第67卷 随机变量及其分布（1）-考点训练卷 2027年山东省（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第67卷 随机变量及其分布（1） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某射手射击所得环数的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.03 0.07 0.09 0.27 0.32 0.21 则此射手“射击一次命中环数大于8”的概率为（    ）. A．0.28 B．0.49 C．0.81 D．0.53 【答案】D 【分析】将命中环数大于8对应取值的概率相加即可得到结果. 【详解】依题意，射击一次命中环数大于8等价于随机变量的取值为9或10， 则此射手“射击一次命中环数大于8”的概率为 . 故选：D. 2．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用正态曲线的对称性即可得解. 【详解】随机变量服从正态分布，则正态曲线关于对称， ，则， 由对称性可知，， 则， 故选：. 3．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【点睛】计算两个点数之积为奇数的概率，进而求出两个点数之积为偶数的概率. 【详解】两个点数之积为奇数的情况只有一种， 即两次点数都是奇数，两次抛掷相互独立， 故概率为，两个点数之积为偶数的概率为. 故选：D. 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据随机变量的期望与方差公式求解. 【详解】， . 故选：B. 5．若随机变量服从二项分布，期望值等于200，方差等于100，则和的值分别为（   ） A．200，1.5 B．400，0.5 C．100，0.5 D．400，0.25 【答案】B 【分析】利用二项分布的期望和方差公式建立关于和的方程组求解. 【详解】根据题意，，解得. 故选：B. 6．现有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（读“niè”）数据，通过计算可知样本均值，方差分别为，，则下列说法正确的是（   ）． A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 【答案】B 【分析】方差是衡量数据离散程度的统计量，方差越小，数据越集中、越整齐. 【详解】已知两种水稻的样本均值相等，即，说明它们的平均分蘖数相同. 而方差甲，乙，显然. 均值相同的情况下，方差越小样本数据越稳定，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 故选：B． 7．若随机变量X的分布列如下表所示，且，则实数a的值为（    ）. X 4 a 9 P 0.3 0.2 b A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由概率和为1求出的值，结合离散型随机变量分布的均值公式列式即可得解. 【详解】由题可知，解得， 又， 即，解得. 故选：B. 8．若某射手每次射击命中目标的概率均为0.7，则其连续射击4次，恰好命中3次的概率是（    ） A． B． C．0.7 D． 【答案】B 【分析】由n次独立重复试验概率公式即可得解. 【详解】由n次独立重复试验概率公式可知，连续射击4次， 恰好命中3次的概率为 故选：B. 9．已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所有概率和为 1求出，再求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 即. 故选：B. 10．某中职学生参加一次考试，4道题中至少解对3道即为及格，已知他每道题目解题正确率为，且每题之间答对与否互不影响，则他能及格的概率是（保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意可知及格包含两种情况，即答对3道题和答对4道题， 答对3道题的概率为， 答对4道题的概率为， 所以他能及格的概率为. 故选：A 11．已知随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所有概率之和为1，求出的值即可解答. 【详解】已知随机变量X的分布列为， 则，解得， 所以， 故选：A. 12．下列说法中正确的是（    ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．当两组数据的算术平均数相同时，常用离散系数比较这两组数据的离散程度 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为若，则 D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 【答案】D 【分析】根据正态分布、方差的定义及性质和线性回归方程相关概念直接求解即可. 【详解】对于选项A：因为随机变量X服从正态分布， 正态分布关于均值对称，所以，所以，故A错误； 对于选项B ：离散系数用于比较不同单位或不同均值的数据集的离散程度， 当两组数据的算术平均数相同时，确实常用离散系数比较这两组数据的离散程度，但题中并未明确“不同单位”， 且离散系数的定义是标准差与均值的比值，适用于均值不为零的情况，若均值为零，离散系数无意义，故B错误； 对于选项C：因为回归方程过样本中心点，所以将代入回归方程：，故C错误； 对于选项D：设原数据方差为，所以新数据的方差为， 因为，所以，故D正确， 故选：D. 13．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出取一次取得次品的概率，再由独立重复实验的概率公式求值即可. 【详解】已知有8件产品，其中4件是次品，因为有放回地取产品， 所以每次取得次品的概率均为，从中有放回地取3次， X表示取得次品的次数，则， 则， 故选：D. 14．随机变量的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，则（   ） 0 1 P a b c A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由等差中项和离散型随机变量分布列的性质即可得解. 【详解】因为a，b，c成等差数列，所以， 又有，解得， 由分布列可得：. 故选：B. 15．随着科学日新月异发展，AI芯片被定义为“第四次工业革命的大脑”．我国某科研公司自主研发AI芯片元件的质量指标服从正态分布，若，则（   ） A．0.32 B．0.42 C．0.82 D．0.18 【答案】A 【分析】根据题意结合正态分布的性质即可得解. 【详解】根据已知条件质量指标服从正态分布， 可知正态分布曲线的对称轴为直线， 又因为与关于直线对称， ，所以， 结合正态分布曲线概率用面积来表示，可知. 故选：. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．正态分布的对称轴为______. 【答案】 【分析】根据正态分布的一般形式以及其对称轴的性质即可得解. 【详解】已知正态分布，可知， 所以该正态分布的对称轴为. 故答案为：. 17．已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 【答案】 【分析】利用正态分布曲线的性质可得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 故答案为： 18．已知随机变量ξ的分布列见下表： 0 1 2 3 4 5 则______________ 【答案】/ 【分析】根据表中信息即可解得. 【详解】由题，根据表中信息可得： 故答案为： 19．有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________． 【答案】0.26/ 【分析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得甲种子发芽而乙种子不发芽的概率、乙种子发芽而甲种子不发芽的概率，再把这两个概率值相加，即得所求. 【详解】由甲、乙的发芽率分别为、，可得 甲发芽乙不发芽的概率为， 乙发芽 甲不发芽的概率为， 所以恰有一粒种子能发芽的概率为. 故答案为：. 20．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.15 则的数学期望等于__________. 【答案】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，结合数学期望公式即可求解. 【详解】由题意得，因为，解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用组合数求出概率，即可得到分布列. （2）结合（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】（1）依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： （2）由（1）中的分布列，可得， . 22．甲、乙两人各进行1次投篮，甲投进的概率是，乙投进的概率是，求： (1)两人都投进的概率； (2)恰有一人投进的概率； (3)至少有一人投进的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可求； （2）根据相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式可求； （3）求得甲、乙都没投进的概率，结合对立事件的概率和为1即可求解. 【详解】（1）甲投进的概率是，乙投进的概率是， 则两人都投进的概率为. （2）甲投进的概率是，乙投进的概率是， 则恰有一人投进的概率为. （3）甲投进的概率是，乙投进的概率是， 则甲、乙都没投进的概率为， 所以至少有一人投进的概率为． 23．一个盒中有3个白球和2个黑球，这5个小球除颜色不同外，其他没有差别，现采用无放回的方式从盒中随机取出3个球，取到黑色球的数目用表示．求： (1)离散型随机变量的分布列； (2)； (3)． 【答案】(1)离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 (2) (3) 【分析】（1）先确定随机变量所有取值，算出对应概率写出分布列； （2）利用对立事件求概率的方法即可求解； （3）根据离散型随机变量的期望公式即可求解. 【详解】（1）一个盒中有3个白球和2个黑球， 因此取到黑色球的数目可能为， 总样本空间为从5个球中随机取出3个的组合数，即， 当时，表示取出的3个球全是白球，即取到0个黑球，3个白球， ； 当时，表示取出的3个球1个黑球，2个白球， ； 当时，表示取出的3个球2个黑球，1个白球， ， 所以离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 （2）利用对立事件，的对立事件是， ； （3）根据离散型随机变量的数学期望公式得： . 24．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求王阳第三次答题通过面试的概率； (2)求王阳最终通过面试的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可. （2）先求王阳未通过面试的概率，再结合对立事件概率公式求解即可. 【详解】（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件， 若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过， 所以王阳第三次答题通过面试的概率为. （2）记“王阳最终通过面试”为事件， 王阳未通过面试的概率为， 所以王阳最终通过面试的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第67卷 随机变量及其分布（1） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某射手射击所得环数的分布列为 4 5 6 7 8 9 10 0.01 0.03 0.07 0.09 0.27 0.32 0.21 则此射手“射击一次命中环数大于8”的概率为（    ）. A．0.28 B．0.49 C．0.81 D．0.53 2．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（   ）. A． B． C． D． 3．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率（ ） A． B． C． D． 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 5．若随机变量服从二项分布，期望值等于200，方差等于100，则和的值分别为（   ） A．200，1.5 B．400，0.5 C．100，0.5 D．400，0.25 6．现有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（读“niè”）数据，通过计算可知样本均值，方差分别为，，则下列说法正确的是（   ）． A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 7．若随机变量X的分布列如下表所示，且，则实数a的值为（    ）. X 4 a 9 P 0.3 0.2 b A．5 B．6 C．7 D．8 8．若某射手每次射击命中目标的概率均为0.7，则其连续射击4次，恰好命中3次的概率是（    ） A． B． C．0.7 D． 9．已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是（    ） A． B． C． D． 10．某中职学生参加一次考试，4道题中至少解对3道即为及格，已知他每道题目解题正确率为，且每题之间答对与否互不影响，则他能及格的概率是（保留两位小数）（   ） A． B． C． D． 11．已知随机变量X的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 12．下列说法中正确的是（    ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．当两组数据的算术平均数相同时，常用离散系数比较这两组数据的离散程度 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为若，则 D．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 13．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ） A． B． C． D． 14．随机变量的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，则（   ） 0 1 P a b c A． B． C． D．不确定 15．随着科学日新月异发展，AI芯片被定义为“第四次工业革命的大脑”．我国某科研公司自主研发AI芯片元件的质量指标服从正态分布，若，则（   ） A．0.32 B．0.42 C．0.82 D．0.18 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．正态分布的对称轴为______. 17．已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 18．已知随机变量ξ的分布列见下表： 0 1 2 3 4 5 则______________ 19．有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________． 20．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.15 则的数学期望等于__________. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 22．甲、乙两人各进行1次投篮，甲投进的概率是，乙投进的概率是，求： (1)两人都投进的概率； (2)恰有一人投进的概率； (3)至少有一人投进的概率． 23．一个盒中有3个白球和2个黑球，这5个小球除颜色不同外，其他没有差别，现采用无放回的方式从盒中随机取出3个球，取到黑色球的数目用表示．求： (1)离散型随机变量的分布列； (2)； (3)． 24．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求王阳第三次答题通过面试的概率； (2)求王阳最终通过面试的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $