专题04相似三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材浙教版

专题04 相似三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例 考点二 相似三角形 考点三 位似图形 05 重难题型突破 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 黄金分割 题型四 利用相似三角形的性质求解 题型五 相似三角形的判定 题型六 相似三角形的动点问题 题型七 相似三角形的应用 题型八 相似三角形的性质与判定 题型九 相似多边形 题型十 相似多边形的性质 题型十一 位似图形的判断 题型十二 位似图形的坐标问题 题型十三 位似图形的作图问题 题型十四 相似三角形的综合题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 常考考点：比例线段与比例的基本性质（ 即 ）、合比与等比性质、黄金分割；由平行线截得的比例线段；相似三角形的定义与性质（对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）；相似的判定（两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例）；相似的应用（测高、影长、镜面反射）；相似多边形与位似（位似中心、位似比、坐标系中的位似变换）。题型以解答与证明为主，“先证相似、再求线段长或面积比”是必考中档题；相似常与二次函数、圆结合构成压轴，约 25%—32%。 难易度 难度系数约 0.62—0.70。基础是判定方法的选择与比例式的规范书写；中档是“相似＋方程”求线段长，以及对应关系不确定时的分类讨论；压轴常以“动点＋相似”或“相似与二次函数结合”的形式出现。典型失分点：对应顶点写错导致比例式颠倒、把周长比当成相似比、面积比忘了平方。 识记 ① 能说出两条线段的比、比例线段、比例的基本性质：若 ，则 ；以及比例的合比、等比性质。 ② 能说出相似三角形的定义与表示（对应顶点写在对应位置），记住相似比 的含义。 ③ 能说出相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方，即 。 ④ 能说出三种判定方法：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。 理解 ① 理解由平行线截得的比例线段定理，能说明“平行 → 相似（A 字型、8 字型）”的推理路径。 ② 理解相似与全等的关系：全等是相似比为 1 的特殊情形，判定时只需把“成比例”换成“相等”。 ③ 理解面积比等于相似比平方的道理（底与高同时按相似比缩放），能区分线段比、周长比与面积比。 ④ 理解位似是特殊的相似：对应点的连线都经过位似中心，且到位似中心的距离之比等于位似比。 应用 ① 能根据题意选择合适的判定方法证明两个三角形相似，并按“找角或边 → 写判定 → 得结论”的格式书写，对应顶点不错位。 ② 能运用相似的性质求线段长、周长与面积，处理“相似＋方程”类计算（设未知数、列比例式、求解并检验）。 ③ 能解决相似的实际应用问题：测高、影长、镜面反射与河宽测量等。 ④ 能在坐标系中完成位似变换（以原点为位似中心时，对应点坐标的比等于位似比或其相反数），并处理“动点＋相似”的分类讨论问题。 考点一 比例 1 比例线段 成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 ⚠️避坑指南 （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 2 黄金分割 定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 3 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 考点二 相似三角形 4 相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. ⚠️概念辨析 （1）书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； （2）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 5 相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 6 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ⚠️记忆口诀 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 7 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 8 相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 考点三 位似图形 9 位似 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 题型一 成比例线段 【例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． 💡破题要诀 ① 定义：四条线段 满足 （即 ），就说这四条线段成比例。 ② 第一步必须统一单位，再按大小排序——单位不同直接比是错的。 ③ 基本性质：由 可得 （交叉相乘）。 ④ 成比例有顺序要求， 与 含义不同。 ⑤ 求第四比例项时，先按题意写出比例式，再用 求解。 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段与的比为． 【变式1-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴需分情况讨论两线段乘积相等的情况： 若，代入，，，得，解得， 若，代入得，解得， 若，代入得，解得， ∴结合选项仅符合要求． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 【答案】9 【分析】根据成比例线段的定义，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，，是成比例线段， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 解得． 题型二 比例的性质 【例2】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 💡破题要诀 ① 基本性质： 等价于 。 ② 合比性质：若 ，则 。 ③ 等比性质：若 ，则 （各分母之和不为 0）。 ④ 设 法（最实用）：令比值为 ，则 、，代回原式求解，几乎通杀。 ⑤ 使用等比性质前要检查各分母之和是否为 0 迁移应用 【变式2-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【答案】 【分析】已知两个比例相等，求分子和与分母和的比值，通过代入变形化简即可求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， 将其代入得：， ∵ 原式有意义，因此， ∴ 约去得． 【变式2-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)60 【分析】（1）设，，，将其代入分式，消去参数k，算出分式结果； （2）同样设，，，代入求出k，再把k代入计算结果． 【详解】（1）解：设，，． ． （2）解：设，，． ， ，解得， ，，， ． 题型三 黄金分割 【例3】（26-27九年级上·全国·单元测试）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 💡破题要诀 ① 定义：点 把线段 分成 与 （）两段，若 ，则 是 的黄金分割点。 ② 黄金比数值：。 ③ 较长段 = 全长；较短段 = 全长。 ④ 一条线段有两个黄金分割点（关于中点对称）。 ⑤ 列方程时设较长段为 ，由 解出 。 迁移应用 【变式3-1】（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 【变式3-2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式，可知为线段的较长部分，利用黄金比进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，且满足， 为较长线段，即， ， ． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，芭蕾舞演员的下半身与身高的比值大约为0．58，演员在表演时踮起脚尖，身高就可以增加，从而呈现出更为优美的艺术形象．你知道其中的道理吗？说说你的理由． 【答案】知道，理由如下： 演员踮起脚尖后，下半身与身高的比值会接近黄金比（约），符合黄金分割的视觉美感，因此给人以更为优美的艺术形象． 我们可以通过比例的变化来理解其中的原理： 设芭蕾舞演员原来的身高为，根据题意，原来下半身的长度为． 踮起脚尖时，身高增加的长度等于下半身增加的长度（踮脚增加的高度属于下半身范畴）． 设身高增加（），则踮脚后下半身长度为，总身高为， 此时下半身与身高的比值为： 该比值明显大于原来的0.58，会更接近黄金分割比（约）．黄金分割比例是公认的能带来和谐美感的比例，因此芭蕾舞演员踮脚后会给人更为优美的艺术感受． 【分析】踮脚时下半身和总身高同时增加x，对分式变形可以证明新比值大于，向黄金比靠近，视觉上更美观． 【详解】知道，理由：略． 题型四 利用相似三角形的性质求解 【例4】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可； 【详解】解：∵，对应边和的比值， ∴两个三角形的相似比为， ∵、是这对相似三角形的对应高， ∴． 💡破题要诀 ① 基本性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 ② 对应线段的比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 ③ 周长比 = 相似比。 ④ 面积比 = 相似比的平方（最高频考点，务必区分）。 ⑤ 用法：先由一对对应边确定相似比，再按上述换算关系求其他量。 迁移应用 【变式4-1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)证明：，， ． (2)48 【分析】（1）根据有两个角相等的三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，再利用图形间的面积关系即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 【变式4-3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 题型五 相似三角形的判定 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴． 【分析】分析题意，由“”，利用“同位角相等，两直线平行”可得到； 然后结合“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证明结论． 【详解】证明：略 💡破题要诀 ① 预备定理（平行型）：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 ② 判定一：两角分别相等的两个三角形相似（AA，最常用）。 ③ 判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。 ④ 判定三：三边成比例的两个三角形相似（SSS）。 ⑤ 直角三角形还有：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 ⑥ 陷阱：两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定相似（与全等中的 SSA 同理）；必须是夹角。 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案】证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【答案】分三种情况证明： 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴； 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上，三种情况均得． 【分析】通过平行线的性质和相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：略． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 【变式5-4】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 题型六 相似三角形的动点问题 【例6】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：设运动时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，． ①当点与点对应时，有， ，， ， ， ． ②当点与点对应时，有， ，， ， ， ． 当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是或． 💡破题要诀 ① 设运动时间为 ，用含 的式子表示各相关线段的长，并标注 的取值范围。 ② 确定对应关系：按「哪个顶点与哪个顶点对应」分类讨论，通常有 2～3 种情况。 ③ 按每一种对应关系列出比例式，转化为方程求解。 ④ 解出 后必须检验：、动点未超出所在线段的长度、三角形真实存在。 ⑤ 题目说「以 、、 为顶点的三角形与 相似」时，一定要穷举所有对应方式。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【答案】秒和2秒后和相似． 【分析】先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动， 可得，， 因为，所以， 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得， 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 【变式6-3】（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒）， ∵，，， ∴， ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动， ∴点Q到达点C的时间为（秒）， ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动，， ∴点P到达点A的时间为（秒）， ∴当时，， 故； 当时，； （2）解：由题意，， ∴， 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P在上运动时，当时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 【变式6-4】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 题型七 相似三角形的应用 【例7】（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 💡破题要诀 ① 识别三种经典模型：影长型（人高∶人影 = 物高∶物影）；标杆型（目高、标杆、被测物构成相似）；镜面反射型（入射角等于反射角，得到一组等角）。 ② 找准是哪两个三角形相似，并写明对应顶点（ 要按顺序写）。 ③ 列比例式时把对应边写在相同的位置（同为分子或同为分母）。 ④ 解出未知量后检验实际意义（长度为正、量级合理）。 ⑤ 注意「同一时刻、同一地点」这个前提；若影子有一部分被墙面挡住，要先把被挡的部分补回去。 迁移应用 【变式7-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 【变式7-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 【变式7-3】（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：在四边形中，， 四边形是平行四边形， ． (2)的长度为． 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，进而得到． （2）先证明四边形是矩形，再利用相似三角形的判定定理证明出，根据相似三角形的性质建立比例式，最后结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， ． 题型八 相似三角形的性质与判定 【例8】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，四边形是矩形，、是方程的两个根，并且． (1)直接写出__________，__________． (2)如图1，点是上一点，，过点作轴的垂线分别交、于点、，连接、，求的面积与的关系． (3)如图2，在（2）的条件下，、交于点，过点作，交延长线于点，交轴于点，若，连接、，是射线上一点，连接，．求经过点、的直线解析式． 【答案】(1)2；4 (2) (3) 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，即可求解； （3）过点E作于点G，在的上方作，则，，根据，可得，从而得到，进而得到，在中，利用勾股定理可得，，再证明，可得，可求出点E的坐标，再由，可得，从而得到，进而得到，过点Q作于点H，连接，则，可得，从而得到，根据勾股定理可得，从而得到点F的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵、是方程的两个根，并且， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点G，在的上方作，则，， 由（1）得：点， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， 如图，过点Q作于点H，连接，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设过点、的直线解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴过点、的直线解析式为． 💡破题要诀 ① 通法三步：先判定相似（找平行线或找两组等角）→ 写出比例式 → 代入已知量求解。 ② 造相似的高频手段：公共角 + 一条平行线，或公共角 + 一组等角。 ③ 涉及面积时，先把面积比转化为相似比的平方，再求相似比。 ④ 需要两次相似时，把第一次得到的比例式（或等角）当作第二次的条件。 ⑤ 列比例式时把已知量尽量写在一起，减少未知数的数量。 迁移应用 【变式8-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在四边形中，连接，平分交于点，点在上，是以为底边的等腰三角形． (1)如图1，若四边形为正方形，，则的长为________． (2)如图2，若四边形为矩形，，，求四边形的面积． (3)如图3，点与点重合，点和点分别在和上，，点和点分别为和的中点，延长至点，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，，可得，从而得到，即可求解； （2）过点P作于点M，证明，可得， 在中，利用勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理可得x的值，即可求解； （3）取的中点N，连接，设，则，，，再由三角形中位线定理可得，，从而得到，进而得到，可证明，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点P作于点M， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴矩形的面积为； （3）解：如图3，取的中点N，连接， ∵是以为底边的等腰三角形，点Q与点B重合， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵点和点N分别为和的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 (1)①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 (2)在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 (3)如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 【答案】(1)① ；②； (2) (3)最小值为 【分析】（1）①由已知得到边的比例式，结合旋转与等式性质得到，用两边成比例且夹角相等即可证明；②先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，再利用角的等量代换，证明与夹角是直角，得到垂直关系； （2）借助（1）中相关结论算出的长度，再运用三角形中位线定理求出即可； （3）过点作于点，过点作于点，利用等腰三角形三线合一求，用面积法求，勾股定理算出，通过两边对应成比例且夹角相等证明，进而求得，最后依据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】（1）解：① ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵、分别是、中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 如图，延长交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）得， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值，是定点，，当，，三点共线，在线段之间时取等号， ∴最小值． 【变式8-3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求的值； (3)如图2，交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明出，即可得到； （2）首先得到是等腰直角三角形，求出，，然后结合求出，证明出，进而求解即可； （3）延长，交于点H，设，则，证明，得到，然后证明，得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点H， 设，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九 相似多边形 【例9】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 💡破题要诀 ① 定义（两条缺一不可）：对应角相等，且对应边成比例。 ② 只满足角相等不够：矩形的四个角都是直角，但长宽比不同的两个矩形不相似。 ③ 只满足边成比例也不够：菱形四边都相等，但角不同的两个菱形不相似。 ④ 相似比 = 对应边之比，要写明是谁比谁。 ⑤ 判定时先确定对应关系（按顶点顺序），再逐项核对角和边。 迁移应用 【变式9-1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的矩形相似，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且四个角都是直角，根据所有的直角都相等，对应边成比例，符合定义． 【变式9-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，结合各选项图形的性质判断. 【详解】解：选项A：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴两个矩形不一定相似，A不符合要求； 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，对应角一定相等，且对应边一定成比例， ∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合要求； 选项C：∵的角，可能是等腰三角形的顶角（此时底角为），也可能是底角（此时顶角为），两个三角形对应角不一定相等， ∴两个三角形不一定相似，C不符合要求； 选项D： ∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，D不符合要求. 【变式9-3】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 题型十 相似多边形的性质 【例10】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 💡破题要诀 ① 周长比 = 相似比。 ② 面积比 = 相似比的平方。 ③ 对应对角线之比 = 相似比。 ④ 连出对应顶点把多边形分割成若干个三角形，对应三角形分别相似，可作为推理依据。 ⑤ 已知面积比求相似比时，记得开平方；已知相似比求面积比时，记得平方。 迁移应用 【变式10-1】（2026九年级上·全国·专题练习）两个相似多边形的面积比为，其中一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为______． 【答案】或 【分析】由相似多边形面积比得到周长比，分已知周长是较大多边形和较小多边形两种情况计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的周长比为， 设另一个多边形的周长为， 分两种情况讨论： 当是较大多边形的周长时，可得，解得； 当是较小多边形的周长时，可得，解得， 因此另一个多边形的周长为或． 【变式10-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 【答案】， 【分析】先根据相似多边形的性质可得的长和的度数，再根据四边形的内角和即可得的度数． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，，， ∴， 解得． 又∵，， ∴． 【变式10-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行解答即可． 【详解】解：设，，，都与相似， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 题型十一 位似图形的判断 【例11】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】识别位似图形需注意以下几点：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 💡破题要诀 ① 定义：两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，这样的相似叫做位似，这个点叫做位似中心。 ② 位似是相似的特殊情形：位似一定相似，相似不一定位似。 ③ 性质：位似图形的对应边互相平行（或在同一直线上）。 ④ 位似中心可以在两个图形之间（异侧，对应点在中心两侧），也可以在同侧。 ⑤ 判断方法：连接两组对应点，看两条连线是否交于同一点。 迁移应用 【变式11-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形． 【变式11-2】（2025九年级上·全国·专题练习）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：由各选项图形可知，A，B，D选项的相似图形是位似图形，C选项的相似图形不是位似图形． 【变式11-3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解：∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴与位似，点为位似中心， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴． 题型十二 位似图形的坐标问题 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，， ，， ， ． ， ， ． 四边形为正方形， ， ． 四边形为正方形， ， ， 点的坐标为． 💡破题要诀 ① 以原点为位似中心、位似比为 时，点 的对应点坐标为 或 。 ② 两种情况都要考虑：对应点在位似中心同侧取 ，异侧取 。 ③ 位似比 是放大， 是缩小，判断时看清谁是原图形、谁是新图形。 ④ 若位似中心不是原点，用「对应点到中心的距离之比 = 位似比」求解。 ⑤ 坐标的符号由对应点所在的象限决定，画草图可避免符号错误。 迁移应用 【变式12-1】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数，位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【详解】解：∵点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴点A的对应点的坐标为或， 即或． 【变式12-2】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点O，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】结合位似的性质可得答案． 【详解】解：∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为，点的对应点为 ∴的坐标为，即． 【变式12-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 题型十三 位似图形的作图问题 【例13】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知与点在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画，使与它的相似比为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似； （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可． 【详解】（1）略 （2）略 💡破题要诀 ① 第一步确定位似中心 和位似比 。 ② 第二步连接 与各个关键顶点（多边形的顶点），并把射线延长。 ③ 第三步在各射线上取对应点，使 （同侧或异侧，按题目要求）。 ④ 第四步按原来的顺序连接各个对应点，得到位似图形。 ⑤ 最后写清结论：所画图形即为所求，并注明位似比与位似中心。 迁移应用 【变式13-1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 【变式13-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 【答案】如图：六边形即为所求(答案不唯一) 【分析】连接、、、，再分别取、、、、、的中点，然后依次连接各中点即可． 【详解】解：六边形上的点、、、、、和六边形上的点、、、、、分别对应，并且它们的连线、、、、、都经过同一点，且， 故六边形与六边形是位似图形，位似比为． 【变式13-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）将图中的分别作下列变换，作出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化： (1)沿轴正方向平移个单位长度； (2)关于轴对称； (3)以点为位似中心，放大到原来的倍； (4)沿轴向下平移个单位长度，再沿轴向左平移个单位长度． 【答案】(1) 的三个顶点分别为，，，沿轴正方向平移个单位长度，所得如图所示，对应的三个顶点分别为，，．三个顶点的坐标，横坐标不变，纵坐标加． (2) 的三个顶点分别为，，，关于轴对称后，所得如图所示，对应的三个顶点分别为，，．三个顶点的坐标，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数． (3) 的三个顶点分别为，，，以点为位似中心，向右放大到原来的倍后，所得如图所示，对应的三个顶点分别为，，．三个顶点的坐标，横、纵坐标均乘以．以点为位似中心，向左放大到原来的倍后，所得的图形略（网格有限），对应的三个顶点分别为，，．三个顶点的坐标，横、纵坐标均乘以． (4) 的三个顶点分别为，，，沿轴向下平移个单位长度，再沿轴向左平移个单位长度后，所得如图所示，对应的三个顶点分别为，，．三个顶点的坐标，横坐标减，纵坐标减． 【分析】本题考查坐标与图形的平移、轴对称、位似变换，解题的关键是熟练掌握各类图形变换下点的坐标变化规律． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型十四 相似三角形的综合题 【例14】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 【答案】(1)等腰梯形；，理由见解析 (2)的大小不变， (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合正方形的性质得到，即可得解；连接，根据正方形的性质证明，得到，由垂直平分线的性质得到，等量代换即可得证； （2）连接，，证明，得到，由垂直平分线的性质证明，得到，等边对等角结合邻补角的定义证明，再由四边形内角和定理得到，得到是等腰直角三角形，即可得证； （3）由勾股定理依次求解，的长，证明，得到，的长，过点作交于，设，则，，在中，利用勾股定理解直角三角形可求得，的长，证明，即可求得的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ，即， ， ， ， 四边形的形状是等腰梯形； ，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）解：的大小不变，； 如图，连接，， 由正方形的对称性可知，点、关于对称， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：，， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， 如图，过点作交于，交于N，则，， ， 设，则，， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ，， ， ， ，即， 解得． 💡破题要诀 ① 识别基本模型：A 字型（正 A）、8 字型（X 型）、母子型（共角共边）、K 字型（一线三等角）、旋转型（手拉手）、三垂直型。 ② 一线三等角模型（压轴高频）：一条直线上有三个相等的角，必能找到一对相似三角形，抓住这个模型就能破题。 ③ 常用辅助线：作平行线（造出 A 字型或 8 字型）；作垂线（造出直角相似）。 ④ 与圆结合时，常用「同弧所对的圆周角相等」来找等角，进而判定相似。 ⑤ 要证乘积式（如 ）时，先改写成比例式 ，再去寻找对应的相似三角形。 迁移应用 【变式14-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）BH或． 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ② 略 （3）或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 【变式14-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，在Rt 中，由直角三角形的性质求得，，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在Rt中，勾股定理求得，进而根据，即可求出答案． 【详解】（1）在中，，， 在中，，， ，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）在中，，，， ，． 延长交于点，如图所示． ， ， ， ， ，． 由（1）可得， ， ． 在中，． ，， ，， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式14-3】（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D． (1)求证： (2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接、， ∵，， ∴点都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证； （2）先证明，进而证明，即可证明； （3）连接，先求出，，再证明，得到，设，则，分别得到，，，证明，得到 ，求出，从而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， 在中，， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了线段的垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，一元二次方程的应用，直角三角形的性质等知识，综合性强，第（3）问难度较大，熟知相关性质，并根据题目中已知条件灵活应用是解题关键． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似比的定义是解题的关键．根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案． 【详解】解：右边的“”与左边的“”是位似图形，A是位似中心，位似比为． ， ， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，将代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，则下列线段的比中，与相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下列各组数不能成比例的是（   ） A．3，，，6 B．，，， C．3，，，2 D．4，3，5， 【答案】C 【分析】本题考查比例问题． 判断各组数是否能成比例，只需检查是否存在内项积与外项积相等的情况． 【详解】解：A．，能成比例，不符合题意； B．，能成比例，不符合题意； C．，不能成比例，符合题意； D．，能成比例，不符合题意； 故选：C． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，若，，则（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再代入相关数据计算可即可． 【详解】解：∵， ， ， ，解得：． 故选：B． 7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 9．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知为中边上的中线，过重心G作，交于点E，，则的长为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：∵G是重心， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟记重心的性质． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知实数，满足， (1)求出的值； (2)若，求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了比例的性质， （1）根据，设，代入代数式计算即可求解； （2）设，代入，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴； （2）设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明： ，， ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明； （1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）证出，利用相似三角形的判定解答即可． 【详解】（1）解：， △△； ， ； （2）略 14．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ； (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（     ） A．9.6 B．10 C．12 D．16.8 【答案】B 【分析】分段讨论点的位置，分别构建与的函数关系式求解． 【详解】解：在中，， 点运动总时间为秒，点到达点时间为秒 当时，点在上，， 过点作于点，则， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴当时，取最大值，最大值为 当时，点在上，过点作于点，同理可得 ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内随的增大而减小 ∴当时，，即 综上所述，的最大值为10． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质，相似图形的性质，重心的性质，勾股定理等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵四边形与为菱形， ∴对角线互相垂直平分， 即垂直平分线段，垂直平分线段， ∴B，E，F，D四点共线， 故该选项正确，不符合题意； B.如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形，且相似比为2， ∴， ∴， 不满足三角形重心的性质， ∴点E不是的重心， 故该选项错误，符合题意； C. 如图所示，连接交于点，连接， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， 假设，由选项B可得，，， 由勾股定理得，， ∴， 故该选项正确，不符合题意； D. 如图所示，连接交于点，连接，延长交于点， 由选项A.得B，E，F，D四点共线， ∵菱形菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明： ， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：．并求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． (2) ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． （1）由即可证明结论； （2）由可得，由角平分线的性质可得，可证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论． 【详解】（1）连接，，如图， ，， ， 的半径为， ， 在中， ． （2）在上截取，连接，如图， 和所对的弧都是， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 即． （3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 对于的任意长度，都有的值是一个定值， 的值与无关， ， （不合题意，舍去）或， 对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为． 【点睛】本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例 考点二 相似三角形 考点三 位似图形 05 重难题型突破 题型一 成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 黄金分割 题型四 利用相似三角形的性质求解 题型五 相似三角形的判定 题型六 相似三角形的动点问题 题型七 相似三角形的应用 题型八 相似三角形的性质与判定 题型九 相似多边形 题型十 相似多边形的性质 题型十一 位似图形的判断 题型十二 位似图形的坐标问题 题型十三 位似图形的作图问题 题型十四 相似三角形的综合题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 常考考点：比例线段与比例的基本性质（ 即 ）、合比与等比性质、黄金分割；由平行线截得的比例线段；相似三角形的定义与性质（对应角相等、对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）；相似的判定（两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例）；相似的应用（测高、影长、镜面反射）；相似多边形与位似（位似中心、位似比、坐标系中的位似变换）。题型以解答与证明为主，“先证相似、再求线段长或面积比”是必考中档题；相似常与二次函数、圆结合构成压轴，约 25%—32%。 难易度 难度系数约 0.62—0.70。基础是判定方法的选择与比例式的规范书写；中档是“相似＋方程”求线段长，以及对应关系不确定时的分类讨论；压轴常以“动点＋相似”或“相似与二次函数结合”的形式出现。典型失分点：对应顶点写错导致比例式颠倒、把周长比当成相似比、面积比忘了平方。 识记 ① 能说出两条线段的比、比例线段、比例的基本性质：若 ，则 ；以及比例的合比、等比性质。 ② 能说出相似三角形的定义与表示（对应顶点写在对应位置），记住相似比 的含义。 ③ 能说出相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例；对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方，即 。 ④ 能说出三种判定方法：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。 理解 ① 理解由平行线截得的比例线段定理，能说明“平行 → 相似（A 字型、8 字型）”的推理路径。 ② 理解相似与全等的关系：全等是相似比为 1 的特殊情形，判定时只需把“成比例”换成“相等”。 ③ 理解面积比等于相似比平方的道理（底与高同时按相似比缩放），能区分线段比、周长比与面积比。 ④ 理解位似是特殊的相似：对应点的连线都经过位似中心，且到位似中心的距离之比等于位似比。 应用 ① 能根据题意选择合适的判定方法证明两个三角形相似，并按“找角或边 → 写判定 → 得结论”的格式书写，对应顶点不错位。 ② 能运用相似的性质求线段长、周长与面积，处理“相似＋方程”类计算（设未知数、列比例式、求解并检验）。 ③ 能解决相似的实际应用问题：测高、影长、镜面反射与河宽测量等。 ④ 能在坐标系中完成位似变换（以原点为位似中心时，对应点坐标的比等于位似比或其相反数），并处理“动点＋相似”的分类讨论问题。 考点一 比例 1 比例线段 成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 ⚠️避坑指南 （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 2 黄金分割 定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 3 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 考点二 相似三角形 4 相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. ⚠️概念辨析 （1）书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； （2）对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 5 相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 6 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ⚠️记忆口诀 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 7 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 8 相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 考点三 位似图形 9 位似 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 题型一 成比例线段 【例1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 💡破题要诀 ① 定义：四条线段 满足 （即 ），就说这四条线段成比例。 ② 第一步必须统一单位，再按大小排序——单位不同直接比是错的。 ③ 基本性质：由 可得 （交叉相乘）。 ④ 成比例有顺序要求， 与 含义不同。 ⑤ 求第四比例项时，先按题意写出比例式，再用 求解。 迁移应用 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段的长是，线段的长是，则线段与的比为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）四条线段、、、可组成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 题型二 比例的性质 【例2】（25-26九年级上·四川达州·期末）已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 💡破题要诀 ① 基本性质： 等价于 。 ② 合比性质：若 ，则 。 ③ 等比性质：若 ，则 （各分母之和不为 0）。 ④ 设 法（最实用）：令比值为 ，则 、，代回原式求解，几乎通杀。 ⑤ 使用等比性质前要检查各分母之和是否为 0 迁移应用 【变式2-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【变式2-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，则__________． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型三 黄金分割 【例3】（26-27九年级上·全国·单元测试）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义：点 把线段 分成 与 （）两段，若 ，则 是 的黄金分割点。 ② 黄金比数值：。 ③ 较长段 = 全长；较短段 = 全长。 ④ 一条线段有两个黄金分割点（关于中点对称）。 ⑤ 列方程时设较长段为 ，由 解出 。 迁移应用 【变式3-1】（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，芭蕾舞演员的下半身与身高的比值大约为0．58，演员在表演时踮起脚尖，身高就可以增加，从而呈现出更为优美的艺术形象．你知道其中的道理吗？说说你的理由． 题型四 利用相似三角形的性质求解 【例4】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知，和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 💡破题要诀 ① 基本性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 ② 对应线段的比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 ③ 周长比 = 相似比。 ④ 面积比 = 相似比的平方（最高频考点，务必区分）。 ⑤ 用法：先由一对对应边确定相似比，再按上述换算关系求其他量。 迁移应用 【变式4-1】（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，分别是，边上的点，且满足． (1)求证：； (2)若，，，求． 【变式4-3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 题型五 相似三角形的判定 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，分别交，于点D，E，．求证：． 💡破题要诀 ① 预备定理（平行型）：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 ② 判定一：两角分别相等的两个三角形相似（AA，最常用）。 ③ 判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。 ④ 判定三：三边成比例的两个三角形相似（SSS）。 ⑤ 直角三角形还有：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 ⑥ 陷阱：两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定相似（与全等中的 SSA 同理）；必须是夹角。 迁移应用 【变式5-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【变式5-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【变式5-4】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，．求证：． 题型六 相似三角形的动点问题 【例6】（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 💡破题要诀 ① 设运动时间为 ，用含 的式子表示各相关线段的长，并标注 的取值范围。 ② 确定对应关系：按「哪个顶点与哪个顶点对应」分类讨论，通常有 2～3 种情况。 ③ 按每一种对应关系列出比例式，转化为方程求解。 ④ 解出 后必须检验：、动点未超出所在线段的长度、三角形真实存在。 ⑤ 题目说「以 、、 为顶点的三角形与 相似」时，一定要穷举所有对应方式。 迁移应用 【变式6-1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【变式6-3】（26-27九年级上·广东·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点时另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当与的一边平行时，求t的值． 【变式6-4】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 题型七 相似三角形的应用 【例7】（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 识别三种经典模型：影长型（人高∶人影 = 物高∶物影）；标杆型（目高、标杆、被测物构成相似）；镜面反射型（入射角等于反射角，得到一组等角）。 ② 找准是哪两个三角形相似，并写明对应顶点（ 要按顺序写）。 ③ 列比例式时把对应边写在相同的位置（同为分子或同为分母）。 ④ 解出未知量后检验实际意义（长度为正、量级合理）。 ⑤ 注意「同一时刻、同一地点」这个前提；若影子有一部分被墙面挡住，要先把被挡的部分补回去。 迁移应用 【变式7-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【变式7-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【变式7-3】（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 题型八 相似三角形的性质与判定 【例8】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，四边形是矩形，、是方程的两个根，并且． (1)直接写出__________，__________． (2)如图1，点是上一点，，过点作轴的垂线分别交、于点、，连接、，求的面积与的关系． (3)如图2，在（2）的条件下，、交于点，过点作，交延长线于点，交轴于点，若，连接、，是射线上一点，连接，．求经过点、的直线解析式． 💡破题要诀 ① 通法三步：先判定相似（找平行线或找两组等角）→ 写出比例式 → 代入已知量求解。 ② 造相似的高频手段：公共角 + 一条平行线，或公共角 + 一组等角。 ③ 涉及面积时，先把面积比转化为相似比的平方，再求相似比。 ④ 需要两次相似时，把第一次得到的比例式（或等角）当作第二次的条件。 ⑤ 列比例式时把已知量尽量写在一起，减少未知数的数量。 迁移应用 【变式8-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在四边形中，连接，平分交于点，点在上，是以为底边的等腰三角形． (1)如图1，若四边形为正方形，，则的长为________． (2)如图2，若四边形为矩形，，，求四边形的面积． (3)如图3，点与点重合，点和点分别在和上，，点和点分别为和的中点，延长至点，，，求的长． 【变式8-2】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题背景】 (1)①如图1，已知、分别是的边和边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形______； ②如图2，在中，，，，、分别是、中点，把绕着点逆时针方向旋转，写出旋转过程中和的位置和数量关系：______、______； 【迁移应用】 (2)在（1）的条件下，把绕着点逆时针方向旋转到如图3，连接和，取中点，的中点，连接，若，求的长． 【创新应用】 (3)如图4，，，是直角三角形，，将绕着点旋转，连接，是上一点，，连接，求的最小值． 【变式8-3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求的值； (3)如图2，交于点，若，求的值． 题型九 相似多边形 【例9】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义（两条缺一不可）：对应角相等，且对应边成比例。 ② 只满足角相等不够：矩形的四个角都是直角，但长宽比不同的两个矩形不相似。 ③ 只满足边成比例也不够：菱形四边都相等，但角不同的两个菱形不相似。 ④ 相似比 = 对应边之比，要写明是谁比谁。 ⑤ 判定时先确定对应关系（按顶点顺序），再逐项核对角和边。 迁移应用 【变式9-1】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）下面矩形中，和矩形相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【变式9-3】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 题型十 相似多边形的性质 【例10】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 周长比 = 相似比。 ② 面积比 = 相似比的平方。 ③ 对应对角线之比 = 相似比。 ④ 连出对应顶点把多边形分割成若干个三角形，对应三角形分别相似，可作为推理依据。 ⑤ 已知面积比求相似比时，记得开平方；已知相似比求面积比时，记得平方。 迁移应用 【变式10-1】（2026九年级上·全国·专题练习）两个相似多边形的面积比为，其中一个多边形的周长为，则另一个多边形的周长为______． 【变式10-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形四边形，，，，，，，求的长和的度数． 【变式10-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，设，若都与相似，试确定a与b之间的关系． 题型十一 位似图形的判断 【例11】（26-27九年级上·全国·课后作业）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义：两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，这样的相似叫做位似，这个点叫做位似中心。 ② 位似是相似的特殊情形：位似一定相似，相似不一定位似。 ③ 性质：位似图形的对应边互相平行（或在同一直线上）。 ④ 位似中心可以在两个图形之间（异侧，对应点在中心两侧），也可以在同侧。 ⑤ 判断方法：连接两组对应点，看两条连线是否交于同一点。 迁移应用 【变式11-1】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025九年级上·全国·专题练习）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连接、、．已知．则的长度为（     ）． A． B． C． D． 题型十二 位似图形的坐标问题 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 以原点为位似中心、位似比为 时，点 的对应点坐标为 或 。 ② 两种情况都要考虑：对应点在位似中心同侧取 ，异侧取 。 ③ 位似比 是放大， 是缩小，判断时看清谁是原图形、谁是新图形。 ④ 若位似中心不是原点，用「对应点到中心的距离之比 = 位似比」求解。 ⑤ 坐标的符号由对应点所在的象限决定，画草图可避免符号错误。 迁移应用 【变式12-1】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知点，，以为位似中心，按比例，把缩小，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式12-2】（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点O，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为________． 【变式12-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 题型十三 位似图形的作图问题 【例13】（26-27九年级上·全国·单元测试）已知与点在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)在图中画出沿轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画，使与它的相似比为． 💡破题要诀 ① 第一步确定位似中心 和位似比 。 ② 第二步连接 与各个关键顶点（多边形的顶点），并把射线延长。 ③ 第三步在各射线上取对应点，使 （同侧或异侧，按题目要求）。 ④ 第四步按原来的顺序连接各个对应点，得到位似图形。 ⑤ 最后写清结论：所画图形即为所求，并注明位似比与位似中心。 迁移应用 【变式13-1】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【变式13-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在六边形中，是边的中点．以点为位似中心，画出与六边形的位似比为的一个位似六边形． 【变式13-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）将图中的分别作下列变换，作出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化： (1)沿轴正方向平移个单位长度； (2)关于轴对称； (3)以点为位似中心，放大到原来的倍； (4)沿轴向下平移个单位长度，再沿轴向左平移个单位长度． 题型十四 相似三角形的综合题 【例14】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形的边上一动点（不与，重合），连接，，的垂直平分线交，，，分别于，，，． (1)如图1，连接，当时． 四边形的形状是 ； 判断，的大小关系，并说明理由． (2)如图2，连接，点在运动过程中，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由． (3)若，，则 ． 💡破题要诀 ① 识别基本模型：A 字型（正 A）、8 字型（X 型）、母子型（共角共边）、K 字型（一线三等角）、旋转型（手拉手）、三垂直型。 ② 一线三等角模型（压轴高频）：一条直线上有三个相等的角，必能找到一对相似三角形，抓住这个模型就能破题。 ③ 常用辅助线：作平行线（造出 A 字型或 8 字型）；作垂线（造出直角相似）。 ④ 与圆结合时，常用「同弧所对的圆周角相等」来找等角，进而判定相似。 ⑤ 要证乘积式（如 ）时，先改写成比例式 ，再去寻找对应的相似三角形。 迁移应用 【变式14-1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【变式14-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是____________． (2)如图②，在（1）的条件下，若，，，求的长． 【变式14-3】（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D． (1)求证： (2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，则下列线段的比中，与相等的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下列各组数不能成比例的是（   ） A．3，，，6 B．，，， C．3，，，2 D．4，3，5， 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知直线，分别交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，若，，则（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 7．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 9．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知为中边上的中线，过重心G作，交于点E，，则的长为（　　） A．12 B．8 C．6 D．4 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期中）已知实数，满足， (1)求出的值； (2)若，求出，的值． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，与交于点E，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 14．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（     ） A．9.6 B．10 C．12 D．16.8 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形菱形，且相似比为2，则下列说法错误的是（    ） A．B，E，F，D四点共线 B．E为的重心 C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，分别是上的点，，，，的角平分线交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：．并求的值． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $