12.3 等腰三角形 题型专练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）八年级上册 12.3 等腰三角形 题型专练 【题型1】等边三角形的性质 【典例】已知：如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一个动点（不与两端点重合），连接AD，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E，F，连接ED、FD，则以下结论正确的是（ ） A．∠1＝15° B．DF⊥AC C．CD＝2CF D．∠2＝2∠1 【举一反三1】如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为(　　) A． B．2 C． D．3 【举一反三3】如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，，则__________． 【举一反三4】如图，点D在等边外，，求的度数． 【举一反三5】如图，和都是等边三角形，点E在内部，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型2】等边三角形的判定 【典例】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距(　　) A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ADC沿直线AD折叠，点C落在C'处，连接BC'，那么BC'的长为__________ . 【举一反三2】如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是__________ ． 【举一反三3】如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A=60°，∠ACD=120°.求证：△ABC是等边三角形. 【举一反三4】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【题型3】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【举一反三1】如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为(　　) A．12 B．15 C．18 D． 【举一反三2】如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： ①可以由绕点B逆时针旋转得到； ②点O与的距离为4； ③； ④； ⑤. 其中结论正确的是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，∠A=60°，BC=13，CD=12，则∠ADC的度数为__________. 【举一反三4】如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动__________ 时，为直角三角形． 【举一反三5】如图，和都是等边三角形，点在上，点在上，，连接，，． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． 【题型4】等角对等边 【典例】如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 【举一反三1】如图，，，平分交边于点，且，则的长为__________． 【举一反三2】[问题背景]小李同学在学习了数学第12章内容后，他对三角形的三边关系及三角形的中线特别感兴趣，下面是他总结的一些题目笔记.请同学们帮他分析. [新知探究]如图1，在等腰△ABC中，AB，AC是△ABC的腰.已知三角形两条边的长度分别为4 cm，9 cm，求△ABC的周长.小李经过计算，得出的△ABC的周长是17 cm或22 cm. (1)小李的答案是否正确？如果不正确请写出正确的答案； [新知拓展]根据(1)的答案，小李继续探索三角形中线的重要作用. 如图2，当添加条件：BD是等腰△ABC的中线时.求△ABD与△CBD的周长差. (2)请你帮小李写出解答过程； [拓展应用]结合(2)的解答过程，小李继续探索三角形中线在一般三角形中是否具有同样作用. 如图3，在△ABC中，已知AD是△ABC的中线(且AB>AC)，其中AB＝m，AC＝n.则△ABD与△ACD的周长差是多少. (3)请用含m，n的代数式表示△ABD与△ACD的周长差. 【举一反三3】小明：课本第页有一个“等角对等边”的定理，而第页有一个“大角对大边”，这两个结论都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系. 小红：是的，课本第页的勾股定理“在中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系. 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系.比如：当时，或当时，. 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例. 【题型5】等边对等角 【典例】如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（ ） A． B． C． D．或 【举一反三1】如图，AB∥CD，∠C＝40°，OC＝OE，则∠A＝__________. 【举一反三2】在△ABC中，CA=CB，∠ACB=150°，将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°，∠MPN=30°)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D.在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是__________ . 【举一反三3】如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【举一反三4】在中，，点在边上，点在的延长线上，连接与交于点，且. (1)如图①，求证：； (2)如图②，，过点作，垂足为，与的延长线交于点.求证：. 【题型6】三线合一 【典例】如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1】在△ 中,,点 在 边上，连接 ,若△ 为直角三角形，则 的度数是_____。 【举一反三2】如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点作的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，若，，则的长度为__________ . 【举一反三3】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在BC的延长线上(CD<BC).连结AD，E为AC边上一点，且CE＝CD，连结BE并延长交AD于点F. (1)猜想BF与AD的位置关系，并说明理由； (2)求∠CFD的度数. 【举一反三4】如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，连接．若，求证：． 华东师大版（2024）八年级上册 12.3 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】等边三角形的性质 【典例】已知：如图，在等边△ABC中，点D是边BC上的一个动点（不与两端点重合），连接AD，作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB，AC于点E，F，连接ED、FD，则以下结论正确的是（ ） A．∠1＝15° B．DF⊥AC C．CD＝2CF D．∠2＝2∠1 【答案】D 【解析】∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA=ED，FA=FD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°， ∵EA=ED，FA=FD， ∴∠EDA=∠1，∠FAD=∠FDA， ∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=∠BAC=60°， ∵∠BED=∠1+∠EDA=2∠1， 又∵∠EDC=∠EDF+∠2=∠B+∠BED， ∴60°+∠2=60°+2∠1， ∴∠2=2∠1，选项D正确； 不一定正确的是选项A、B、C； 故选：D． 【举一反三1】如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三2】如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为(　　) A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】 为等边三角形，且周长为6， ，， 由轴对称的性质可知，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：B． 【举一反三3】如图所示，将三个现状、大小完全一样的等边三角形的一个顶点重合放置，，则__________． 【答案】 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【举一反三4】如图，点D在等边外，，求的度数． 【答案】解　∵是等边三角形， ∴ 设 ， ∵， ∴ ． ， ． 【举一反三5】如图，和都是等边三角形，点E在内部，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明　∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴； (2)解　如图，延长交于，交于， 由(1)知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【题型2】等边三角形的判定 【典例】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距(　　) A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】B 【解析】由题意得∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=40海里. 【举一反三1】如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ADC沿直线AD折叠，点C落在C'处，连接BC'，那么BC'的长为__________ . 【答案】3 【解析】由翻折可得DC'＝DC＝BD，∠ADC'＝∠ADC＝60°， 所以∠BDC'＝60°，因此△BDC'是等边三角形， 所以BC'＝BD＝BC＝×6＝3. 【举一反三2】如图，一面镜子斜固定在地面上，且，点P是距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为时，的长是__________ ． 【答案】6 【解析】如图，作点P关于的对称点，则， 当点、D、E三点共线，且时，光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短， ∵光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为， ∴， 过点P作， ∵点P是距离地面为的一个光源， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 【举一反三3】如图，在△ABC中，D为BC延长线上的一点，∠A=60°，∠ACD=120°.求证：△ABC是等边三角形. 【答案】证明　∵∠ACD=120°， ∴∠ACB=180°-∠ACD=60°， ∵∠A=60°， ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=60°， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形. 【举一反三4】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【答案】证明　∵为的中点， ∴， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型3】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，已知是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，，交于点F，，若，且，则BE的长为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】如图，过点D作交于点Ｈ． ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ 设 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 【举一反三1】如图，为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点，使得，则点到点的最大距离为(　　) A．12 B．15 C．18 D． 【答案】B 【解析】如图，把绕点A按逆时针方向旋转，得，则，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为一个平面内的等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ． 故选：B. 【举一反三2】如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： ①可以由绕点B逆时针旋转得到； ②点O与的距离为4； ③； ④； ⑤. 其中结论正确的是（ ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】D 【解析】连接，过点O作，垂足为D， 由旋转得：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴点O与的距离为4，故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴，故③正确； 在中，， ∴ ，故④不正确； 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，如图： 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴ ， 故⑤不正确； 所以，上列结论，正确的结论是①②③， 故选：D. 【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，∠A=60°，BC=13，CD=12，则∠ADC的度数为__________. 【答案】150° 【解析】如图，连接BD， ∵AB=AD=5，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=5，∠ADB=60°， ∵BC=13，CD=12， ∴BD2+CD2=52+122=169，BC2=132=169， ∴BD2+CD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形，∠BDC=90°， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°. 【举一反三4】如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动__________ 时，为直角三角形． 【答案】或 【解析】∵， ∴是等边三角形， ∴， 设运动时间为，当， ∴点的运动路程为，的运动路程为， 当点在上，在上运动时，此时， 如图，若， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图，若， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形； 综上可得：运动或时，为直角三角形， 故答案为：或． 【举一反三5】如图，和都是等边三角形，点在上，点在上，，连接，，． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明　和都是等边三角形， ，，， 在和中， ． (2)解　， ，， ， 是等边三角形． 【题型4】等角对等边 【典例】如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是(　　) A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【解析】与的平分线交于点， ，， 又， ，， ，， ，， 的周长是13， ， ， 即， 又， 的周长为：． 故选：B. 【举一反三1】如图，，，平分交边于点，且，则的长为__________． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三2】[问题背景]小李同学在学习了数学第12章内容后，他对三角形的三边关系及三角形的中线特别感兴趣，下面是他总结的一些题目笔记.请同学们帮他分析. [新知探究]如图1，在等腰△ABC中，AB，AC是△ABC的腰.已知三角形两条边的长度分别为4 cm，9 cm，求△ABC的周长.小李经过计算，得出的△ABC的周长是17 cm或22 cm. (1)小李的答案是否正确？如果不正确请写出正确的答案； [新知拓展]根据(1)的答案，小李继续探索三角形中线的重要作用. 如图2，当添加条件：BD是等腰△ABC的中线时.求△ABD与△CBD的周长差. (2)请你帮小李写出解答过程； [拓展应用]结合(2)的解答过程，小李继续探索三角形中线在一般三角形中是否具有同样作用. 如图3，在△ABC中，已知AD是△ABC的中线(且AB>AC)，其中AB＝m，AC＝n.则△ABD与△ACD的周长差是多少. (3)请用含m，n的代数式表示△ABD与△ACD的周长差. 【答案】解　(1)小李的答案不正确，正确答案是：△ABC的周长是22 cm，理由如下： 当长度为4 cm的边是等腰△ABC的腰时， 此时该等腰△ABC的三边为4 cm，4 cm，9 cm， ∵4＋4<9，不符合构成三角形的条件， ∴长度为4 cm的边不能是等腰△ABC的腰，只能是底边， ∴当长度为4 cm的边是等腰△ABC的底边时， 此时该等腰△ABC的三边为9 cm，9 cm，4 cm， ∵4＋9>9，符合构成三角形的条件， ∴等腰△ABC的周长是9＋9＋4＝22(cm). (2)∵△ABC的腰长AB＝AC＝9 cm，底边BC＝4 cm，且BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝AC＝4.5(cm)， ∴△ABD的周长为AB＋AD＋BD＝9＋4.5＋BD＝13.5＋BD， △CBD的周长为BC＋BD＋CD＝4＋4.5＋BD＝8.5＋BD， ∴△ABD与△CBD的周长差是(13.5＋BD)－(8.5＋BD)＝5(cm). (3)△ABD与△ACD的周长差＝AB－AC＝m－n，理由如下： ∵△ABD的周长为AB＋AD＋BD，△ACD的周长为AC＋AD＋CD， 且AD是△ABC的中线(AB>AC)， ∴BD＝CD， ∴△ABD与△ACD的周长差＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝m－n. 【举一反三3】小明：课本第页有一个“等角对等边”的定理，而第页有一个“大角对大边”，这两个结论都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系. 小红：是的，课本第页的勾股定理“在中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系. 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系.比如：当时，或当时，. 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例. 【答案】解：正确，证明如下： 选，如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ 选，如图，过点作于点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴. 【题型5】等边对等角 【典例】如果等腰三角形有一个角是，则它的顶角是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】∵等腰三角形有一个角是， ∴当为顶角时，顶角为； 当为底角时，另一个底角也为，顶角为． ∴顶角为或， 故选D． 【举一反三1】如图，AB∥CD，∠C＝40°，OC＝OE，则∠A＝__________. 【答案】80° 【解析】∵OC＝OE， ∴∠E＝∠C＝40°， ∴∠DOE＝∠C＋∠E＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DOE＝80°. 【举一反三2】在△ABC中，CA=CB，∠ACB=150°，将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°，∠MPN=30°)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D.在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是__________ . 【答案】\text{30^\circ或75^\circ或120^\circ}##\text{120^\circ或75^\circ或30^\circ} 【解析】因为△PCD是等腰三角形，∠PCD=150°-α，∠CPD=30°， ①当PC=PD时， 所以∠PCD=∠PDC==75°，即150°-α=75°， 所以α=75°； ②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形， 所以∠PCD=∠CPD=30°，即150°-α=30°， 所以α=120°； ③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形， 所以∠CDP=∠CPD=30°， 所以∠PCD=180°-2×30°=120°，即150°-α=120°， 所以α=30°， 综上所述，当△PCD是等腰三角形时，α=30°或75°或120°. 【举一反三3】如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2)解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三4】在中，，点在边上，点在的延长线上，连接与交于点，且. (1)如图①，求证：； (2)如图②，，过点作，垂足为，与的延长线交于点.求证：. 【答案】(1)∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴； (2)过点D作于点H，于点I， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【题型6】三线合一 【典例】如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线， 而AB=AC， 由等腰三角形的三线合一知D为BC中点， 所以BD=3， 故选：B. 【举一反三1】在△ 中,,点 在 边上，连接 ,若△ 为直角三角形，则 的度数是_____。 【答案】 或 【解析】因为在 中,, 所以。 因为 为直角三角形， 有以下两种情况: ①当 时，如图①所示； ②当 时，如图②所示，此时。 所以若 为直角三角形，则 的度数是 或 。 【举一反三2】如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点作的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，若，，则的长度为__________ . 【答案】 【解析】∵是等腰三角形，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵， ∴， 在中，， 故答案为： . 【举一反三3】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在BC的延长线上(CD<BC).连结AD，E为AC边上一点，且CE＝CD，连结BE并延长交AD于点F. (1)猜想BF与AD的位置关系，并说明理由； (2)求∠CFD的度数. 【答案】解　(1)BF与AD的位置关系为BF⊥AD，理由如下： 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD△BCE， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠DAC＋∠D＝90°， ∴∠EBC＋∠D＝90°， ∴∠BFD＝90°， ∴BF⊥AD. (2)如图，延长AD至点H，使AH＝BF，连结CH， 由(1)知∠HAC＝∠FBC， 在△ACH和△BCF中， ∴△ACH△BCF， ∴CF＝CH，∠ACH＝∠BCF， ∴∠ACH－∠ACF＝∠BCF－∠ACF， ∴∠ACB＝∠FCH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCH＝90°， ∵CF＝CH， ∴△FCH是等腰直角三角形， ∴∠AHC＝∠CFH＝45°， ∴∠CFD的度数为45°. 【举一反三4】如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，连接．若，求证：． 【答案】证明　∵，， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $