第60卷 平面与平面的位置关系（2）-考点训练卷 2027年山东省（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第60卷 平面与平面的位置关系（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若三角形ABC的三个顶点到平面的距离相等，则平面ABC与平面（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 3．若直线平面，直线平面，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．三种情况都有可能 4．已知三个平面，若，，则与的位置关系为（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．平行或相交 5．已知矩形ABCD所在的平面（如图），图中互相垂直的平面有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．5对 6．设为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．平行于同一条直线 D．以上答案都不对 7．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行； ④若一条直线垂直于一个平面内任意直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知直线m，n，平面，，给出四个命题： ①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则． 其中，正确命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 9．在二面角的一个面内有一点到棱的距离为6，则该点到另一个面的距离为（    ） A．3 B．12 C． D． 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，三棱锥中，平面平面，，D为中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面 12．设、表示平面，m，n表示直线，有下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图所示，在正四面体中，D，E，F分别是的中点，则下列四个结论不正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 14．如图所示，在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中：①平面；②平面；③平面平面；④正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 15．在三棱锥中，已知，，点，，分别是棱，，的中点，则下面结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．是直线与直线所成的角 C．平面平面 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．有三个平面，若，则与的位置关系是_______. 17．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____. 18．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是_____．（填所选条件的序号） 19．在边长为a的等边三角形中，于D，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为__________．    20．如图所示，已知正方体，，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论：    ①；②平面平面； ③；④平面平面. 其中，正确结论的序号是_____. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．如图所示，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，分别为的中点，且．求证： (1)平面； (2)平面平面． 22．如图所示，已知四棱锥中，，，底面，且.    (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正切值. 23．如图所示，在直三棱柱中，，且，分别是棱，的中点.求证： (1)平面平面； (2)直线平面. 24．如图所示，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为AB，PD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第60卷 平面与平面的位置关系（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若三角形ABC的三个顶点到平面的距离相等，则平面ABC与平面（   ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 【分析】分类讨论A、B、C三点的位置，即可求解. 【详解】若A、B、C三点在平面的同侧，平面ABC与平面平行； 若A、B、C三点在平面的两侧，平面ABC与平面相交. 故选：D. 2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【详解】解：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行. 由此可知，本题中这条直线可能在平面内.否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交). 故选：D. 3．若直线平面，直线平面，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．三种情况都有可能 【答案】D 【分析】利用直线与平行的位置关系，直接作图举例即可得解. 【详解】因为直线平面，直线平面，如图（其中）， 与的位置关系可以为平行，相交，异面，故D正确. 故选：D. 4．已知三个平面，若，，则与的位置关系为（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．平行或相交 【答案】D 【分析】利用直棱柱模型判断即可. 【详解】直棱柱中，底面为平行四边形，如图，    因为，， 若记平面为，平面为，平面为， 此时与相交，不能确定与是否垂直； 若记平面为，平面为，平面为，此时, 综上，与平行或相交． 故选：D． 5．已知矩形ABCD所在的平面（如图），图中互相垂直的平面有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．5对 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面，∴. 平面PAB，平面PAB. 又∵，∴平面PAB， 又平面，∴平面平面PAB. 平面，∴平面. 又∵平面，∴平面平面PAB. 又平面PAD，，平面PAD. 又∵平面，∴平面平面ABCD. 平面，平面,平面， ∴平面平面ABCD,平面平面ABCD，共5对． 故选：D. 6．设为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．平行于同一条直线 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据面面平行的判定定理分析，即可求解. 【详解】内有无数条直线与平行， 当这无数条直线相互平行时，可能相交，故A错误. 面面平行的判定定理和性质可知，B正确， 平行于同一条直线的两个平面，可能相交，可能垂直，也可能平行，故C错误， 故选：B. 7．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行； ④若一条直线垂直于一个平面内任意直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①和④，一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面判断即可，对于②和③举出错误反例即可． 【详解】对①：由线面垂直性质定理可知： 垂直于同一平面的两条直线相互平行，故①正确； 对②：两条直线与同一平面所成角相等，直线不一定平行， 例如：圆锥的两条母线，与底面夹角相同，但两母线相交，故②错误； 对③：无数条直线都平行另一平面，不能推出面面平行， 如下图：显然平面内有无数条直线都与平面平行但与相交，故③错误； 对④：若一条直线垂直平面内任意一条直线，说明这条直线垂直平面内两条相交直线， 符合线面垂直定义，故④正确； 综上所述：真命题的个数是2. 故选：B. 8．已知直线m，n，平面，，给出四个命题： ①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则． 其中，正确命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用线面平行，垂直和面面平行，垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择. 【详解】对①，若，，， 则与的位置关系可能为：平行、相交或异面，故错误； 对②，若，，则或，故错误； 对③，因为，，所以. 又因为，所以，故正确； 对④，若，，则或， 结合，则与的位置关系可能为：平行、相交或异面，故错误. 故只有1个命题正确. 故选：A. 9．在二面角的一个面内有一点到棱的距离为6，则该点到另一个面的距离为（    ） A．3 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，利用线线垂直得到线面垂直，进而确定二面角的平面角，再结合直角三角形求解即可. 【详解】如图所示， 为二面角的一个面内的一点，是它到另一个面的距离. 是它到棱的距离，即. 因为，所以. 又因为，平面，所以面. 因为面.所以. 所以为二面角的平面角.即. 在中，， 所以该点到另一个平面的距离为3. 故选：A. 10．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】连接，设，连接，则， 因为在正方体中，,所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在中，，， 所以． 故选：A. 11．如图所示，三棱锥中，平面平面，，D为中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面 【答案】B 【分析】利用直线与平面的位置关系与面面垂直证线面垂直可判断. 【详解】由题可知点D，不在平面中，而， 所以平面，A选项错误； 因为平面平面，且为平面与平面的交线， ，D为中点，所以，所以平面，B选项正确； 因为平面，所以C选项错误； 因为平面，所以D选项错误； 故选：B. 12．设、表示平面，m，n表示直线，有下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系即可求解. 【详解】对①，由直线与平面垂直的性质可得，若，，则，故①正确. 对②，由直线与平面垂直的性质可得，若，，则，故②正确. 对③，由平面与平面垂直的判定可得，若，，则，故③正确. 对④，由直线与平面平行的性质可得，只有当，，时，则，故④错误. 综上，正确个数是3个. 故选：C. 13．如图所示，在正四面体中，D，E，F分别是的中点，则下列四个结论不正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定即可解得. 【详解】对于选项A，因为分别为中点， 则平面，平面， 所以平面，A选项正确； 对于选项B，因为为正四面体，且为中点， 则，平面， 所以平面，又，所以平面，B选项正确； 对于选项C，因为平面，平面， 所以平面平面，C选项正确； 对于选项D，点P在底面内的射影为的中心，不在中位线上， 所以平面与平面不垂直，故D选项不正确． 故选：D 14．如图所示，在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中：①平面；②平面；③平面平面；④正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平面图形中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直判断①，由线面平行的判定定理判断②，根据线面垂直的性质和面面垂直的判定判断③，根据线面垂直的定义判断④. 【详解】已知为正方体，分别为，的中点， 所以， 若平面，因为平面， 所以，但， 与平面图形中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，①不正确； ，平面，平面， 所以平面，②正确； 因为平面，， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面，③正确； 因为平面，平面， 所以，④正确． 故选：D． 15．在三棱锥中，已知，，点，，分别是棱，，的中点，则下面结论中错误的是（    ） A．平面平面 B．是直线与直线所成的角 C．平面平面 D．三棱锥与三棱锥的体积之比为 【答案】D 【分析】利用面面平行的判定定理判断A，利用异面直线所成角的定义判断B，利用线面与面面垂直的判定与性质定理判断C，利用锥体的体积公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为点，，分别是棱，，的中点， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，同理得平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 对于B，因为， 所以是异面直线与直线所成的角，故B正确； 对于C，因为，，平面， 所以平面，由上知，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为点，分别是棱，的中点，所以， 以为底面，为高，三棱锥的体积为， 以为底面，为高，三棱锥的体积为， 所以三棱锥与三棱锥的体积之比为，故D错误. 故选：D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．有三个平面，若，则与的位置关系是_______. 【答案】 【分析】根据两个平行平面中一个平面与第三个平面垂直，则另一个平面也与该第三个平面垂直的面面平行性质定理即可判断. 【详解】若，且，则也与垂直， 故答案为： 17．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____. 【答案】 【详解】∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC）， ∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝. 故答案为：. 18．已知不重合的两个平面，和直线，给出以下条件： ①；②；③；④． 要使，则所满足的条件是_____．（填所选条件的序号） 【答案】②④ 【分析】分析可知，选择方法可能是：①④，②④，③④，结合线面的位置关系、线面垂直的判定及面面平行的性质求解即可. 【详解】显然①②③④中选一个，不能使.而①②③任意两个不能同时成立，只能选一个，故选择方法可能是：①④，②④，③④. 若选择①④，若，，则或； 若选择②④，若，，则； 若选择③④，若，，则. 综上，要使，应满足的条件是②④． 故答案为：②④. 19．在边长为a的等边三角形中，于D，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为__________．    【答案】 【分析】根据题意，易得沿折成二面角后，,故是二面角的平面角，结合边长之间的关系，即可求解. 【详解】    由题意，在边长为a的等边三角形中，， 沿折成二面角后，, 又平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 又，， 所以是等边三角形，故. 即二面角的大小为. 故答案为：. 20．如图所示，已知正方体，，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论：    ①；②平面平面； ③；④平面平面. 其中，正确结论的序号是_____. 【答案】③④ 【分析】根据取特殊点，即取点为点，点为点，可判断①和②；再根据线面垂直的判定与性质以及面面垂直的判定即可判断③和④，由此判断即可. 【详解】①当点运动到点，点运动到点时， 则有为，为，此时，不平行，故①错误； ②当点运动到点，点运动到点时， 则有平面为平面，平面为平面， 此时平面与平面不平行，故②错误；    ③∵在正方体中， ∵平面，平面，∴， 又∵，且，平面， ∴平面， 又∵，分别是，上不重合的两个动点， 则有平面，∴，故③正确；    ④在正方体中，∴平面， 又∵平面，∴平面平面，故④正确. ∴正确结论的序号是③④ 故答案为：③④. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．如图所示，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，分别为的中点，且．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】（）根据线面平行的判定定理即可得解. （）根据面面垂直的性质及判定定理即可得解. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以为的中位线，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 因为分别为的中点，，所以， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 22．如图所示，已知四棱锥中，，，底面，且.    (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理可证得平面，从而是与平面所成的角，在三角形中求解即可. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 已知，且，所以，即， 又因为，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）因为底面，底面，所以， 又，即，且，平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 在中，， 所以. 23．如图所示，在直三棱柱中，，且，分别是棱，的中点.求证： (1)平面平面； (2)直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据线面平行的判定定理证明平面、平面，然后根据面面平行的判定定理证得结论； （2）根据直线与平面垂直的性质及判定定理证明. 【详解】（1）直三棱柱中，，， 且，分别是棱，的中点， 所以且，则四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 设，因为，分别是棱，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面. （2）已知，是的中点，可得， 因为直三棱柱中，平面，平面，所以， 由于，平面，平面， 所以直线平面. 24．如图所示，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为AB，PD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，可证四边形是平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理可证明结论； （2）设，连接PO，可证明平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. 【详解】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，    因为F是PD的中点，所以，且， 因为底面是菱形，E是AB中点， 则，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）设，则O是BD中点，连接PO， 因为底面是菱形，则． 因为，O是BD中点，所以， 因为，，都在平面内， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $