专题7 平面向量（讲义）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题7 平面向量 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 平面向量的线性运算 近5年未考 平面向量的内积 平面向量垂直与内积的关系 2023-27 填空 5 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标判定 2026-20 单选 5 平面向量垂直的坐标判定 2025-20 单选 5 平面向量内积的坐标运算 2024-19 单选 5 平面向量内积、向量夹角的坐标计算 2022-29 填空 5 命题轨迹透视： 湖北技能高考平面向量板块整体命题稳定，单题分值固定为 5 分，题型以单项选择题、填空题为主。平面向量线性运算近 5 年未考查，不是命题热点；考查重心集中在平面向量坐标运算与平面向量内积两大模块。 坐标运算为高频考点，连续多年出题，考查方向覆盖三类：向量共线的坐标判定、向量垂直的坐标判定、向量内积坐标运算，多以单选题形式出现。向量内积相关考点可结合向量夹角综合命题，一般设置为填空题。 命题侧重坐标形式下向量关系判定与简单计算，偏向基础应用，不设置复杂综合模型。向量垂直是重要考查主线，既可以单独考查内积与垂直关系，也可融入坐标运算考题。备考重点应放在向量坐标运算公式、向量共线与垂直的坐标条件、向量内积与夹角公式，弱化向量线性运算难题训练。 复习备考应弱化线性运算难题，重点吃透向量坐标运算、共线与垂直坐标判定、内积及夹角公式，抓好单选、填空基础题型训练。 【考点1：向量的线性运算】 1.（2010·湖北·真题）若非零向量与满足，则与的关系一定是（ ） A. 相等 B. 平行 C. 垂直 D. 相交 【考点】向量共线（平行）定理 【答案】B 【解析】根据向量共线定理：若存在实数，使得两个非零向量满足，则两向量一定平行（共线）. 分情况讨论： 当时，，与任意向量平行，； 当时，与方向相同，； 当时，与方向方向相反，. 综上，本题选B. 2.（2009·湖北·真题）下列结论中正确的是（ ） A. 两个模相等的向量是相等的向量 B. 两个方向相反的向量是相反向量 C. 两个平行向量的方向相同 D. 两个单位向量的模相等 【考点】向量、相等向量、相反向量、平行向量、单位向量 【答案】D 【解析】逐一分析各选项，结合向量基础定义判断： A选项错误：相等向量必须同时满足模相等、方向相同，仅模相等的向量，方向可能不同，不是相等向量； B选项错误：相反向量需要同时满足模相等、方向相反，仅方向相反、模长不相等的向量，不属于相反向量； C选项错误：平行向量（共线向量）是方向相同或相反的非零向量，并非只局限于方向相同； D选项正确：单位向量是模长等于的向量，所有单位向量的模恒为，模长一定相等. 综上，本题选D. 1. 向量的概念 向量：既有大小又有方向的量；数量只有大小没有方向. 模：向量的长度，记作；模是实数. 零向量：长度为 0，方向任意；单位向量：模长为 1. 相等向量：长度相等、方向相同； 平行（共线）向量：方向相同或相反，规定与任意向量平行. 2. 向量加法 三角形法则：首尾相连，由起点指向终点. 平行四边形法则：同起点，作邻边，对角线为和向量. 运算律：交换律；结合律； 3. 向量减法 ，是的相反向量（模相等，方向相反）. 三角形法则：同起点，差向量指向被减向量：. 4. 数乘向量 ：仍是向量； ：与同向；：与反向；：. 运算律：；； 共线向量定理：向量与共线存在唯一实数，使. 1. 向量不能比较大小；向量的模可以比较大小. 2. 不能推出，模相等方向不一定相同. 3. 不是数0；书写向量必须带箭头，印刷体加粗. 4. 共线向量≠在同一直线上，平行向量就是共线向量. 5. ，差向量指向被减向量，容易写反. 6. 共线定理前提；若，时不唯一，若，时不存在. 7. ，仅当同向时等号成立. 【预测一：考查平面向量的概念】 1. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A．长度相等的两个向量一定是相等向量 B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量 C．零向量没有方向 D．平行向量的方向一定相同 2. 下列命题正确的是（ ） A．单位向量均相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．模为零的向量与任一向量平行 D．模相等的两个共线向量是相同的向量 3. 给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是__________. 【预测二：考查向量的线性运算】 4. 在中，（ ） A．　 B．　 C．　 D． 5. 在三角形中，为边上的中线，则（ ） A． B． C． D． 6. 化简_________. 【答案、分析、详解】 1.【答案】B 【分析】本题考查平面向量基础概念：相等向量、共线（平行）向量、零向量定义. 相等向量：长度相等且方向相同；共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量共线；零向量方向任意. 【详解】A：相等向量需要同时满足长度相等、方向相同，只长度相等，方向不同时，不是相等向量，A 错误. B：共线向量定义：方向相同或相反的两个非零向量叫做共线向量，规定零向量与任意向量共线，选项表述正确. C：零向量方向任意，并不是没有方向，C 错误. D：平行向量（共线向量）方向有两种情况：方向相同，或者方向相反，D 错误. 综上，选. 2.【答案】C 【分析】考查单位向量、相反向量、零向量、共线向量概念辨析. 单位向量：模长等于 1，方向不一定相同；零向量模为 0，规定零向量与任意向量平行；零向量的相反向量仍是自身. 【详解】A：单位向量的模都是，但是方向不一定相同，向量相等需要模和方向都相同，因此单位向量不一定相等，A 错误. B：零向量的相反向量仍是零向量，此时零向量与它的相反向量相等，因此 “任一向量” 表述错误，B 错误. C：模为零的向量是零向量，教材规定：零向量与任一向量平行，C 正确. D：模相等的共线向量，方向有可能相反，例如和，模相等、共线，但不是相同向量，D 错误. 综上，选. 3.【答案】③ 【分析】向量概念辨析：向量只看方向与模，与起点无关；共线向量指向量平行，不代表向量端点共线；零向量模为 0. 【详解】①：仅代表两个向量模长相等，方向可以任意，不一定是同向或者反向，故或不一定成立，①错误. ②：零向量的模等于，不是正数，因此向量的模不一定是正数，②错误. ③：相等向量只要求方向相同、模相等，与向量起点位置无关，起点不同，方向相同模相等依然是相等向量，③正确. ④：与是共线向量，只说明两个向量平行，线段与平行即可，四点不一定在同一条直线上，④错误. 所以正确命题序号：. 4.【答案】A 【分析】利用平行四边形向量性质与向量加减法法则化简.平行四边形中，. 【详解】四边形是平行四边形，， ， 综上，选. 5.【答案】C 【分析】向量线性运算；中线性质：，即，再用向量减法. 【详解】是边上的中线，，即. 由向量减法的三角形法则：，代入得：. 综上，选. 6.【答案】 【分析】向量线性运算，先去括号，再合并同类向量. 【详解】 . 【考点2：向量的内积】 1.（2023·湖北·真题）已知单位向量与的夹角为，则______. 【考点】向量内积的定义：（为两向量夹角）、单位向量模长、垂直向量的数量积为 0. 【答案】 【解析】由单位向量定义得：，；两向量夹角，； 代入数量积公式：. 2.（2011·湖北·真题）在中，若，，且，则_____. 【考点】平面向量数量积几何运算、三角形中向量夹角识别. 【答案】 【解析】向量与的夹角就是；已知，，； 代入数量积公式：. 1. 定义：，为两向量夹角，范围；结果是数量（实数），不是向量. 2. 重要推论： 垂直：（非零向量） 模长：；夹角余弦： 3. 运算律 交换律：；数乘：；分配律： ❗不满足结合律： 1. ⇒ 或其中一个向量为零向量，不要直接判定垂直. 2. 内积无消去律：不能推出. 3. 夹角误区：夹角必须起点重合，平移向量再找角；不要直接用向量坐标差当成夹角. 4. 区分：不等于；只有时等号成立. 5. 符号判断：锐角；钝角；反向延长线共线时也要排除（）. 【预测：考查向量的内积运算】 1. 已知向量，，且两向量夹角为，则（ ） A．　 B．　 　C．　　 D． 2. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ） A．　　 B．　 　C．　 　D． 3. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A.　 B. 　C.　 D. 4. 已知向量，的夹角为，，，则__________. 5. 已知向量，，均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 【答案、分析、详解】 1.【答案】A 【分析】平面向量数量积公式：，为向量夹角. 【详解】向量数量积公式：， 已知，，，，代入：. 综上，选. 2.【答案】B 【分析】利用向量数量积分配律展开，结合公式、计算. 【详解】由向量数量积分配律展开： 代入已知条件，，：. 综上，选. 3.【答案】C 【分析】由向量垂直的性质：两向量垂直，则数量积等于 0；再结合单位向量模长，利用向量数量积公式求出夹角余弦值，进而得到夹角. 【详解】， 展开数量积： 是单位向量，，设夹角为：， ，即，，. 故选 C. 4.【答案】 【分析】求向量模，利用公式：，先平方展开，再开根号. 【详解】对向量模平方： . 代入，，，得 . . 5.【答案】（或） 【分析】单位向量模长为 1；等式两边平方，利用数量积公式求夹角，向量夹角范围. 【详解】均为单位向量，. 已知，等式两边同时取模平方：，， 即 代入模长：，解得 向量夹角，满足的角. 故答案：（或）. 【考点3：向量的坐标运算】 1.（2026·湖北·真题）若向量 ，， 与 共线，则 的值为（ ） A. 3　 B. 　 C. 5　 D. 【考点】平面向量共线的坐标判定： 【答案】B 【解析】若 ，，两向量共线满足： 代入坐标得：，解得 ，本题选 B. 2.（2025·湖北·真题）已知向量 ，，若 ，则实数 （ ） A. 1　 B. 2　 C. 3　 D. 4 【考点】平面向量垂直的坐标判定： 【答案】B 【解析】根据平面向量垂直的坐标充要条件，两向量垂直则数量积为0. 代入坐标计算数量积： 由 得：，解得 . 3.（2024年湖北省技能高考第19题）已知 ，，则 （ ） A. 1 　 B. 3 　 C. 5 　 D. 7 【考点】平面向量数量积坐标运算公式： 【答案】C 【解析】直接代入数量积坐标运算公式：. 4.（2022·湖北·真题）已知 ，，则(1) ；(2) . 【考点】向量数量积运算、向量夹角公式 【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) 数量积计算：； (2) 求模长：，， 代入向量夹角公式，得 ，由向量夹角范围 ，得 . 设， 加减：；数乘：；数量积： 模长： 两点向量：若，则（终点减起点） 平行： 垂直： 1. 一定是终点坐标减起点，不要写反. 2. 数量积结果是实数，不是向量，不能写. 3. 平行条件：，不要记成. 4. 垂直条件：坐标相乘相加等于 0，不要混淆平行公式. 5. ，开根号才是模. 6. 区分向量坐标与点的坐标：点≠向量，只有原点出发向量才相同. 【预测：考查向量的坐标运算】 1. 若，，则（ ） A.　 B.　　 C.　　 D. 2. 已知平面向量，，则（ ） A.　 　B.　　 C.　　 D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 5. 设向量，，则与平行的向量可以是（ ） A.　 　B. 　　C. 　　D. 6. 设向量，，. 若，则（ ） A.　 　 　　B.　　 　 　C.　　 　 　D. 7. 已知向量，，则（ ） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 8. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A.　　 　　B.　 　　C.　　 　D. 9. 已知向量，，且，则（ ） A.　　　 　B.　　 　　C.　　　 　 D. 10. 已知向量，，则（ ） A.　　　 　B.　　　 　C.　　　 　D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】D 【分析】利用向量减法的三角形法则：，坐标对应相减计算. 【详解】由向量减法：. 故选 D. 2.【答案】C 【分析】数乘向量，再对应坐标做减法运算. 【详解】. 故选 C. 3.【答案】B 【分析】两向量平行坐标公式：若平行，则. 【详解】. 故选 B. 4.【答案】A 【分析】向量垂直等价于数量积为 0：. 【详解】向量垂直，数量积为 0： . 故选 A. 5.【答案】D 【分析】先算出的坐标，再利用平行判定检验选项. 【详解】，对应选项 C. 6.【答案】A 【分析】先求出坐标，垂直条件列方程求解. 【详解】 ，则，即. 故选 A. 7.【答案】D 【分析】先求向量坐标，再用向量模长公式. 【详解】，. 故选 D. 8.【答案】C 【分析】同向向量；先求，求出. 【详解】，与同向，设. . 故选 C. 9.【答案】B 【分析】向量平行求，再计算数量积. 【详解】：， . 故选 B. 10.【答案】B 【分析】由解出坐标，再算数量积. 【详解】，. 故选 B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $