第11卷 立体几何（二）2027年河北省（对口升学）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年河北省对口升学《数学45分钟训练卷》，以河北省对口升学数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省对口升学《数学45分钟训练卷》 第11卷 立体几何（二） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知互相垂直的两个平面，交于直线，若直线满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，选项B正确，选项D错误； 又，所以或,A,C错误； 故选:B． 2．在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点为，连， 由题设可知， 面，所以面平面. 所以，所以异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 3．两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线 【答案】D 【解析】已知直线与是异面直线，直线与直线分别与两条直线与直线相交于点，    根据题意可得当点与点重合时，两条直线相交，当点与点不重合时，两条直线异面， 所以直线的位置关系是异面或相交. 故选:D． 4．如图，在正方体中，棱长为1，点是棱的中点，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 由点是棱的中点, 所以, 则，所以为与所成角 在直角三角形中， , , 所以, 故选：A 5．已知正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 过作，则为所求角， 设正四面体棱长为， 在中，，， 由余弦定理得， 则与所成角的余弦值为. 6．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】B 【解析】依题意可知，平面，平面，平面都垂直于平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，共7对． 7．在三棱锥中，平面，，若，，，则该三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， 所以在直角三角形中，． 因为平面，平面， 所以，在直角三角形中，． 故该三棱锥的体积． 8．在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 取的中点，连接，因为平面，平面， 所以， 因为，为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为 所以， 因为，所以， 因为二面角为锐二面角，所以， 故二面角的大小为． 9．已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】过点A作平面，垂足为O，由题意得. 因为平面，所以. 过O作，连接AH. 因为平面，，所以平面. 则，因此是二面角的平面角，即. 在中，. 在，，因此.    10．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知角的两边和角的两边分别平行且，则______． 【答案】或 【解析】由题意可知或 所以或 故答案为：或 12．在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______． 【答案】 【解析】如图，设为底面的中心，则底面， 因为平面，所以， 由题意，， 则在正方形中，， 所以， 则顶点P到底面的距离为. 故答案为：. 13．如图所示，空间四边形中，，，、分别为、的中点，则和所成的角为_____________. 【答案】 【解析】取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且，同理且， 所以，异面直线与所成角为或其补角， 因为，则，又因为，则， 所以，为等腰直角三角形，故. 故答案为：. 14．如图，是的二面角棱上的两点，线段、分别在平面内，且，，，，，则线段的长为______． 【答案】4 【解析】如图所示： 在平面中，过A作直线平行于BD， 在其上取一点E，使AE＝BD，连接EC、ED． 由，则即为的平面角， 则． 在中，由余弦定理得： ， 四边形EABD是平行四边形，则ED＝AB＝3． 由平面EAC，结合得平面EAC， 平面EAC，则，是直角三角形． 由勾股定理． 故答案为：4 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求棱锥的体积： (2)求证：平面． 【解析】（1）由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积. （2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点，    所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面. 16．如图，在三棱锥中，平面平面， ，M为BC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)求点M到平面PAB的距离； (3)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 【解析】（1）(1)因为平面平面PBC， 平面平面平面PBC， 所以平面，            又因为平面PAC，所以．             因为，所以，所以，           又，且平面， 所以平面PBC． （2）由（1）及已知可得．         设点到平面的距离为d，则点到平面的距离为．           因为平面，所以．        在中，，所以， 因为平面，所以．             由，解得． （3）由，可得， 设直线与平面所成的角为θ，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角所成角的余弦值． 【解析】（1）(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面. （2）因为，，所以， 又，，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，，则， 所以 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北省对口升学《数学45分钟训练卷》，以河北省对口升学数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河北省对口升学《数学45分钟训练卷》 第11卷 立体几何（二） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知互相垂直的两个平面，交于直线，若直线满足，则（    ） A． B． C． D． 2．在正三棱锥中，异面直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 3．两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线 4．如图，在正方体中，棱长为1，点是棱的中点，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知垂直于正方形所在的平面，连接、、，、，则一定互相垂直的平面有（    ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 7．在三棱锥中，平面，，若，，，则该三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，面，，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．已知二面角的大小为，，，若，点到平面的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．已知角的两边和角的两边分别平行且，则______． 12．在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______． 13．如图所示，空间四边形中，，，、分别为、的中点，则和所成的角为_____________. 14．如图，是的二面角棱上的两点，线段、分别在平面内，且，，，，，则线段的长为______． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求棱锥的体积： (2)求证：平面． 16．如图，在三棱锥中，平面平面， ，M为BC的中点． (1)求证：平面PBC； (2)求点M到平面PAB的距离； (3)求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 17．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角所成角的余弦值． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $