第21讲 带电粒子在匀强磁场中的运动（复习讲义）（天津专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

第21讲 带电粒子在匀强磁场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 匀强磁场中的圆周运动 知识点1 半径公式与周期公式 知识点2 圆心与半径的确定重 考点二 直线边界磁场中的运动 知识点1 单边界磁场中的入射与出射 知识点2 多边界磁场与对称性 考点三 有界磁场中的几何关系 知识点1 圆形边界磁场 知识点2 三角形与多边形边界 考点四 临界极值与周期性运动 知识点1 恰好射出与相切临界重 知识点2 周期性磁场与多解问题 考点五 磁场中的科技应用 知识点1 回旋加速器与速度选择器重 知识点2 质谱仪与磁聚焦 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 匀强磁场中的圆周运动 江苏T1、重庆T7 全国卷T5、黑吉辽蒙T15 —— 直线边界磁场中的运动 河南T6、云南T10 全国卷T5、重庆T14 —— 有界磁场中的几何关系 广东T10、云南T13 河北T10、福建T7 —— 临界极值与周期性运动 山东T18、陕晋青宁T15 河北T10、浙江T19 —— 磁场中的科技应用 北京T19、河北T15、甘肃T5 北京T18、浙江T19 —— 考情分析 题型与考向：本讲是磁场部分的核心，高考中选择题与计算题并重，是区分度最高的内容之一。选择题侧重带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹判断、圆心与半径的确定、半径与周期的比例关系（如比荷相同的粒子、速率不同的比较），以及圆形边界和三角形边界的几何关系。计算题则以有界磁场中的多过程运动、临界与极值为主线，常与电场加速、速度选择器、接收器串联成完整装置，并要求用几何关系求解圆心角、弦长与时间。题目难度中上，是拉开档次的关键板块。 考情分析 情境与立意：1.科技与装置情境：质谱仪、回旋加速器、速度选择器、洛伦兹力演示仪、电磁分离器、飞行时间质谱仪等，考查对原理的理解与建模能力。2.几何情境：圆形、三角形、正方形、正六边形等规则边界，以及周期性变化的磁场，考查作图与几何论证能力，是近年高考最稳定的命题切口。3.多解与临界情境：以恰好、可能、范围等措辞设问，考查思维的严密性——这是本讲最主要的失分点。 复习目标 1.理解带电粒子垂直射入匀强磁场时做匀速圆周运动的规律，熟记半径公式与周期公式，明确周期与速率无关这一关键结论。2.掌握确定圆心的三种常用方法（速度垂线、弦的中垂线、半径相等），会由几何关系求圆心角、弦长与弦切角，并会计算运动时间。3.会分析单边界、多边界、圆形与多边形有界磁场中的运动，能用对称性化繁为简，会用临界相切求速率或磁感应强度的取值范围。4.会处理周期性变化磁场中的多解问题，能按时间分段分析并拼接轨迹。5.理解速度选择器、回旋加速器、质谱仪的原理与适用条件，能在装置类综合题中正确分段求解。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 匀强磁场中的圆周运动 知识点1 半径公式与周期公式 知●识●解●构 1.运动性质：带电粒子以速度垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力始终与速度垂直且大小恒为，故粒子做匀速圆周运动——洛伦兹力提供向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 2.半径公式：由可得。可见轨道半径与速率成正比、与磁感应强度成反比；比荷越大，同一速率下的半径越小。 3.周期公式：由与半径公式消去得。周期与速率无关、与半径无关，只由比荷和磁感应强度决定，这是本讲最重要的结论，也是回旋加速器能工作的根本原因。 4.角速度与频率：角速度，频率。在同一磁场中，比荷相同的粒子周期相同、频率相同，这为同步加速提供了可能。 5.运动时间：粒子在磁场中运动的时间由圆心角决定：。速率大的粒子半径大、弧长也大，但转过相同圆心角所用的时间相同——这是比较运动时间快慢的唯一依据。 例题1、在匀强磁场中，一个带电粒子（不计重力）沿垂直于磁场方向射入，做匀速圆周运动。若粒子动能增大为原来的2倍，则其运动半径变为原来的（　　） A． B．倍 C．2倍 D．4倍 变式1、有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的倍，两个速率相同的电子分别在两磁场区域做匀速圆周运动，与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子（     ） A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的 B．加速度的大小是Ⅰ中的倍 C．做匀速圆周运动的周期是Ⅰ中的倍 D．做匀速圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等 变式2、质子和粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动。求质子的动能和粒子的动能之比（     ） A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 知识点2 圆心与半径的确定 重 知●识●解●构 1.两线交点法：圆心的确定依据是：圆心与轨迹上任意一点的连线垂直于该点的速度方向。因此，过轨迹上两点分别作速度的垂线，两垂线的交点即圆心。 2.三种常用情形：①已知入射点与出射点的速度方向时，作两条速度的垂线求交；②已知弦的两端时，作弦的中垂线，圆心必在其上；③已知一个速度方向与轨迹上另一点时，由半径相等列几何方程求解。 3.常用几何关系：弦长（为弦所对的圆心角）；弦切角等于所夹弧对应的圆心角的一半；粒子速度方向的偏转角等于轨迹圆弧所对的圆心角。这三条是几何运算的主干。 4.解题流程：第一步定圆心（作速度垂线或弦的中垂线）；第二步求半径（用几何关系或半径公式）；第三步算圆心角（确定运动时间）；第四步回到公式求、或。画图规范是完成上述步骤的前提。 5.易错点：①把弦长当作直径；②把速度偏转角与弦切角混用（前者等于圆心角，后者等于圆心角的一半）；③未先判断粒子带正电还是负电便确定弯曲方向，导致圆心取在另一侧而全题皆错。 例题2、1932 年，安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当正电子通过云室内的匀强磁场时，由运动到的径迹如图所示，根据正电子的偏转情况，则（　　） A．磁场方向垂直纸面向里，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变大 B．磁场方向垂直纸面向外，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期不变 C．磁场方向垂直纸面向里，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期不变 D．磁场方向垂直纸面向外，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变小 变式1、威尔逊云室是通过水蒸气的冷凝显示粒子运动径迹的探测器，施加与粒子运动平面垂直的匀强磁场时，由于带电粒子运动过程中受到阻力的作用，其运动径迹不再是圆。现让带负电的粒子沿纸面以某一速度进入云室中，下列关于粒子在云室的一段运动径迹可能正确的是（     ） A． B． C． D． 变式2、如图所示，是一块非常薄的铅板，一高速带电粒子在匀强磁场中运动并垂直穿过，穿过后粒子的能量减小，粒子所带的电荷量不变，虚线表示其运动轨迹，可知粒子（     ） A．带正电 B．从上向下穿过铅板 C．穿过铅板后，运动的周期不变 D．穿过铅板后，所受洛伦兹力大小不变 考点二 直线边界磁场中的运动 知识点1 单边界磁场中的入射与出射 知●识●解●构 1.对称性结论：粒子从一条直线边界射入并再次从同一边界射出时，入射速度与边界的夹角等于出射速度与边界的夹角；轨迹关于过圆心且垂直于边界的直线对称，这是处理单边界问题的首要依据。 2.垂直边界入射：若入射速度垂直于边界，则圆心恰在边界上，粒子在磁场中转过半个圆周后垂直返回边界另一侧，此时出射点与入射点的距离等于直径。 3.弦与偏转角：设粒子在边界上的入射点与出射点分别为、，圆心为，则为等腰三角形（）。由勾股定理与三角函数即可求得弦长、圆心角与运动时间。 4.基本流程：①由入射方向作垂线定圆心；②用求半径；③由几何关系求出射点位置、弦长与圆心角；④用求时间。 5.易错点：须先判断粒子究竟从原来那一边射出，还是穿过磁场区域从另一侧射出。当磁场区域宽度小于直径时，粒子将穿透磁场区域，此时应按多边界处理，不能套用单边界的对称结论。 例题3、如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（　　） A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远 变式1、如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以大小为v的速度射入磁场区域，从N点射出。已知，，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若入射速度大小为，粒子仍能从y轴上ON之间射出 变式2、如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做正功 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 知识点2 多边界磁场与对称性 知●识●解●构 1.分段处理：粒子穿越多个磁场区域时，应按区域分段分析：逐段定圆心、求半径、算圆心角。由于洛伦兹力不做功，粒子在每一段中的速率都相同，只是速度方向不断改变。 2.相邻反向磁场：若相邻两区域磁场方向相反而大小相同，则粒子在两区域中的半径相同、弯曲方向相反，轨迹呈S形；若各段圆心角也相同，则轨迹沿直线周期性重复，粒子可回到出发点。 3.对称性的应用：关于边界对称的两个磁场区域，粒子的轨迹关于边界对称。利用这一性质，可把多段复杂轨迹化为单段处理，是本考点最省时的技巧。 4.回到出发点的条件：粒子自某点射入、经若干段圆弧后又回到该点时，各段圆心角之和必为的整数倍（或轨迹的首尾闭合）。此类题目常问磁场宽度与半径的比值或运动的总时间。 5.画图规范：作图时先在每一区域标出磁场方向，再由左手定则逐段判断弯曲方向，并在速度改变处标出新方向。这是避免方向判断连锁出错的最有效手段。 例题4、如图所示，足够大的铝质薄平板MN竖直放置，其左侧和右侧分别存在垂直于纸面向外的匀强磁场、（图中未画出）。带电荷量分别为q（q>0）、-2q的粒子甲、粒子乙，以相同动量同时从MN右侧表面O点水平向右射出，两粒子第一次穿过MN后均垂直打在MN左侧表面Q点（图中未画出）。已知穿过铝板时，粒子甲的动能损失，粒子乙的动能损失，两粒子速度方向和电荷量均不变，不计重力。则等于（　　） A． B． C． D． 变式1、如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 变式2、如图所示，在 边界的右侧和 边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为。 足够长， 距离为 ，且 ，、、、 共面。在点有一粒子源，点到 、 的距离均为 。打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为，电荷量为 的带正电粒子，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（     ） A．从 边射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从 边射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达 边的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．能够打在 或 边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为 考点三 有界磁场中的几何关系 知识点1 圆形边界磁场 知●识●解●构 1.径向入射的结论：粒子沿磁场圆的半径方向射入圆形匀强磁场区域时，洛伦兹力垂直于速度，故轨迹圆的圆心必在过入射点的切线上；由此可证明粒子射出时，出射方向也沿半径方向（背离磁场圆心）。径向入、径向出是本知识点的核心结论。 2.一般入射：若粒子不沿半径方向射入，则须先定圆心，再由半径相等与弦的中垂线两个条件列式。由于磁场圆与轨迹圆均为圆，两圆的位置关系（相交、相切、相离）是分析出射点的关键。 3.半径关系：若粒子在磁场中的轨迹圆心角为，则速度的偏转角等于。在圆形区域问题中，常由余弦定理或弦长公式建立几何量与物理量的联系。 4.多粒子问题：若多个粒子从同一点、以相同速率沿不同方向射入，则它们的半径相同、轨迹圆等大，各圆心位于以入射点为圆心、以为半径的圆上，作图时可以平移轨迹圆。若速率不同而方向相同，则圆心共线。 5.常见高考模型：圆形磁场区域常与质谱仪、回旋加速器、磁聚焦结合命题。处理时先找圆心、再算半径、最后用几何关系求圆心角与弦长。 例题5、如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于圆面向里，一个带电粒子从磁场边界的A点以指向圆心O的方向进入磁场区域内，粒子将做圆周运动到达磁场边界的C点，但在粒子经过D点时，恰好与一个原来静止在该点的不带电的粒子碰撞后结合在一起形成新粒子，关于这个新粒子的运动情况，以下判断正确的是（     ） A．新粒子的运动半径将减小，可能到达F点 B．新粒子的运动半径将增大，可能到达E点 C．新粒子的运动半径将不变，仍然到达C点 D．新粒子在磁场中的运动时间将变短 变式1、如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，两个质量、电荷量绝对值相同的带电粒子a、b从A点沿着半径方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的速率相同 C．a、b两粒子的周期相同 D．a、b两粒子所受洛伦兹力大小相同 变式2、两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 知识点2 三角形与多边形边界 知●识●解●构 1.边界形状与思路：磁场区域为三角形、正方形、正六边形等规则多边形时，关键是枚举可能的出射边，并逐一讨论其几何条件。 2.判断出射边：若轨迹圆不越过某条边（即圆心到该边的距离大于半径），则粒子必从其他边射出；若大到使轨迹圆与该边相交，则粒子从该边射出。圆心到各边的距离是判断的核心量。 3.常用几何量：正三角形：边长、高、内角；正方形：对角线、中点与对称轴；正六边形：外接圆半径等于边长、内角。这些关系式应熟记。 4.相切即临界：轨迹圆与某边界相切时，粒子恰好不穿出该边界。此时圆心到边界的距离等于半径，由此可求最大速率或磁感应强度的范围。 5.解题步骤：①由入射方向定圆心；②由算半径；③由几何关系判断从哪一条边射出；④求出出射点与圆心角，进而求运动时间或射程。 例题6、如图所示，在直角三角形 abc 区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（不计粒子重力及粒子间的相互作用）（     ） A． B． C． D． 变式1、如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 变式2、如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为，当速度大小为时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为，不计粒子重力。则下列正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 考点四 临界极值与周期性运动 知识点1 恰好射出与相切临界 重 知●识●解●构 1.相切即临界：轨迹圆与磁场边界相切是最典型的临界条件：此时粒子恰好不射出（或恰好射出）磁场，几何上表现为圆心到边界的距离等于半径。 2.最大速率：一束粒子沿同一方向射入时，能射出磁场的粒子半径不能超过由几何关系确定的最大半径，从而。这是求速度范围的标准做法。 3.不从某边界射出：若要求粒子不从另一条边界射出，则轨迹圆必须与该边界相切或完全落在磁场内，由此列出半径的取值范围，再换算为速率或磁感应强度的范围。 4.极值的处理：把半径作为变量，写出由距离、夹角、勾股关系组成的约束条件，求出的最大值或最小值，最后用换算为物理量。先几何、后物理是通用顺序。 5.多方向粒子：从同一点以不同方向射出而速率相同的粒子，其轨迹圆的圆心分布在以该点为圆心、以为半径的辅助圆上。这一结论是分析粒子源类临界问题的核心工具，务必熟练作图。 例题7、如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，电子所受的重力及电子间的相互作用忽略不计，则（     ） A．该匀强磁场的方向垂直纸面向外 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 变式1、半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2，AOB为直径，∠AOP=60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的比荷之比为2∶3 C．a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1 D．a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3 变式2、如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　） A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动时间最长的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 知识点2 周期性磁场与多解问题 知●识●解●构 1.多解的来源：本考点多解常见于四种情形：①轨迹圆与边界相交时有两种入射或出射可能；②粒子带正电或负电（或磁场方向不同）导致弯曲方向相反；③磁场周期性变化使运动重复；④粒子可能在磁场中转过多个圆周。 2.周期性变化的磁场：当磁感应强度随时间周期性变化（如方向按等时间间隔交替）时，粒子在每段时间内做匀速圆周运动的一段，总轨迹由若干圆弧首尾相接而成。 3.典型轨迹：若磁场方向交替的时间恰为半个周期，则每一段都是半圆，轨迹为一串半圆（沿直线排开或呈波浪形）；若时间小于半个周期，则轨迹由若干小圆弧拼接，形状更复杂。 4.多解的书写要求：遇到多解题必须逐一讨论所有情形，特别注意题目中的恰好、可能、至少、范围等措辞，答案要求完整罗列，不能只写其中一种。 5.分析方法：先按周期性把总时间划分为若干相等时段，对每一时段独立分析（该段内的圆弧与圆心角），再利用速度方向的连续性把各段拼接起来，必要时画出全程轨迹图。 例题8、垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 变式1、如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成 的速度从 P 点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是 （     ） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在 Q 点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1：2 变式2、如图所示，在平面内存在着磁感应强度大小均为的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为、电荷量为的电子从点沿方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（     ） A．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动时间一定为 B．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动路程可能为 C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程可能为或 D．若电子从点出发经原点到达点，运动时间可能为 考点五 磁场中的科技应用 知识点1 回旋加速器与速度选择器 重 知●识●解●构 1.速度选择器：速度选择器由正交的匀强电场与匀强磁场组成。只有满足即的粒子才能沿直线通过，与粒子的电荷量、质量、电性均无关——这是速度选择器的本质特点。 2.回旋加速器的结构：回旋加速器由两个D形盒与交变电源组成。粒子在两盒之间的缝隙中受电场力加速，进入盒内后无电场，仅在磁场中做匀速圆周运动。 3.同步条件：交变电源的周期必须等于粒子的回旋周期，即频率。由于周期与速率无关，粒子每转过半圈返回缝隙时恰好遇到反向电压而被再次加速，这就是同步的含义。 4.最大动能：粒子最终从D形盒边缘射出，轨道半径等于D形盒半径，故。最大动能只由、、、决定，与加速电压无关；电压只影响加速次数与总时间。 5.局限性：直线加速器需要越来越长的加速管；回旋加速器用磁场把粒子圈回缝隙反复加速，装置紧凑。但当粒子速率接近光速时，相对论效应使质量增大、回旋周期变长，与交变电源不再同步，因此回旋加速器不能无限加速。 例题9、电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。带电粒子（不计重力）在以下四种器件中运动，下列说法正确的是（     ） A．甲图中磁感应强度越小，电子的运动轨道半径越小 B．乙图中不改变质谱仪各区域的电场、磁场，大量质量、电量不同的正粒子经质谱仪后，击中光屏同一位置的粒子一定是相同的粒子 C．丙图的回旋加速器中所接交流电压越大，粒子所获得的最大动能越大 D．丁图中磁流体发电机正常工作时电流方向为，电阻两端的电势差小于发电机的电动势 变式1、如图所示，真空中存在共面的区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ为速度选择器，有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场；区域Ⅱ为等腰直角三角形CGF，有垂直纸面向外的匀强磁场，ACO三点共线，AO⊥GF。A处的粒子源能持续将速率不同的同种粒子射入区域Ⅰ中，沿直线AC运动后从CF中点射出的粒子在区域Ⅱ中运动时间为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．从C点出来的粒子速度大小为v = B．粒子的比荷为 C．若仅将匀强电场强度E调大，粒子可能从GF边界出来 D．若仅将磁感应强度调大，粒子在区域Ⅱ中运动的时间仍为 变式2、在图中，若上下板足够长，间距为。一质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从下极板上的点以速度沿与极板成角、垂直磁场的方向射入磁场区域。若要使粒子不打在上极板，则磁场的磁感应强度应满足（　　） A． B． C． D． 知识点2 质谱仪与磁聚焦 知●识●解●构 1.质谱仪原理：粒子先经加速电场加速，由得；再垂直进入匀强磁场做圆周运动，由得。比荷不同的粒子落点不同，据此可分离同位素并测量质量。 2.分辨率：相同电荷量、不同质量的粒子落点相距，与质量比的平方根有关。要提高分辨率，应增大磁感应强度或减小加速电压（使半径增大、落点间距拉开）。 3.磁聚焦：若粒子从同一点以与磁场成很小夹角的方向发散射出，则速度可分解为垂直于磁场的分量（产生圆周运动）与平行于磁场的分量（产生匀速直线运动）。两种运动叠加的结果是粒子周期性地会聚到同一点，这一现象称为磁聚焦。 4.磁聚焦的应用：磁聚焦是电子显微镜、示波管等器件的核心原理：用纵向磁场把发散的电子束「束回」一点，从而获得清晰的图像。其周期恰为，与发散角无关是聚焦的关键。 5.综合题的解法：本知识点的综合题常把加速电场、速度选择器、偏转磁场、接收器串联考查。解法是分段处理：电场中分析加速或类平抛，磁场中分析圆周运动，衔接处速率不变、方向突变。 例题10、某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 变式1、如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图。螺线管内存在磁感应强度为B，方向平行于管轴的匀强磁场，电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小，电子电荷量为e、质量为m，电子间的相互作用和电子的重力不计。 这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点。下列说法错误的是（　　）。 A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子不一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为2v，这些电子不一定能汇聚在P点 变式2、质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具，最初是由汤姆孙的学生阿斯顿设计的。他设计了多种质谱仪测量同位素的比荷，图示为其设计的一种质谱仪。现有大量甲、乙两种电荷量均为、质量分别为和的离子从的狭缝处以接近于零的速度进入电压为的加速电场中被加速，加速后由点垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场，最后打在照相底片上，形成、两条质谱线，不计离子重力及离子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．经过加速电场后甲离子的动能较大 B．到点时乙离子的速率较大 C．底片上谱线为乙离子的质谱线 D．甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·云南·高考真题）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 2．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。 考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。 (1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。 (2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求： a．粒子1与粒子2的速度大小之比； b．粒子2的动量大小。 3．（2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。 (1)写出氘核撞击铝核的核反应方程； (2)求A、D的间距L； (3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率； (4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。 4．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 5．（2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 带电粒子在匀强磁场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 匀强磁场中的圆周运动 知识点1 半径公式与周期公式 知识点2 圆心与半径的确定重 考点二 直线边界磁场中的运动 知识点1 单边界磁场中的入射与出射 知识点2 多边界磁场与对称性 考点三 有界磁场中的几何关系 知识点1 圆形边界磁场 知识点2 三角形与多边形边界 考点四 临界极值与周期性运动 知识点1 恰好射出与相切临界重 知识点2 周期性磁场与多解问题 考点五 磁场中的科技应用 知识点1 回旋加速器与速度选择器重 知识点2 质谱仪与磁聚焦 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 匀强磁场中的圆周运动 江苏T1、重庆T7 全国卷T5、黑吉辽蒙T15 —— 直线边界磁场中的运动 河南T6、云南T10 全国卷T5、重庆T14 —— 有界磁场中的几何关系 广东T10、云南T13 河北T10、福建T7 —— 临界极值与周期性运动 山东T18、陕晋青宁T15 河北T10、浙江T19 —— 磁场中的科技应用 北京T19、河北T15、甘肃T5 北京T18、浙江T19 —— 考情分析 题型与考向：本讲是磁场部分的核心，高考中选择题与计算题并重，是区分度最高的内容之一。选择题侧重带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨迹判断、圆心与半径的确定、半径与周期的比例关系（如比荷相同的粒子、速率不同的比较），以及圆形边界和三角形边界的几何关系。计算题则以有界磁场中的多过程运动、临界与极值为主线，常与电场加速、速度选择器、接收器串联成完整装置，并要求用几何关系求解圆心角、弦长与时间。题目难度中上，是拉开档次的关键板块。 考情分析 情境与立意：1.科技与装置情境：质谱仪、回旋加速器、速度选择器、洛伦兹力演示仪、电磁分离器、飞行时间质谱仪等，考查对原理的理解与建模能力。2.几何情境：圆形、三角形、正方形、正六边形等规则边界，以及周期性变化的磁场，考查作图与几何论证能力，是近年高考最稳定的命题切口。3.多解与临界情境：以恰好、可能、范围等措辞设问，考查思维的严密性——这是本讲最主要的失分点。 复习目标 1.理解带电粒子垂直射入匀强磁场时做匀速圆周运动的规律，熟记半径公式与周期公式，明确周期与速率无关这一关键结论。2.掌握确定圆心的三种常用方法（速度垂线、弦的中垂线、半径相等），会由几何关系求圆心角、弦长与弦切角，并会计算运动时间。3.会分析单边界、多边界、圆形与多边形有界磁场中的运动，能用对称性化繁为简，会用临界相切求速率或磁感应强度的取值范围。4.会处理周期性变化磁场中的多解问题，能按时间分段分析并拼接轨迹。5.理解速度选择器、回旋加速器、质谱仪的原理与适用条件，能在装置类综合题中正确分段求解。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 匀强磁场中的圆周运动 知识点1 半径公式与周期公式 知●识●解●构 1.运动性质：带电粒子以速度垂直射入匀强磁场时，洛伦兹力始终与速度垂直且大小恒为，故粒子做匀速圆周运动——洛伦兹力提供向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 2.半径公式：由可得。可见轨道半径与速率成正比、与磁感应强度成反比；比荷越大，同一速率下的半径越小。 3.周期公式：由与半径公式消去得。周期与速率无关、与半径无关，只由比荷和磁感应强度决定，这是本讲最重要的结论，也是回旋加速器能工作的根本原因。 4.角速度与频率：角速度，频率。在同一磁场中，比荷相同的粒子周期相同、频率相同，这为同步加速提供了可能。 5.运动时间：粒子在磁场中运动的时间由圆心角决定：。速率大的粒子半径大、弧长也大，但转过相同圆心角所用的时间相同——这是比较运动时间快慢的唯一依据。 例题1、在匀强磁场中，一个带电粒子（不计重力）沿垂直于磁场方向射入，做匀速圆周运动。若粒子动能增大为原来的2倍，则其运动半径变为原来的（　　） A． B．倍 C．2倍 D．4倍 【答案】B 【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，有 整理得圆周运动半径公式 动能表达式为 变形可得动量 联立可得 由题意，粒子质量、电荷量、磁感应强度均不变，动能变为原来的2倍，因为，所以新半径 故选B。 变式1、有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的倍，两个速率相同的电子分别在两磁场区域做匀速圆周运动，与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子（     ） A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的 B．加速度的大小是Ⅰ中的倍 C．做匀速圆周运动的周期是Ⅰ中的倍 D．做匀速圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等 【答案】C 【详解】设电子的质量为，速率为，电荷量为，则由牛顿第二定律得， 解得， 所以， 根据， 可知，，故选C。 变式2、质子和粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动。求质子的动能和粒子的动能之比（     ） A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 【答案】A 【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 整理得 粒子动能为 质子的电荷量为，质量为，粒子的电荷量为，质量为。在磁感应强度和运动半径均相同的条件下，质子与粒子的动能之比为 即动能之比为 故选A。 知识点2 圆心与半径的确定 重 知●识●解●构 1.两线交点法：圆心的确定依据是：圆心与轨迹上任意一点的连线垂直于该点的速度方向。因此，过轨迹上两点分别作速度的垂线，两垂线的交点即圆心。 2.三种常用情形：①已知入射点与出射点的速度方向时，作两条速度的垂线求交；②已知弦的两端时，作弦的中垂线，圆心必在其上；③已知一个速度方向与轨迹上另一点时，由半径相等列几何方程求解。 3.常用几何关系：弦长（为弦所对的圆心角）；弦切角等于所夹弧对应的圆心角的一半；粒子速度方向的偏转角等于轨迹圆弧所对的圆心角。这三条是几何运算的主干。 4.解题流程：第一步定圆心（作速度垂线或弦的中垂线）；第二步求半径（用几何关系或半径公式）；第三步算圆心角（确定运动时间）；第四步回到公式求、或。画图规范是完成上述步骤的前提。 5.易错点：①把弦长当作直径；②把速度偏转角与弦切角混用（前者等于圆心角，后者等于圆心角的一半）；③未先判断粒子带正电还是负电便确定弯曲方向，导致圆心取在另一侧而全题皆错。 例题2、1932 年，安德森在宇宙线实验中发现了正电子。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当正电子通过云室内的匀强磁场时，由运动到的径迹如图所示，根据正电子的偏转情况，则（　　） A．磁场方向垂直纸面向里，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变大 B．磁场方向垂直纸面向外，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期不变 C．磁场方向垂直纸面向里，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期不变 D．磁场方向垂直纸面向外，正电子穿过铅板后做圆周运动的周期变小 【答案】C 【详解】根据， 可得， 正电子穿过铅板后速度减小，则轨迹半径减小，所以正电子由运动到，周期不变；根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里。 故选C。 变式1、威尔逊云室是通过水蒸气的冷凝显示粒子运动径迹的探测器，施加与粒子运动平面垂直的匀强磁场时，由于带电粒子运动过程中受到阻力的作用，其运动径迹不再是圆。现让带负电的粒子沿纸面以某一速度进入云室中，下列关于粒子在云室的一段运动径迹可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由于粒子带负电，图中已经表示磁场方向为垂直纸面向内。由左手定则可知其受力方向。曲线运动的物体受力方向指向曲线凹侧，AB两选项的图像中受力方向错误，故A、B错误； CD．粒子在运动中受到阻力作用，其速度将逐渐减小，据可知，粒子的轨迹对应的半径将逐渐减小，所以C错误，D正确。 故选D。 变式2、如图所示，是一块非常薄的铅板，一高速带电粒子在匀强磁场中运动并垂直穿过，穿过后粒子的能量减小，粒子所带的电荷量不变，虚线表示其运动轨迹，可知粒子（     ） A．带正电 B．从上向下穿过铅板 C．穿过铅板后，运动的周期不变 D．穿过铅板后，所受洛伦兹力大小不变 【答案】C 【详解】A．粒子穿过铅板后能量减小，故速率减小。由 可知，穿过铅板后的轨道半径较小，结合图中轨迹可知粒子沿方向运动。在点，粒子速度方向向上，洛伦兹力方向向左，磁场方向垂直纸面向外，由左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．由穿过铅板后轨道半径减小可知，粒子在点从下向上穿过铅板，故B错误； C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 与速率无关，因此穿过铅板后周期不变，故C正确； D．粒子垂直于磁场运动时所受洛伦兹力大小 穿过铅板后速率减小，故洛伦兹力大小减小，故D错误。 故选C。 考点二 直线边界磁场中的运动 知识点1 单边界磁场中的入射与出射 知●识●解●构 1.对称性结论：粒子从一条直线边界射入并再次从同一边界射出时，入射速度与边界的夹角等于出射速度与边界的夹角；轨迹关于过圆心且垂直于边界的直线对称，这是处理单边界问题的首要依据。 2.垂直边界入射：若入射速度垂直于边界，则圆心恰在边界上，粒子在磁场中转过半个圆周后垂直返回边界另一侧，此时出射点与入射点的距离等于直径。 3.弦与偏转角：设粒子在边界上的入射点与出射点分别为、，圆心为，则为等腰三角形（）。由勾股定理与三角函数即可求得弦长、圆心角与运动时间。 4.基本流程：①由入射方向作垂线定圆心；②用求半径；③由几何关系求出射点位置、弦长与圆心角；④用求时间。 5.易错点：须先判断粒子究竟从原来那一边射出，还是穿过磁场区域从另一侧射出。当磁场区域宽度小于直径时，粒子将穿透磁场区域，此时应按多边界处理，不能套用单边界的对称结论。 例题3、如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0＜θ＜π）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）。则下列说法正确的是（　　） A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远 【答案】C 【详解】ABC．粒子运动周期，当θ一定时，粒子在磁场中运动时间，，由于t、ω均与v无关，故AB错误，C正确； D．当v一定时，由知，r一定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误。 故选C。 变式1、如图所示，xOy区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从M点以大小为v的速度射入磁场区域，从N点射出。已知，，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电 B．粒子做圆周运动的半径大小为3a C．若仅减小磁感应强度，则粒子将从N点下方射出 D．若入射速度大小为，粒子仍能从y轴上ON之间射出 【答案】D 【详解】A．粒子向左偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，故A错误； B．带电粒子从N点射出，轨迹如图所示： 洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由几何关系可得 解得，故B错误； C．粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若减小磁感应强度，则轨道半径增大，可知，粒子可能从N点上方射出，故C错误； D．带电粒子从N点射出，则 若带电粒子恰好从O点射出时，粒子做了半个圆周运动，则半径为， 则 则，即粒子仍能从y轴上ON之间射出，速度范围为，故D正确。 故选D。 变式2、如图所示，一质量为m的带电粒子从P点以垂直于磁场边界方向的速度v射入磁场，穿出磁场时，速度方向与入射方向夹角为。设磁感应强度为B、磁场宽度为d。粒子速度始终与磁场垂直，不计粒子所受重力和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子做正功 B．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力对该粒子的冲量为0 C．该粒子在磁场中运动的时间为 D．该粒子的比荷为 【答案】D 【详解】A．在粒子穿越磁场的过程中，洛伦兹力与粒子的速度方向始终垂直，则洛伦兹力对该粒子做的功为0，故A错误； B.在粒子穿越磁场的过程中，速度大小不变但方向改变，则动量改变，根据动量定理可知，则合外力冲量不为零，粒子仅受洛伦兹力作用，则洛伦兹力对该粒子的冲量不为0，故B错误； C．粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，穿越磁场的过程中，水平方向速度大小由v一直减小，则该粒子在磁场中运动的时间大于，故C错误； D．粒子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动 根据几何关系 联立解得 故D正确。 故选D。 知识点2 多边界磁场与对称性 知●识●解●构 1.分段处理：粒子穿越多个磁场区域时，应按区域分段分析：逐段定圆心、求半径、算圆心角。由于洛伦兹力不做功，粒子在每一段中的速率都相同，只是速度方向不断改变。 2.相邻反向磁场：若相邻两区域磁场方向相反而大小相同，则粒子在两区域中的半径相同、弯曲方向相反，轨迹呈S形；若各段圆心角也相同，则轨迹沿直线周期性重复，粒子可回到出发点。 3.对称性的应用：关于边界对称的两个磁场区域，粒子的轨迹关于边界对称。利用这一性质，可把多段复杂轨迹化为单段处理，是本考点最省时的技巧。 4.回到出发点的条件：粒子自某点射入、经若干段圆弧后又回到该点时，各段圆心角之和必为的整数倍（或轨迹的首尾闭合）。此类题目常问磁场宽度与半径的比值或运动的总时间。 5.画图规范：作图时先在每一区域标出磁场方向，再由左手定则逐段判断弯曲方向，并在速度改变处标出新方向。这是避免方向判断连锁出错的最有效手段。 例题4、如图所示，足够大的铝质薄平板MN竖直放置，其左侧和右侧分别存在垂直于纸面向外的匀强磁场、（图中未画出）。带电荷量分别为q（q>0）、-2q的粒子甲、粒子乙，以相同动量同时从MN右侧表面O点水平向右射出，两粒子第一次穿过MN后均垂直打在MN左侧表面Q点（图中未画出）。已知穿过铝板时，粒子甲的动能损失，粒子乙的动能损失，两粒子速度方向和电荷量均不变，不计重力。则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设两粒子的初动量为，根据洛伦兹力提供向心力 所以， 根据动量和动能的关系可得 穿过铝板时，粒子甲的动能损失，粒子乙的动能损失，则穿过铝板后，有， 所以粒子的运动半径分别为， 根据几何关系可得 联立解得 故选C。 变式1、如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子的速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为 D．若只改变粒子速度方向，使角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为 【答案】D 【详解】A．根据左手定则，由粒子带负电以及磁场方向可知粒子所受洛伦兹力的方向与速度的方向垂直指向右下方。 当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，所以粒子运动的半径 由粒子在磁场中运动洛伦兹力作向心力可得，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间，故B错误； D．当θ=0°时，如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线上方处； 当θ增大时，粒子打在PQ上的位置下移，直到粒子的运动轨迹与PQ相切时。 如图所示，可知粒子打在PQ上的位置为O点水平线下方处； 当θ继续增大直到180°，粒子的运动轨迹与PQ不相交，直接从MN上射出，且在MN上的出射点不断上移直到O点。 所以若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为，故D正确； C．若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子运动半径不变，那么粒子运动周期不变。 所以粒子在磁场中运动的轨迹所对应的弦长越长，则粒子在磁场中运动的时间越长。 由D的分析可知，当粒子的出射点在PQ上时，粒子的弦长可取[a，2a]的任意值； 当粒子的出射点在MN上时，粒子的弦长可取[0，]的任意值； 所以粒子运动轨迹的弦长最大可取，此时对应的中心角φ=120°。 所以粒子在磁场中运动的最长时间，故C错误。 故选 D。 变式2、如图所示，在 边界的右侧和 边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为。 足够长， 距离为 ，且 ，、、、 共面。在点有一粒子源，点到 、 的距离均为 。打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为，电荷量为 的带正电粒子，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（     ） A．从 边射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从 边射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达 边的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．能够打在 或 边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为 【答案】D 【详解】A．粒子做匀速圆周运动 解得 如图所示 当速度方向与夹角为，粒子恰好经过点，当速度方向与夹角满足，粒子到达边，所以从边出磁场的粒子数为总数的，故A错误； B．如图所示 粒子从边出磁场的粒子数需要满足，则占粒子总数为，故B错误； C．如图所示 当射入点与边上的射出点的连线与边垂直时，此粒子在磁场中运动时间最短，运动时间，故C错误； D．如图所示 当粒子转过圆心角为时（即图中的优弧）路径最长，转过圆心角为时（即图中的劣弧）路径最短，故最长路径与最短路径之比为，故D正确。 故选D。 考点三 有界磁场中的几何关系 知识点1 圆形边界磁场 知●识●解●构 1.径向入射的结论：粒子沿磁场圆的半径方向射入圆形匀强磁场区域时，洛伦兹力垂直于速度，故轨迹圆的圆心必在过入射点的切线上；由此可证明粒子射出时，出射方向也沿半径方向（背离磁场圆心）。径向入、径向出是本知识点的核心结论。 2.一般入射：若粒子不沿半径方向射入，则须先定圆心，再由半径相等与弦的中垂线两个条件列式。由于磁场圆与轨迹圆均为圆，两圆的位置关系（相交、相切、相离）是分析出射点的关键。 3.半径关系：若粒子在磁场中的轨迹圆心角为，则速度的偏转角等于。在圆形区域问题中，常由余弦定理或弦长公式建立几何量与物理量的联系。 4.多粒子问题：若多个粒子从同一点、以相同速率沿不同方向射入，则它们的半径相同、轨迹圆等大，各圆心位于以入射点为圆心、以为半径的圆上，作图时可以平移轨迹圆。若速率不同而方向相同，则圆心共线。 5.常见高考模型：圆形磁场区域常与质谱仪、回旋加速器、磁聚焦结合命题。处理时先找圆心、再算半径、最后用几何关系求圆心角与弦长。 例题5、如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于圆面向里，一个带电粒子从磁场边界的A点以指向圆心O的方向进入磁场区域内，粒子将做圆周运动到达磁场边界的C点，但在粒子经过D点时，恰好与一个原来静止在该点的不带电的粒子碰撞后结合在一起形成新粒子，关于这个新粒子的运动情况，以下判断正确的是（     ） A．新粒子的运动半径将减小，可能到达F点 B．新粒子的运动半径将增大，可能到达E点 C．新粒子的运动半径将不变，仍然到达C点 D．新粒子在磁场中的运动时间将变短 【答案】C 【详解】ABC．根据动量守恒定律可知，两粒子碰撞后动量不变，但质量变大，共同速度变小，带电量不变。粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 可得 其中动量p不变，B不变，q不变，所以粒子的运动半径r不变，仍然到达C点。故AB错误，C正确； D．根据周期公式可知，碰撞后m变大，B、q不变，所以T变大，而粒子运动的轨迹不变，所以运动时间变长，故D错误。 故选C。 变式1、如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，两个质量、电荷量绝对值相同的带电粒子a、b从A点沿着半径方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的速率相同 C．a、b两粒子的周期相同 D．a、b两粒子所受洛伦兹力大小相同 【答案】C 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误； BC．根据题意，由牛顿第二定律有， 解得， 两个带电粒子质量相等，电荷量绝对值相同，由图可知，粒子轨迹半径较大，则粒子速率较大，两粒子的周期相同，故B错误，C正确； D．粒子所受洛伦兹力 由于粒子速率较大，则粒子所受洛伦兹力较大，故D错误。 故选C。 变式2、两个比荷相等的带电粒子、，以不同的速率、对准圆心沿着方向射入圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为、，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是（     ） A．粒子带正电，粒子带负电 B．粒子射入磁场中的速率 C．粒子在磁场中的运动时间 D．若将磁感应强度变为原来的倍，粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 【答案】C 【详解】A．由图可知磁场方向垂直纸面向里，粒子向右射入。根据左手定则，向上偏转的b粒子洛伦兹力向上，带正电；向下偏转的a粒子洛伦兹力向下，带负电，故A错误； B．作出a、b粒子运动的轨迹半径，如下图所示 设圆形磁场区域半径为，粒子偏转角为，由几何关系得粒子轨迹半径 偏转角 ，得 偏转角 ，得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 得， 两粒子比荷相等，因此 ，则 ，故B错误； C．粒子运动周期 两粒子比荷相等，相同，因此相同。运动时间 时间与偏转角成正比，则 ，故C正确； D．入射速率不变， ，新轨迹半径 由，解得新偏转角 由 ，可得时间比，故D错误。 故选C。 知识点2 三角形与多边形边界 知●识●解●构 1.边界形状与思路：磁场区域为三角形、正方形、正六边形等规则多边形时，关键是枚举可能的出射边，并逐一讨论其几何条件。 2.判断出射边：若轨迹圆不越过某条边（即圆心到该边的距离大于半径），则粒子必从其他边射出；若大到使轨迹圆与该边相交，则粒子从该边射出。圆心到各边的距离是判断的核心量。 3.常用几何量：正三角形：边长、高、内角；正方形：对角线、中点与对称轴；正六边形：外接圆半径等于边长、内角。这些关系式应熟记。 4.相切即临界：轨迹圆与某边界相切时，粒子恰好不穿出该边界。此时圆心到边界的距离等于半径，由此可求最大速率或磁感应强度的范围。 5.解题步骤：①由入射方向定圆心；②由算半径；③由几何关系判断从哪一条边射出；④求出出射点与圆心角，进而求运动时间或射程。 例题6、如图所示，在直角三角形 abc 区域（含边界）内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，∠a＝60°，∠b＝90°，边长ab＝L，一个粒子源在b点将质量为 m、电荷量为q的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（不计粒子重力及粒子间的相互作用）（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由左手定则和题意知，沿ba方向射入的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径r＝abtan 30°＝L 由洛伦兹力提供向心力得qB＝m 求得最大速度＝ 故选D。 变式1、如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入磁场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】B 【详解】AB．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 因bc边只有一半区域有粒子射出，由几何关系可知沿ac边进入磁场的粒子运动轨迹恰好与bc边相切，如图中实线所示 由几何关系可得 则粒子的入射速度，故A错误，B正确； C．粒子在磁场中运动的最长轨迹为，故C错误； D．与bc边相切，恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，故D错误。 故选B。 变式2、如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为，当速度大小为时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为，不计粒子重力。则下列正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 可得 即速度与轨道半径成正比 粒子运动周期 则周期与速度无关，运动时间 运动时间与轨迹圆心角成正比，即 设正六边形边长为，结合几何关系得从点离开时，运动轨迹如下图所示 由几何关系可得，轨迹半径，轨迹圆心角 从点离开时，运动轨迹如图所示 由几何关系可得，轨迹半径，轨迹圆心角 因此，速度比， 时间比 故选D 。 考点四 临界极值与周期性运动 知识点1 恰好射出与相切临界 重 知●识●解●构 1.相切即临界：轨迹圆与磁场边界相切是最典型的临界条件：此时粒子恰好不射出（或恰好射出）磁场，几何上表现为圆心到边界的距离等于半径。 2.最大速率：一束粒子沿同一方向射入时，能射出磁场的粒子半径不能超过由几何关系确定的最大半径，从而。这是求速度范围的标准做法。 3.不从某边界射出：若要求粒子不从另一条边界射出，则轨迹圆必须与该边界相切或完全落在磁场内，由此列出半径的取值范围，再换算为速率或磁感应强度的范围。 4.极值的处理：把半径作为变量，写出由距离、夹角、勾股关系组成的约束条件，求出的最大值或最小值，最后用换算为物理量。先几何、后物理是通用顺序。 5.多方向粒子：从同一点以不同方向射出而速率相同的粒子，其轨迹圆的圆心分布在以该点为圆心、以为半径的辅助圆上。这一结论是分析粒子源类临界问题的核心工具，务必熟练作图。 例题7、如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界。已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，电子所受的重力及电子间的相互作用忽略不计，则（     ） A．该匀强磁场的方向垂直纸面向外 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 【答案】D 【详解】A. 由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A错误； B. 由洛伦兹力提供向心力可得，整理得，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B错误； CD. 由周期公式可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，轨迹圆心角为2θ，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，电子在磁场中的运动时间，故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确。 故选D 。 变式1、半径为R的半圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场。不计重力的a、b两粒子从圆周上的P点沿着半径方向射入磁场，分别从A、B两点离开磁场，运动轨迹如图所示。已知a、b两粒子进入磁场时的速率之比为1∶2，AOB为直径，∠AOP=60°。忽略粒子间相互作用。下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的比荷之比为2∶3 C．a、b两粒子在磁场中运动时间之比为2∶1 D．a、b两粒子的轨道半径之比为1∶3 【答案】D 【详解】A. 根据粒子的运动轨迹，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，A错误； BCD. 由几何关系可知，a、b两粒子的半径之比为 由可知，a、b两粒子的比荷之比为 粒子在磁场中运动时间，θ为轨迹所对应的圆心角，解得a、b两粒子在磁场中运动时间之比为 BC错误，D正确。 故选D。 变式2、如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　） A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动时间最长的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 【答案】D 【详解】AB.  根据牛顿第二定律，解得，AB错误； C. 粒子轨迹如图所示，由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与AC边相切，不会从OB之间离开磁场，C错误； D. 粒子在磁场中做圆周运动的周期为，若粒子能过A点，设轨迹对应的圆心角为θ， 则有，即 此时在磁场中运动时间为，但是由粒子轨迹图可知，粒子不能过A点，当轨迹与AC相切时，圆心角小于，故粒子在磁场中运动的最长时间小于，D正确。 故选D。 知识点2 周期性磁场与多解问题 知●识●解●构 1.多解的来源：本考点多解常见于四种情形：①轨迹圆与边界相交时有两种入射或出射可能；②粒子带正电或负电（或磁场方向不同）导致弯曲方向相反；③磁场周期性变化使运动重复；④粒子可能在磁场中转过多个圆周。 2.周期性变化的磁场：当磁感应强度随时间周期性变化（如方向按等时间间隔交替）时，粒子在每段时间内做匀速圆周运动的一段，总轨迹由若干圆弧首尾相接而成。 3.典型轨迹：若磁场方向交替的时间恰为半个周期，则每一段都是半圆，轨迹为一串半圆（沿直线排开或呈波浪形）；若时间小于半个周期，则轨迹由若干小圆弧拼接，形状更复杂。 4.多解的书写要求：遇到多解题必须逐一讨论所有情形，特别注意题目中的恰好、可能、至少、范围等措辞，答案要求完整罗列，不能只写其中一种。 5.分析方法：先按周期性把总时间划分为若干相等时段，对每一时段独立分析（该段内的圆弧与圆心角），再利用速度方向的连续性把各段拼接起来，必要时画出全程轨迹图。 例题8、垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 变式1、如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P（-L，0）、Q（0，-L）为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成 的速度从 P 点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是 （     ） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在 Q 点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1：2 【答案】B 【详解】带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期。粒子从以与轴正向成射入，经过原点到达，存在两种典型轨迹。 A．最短时间对应图1轨迹，总圆心角，，故A错误； B．图2轨迹轨道半径，总路程，该运动情景可以实现，故B正确； C．两种轨迹到达点时速度方向均与轴成，不可能与轴垂直，故C错误； D．图1时间之比；图2时间之比，故D错误。 故选B。 变式2、如图所示，在平面内存在着磁感应强度大小均为的匀强磁场，第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向里，第三象限内的磁场方向垂直纸面向外，，为坐标轴上的两点。现有一质量为、电荷量为的电子从点沿方向射出，不计电子的重力，则下列说法中正确的是（     ） A．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动时间一定为 B．若电子从点出发恰好第一次经原点点，运动路程可能为 C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程可能为或 D．若电子从点出发经原点到达点，运动时间可能为 【答案】C 【详解】A．电子从点出发恰好第一次经原点点，有两类情况，一类是第奇数次回到轴经过原点，另一类是第偶数次回到轴经过原点。其中第一次和第二次回到轴的轨迹如图，运动时间 又 解得 当时，运动时间为；当时，运动时间为，故A错误； B．由轨迹图结合几何关系可知，轨迹圆的半径为。 可得运动路程为，故B错误； D．若电子从点出发第一次经原点到达点，轨迹也为两类，如图。由轨迹图结合几何关系，可得运动时间为或 解得或，故D错误； C．若电子从点出发恰好第一次经原点到达点，运动路程为或 解得或，故C正确。 故选C。 考点五 磁场中的科技应用 知识点1 回旋加速器与速度选择器 重 知●识●解●构 1.速度选择器：速度选择器由正交的匀强电场与匀强磁场组成。只有满足即的粒子才能沿直线通过，与粒子的电荷量、质量、电性均无关——这是速度选择器的本质特点。 2.回旋加速器的结构：回旋加速器由两个D形盒与交变电源组成。粒子在两盒之间的缝隙中受电场力加速，进入盒内后无电场，仅在磁场中做匀速圆周运动。 3.同步条件：交变电源的周期必须等于粒子的回旋周期，即频率。由于周期与速率无关，粒子每转过半圈返回缝隙时恰好遇到反向电压而被再次加速，这就是同步的含义。 4.最大动能：粒子最终从D形盒边缘射出，轨道半径等于D形盒半径，故。最大动能只由、、、决定，与加速电压无关；电压只影响加速次数与总时间。 5.局限性：直线加速器需要越来越长的加速管；回旋加速器用磁场把粒子圈回缝隙反复加速，装置紧凑。但当粒子速率接近光速时，相对论效应使质量增大、回旋周期变长，与交变电源不再同步，因此回旋加速器不能无限加速。 例题9、电磁场与现代高科技密切关联，并有重要应用。带电粒子（不计重力）在以下四种器件中运动，下列说法正确的是（     ） A．甲图中磁感应强度越小，电子的运动轨道半径越小 B．乙图中不改变质谱仪各区域的电场、磁场，大量质量、电量不同的正粒子经质谱仪后，击中光屏同一位置的粒子一定是相同的粒子 C．丙图的回旋加速器中所接交流电压越大，粒子所获得的最大动能越大 D．丁图中磁流体发电机正常工作时电流方向为，电阻两端的电势差小于发电机的电动势 【答案】D 【详解】A．甲图为洛伦兹力演示仪，其中电子枪射出的电子在励磁线圈产生的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。取该电子为研究对象，设电子质量、电荷量大小、速度大小，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 解得 电子质量、电荷量和速度大小均不变时，轨道半径与磁感应强度成反比，即磁感应强度越小则轨道半径越大，故A错误； B．乙图为质谱仪。设正粒子质量、电荷量，速度选择器内电场强度为、磁感应强度为，偏转磁场的磁感应强度为。沿直线通过速度选择器的粒子所受电场力与洛伦兹力平衡，由平衡条件得 解得 粒子进入磁感应强度为的磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 联立可得 电场与磁场的大小均不改变时，击中光屏同一位置的粒子比荷相同，而质量与电荷量可以同时不同，因此不一定是相同的粒子，故B错误； C．丙图为回旋加速器。设粒子质量、电荷量，形盒内磁感应强度为，形盒半径为。粒子在盒内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力；当轨道半径等于形盒半径时粒子速度最大并从盒边缘射出，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 解得 由动能定义式得 可见粒子的最大动能由磁感应强度和形盒半径以及粒子质量共同决定，与所接交流电压的大小无关，交流电压只影响加速次数，故C错误； D．丁图为磁流体发电机，磁场方向由极指向极。等离子体以速度沿通道进入该磁场，其中的正、负离子受洛伦兹力作用，由左手定则可知正离子向极板偏转、负离子向极板偏转，故极板带正电。两极板间形成由板指向板的电场，开路时离子所受洛伦兹力与电场力平衡，此时极板的电势高于极板的电势，即端电势高于端 发电机与电阻组成闭合回路，电流在电阻中由经流向，即电流方向为 设发电机的电动势为、内阻为，由闭合电路欧姆定律得 所以 即电阻两端的电势差小于发电机的电动势，故D正确。 故选D。 变式1、如图所示，真空中存在共面的区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ为速度选择器，有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场；区域Ⅱ为等腰直角三角形CGF，有垂直纸面向外的匀强磁场，ACO三点共线，AO⊥GF。A处的粒子源能持续将速率不同的同种粒子射入区域Ⅰ中，沿直线AC运动后从CF中点射出的粒子在区域Ⅱ中运动时间为，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（     ） A．从C点出来的粒子速度大小为v = B．粒子的比荷为 C．若仅将匀强电场强度E调大，粒子可能从GF边界出来 D．若仅将磁感应强度调大，粒子在区域Ⅱ中运动的时间仍为 【答案】C 【详解】A．依题意可知区域Ⅰ中粒子电场力和洛伦兹力相等 解得，故A错误； B． 因为粒子从边的中点射出，根据几何关系可知，粒子转过的圆心角为，周期 则 ，故B错误； C．由 得 结合，增大，增大，半径变大，可能从边出来，故C正确； D．粒子从射出的速度不变，仅将磁感应强度调大，半径变小，从边射出方向应保持不变，对应圆心角也不变；但粒子在区域Ⅱ中圆周运动周期变小，故粒子在区域Ⅱ中运动时间小于，故D错误。 故选C。 变式2、在图中，若上下板足够长，间距为。一质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从下极板上的点以速度沿与极板成角、垂直磁场的方向射入磁场区域。若要使粒子不打在上极板，则磁场的磁感应强度应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子不打在上极板，临界情况为粒子的轨迹恰好与上极板相切，如图所示 设轨道半径为r，由几何关系可得 由于洛伦兹力提供向心力有 联立解得 磁感应强度越大，轨迹半径越小，所以磁场的磁感应强度应满足。 故选A。 知识点2 质谱仪与磁聚焦 知●识●解●构 1.质谱仪原理：粒子先经加速电场加速，由得；再垂直进入匀强磁场做圆周运动，由得。比荷不同的粒子落点不同，据此可分离同位素并测量质量。 2.分辨率：相同电荷量、不同质量的粒子落点相距，与质量比的平方根有关。要提高分辨率，应增大磁感应强度或减小加速电压（使半径增大、落点间距拉开）。 3.磁聚焦：若粒子从同一点以与磁场成很小夹角的方向发散射出，则速度可分解为垂直于磁场的分量（产生圆周运动）与平行于磁场的分量（产生匀速直线运动）。两种运动叠加的结果是粒子周期性地会聚到同一点，这一现象称为磁聚焦。 4.磁聚焦的应用：磁聚焦是电子显微镜、示波管等器件的核心原理：用纵向磁场把发散的电子束「束回」一点，从而获得清晰的图像。其周期恰为，与发散角无关是聚焦的关键。 5.综合题的解法：本知识点的综合题常把加速电场、速度选择器、偏转磁场、接收器串联考查。解法是分段处理：电场中分析加速或类平抛，磁场中分析圆周运动，衔接处速率不变、方向突变。 例题10、某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】D 【详解】A．a离子加速过程 解得，故A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2；沿与y轴成角入射时，水平位移为 亮线长度为 代入，得亮线长度，故B错误； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为，故C错误； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得，故D正确； 故选D。 变式1、如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图。螺线管内存在磁感应强度为B，方向平行于管轴的匀强磁场，电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小，电子电荷量为e、质量为m，电子间的相互作用和电子的重力不计。 这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点。下列说法错误的是（　　）。 A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子不一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为2v，这些电子不一定能汇聚在P点 【答案】C 【详解】由题图可知，螺线管内磁场方向水平向右，将粒子速度沿水平方向、竖直方向正交分解，则粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速圆周运动，粒子螺旋式前进，设螺线管长为L，若这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点，则需满足 （n=1，2，3…）T为粒子竖直方向做圆周运动的周期，又因为 解得周期为 联立可得（n=1，2，3…） 因为电子速度v与磁场方向的夹角非常小，所以 可见，粒子的速度只要满足（n=1，2，3…） 即粒子的运动时间为粒子做圆周运动周期的整数倍，粒子就可以汇聚到P点。 A．由上述分析可知，若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则运动的时间可能为，故A正确，不符合题意； B．若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则 故B正确，不符合题意； C．由上述分析可知当粒子速度为v时，（n=1，2，3…） 故当粒子速度为时，（=2，4，6…） 即粒子的运动时间仍然为粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子一定能汇聚在P点，故C错误，符合题意； D．当粒子速度为时，（=，1，…） 即粒子的运动时间不是总等于粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子不一定能汇聚在P点，故D正确，不符合题意。 故选C。 变式2、质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具，最初是由汤姆孙的学生阿斯顿设计的。他设计了多种质谱仪测量同位素的比荷，图示为其设计的一种质谱仪。现有大量甲、乙两种电荷量均为、质量分别为和的离子从的狭缝处以接近于零的速度进入电压为的加速电场中被加速，加速后由点垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场，最后打在照相底片上，形成、两条质谱线，不计离子重力及离子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．经过加速电场后甲离子的动能较大 B．到点时乙离子的速率较大 C．底片上谱线为乙离子的质谱线 D．甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短 【答案】D 【详解】AB．离子在加速电场加速，根据动能定理可得， 解得， 故经过加速电场后两离子的动能相等，到点时甲离子的速率较大，故AB错误； C．在磁场区域，对于甲离子，根据洛伦兹力提供向心力 打在照相底片的点与点的距离为 同理可得，对于乙离子，打在照相底片的点与点的距离为 故底片上谱线为甲离子的质谱线，故C错误； D．甲离子在磁场中运动的时间 乙离子在磁场中运动的时间 故甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短，故D正确。 故选D。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·云南·高考真题）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 【答案】(1)，垂直纸面向里 (2) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 可得 根据几何关系可得 联立可得 根据左手定则可知磁感应强度方向垂直纸面向里。 （2）根据结合可得 电子从S点第一次到达P点转过的圆心角为，电子从S点第一次到达P点所用的时间 联立可得 2．（2025·北京·高考真题）北京谱仪是北京正负电子对撞机的一部分，它可以利用带电粒子在磁场中的运动测量粒子的质量、动量等物理量。 考虑带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中的运动，且不计粒子间相互作用。 (1)一个电荷量为的粒子的速度方向与磁场方向垂直，推导得出粒子的运动周期T与质量m的关系。 (2)两个粒子质量相等、电荷量均为q，粒子1的速度方向与磁场方向垂直，粒子2的速度方向与磁场方向平行。在相同的时间内，粒子1在半径为R的圆周上转过的圆心角为，粒子2运动的距离为d。求： a．粒子1与粒子2的速度大小之比； b．粒子2的动量大小。 【答案】(1) (2)a．；b． 【详解】（1）粒子速度方向与磁场垂直，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 圆周运动的周期 将R代入得 比例关系为 （2）a．由题意知粒子1做圆周运动，线速度 粒子2做匀速直线运动，速度 所以速度之比 即 b．对粒子1，由洛伦兹力提供向心力有 可得 粒子2的动量 结合前面的分析可得 3．（2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。 (1)写出氘核撞击铝核的核反应方程； (2)求A、D的间距L； (3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率； (4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。 【答案】(1) (2) (3)2.74×1W (4)5.49MeV 【详解】（1）氘核撞击铝核的核反应方程 （2）由图可知，两种质子的动能分别为3MeV和9MeV，动能之比1∶3，可知速度之比，根据 可知 可知在磁场中的半径之比为 由图可知半径较小的打到A点，半径较大的打到D点，由几何关系可知， 解得 可得A、D的间距 （3）若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，则时间t射出氘核的数量为 回旋加速器的输出功率 （4）氘核撞击铝核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子。根据能量守恒可得，能量的为3MeV和9MeV质子分别对应处于激发态的和处于基态的态的。激发态的回到基态会释放能量 核质量等于核质量，则衰变释放的能量主要来源于激发态的跃迁产生的能量差。电子质量为0.51MeV/，则衰变释放能量 4．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 5．（2025·河北·高考真题）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $