综合训练卷（2） - 2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 综合训练卷（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．已知集合，，，则集合（    ）． A． B． C． D． 2．若，则下列不等式成立的是（    ）. A． B． C． D． 3．使成立的一组是（　　）. A． B． C． D． 4．下列关于函数的表述，错误的是（　） A．最大值是2，最小值是 B．最小正周期是 C．在区间上是增函数 D．在定义域上是偶函数 5．从编号为0，1，2，…，127的128件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是8的样本，若编号为23的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（    ）． A．126 B．117 C．119 D．125 6．两条平行直线与的距离是（　　） A． B． C． D． 7．设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量，，若，则（    ）. A．4 B．5 C． D． 9．若，，则（    ）， A． B． C． D． 10．双曲线，直线与该双曲线有两个交点，则的取值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11． _________. 12．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，恰有1件次品的概率是 _____________. 13．已知函数，则_________． 14．设点是函数的一点，则点到直线距离的最小值为__________． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．某广告公司要制作一块矩形广告牌，现有周长为36的铝合金材料，设长为 ，面积为 . (1)求广告牌面积S与长x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若广告牌的面积不少于80，则长x的取值范围是多少？ (3)如果广告牌每平方米收取100元费用，求最大费用为多少？ 17．已知抛物线与双曲线有相同的焦点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过F点的直线与抛物线C交于不同的两点，求与的值. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 综合训练卷（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．已知集合，，，则集合（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集与并集的定义，确定集合B的所有元素即可． 【详解】已知，， 这说明集合中一定有元素，且元素不在集合中， 又已知，则中的元素均在中， 因为集合中没有元素，但在中，所以一定是集合中的元素， 因此，集合. 故选：D. 2．若，则下列不等式成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质以及赋值法求解即可. 【详解】A：若，取，则，即，错误. B：若，取，则，即，错误. C：若，则，错误. D：，两边除以一个负数，方向改变，故，即，正确. 故选：D. 3．使成立的一组是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算以及复数对应相等求解即可. 【详解】， 因为，即， 所以，解得， 则使成立的一组是. 故选：B. 4．下列关于函数的表述，错误的是（　） A．最大值是2，最小值是 B．最小正周期是 C．在区间上是增函数 D．在定义域上是偶函数 【答案】D 【分析】根据正弦函数的基本性质逐一分析每个选项即可. 【详解】令，定义域为， A选项：由，得， 故函数的最大值是2，最小值是，正确； B选项：周期，故，正确； C选项：在单调递增，正确； D选项：函数的定义域为，关于原点对称， ，，函数为奇函数，非偶函数，错误. 故选：D. 5．从编号为0，1，2，…，127的128件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是8的样本，若编号为23的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（    ）． A．126 B．117 C．119 D．125 【答案】C 【分析】先计算系统抽样的间隔，再结合已知样本编号求出首个样本编号，最终计算得到样本的最大编号. 【详解】由题可得，抽样间隔为：， 设首个样本编号为a，其中且， 则所有样本编号可表示为，其中， 因为编号为23的产品在样本中， 所以，解得， 当取最大值7时，样本编号最大，编号为. 故选：C 6．两条平行直线与的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式求解. 【详解】两条平行直线与的距离是. 故选：B． 7．设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合面面平行、线面垂直的性质判断充分性，再通过线线垂直、线面垂直的关系分析平面的可能位置判断必要性. 【详解】充分性证明：若，由，可得. 又，因此，即，故充分性成立. 必要性证明：若，已知， 此时平面与可能相交，只要平行于与的交线，即可满足， 不一定有，因此必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知向量，，若，则（    ）. A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先根据向量垂直的数量积性质求解参数，再计算的坐标，最后代入模长公式求得结果即可. 【详解】若，则， 将，代入：，解得，即， 所以，故， 所以. 故选：D. 9．若，，则（    ）， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据同角三角函数的平方关系结合的取值范围求出的值，再利用两角差的正弦公式展开计算即可得到结果. 【详解】已知，故， 所以， 则. 故选：A. 10．双曲线，直线与该双曲线有两个交点，则的取值可能是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意联立方程组即可得解. 【详解】双曲线，直线与该双曲线相交， 联立方程组， 则，解得且， 所以正确；错误， 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11． _________. 【答案】 【分析】根据对数的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 12．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，恰有1件次品的概率是 _____________. 【答案】 / 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件， 恰有1件次品的概率是. 故答案为：. 13．已知函数，则_________． 【答案】 【分析】先判断自变量的取值范围，利用分段函数的递推关系将负自变量转化为正自变量，再代入对数运算公式求解. 【详解】因为，因此可得， 由于指数函数的值域恒为正，故， 代入得， 综上，. 故答案为：. 14．设点是函数的一点，则点到直线距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】将直线向抛物线平移与抛的线相切时，此时切点到直线的距离最小，从而可求出其最小值 【详解】将直线向抛物线平移与抛的线相切时，此时切点到直线的距离最小，设切线方程为，代入抛物线方程中得， ， 则，得， 所以点到直线距离的最小值为 ， 故答案为： 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算求出，再根据与的关系求出通项公式即可. （2）根据错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为点在函数的图像上， 所以，即， 当时，， 当时，， 则， 且符合题意， 故. （2）由（1）可知，， 则数列的前项和：， ， 则， 即， 所以. 16．某广告公司要制作一块矩形广告牌，现有周长为36的铝合金材料，设长为 ，面积为 . (1)求广告牌面积S与长x的函数解析式和自变量的取值范围； (2)若广告牌的面积不少于80，则长x的取值范围是多少？ (3)如果广告牌每平方米收取100元费用，求最大费用为多少？ 【答案】(1)， (2) (3)8100元 【分析】（1）根据矩形的周长和面积公式建立函数关系； （2）由题意列出不等式，求解即可； （3）根据二次函数的性质求解. 【详解】（1）已知矩形周长为，长为，可得宽为， 则面积与边长的函数解析式为：， 因为矩形的长和宽都大于，所以，解得， 故自变量的取值范围是. （2）由（1）知， 若面积不少于，则， 即，即，解得，符合， 所以边长的取值范围是. （3）因为，且， 所以当时，取最大值，， 已知每平方米收取元费用，则最大费用为元. 17．已知抛物线与双曲线有相同的焦点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过F点的直线与抛物线C交于不同的两点，求与的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据双曲线的方程求出焦点坐标，结合题意求出抛物线的值即可得解. （）当直线斜率存在时，写出直线的点斜式方程，联立方程组，结合韦达定理求出，再代入抛物线方程中求出；当直线斜率不存在时，将代入抛物线方程中即可求出的值. 【详解】（1）双曲线，则， 所以，即， 所以双曲线焦点坐标为， 因为抛物线，焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的焦点坐标为，则，解得， 则抛物线的方程为. （2）因为， 当直线斜率存在时，直线方程为， 联立方程组， 由韦达定理可知，， 因为，则， 解得； 当直线斜率不存在时，此时直线方程为， 将代入抛物线方程中得，解得， 则， 满足， 综上所述，. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $