综合训练卷（3） - 2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 综合训练卷（3） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．若集合，集合，则下列关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 2．在数列中，若，且，则数列前20项的和为（    ）. A．175 B．15 C．55 D．135 3．已知非零向量，，若，，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 4．如图所示为某奇函数图像的一部分，则（    ）    A． B． C． D． 5．设不同直线，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．的展开式中的系数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 7．如图所示，一个棱长为2的正方体被一个平面截去一个角后，剩余部分的几何体的表面积约为（     ）    A． B． C． D． 8．已知实数满足条件，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D． 9．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆（）的离心率为，且直线与该椭圆交于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．若 ，则 ______. 12．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是__________. 13．用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是________． 14．已知分段函数的图像与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设的角，，所对的边分别是，，，若，，，求的面积. 16．已知二次函数满足，且的图像经过点． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．已知双曲线的中心在坐标原点，右焦点是抛物线的焦点，且点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求实数的值． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 综合训练卷（3） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．若集合，集合，则下列关系中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据交集和并集的定义求出与，再根据子集和真子集的定义判断集合与的关系. 【详解】已知集合，集合， 则，所以选项A错误； ，所以选项B错误； 集合的元素都在集合中，且集合中有元素不属于集合，所以，选项C正确，选项D错误. 故选：C. 2．在数列中，若，且，则数列前20项的和为（    ）. A．175 B．15 C．55 D．135 【答案】B 【分析】先根据递推关系判定数列是等差数列，求出公差后代入等差数列前n项和公式计算前20项的和即可. 【详解】对递推公式移项变形，得，其中， 因此数列为等差数列，首项，公差， 故数列前20项的和为. 故选：B. 3．已知非零向量，，若，，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再对平方展开计算. 【详解】因为，所以 ， 展开得， 又因为，即，解得， 对两边同时平方，得：，展开得：， 所以，整理得， 因为为非零向量，故. 故选：C. 4．如图所示为某奇函数图像的一部分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】由函数图像可知，因为函数是奇函数， 所以. 故选：C. 5．设不同直线，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的概念，结合两直线平行的条件即可求解. 【详解】直线，， 因为，则， 又或， ， 解得， 又，则直线，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．的展开式中的系数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据通项公式可求解. 【详解】展开式的通项为， 由题得：， 所以展开式中含项为，其系数为. 故选：C 7．如图所示，一个棱长为2的正方体被一个平面截去一个角后，剩余部分的几何体的表面积约为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积求值即可. 【详解】由图可知，截去一个三棱锥后， 原表面积减少3个小三角形面积，新增1个三角形面积， 新增三角形是边长为的等边三角形， 所以新增三角形的高为， 所以新增三角形的面积为， 所以剩余部分的几何体的表面积为， . 故选：B. 8．已知实数满足条件，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由复数的代数运算可得，再根据复数的类型求出的值，最后利用复数模的计算公式可求解. 【详解】由可得， ， 所以，解得， 所以. 故选：A 9．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆关于直线对称，半径不变，求出圆心关于直线的对称点即可写出圆的方程. 【详解】已知点关于直线对称点为， 圆的圆心为，半径为， 则关于直线对称点为， 因此对称的圆的圆心为，半径为， 所以对称的圆的方程为， 故选：A. 10．已知椭圆（）的离心率为，且直线与该椭圆交于A、B两点，则下列说法正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】先根据椭圆的离心率求出m，再联立直线方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】因为，所以椭圆焦点在轴上， ， 离心率 ， 平方得 ，解得 ； 椭圆方程为：， 联立直线， 将代入椭圆方程 ， 代入整理得 ， 设， 则， 根据弦长公式得：， 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．若 ，则 ______. 【答案】4 【分析】根据对数的运算以及对数函数的定义域求解即可. 【详解】 因为对数的真数必须大于0，因此需要满足且，解得. 若，则，解得或（舍去）. 故答案为：4. 12．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是__________. 【答案】240 【分析】根据题意，先将5人分成4组，再安排的4个不同的学校，结合分步计数原理，即可求解. 根据题意，先将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生，分成组， 其中一组两人，其他三组各一人，有种分法， 在把分成的4组安排到市4所不同的学校任教，有种安排方法， 由分步计数原理得，共有种不同安排方法. 故答案为：. 13．用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为：. 14．已知分段函数的图像与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将函数分为和两部分，分别研究它们的值域和单调性，直线与两部分图像的交点情况需满足总共两个不同交点，通过分析不同区间内方程解的个数，确定的取值范围即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，值域为， 当时，方程有唯一解，此时； 当时，，开口向上， 顶点在（不在范围内），在时单调递增，值域为； 所以当时，方程有唯一解（舍去负根）； 所以当时，部分有解，部分有解，共有两个交点； 当时（属于部分）和（属于部分），均为有效解； 当或时，总交点数不足两个； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)设的角，，所对的边分别是，，，若，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，然后利用三角函数的周期公式求解； （2）由求得，由结合正弦定理得，根据余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求出答案． 【详解】（1） ， ∴函数的最小正周期． （2）由，得， 因为，则， 所以，解得， 由，得， 根据余弦定理， 代入，得， 解得，， 所以的面积． 16．已知二次函数满足，且的图像经过点． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先设出二次函数解析式，利用的关系式结合已知点即可求解； （2）将不等式转化为二次不等式恒成立，结合判别式求解. 【详解】（1）设二次函数解析式为：， 因为， 得， 对应系数相等， 解析式为： 又因为的图像经过点， 代入得：， 所以解析式为：； （2）不等式在上恒成立， 则恒成立， 化简得：， 二次函数开口向上，若不等式恒成立， 判别式， 因为恒成立， 所以不等式无解， 实数的取值范围为. 17．已知双曲线的中心在坐标原点，右焦点是抛物线的焦点，且点在双曲线上．    (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的标准方程是，将点代入方程并求解出抛物线的焦点坐标，最后联立方程组求解即可. （2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，并结合韦达定理和向量垂直的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】（1）设双曲线的标准方程是， 因为点在双曲线上，则，① 因为双曲线右焦点是抛物线的焦点， 抛物线的焦点为，则，即，② 由①②解得，， 则双曲线的标准方程是． （2）设，， 联立方程组，整理得， 所以，， 则， ，，因为，所以， 即 ， 解得，因为直线与双曲线有两个交点， 所以，即 ， 解得且． 所以实数的值是． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $