； （2）用总选法减去全是男生的选法即可得解. 【详解】（1）从名女生中选名女生，选法有种； 从名男生中选名男生，选法有种， 所以恰选名女生的选法共有种. （2） 从人中选人的总选法有种； 人全是男生的选法有种， 所以至少选名女生的选法有种. 24．用数字组成没有重复数字的三位数. (1)可组成多少个？ (2)其中百位为偶数的有多少个？ 【答案】(1)60 (2)36 【分析】（1）利用排列数公式求解． （2）利用排列数公式与分步计数原理求解． 【详解】（1）用数字组成没有重复数字的三位数， 则这样的三位数有个． （2）百位可为，有种方法；其余两位从剩余的4个数字选2个排好， 所以百位为偶数且没有重复数字的三位数有个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第61卷 计数原理与排列组合（1） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某中等职业学校的医学专业有两个班：一班有30人，二班有40人.若从两个班中任选一人去参加社会志愿活动，则不同的选法有（   ）. A．30 B．40 C．70 D．1200 2．有10名中职生前往某宾馆实习，7人担任客房服务工作，余下3人担任前厅接待工作，则所有分工方案的种数是（    ） A．4 B．120 C．24 D．72 3．将3种植物种植在4块试验田内（3种植物都要种），如表所示： 第1试验田 第2试验田 第3试验田 第4试验田 若每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法是：（    ） A． B． C． D． 4．某职业学校的一个技能训练社团有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加技能比赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法种数是（    ）. A．10 B．30 C．31 D．40 5．若x，y分别在0，1，2，…，10中取值，则点在第一象限中的个数是（   ） A．100 B．99 C．121 D．81 6．已知，那么（   ） A． B． C． D． 7．现有6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，则不同分法的种数是（    ） A．15 B．30 C．45 D．90 8．把标号为1，2，3，…，10的10个小球随机放入标号为1，2，3，…，10的10个盒子中，每个盒子放入一个球，若有且仅有3个小球的标号与盒子的标号不一致，则共有（    ）种放法. A．168 B．208 C．240 D．256 9．某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高度不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法种数有（   ）. A．6 B．12 C．24 D．48 10．把3个男生和2个女生排成一排，要求2个女生之间恰有1个男生，则共有（    ）种排法． A．32 B．24 C．48 D．36 11．某科技公司为训练AI模型，需从5个图像数据集、4个文本数据集中共选出4个数据集输入模型，要求图像数据集至少选2个，则不同的选法共有（    ） A．86种 B．90种 C．94种 D．105种 12．用数字组成没有重复数字的三位数，共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．将名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排名学生，则互不相同的安排方法的种数为（   ） A． B． C． D． 14．某班组织文艺晚会，从等6个节目中任选3个排序演出，若节目至少有一个入选，且当同时入选时，不能相邻演出，则所有不同演出顺序的种数是（   ） A．84 B．80 C．76 D．72 15．北京举办了举世瞩目的第届冬奥会，在冬奥会期间，某高校有中、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要，甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．已知，则__________. 17．用这五个数字，可以组成__________个没有重复数字的两位数． 18．学校举办趣味运动会，甲乙丙三人报名参加，每人可从投飞镖、滚轮、穿板鞋、袋鼠跳4个项目中任选一项，则不同的选法种数是______. 19．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 20．某班主任准备请年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．（用数字作答） 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．计算：（用数字作答） (1)； (2)． 22．6个女生（其中有1个领唱）和2个男生分成两排表演． (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 23．从5名男生、4名女生中选4人. (1)恰选2名女生有多少种方法； (2)至少选1名女生有多少种方法. 24．用数字组成没有重复数字的三位数. (1)可组成多少个？ (2)其中百位为偶数的有多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $