5.4 二次函数与一元二次方程（第1课时二次函数与一元二次方程的关系）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.4 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况之间联系。 会用判别式Δ=b2−4ac判断抛物线与x轴交点的个数. 经过类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。 知识回顾 1.你会求一次函数y=x+4与x轴交点坐标吗？怎样求的？ 当y=0时，得x+4=0，解得x=-4， ∴一次函数y=x+4与x轴交点坐标（-4，0）。 2.如何计算一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点的横坐标? 当函数值y=0，得出kx+b=0，解这个一元一次方程即可求出x,从而求出与x轴的交点的横坐标。 导入新课 学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系。当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0, 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢? (1)二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0之间有 什么关系? 当二次函数 y=x2-2x-3 的函数值为0时,就得到一元二次方程x2-2x-3=0。 (2)观察二次函数y=x2-2x-3的图象,它与x轴的公共点的横坐标 与一元二次方程x2-2x-3=0的实数根之间有什么关系? 可以看出抛物线y=x2-2x-3与x轴有两个公共点, 它们的横坐标是 -1,3； 即当x=-1或3时,函数值为0 因此-1,3是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根。 二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程x2-2x-3=0的实数根。 1.用描点法或数学软件,在同一个平面直角坐标系中分别画出二次函数y=-x2+2x+3, y=x2-x+,y=x2-2x+3的图象。 并观察图象与x轴交点的情况? x -1 0 1 2 3 y=-x2+2x+3 y=x2-x+ y=x2-2x+3 列表 0 3 4 3 0 6 3 2 3 6 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 描点 y=-x2+2x+3 连线 y=x2-x+ y=x2-2x+3 观察图象可知二次函数的图象 有的与x轴有两个交点， 有的有一个交点，有的没有交点。 怎样判断二次函数图象与x轴交点个数情况呢？ 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 y=-x2+2x+3 二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴有两 个交点,坐标是（-1，0），（3，0）； 与方程-x2+2x+3=0的实数根的个数有关； （1）观察y=-x2+2x+3的图像与x轴是否有交点，如果有交点， 交点坐标是什么？与方程-x2+2x+3=0的实数根有关吗？ 你能说明其中的理由吗？ 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 y=-x2+2x+3 方程-x2+2x+3=0有没有实数根，如果有的话，实数根是什么？ 方程根与y=-x2+2x+3的图像与x轴交点坐标有什么关系？ Δ＝b2－4ac=22-4×（-1）×3=16＞0 所以方程有2个不等的实数根。 （-x+3）(x+1)=0 x1=3,x2=-1 -x2+2x+3=0 -x2+2x+3=0的根与 y=-x2+2x+3与x轴交点的横坐标相等。 如果图象与x轴有两个交点，可判断方程 -x2+2x+3=0有两个不相等实数根；反之也成立。 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 y=x2-x+ 二次函数y=x2-x+的图象与x轴有 一个交点,坐标是（，0）； （2）观察二次函数y=x2-x+的图象与x轴是否有交点，如果有交点， 交点坐标是什么？ 可以判断方程x2-x+=0 有两个相等的实数根； 你能说明理由吗？ 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 y=x2-x+ 方程x2-x+=0的有没有实数根，如果有的话，实数根是什么？ 方程的根与y=x2-x+的图像与x轴交点坐标有什么关系？ x2-x+=0的根与 y=x2-x+与x轴交点的横坐标相等。 如果图象与x轴有一个交点，可判断方程 x2-x+=0有两个相等实数根；反之也成立。 ∵Δ=(-1)2-4×1×=0 ∴方程有2个相等的实数根， x1=x2= 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 y=x2-2x+3 （3）接下来我们继续研究二次函数y=x2-2x+3图象与x轴交点情况 与一元二次方程x2-2x+3=0根的关系。 ①观察y=x2-2x+3的图像与x轴是否有交点，如果有交点，交点坐标是什么？ ②方程x2-2x+3=0有没有实数根， 如果有的话，实数根是什么？ 无交点 ∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8＜0 ∴方程x2-2x+3=0无实数根 如果图象与x轴无交点，可判断方程 x2-2x+=0没有实数根；反之也成立。 2.一般地,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的位置关系有几种情况? 对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根的情况有哪些? 抛物线y=ax2+bx+c的图像与x轴的位置有三种情况， 有两个公共点，一个公共点和无公共点； 它们对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根三种情况： 有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。 如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有公共点, 那么公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根。 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的三种位置关系: 有两个公共点、有一个公共点、没有公共点。 它们分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0根 的三种情况: 有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的关系： 例1、（1）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标 为 (-1，0)，(3，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解 为 . （2）若一元二次方程ax2＋bx＝0的解为x1＝-3，x2＝1， 则抛物线y＝ax2＋bx与x轴的交点坐标为 ． x1＝-1，x2＝3 (3，0)，(1，0) 典例讲解 1.观察下列图像，完成填空： 二次函数 图象与x轴公共点情况 一元二次方程 方程的根 y=x2+x-2 x2+x-2=0 y=x2-8x+16 x2-8x+16=0 y=x2-x+1 x2-x+1=0 有两个公共点： （-2，0）、（1，0） x1=－2，x2=1 有一个公共点： （4，0） x1=x2=4 无公共点 无实数根 跟踪练习 例2、判断二次函数y=x2-3x+1的图象与x轴公共点的个数。 解:∵一元二次方程x2-3x+1=0的根的判别式 Δ=(-3)2-4=5>0 ∴方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根。 ∴二次函数y=x2-3x+1的图象与x轴有两个公共点。 典例讲解 跟踪练习 2.分别判断下列二次函数的图象与x轴的公共点的个数: (1)y=x2-x; (2)y=-x2+6x-9; (3)y=x2+x+1。 解:（1）∵一元二次方程x2-x=0的根的判别式 Δ=(-1)2-4×1×0=1>0 ∴方程x2-x=0有两个不相等的实数根。 ∴二次函数y=x2-x的图象与x轴有两个公共点。 （2）∵一元二次方程-x2+6x-9=0的根的判别式 Δ=62-4×(-1)×(-9)=0 ∴方程-x2+6x-9=0有两个相等的实数根。 ∴二次函数y=-x2+6x-9的图象与x轴有一个公共点。 （3）∵一元二次方程x2+x+1=0的根的判别式 Δ=（）2-4×()×1=-＜0 ∴方程 x2+ x+1=0没有实数根。 ∴二次函数y=x2+x+1的图象与x轴无公共点。 跟踪练习 例3、若抛物线y＝x2＋6x＋m－1与x轴有2个交点，求m的取值范围． 典例讲解 解：∵抛物线y＝x2＋6x＋m－1与x轴有2个交点， ∴方程x2＋6x＋m－1=0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝62－4×1×(m－1)＞0. 解得m＜10. 3. (1)已知抛物线y＝－2x2＋x＋c与x轴没有交点，则c的取值范围是 ． (2)已知二次函数y＝x2－mx＋m的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ⁠． (3)(易错题)已知二次函数y＝ax2－2x＋3的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围为 ⁠． c＜－. 0或4 a＜且a≠0 跟踪练习 典例讲解 例4、运用二次函数y=x2+2x+a的图象讨论一元二次方程 x2+2x+a=0实数根的情况。 分析：要想知道一元二次方程 x2+2x+a=0实数根的情况， 只要知道二次函数y=x2+2x+a的图象与x轴的位置情况即可。 因为抛物线y=x2+2x+a开口向上，确定顶点与x轴的位置， 就可知道二次函数y=x2+2x+a的图象与x轴的位置情况。 解：∵二次函数y=x2+2x+a=（x+1)2+a-1, ∴抛物线y=x2+2x+a的顶点是(-1,a-1)，开口向上。 ①当抛物线的顶点在x轴上 方时，a-1＞0，即a＞1， 顶点是(-1,a-1)与x轴有三种位置，分别如下： x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -1 此时抛物线与x轴无交点， ∴方程x2+2x+a=0没有实数根; 典例讲解 ②当抛物线的顶点在x轴上时，a-1=0，即a=1， 此时抛物线与x轴有一个交点， x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -1 ∴方程x2+2x+a=0有一个实数根; ③当抛物线的顶点在x轴下方时， a-1＜0，即a＜1， 此时抛物线与x轴有两个交点， ∴方程x2+2x+a=0有两个实数根。 典例讲解 1.二次函数y=2x2+bx+c的图象如图，则关于的方 程2x2+bx+c=0的解为（ ） A.x1=-3，x2=1 B.x1=1，x2=3 C.x1=-6，x2=2 D.x1=-8，x2=8 A 当堂检测 2.填空 （1）二次函数y=x2-2x-3与x轴的交点坐标为 ， 两交点之间的距离是 ； （2）抛物线y=x2-2x-8与x轴有抛物 个交点； （3）若抛物线y=x2-4bx+4的顶点在x轴上，则b= 。 (3，0)，(-1，0) 4 2 1或-1 当堂检测 3.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)。 (1)求证:不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点; (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点? （1）证明:∵Δ=(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0, ∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解， 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点。 当堂检测 (2)解:y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3, 把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是(m,0)， 因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点， 所以，把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点。 当堂检测 4.如图所示的抛物线是二次函数y=mx2-2x+m2-1的图象。 求m的值。 解:由图象可知抛物线过原点(0,0)， 将 x=0，y=0代入二次函数y=mx2-2x+m2-1中，得:m2-1=0,解得m=1或m=-1。 又因为抛物线开口向下, 所以二次项系数m<0, 因此m=-1。 当堂检测 课堂小结 判别式Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况 二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象 抛物线与x轴的 三种位置关系 二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0的关系： Δ>0 有两个不相等的实数根x1 ， x2 有两个公共点（x1 ，0）， （x2 ，0） Δ＝0 有两个相等的实数根 x1 =x2＝－ 有一个公共点（ －，0） Δ＜0 无实数根 没有公共点 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $