第30卷 任意角与三角函数的定义（学生练习卷）-内蒙古对口招生《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第30卷 任意角与三角函数的定义 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．相等的角终边一定相同 C．第一象限角都是锐角 D．始边和终边重合的角为零角 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．角的终边经过点，且，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 4．角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 5．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为（    ） A．4 B．1 C． D．2 6．已知角是第四象限角，角的终边过点，若点到坐标原点的距离为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．给出以下四个命题，其中正确的有（    ） ①是第四象限角；②小于的角是钝角；③第一象限角是锐角；④终边相同角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积是（ ） A． B． C． D． 9．设是第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 10．在中，，求（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．二十四节气是中国古代制定的一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶.它把太阳周年运动轨迹划分为24等份，每一等份为一个节气，从立春起的二十四节气依次是：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示，从2026年2月18日雨水节气到2026年12月22日冬至节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为___________.    12．弧度化为角度是_________ 13．已知，是第四象限的角，则_____ 14．单位圆上一点，且，点在第一象限，则______. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（1）求值：. （2）已知角的终边上一点，且，求值. 17．利用三角函数线说明 (1)当时，求证：； (2)若，则. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古对口招生《数学考点双析卷》，严格依据最新的考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 内蒙古对口招生《数学考点双析卷》 第30卷 任意角与三角函数的定义 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．相等的角终边一定相同 C．第一象限角都是锐角 D．始边和终边重合的角为零角 【答案】B 【分析】根据终边相同的角、象限角和零角的概念即可判断. 【详解】解：对A：终边相同的角不一定相等，故A错误； 对B：相等的角终边一定相同，故B正确； 对C：第一象限的角不都是锐角,故C错误； 对D：射线未发生旋转的角为零角，所以始边和终边重合的角不一定为零角，故D错误. 故选:B． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正切函数的定义域求解即可. 【详解】因为，若想有意义，则需， 解得， 所以定义域为. 故选:A. 3．角的终边经过点，且，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用定义，通过给出的三角函数值，求终边上点的坐标. 【详解】得：， 故选：C． 4．角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数定义求解即可. 【详解】角终边过点，则， ，则. 故选：A. 5．一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形半径为（    ） A．4 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】首先将角度化为弧度制，再根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】圆心角为,设扇形的半径为， 解得. 故选：D. 6．已知角是第四象限角，角的终边过点，若点到坐标原点的距离为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到原点的距离求出参数，由三角函数定义得到与，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 若点到坐标原点的距离为5，则有，解得（舍去）， 则，， 则. 故选：A. 7．给出以下四个命题，其中正确的有（    ） ①是第四象限角；②小于的角是钝角；③第一象限角是锐角；④终边相同角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据任意角的概念和终边相同的角的概念判断即可. 【详解】命题①，是第四象限角，命题正确. 命题②，小于的角不一定是钝角， 因为钝角的定义是大于且小于的角，命题错误. 命题③，第一象限角不一定是锐角，比如是第一象限角但不是锐角，命题错误. 命题④，终边相同的角不一定是相等的，因为它们可以相差的整数倍. 故选：A. 8．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合角度与弧度的转化、弧长公式、扇形面积公式，即可求解. 【详解】因为，又扇形的半径为， 所以扇形的弧长， 所以扇形的面积. 故选：B. 9．设是第二象限角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限三角函数符号，去掉绝对值再运算即可. 【详解】是第二象限角，故有， ，， ，， ，， 代入原式可得， 故选：A. 10．在中，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可求解. 【详解】由，可得， 所以， 又因为是三角形的内角，， 所以. 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．二十四节气是中国古代制定的一种用来指导农事的历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶.它把太阳周年运动轨迹划分为24等份，每一等份为一个节气，从立春起的二十四节气依次是：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒.二十四节气的对应图如图所示，从2026年2月18日雨水节气到2026年12月22日冬至节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为___________.    【答案】 【分析】根据任意角的概念及弧度制的计算方法，结合题意即可求解. 【详解】由题意，二十四节气将一个圆分成等份， 所以每相邻的两个节气对应的弧度数为， 又同年雨水到冬至节气，圆上一点需顺时针转过20个节气， 所以转过的弧所对圆心角的弧度数为. 故答案为：. 12．弧度化为角度是_________ 【答案】 【分析】根据弧度转换为角度的公式计算. 【详解】弧度化为角度为， 故答案为： 13．已知，是第四象限的角，则_____ 【答案】. 【分析】根据特殊角的三角函数值结合角的范围即可求得. 【详解】因为，所以或， 又是第四象限的角，所以. 故答案为：. 14．单位圆上一点，且，点在第一象限，则______. 【答案】 【分析】根据单位圆的性质及第一象限点的坐标的特征求解即可. 【详解】因为点在单位圆上，所以， 又因为，所以， 又因为点在第一象限，即纵坐标为正数，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式，求出满足条件的整数的值，即可得出满足条件的元素. 【详解】（1）解：与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （2）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （3）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得、、， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，适合不等式的元素为、、. （4）解：因为， 所以，与终边相同的角的集合为， 由，可得， 当时，， 当时，， 当时，. 所以，适合不等式的元素为、、. 16．（1）求值：. （2）已知角的终边上一点，且，求值. 【答案】（1）2；（2）或. 【分析】（1）根据三角函数诱导公式与特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据定义法求三角函数值的方法列出方程求解即可. 【详解】（1）. （2）依题意有：即： 解得：或 即或 17．利用三角函数线说明 (1)当时，求证：； (2)若，则. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出单位圆，结合三角函数线，以及，即可求解； （2）设单位圆与角的终边分别交于，作轴于，作轴于，作于C，连接，根据，即可得证. 【详解】（1）解：在直角坐标系中作出单位圆，的终边与单位圆交于P，的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则，． 因为，，， 又 所以，即．    （2）解：如图所示，设单位圆与角的终边分别交于， 作轴于，作轴于，作于C， 连接，则， 所以， 即．    试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $