第11卷 立体几何（一）2027年河北省（对口升学）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年河北省对口升学《数学45分钟训练卷》，以河北省对口升学数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省对口升学《数学45分钟训练卷》 第11卷 立体几何（一） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】A选项，面面平行具有传递性，故A选项正确； B选项，若，，则可能包含于，故B选项错误； C选项，若，，则，故C选项正确； D选项，根据面面垂直的判定定理可知D选项正确． 故选：B． 2．已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直 【答案】B 【解析】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内， 且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误； 对于选项B：若，则l与m可能垂直， 如图所示：，可知：，故B正确；    对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误； 对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直， 如图，取为平面，，    符合题意，但，故D错误； 故选：B. 3．若，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面 【答案】D 【解析】解：如图所示，设平面为平面 若，，故，，，相交； 若，，故，，，异面； 若，，故，，，平行. 故选：D 4．在四棱锥中，，，，则 A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题意可得，，则，同理可得.因为， 所以平面，则.因为.所以. 故选： 5．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取AB中点E，连接，，如图， 分别是,中点， , （或其补角）即为异面直线与直线所成的角, 直三棱柱中，， ，,, ， ， 故异面直线与直线所成的角大小为， 故选：C 6．已知是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面（    ） A．有且仅有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．有无数个 【答案】B 【解析】因为是空间两条不相交的直线， 所以的位置关系有两种，即平行或异面. 若平行， 那么过直线且平行于直线的平面有无数个； 若异面，如图，在上任取一点，过点作， 则确定平面，且， 那么过直线且平行于直线的平面只有一个. 故选B.    7．在正方体中， 直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，连接，连接，    由平面，平面，得，又， 平面，则平面， 于是是直线与平面所成的角， 在中，，，因此， 所以直线与平面所成角为. 故选：D 8．已知三棱锥，，，则它的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取中点，连接，如下图所示： 因为，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 又因为，， 所以， 所以， 又因为， 9．在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在正方体中，连接交于， 由为正方体，从而，， 又，平面， 平面，因为平面， 从而，从而为二面角的平面角， 设正方体的边长为，则，，， 从而. 即二面角的正切值为. 10．如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条． 【答案】4 【解析】解：如图所示，在正方体的12条棱中与异面的直线有、、、共4条； 故答案为：4 12．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥. 其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的编号） 【答案】④ 【解析】解：对于①，当，时，直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以①错误； 对于②，若，∥，则直线有可能在平面内，所以②错误； 对于③，若，，则直线，可以相交，也可能平行，也可能异面，所以③错误； 对于④，由线面垂直的性质定理可知是正确的， 故答案为：④ 13．如图，在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】在正四棱柱中，易知， 所以或其补角为与所成角， 在中，，， 所以. 故答案为：. 14．如图，在几何体ABCFED中，，，，侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，则该几何体的体积为__________． 【答案】96 【解析】由，得，所以． 分别在边上取，连接DM，MN，DN，如图所示， ∵， 直三棱柱ABC-NDM的体积， 平面，平面，，又， 平面，，平面， ，，四边形为平行四边形，，， 则平面，四棱锥的高为， 由，， 则有， ∴四棱锥的体积为， 则所求几何体的体积为． 故答案为：96． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面. 【解析】由题设知，平面⊥平面，交线为. 因为⊥，平面，所以⊥平面，故⊥. 因为为上异于，的点，且为直径，所以⊥. 又=，所以⊥平面. 而平面，故平面⊥平面. 16．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明： 是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD． （Ⅰ）求证：EF//平面PAD； （Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积. 解：（Ⅰ）证明：连接AC，则F是AC的中点， E为PC的中点，故在CPA中，EF//PA， 且PA平面PAD，EF平面PAD，∴EF//平面PAD （Ⅱ）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD. 在直角PAM中，求得PM=， PM= 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省对口升学《数学45分钟训练卷》，以河北省对口升学数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省对口升学《数学45分钟训练卷》 第11卷 立体几何（一） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线 B．若，则l与m可能垂直 C．若，且，则l与m可能平行 D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直 3．若，，则直线，的位置关系是（    ） A．平行或异面 B．平行或相交 C．相交或异面 D．平行、相交或异面 4．在四棱锥中，，，，则 A．2 B． C． D． 5．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知是空间两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面（    ） A．有且仅有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．有无数个 7．在正方体中， 直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥，，，则它的体积为（     ） A． B． C． D． 9．在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条． 12．已知，，表示直线，表示平面，给出下列命题：①若，，则∥；②若，∥，则∥；③若，，则；④若，，则∥. 其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的编号） 13．如图，在正四棱柱中，，，则与所成角的余弦值为______. 14．如图，在几何体ABCFED中，，，，侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，则该几何体的体积为__________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点.证明：平面平面. 16．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 17．．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD． （Ⅰ）求证：EF//平面PAD； （Ⅱ）求三棱锥C—PBD的体积. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $