第6讲：从函数的观念看一元二次方程和一元二次不等式【八大题型+知识归纳+高分精练】训练-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(苏教版必修第一册）

第6讲：从函数的观念看一元二次方程和一元二次不等式 题型一：一元二次不等式的解法 2 题型二：由一元二次不等式来确定参数 2 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 3 题型四：一元二次不等式恒成立问题 3 题型五：一元二次不等式在某个区间成立问题 4 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 4 题型七：一元二次不等式的实际应用问题 5 题型八：一元二次不等式的综合问题 6 知识点一：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二：一元二次函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 题型一：一元二次不等式的解法 【例1】．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【变式1】．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) (3) 【变式2】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 题型二：由一元二次不等式来确定参数 【例2】．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1】．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 【例3】．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【例4】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·陕西榆林·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型五：一元二次不等式在某个区间成立问题 【例5】．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例6】．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 题型七：一元二次不等式的实际应用问题 【例7】．（25-26高一上·江苏扬州·期末）某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【变式2】．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型八：一元二次不等式的综合问题 【例8】．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【变式1】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数a的取值范围； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若函数在区间上的最小值为2，求实数a的值． 【变式2】．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若命题，为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 9．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为________． 13．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 14．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 16．（25-26高一上·山西大同·期中）已知关于的不等式（，，）的解集为，则关于的不等式的解集为________，的最大值为________. 四、解答题 17．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 18．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 19．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 20．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数a的取值范围； (2)若的解集为，求实数a，b的值； (3)求关于x的不等式的解集. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲：从函数的观念看一元二次方程和一元二次不等式 题型一：一元二次不等式的解法 2 题型二：由一元二次不等式来确定参数 3 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 5 题型四：一元二次不等式恒成立问题 7 题型五：一元二次不等式在某个区间成立问题 8 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 9 题型七：一元二次不等式的实际应用问题 10 题型八：一元二次不等式的综合问题 13 知识点一：一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二：一元二次函数的零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三：二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 题型一：一元二次不等式的解法 【例1】．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)． 【详解】（1），得或， 故的解集为. （2）恒成立，故的解集为 （3）， 即，即，解得， 故的解集为. （4）由得或，解得或， 故的解集为. （5）由 得，即，解得， 故的解集为. 【变式1】．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为方程的实数根为，， 一元二次函数开口向上， 所以，结合二次函数的图象，的解集为. （2）解：由题知，移项得，通分得 ，所以，解得或，所以，的解集为 （3）解：因为，，所以，当或时，， 即的解集为 【变式2】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1），即，即，解得或，所以不等式的解集为. （2），即且，解得且，所以不等式的解集为. （3），即，所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 题型二：由一元二次不等式来确定参数 【例2】．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，且是方程的两个实根. 由韦达定理得：， 整理得，，其中. 将代入不等式， 可得：， 因为，可得：，即：， 则，解得或， 即所求不等式的解集为或. 【变式1】．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式的解集为或，可得，且，是方程的两个实根.根据韦达定理：，解得，其中，代入待解不等式，得 ，因为，所以，分式不等式等价于：，解得或. 故不等式的解集为. 【变式2】．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】因为的解集为，所以， 且的根为，所以，可得， ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 【例3】．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【详解】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式2】．（26-27高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【例4】．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 【变式1】．（25-26高二下·陕西榆林·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设函数， 因为不等式的解集为，即在上恒成立， 则满足，解得，所以， 即实数的取值范围为. 【变式2】．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 题型五：一元二次不等式在某个区间成立问题 【例5】．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，不等式恒成立，则，可得恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 【变式1】．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以对于，恒成立， 化简可得恒成立，令， 则即可，令， 由二次函数性质得对称轴为，而，，， 则，即，可得，故C正确. 【变式2】．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析： 或． 综上所述或. 题型六：一元二次不等式在某个区间有解问题 【例6】．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式2】．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 题型七：一元二次不等式的实际应用问题 【例7】．（25-26高一上·江苏扬州·期末）某商家举办周年庆活动，原计划准备400份福利礼包，每份礼包的成本为10元，为提升活动效果，现决定，在总份数400份不变的前提下，将礼包分为两类礼包．A礼包数量为份，且A礼包的每份成本为元，B礼包的每份成本为元． (1)若要使调整后B礼包的总成本不低于原计划400份礼包的总成本，求调整后的最大值； (2)为了兼顾活动效果和参与度，商家提出要求：当时，A礼包的总成本始终不超过B礼包的总成本，且A礼包的每份成本始终不低于15元．请问是否存在实数，使得商家的要求全都得到满足？若存在，求实数的取值集合；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由题意知，B礼包共份，每份成本为元， 则， 整理得：，解得：， 因为，所以调整后的最大值是384. （2）假设存在实数满足要求， 由题意得：对恒成立．① 对恒成立．② 对于①，整理得：对恒成立， 所以且， 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以； 对于②，整理得：对恒成立 所以且， 又因为，当时，，所以， 综上，，即存在满足条件，其取值集合为. 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【详解】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 【变式2】．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 题型八：一元二次不等式的综合问题 【例8】．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）设 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式 【详解】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立，当时，得，不满足题意； 时，则需满足，解得，综上所述，. （2）由（1）可知，则，则 当且仅当即时，等号成立.故的最小值为4. （3）由，可得， ①当时，即，解集为； ② 当时，，不等式即为，解集为； ③ 当时，，不等式即为，解集为； ④ 当时，可得，解集为； ⑤ 当时，，不等式即为，解集为. 综上可得,的解集为: 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【变式1】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数． (1)若关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数a的取值范围； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，若函数在区间上的最小值为2，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）因为方程有两个不相等的正实数根， 所以由题意可得，解得． （2）因为对任意，不等式恒成立,所以，其中. 当时，在单调递增，，解得，故； 当时，，解得，故； 当时，在单调递减，，解得，无解； 综上，. （3）当时，，，最小值为，解得，符合条件； 当时，，，故，最小值为，解得(舍去负根)，符合条件； 当时，，但，此时最小值为0，最小值为，无解； 当时， 在单调递减，，，故最小值为0，，符合条件； 综上所述，或或. 【变式2】．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 一、单选题 1．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“”是命题：“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，则，解得； 由，则，解得， 则是的充分不必要条件. 2．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，所以， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 3．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若命题，为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题为假等价于"，"，记. 当时，对任意实数成立，符合要求. 当时，抛物线开口向上，充分大时，不符合要求. 当时，抛物线开口向下， 在处取得最大值， 由得. 综上，的取值范围为. 4．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 5．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求得的最小值为，通过解不等式，求得实数m的取值范围. 【详解】由，得. 因为x，y为正实数，所以，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以. 所以. 若存在上述x，y，使得不等式有解，则，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 又因为“存在 使得 ”成立， 等价于：，整理得：，即， 因为 ，所以 ，不等式可化为， 要使该不等式在 上有解，只需 小于等于 在区间上的最大值， 所以 在 上单调递减，最大值为 ， 因此，即 . 故选：C. 二、多选题 8．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【详解】对于A，因为不等式的解集为或， 由二次函数的性质可知，，故A正确. 对于B，利用零点式可得一元二次不等式为. 对比，可得. ，故B正确. 对于C，，因为， 所以，故C错误. 对于D，，因为， 所以不等式等价于，所以解集为或，D正确. 9．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】A选项：因为二次函数（，，为常数）的图象经过点，，所以关于的一元二次方程的两根为和，由根与系数的关系得，，即，由图可知，二次函数的图象开口向上，所以，则，，故选项A正确； B选项：由图可知，当时，，即，故选项B错误； C选项：由得，，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，故选项C正确； D选项：由得，，因为，所以，即，解得，则不等式的解集为，故选项D错误. 10．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）写出满足条件，恒成立的一个实数a的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】对于恒成立，即在上恒成立， 设，可得函数在为单调递减函数， 所以，所以，即实数的取值范围为，可取. 故答案为：（答案不唯一）. 13．关于的不等式：，当时，不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】先由二次不等式的解集确定的符号，再用韦达定理表示出与的关系，代入目标不等式后，通过变形、等价转化求解分式不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，知，且是方程的根. 由韦达定理得：；. 将、代入不等式，得：, 提取得：因，两边除以：, 移项通分：, 等价于且，即，解得. 故答案为： 15．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据定义，将问题转化为二次不等式在R上恒成立的问题，利用二次函数性质即可容易求得. 【详解】根据定义，不等式即为：， 整理得：对一切实数x恒成立， 则只需，整理得：， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（25-26高一上·山西大同·期中）已知关于的不等式（，，）的解集为，则关于的不等式的解集为________，的最大值为________. 【答案】 【详解】因为关于的不等式（，，）的解集为， 所以，2为方程的两个根，且， 又所以 所以，即， 即，解得， 即关于的不等式的解集为. 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：，. 四、解答题 17．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 18．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) 当时，解集为； 当或，时解集为. (2) 当时，不等式解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． (3) 当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 19．（24-25高二下·江苏徐州·期末）设． (1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)时解集为；时解集为． 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【详解】（1）当时不满足题意，     当时，需使， 解得．         （2）由题设，则， 因为，不等式可化为，     当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 20．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数a的取值范围； (2)若的解集为，求实数a，b的值； (3)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 【详解】（1）要使对一切实数恒成立，需分情况讨论： 当时，，显然不满足恒小于； 当时，二次函数需开口向下且判别式， 即且，解得， 综上，的取值范围为 （2）由的解集为，知且方程的根为和， 根据韦达定理：，得 （3）将不等式整理得，分情况讨论： 当时，抛物线开口向上，根为（正）和，解集为； 当时，不等式变为解集为； 当时，抛物线开口向下，需比较根和的大小： 若，则，不等式变为，解集为； 当时，则，解集为； 当时，则，解集为； 综上，当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 当时，解集为 2 学科网（北京）股份有限公司 $