第6卷 充要条件（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第6卷 充要条件 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．要使“”成立，下列条件中只是必要不充分条件的是（　　） A． B． C． D． 2．下列命题，正确的是（　　） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．的充要条件是 D．的充要条件是 3．若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，则“”的充要条件是（ ） A． B． C． D．或 6．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列选项中，q为p的充要条件的是（　　） A． B． C．p：四边形的两条对角线互相平分，q：四边形是正方形 D．关于x的方程有唯一解 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．“”是“”的______条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）. 12．“等式成立”是“等式成立”的________条件. 13．是的______条件. 14．已知集合，，那么“”的一个充分不必要条件是________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．试证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 16．已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．分别判断下列各组中是的什么条件： (1)是6的倍数，是2的倍数； (2)四边形的对角线互相平分，四边形是平行四边形； (3). 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第6卷 充要条件 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．要使“”成立，下列条件中只是必要不充分条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确充分条件和必要条件的定义进行分析即可. 【详解】选项A：若，那么一定有，即； 反之，若，不一定有， 所以是的充分不必要条件， 选项B：若，那么必然有，即； 反之，若，不一定有， 所以是的充分不必要条件， 选项C：由，，即； 反之，若，可得，即， 所以是的充要条件， 选项D：能推出，但不能推出， 所以后者只是必要不充分条件. 故选：D. 2．下列命题，正确的是（　　） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．的充要条件是 D．的充要条件是 【答案】A 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】选项A， ， 所以的充要条件是，该选项正确； 选项B，若，则，即由不能只推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的充分不必要条件，该选项错误； 选项C，若，因为，所以，即由可以推出， 若，不一定有，例如时满足，但不满足，即由不能推出， 所以是的必要不充分条件，该选项错误； 选项D，若，则，即由不能只推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的充分不必要条件，该选项错误. 故选：A. 3．若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据子集与充要条件的定义判断. 【详解】当时，由于，则一定有，故必要性成立； 当时，由于，则不一定有， 例如，，但，故充分性不成立， ∴若，则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，所以且，则，充分性成立； 当时，取，，则，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知集合，则“”的充要条件是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算和集合间的包含关系以及充要条件的定义求解. 【详解】因为 ，，， 所以或，解得或， 则“”的充要条件是或， 故选：D. 6．已知集合，，则“”是“”的（ ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算、充分性和必要性的概念，即可判断求解.. 【详解】若，则集合，满足，所以充分性成立； 若，当时也满足条件，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 7．下列选项中，q为p的充要条件的是（　　） A． B． C．p：四边形的两条对角线互相平分，q：四边形是正方形 D．关于x的方程有唯一解 【答案】D 【分析】根据充要条件概念即可推断. 【详解】A选项:自然数集N是整数集Z的子集，不是充要条件； B选项:能推出，但不能推出，不是充要条件； C选项，正方形是特殊的平行四边形，不是充要条件； D选项，若，方程有唯一解，若方程有唯一解，则，是充要条件. 故选：D. 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则， 所以当时，方程不成立，充分性不成立， 由方程，可得，解得或， 所以当方程成立时，的值为或，不是，必要性不成立， 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 9．已知条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法，依次判断其充分性与必要性即可得解. 【详解】当时， 设，则⇒，解得或， 由，得；由，得； 此时不一定成立，即p是q的不充分条件； 当时，，则p是q的必要条件； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 10．已知是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据条件关系的传递性求解即可. 【详解】由题意得条件链：，即. 能推出和，但与的关系是，无法建立与的直接推导关系， 即推不出，也推不出，故是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．“”是“”的______条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）. 【答案】充要 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】因为 或 . 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要. 12．“等式成立”是“等式成立”的________条件. 【答案】充分不必要 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当等式成立时，则且， 所以等式成立，故充分性成立； 当等式成立时则或， 所以等式不一定成立，故必要性不成立， 综上：“等式成立”是“等式成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 13．是的______条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据不等式的性质，结合充要条件求解即可. 【详解】由可得. 若，满足，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 14．已知集合，，那么“”的一个充分不必要条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】因为集合，， 又， 所以“”的充要条件是，解得， 所以“”的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．试证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】由充分必要条件的定义证明即可． 【详解】①必要性：因为一元二次方程有一正根和一负根， 所以（为方程的两根），所以. ②充分性：由可推得（为方程的两根）， 所以方程有两个相异实根，且两根异号， 即方程有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. 16．已知全集，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入到集合，再结合交集的运算即可求解； （2）由题意得是集合的真子集，结合集合间的关系计算即可求出a的取值范围. （1）若，则，则有. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 即，解得， 故实数的取值范围是. 17．分别判断下列各组中是的什么条件： (1)是6的倍数，是2的倍数； (2)四边形的对角线互相平分，四边形是平行四边形； (3). 【答案】(1)充分不必要条件 (2)充要条件 (3)必要不充分条件 【分析】（1）根据充分不必要条件、充要条件的判定求解. （2）根据充分不必要条件、充要条件的判定求解. （3）根据充分不必要条件、充要条件、必要条件的判定求解. 【详解】（1）若是6的倍数，则一定是2的倍数（，充分性成立）； 但是2的倍数不一定是6的倍数（如，必要性不成立）， 故是的充分不必要条件. （2）根据平行四边形的判定定理， “四边形的对角线互相平分” 与 “四边形是平行四边形” 可双向推导， 故是的充要条件. （3）当时，，因此无法推出， 当时，可得， 故是的必要不充分条件. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $