第三章 图形的相似（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北师大版

第三章 图形的相似 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 成比例线段 考点二 比例的性质 考点三 相似三角形的相关概念、判定和性质 考点四 平行线分线段成比例与黄金分割 考点五 利用相似三角形测高 考点六 位似及位似作图 05 重难题型突破 题型一 判断是否是成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值 题型四 黄金分割 题型五 判断两个三角形是否相似 题型六 利用相似三角形的性质求解 题型七 相似三角形的判定和性质的综合问题 题型八 利用相似三角形测物体的高度问题 题型九 求位似图形的坐标 题型十 在平面直角坐标系中作位似图形 题型十一 相似三角形与几何图形综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第三章“图形的相似”在期中考试中约占20—25分，是几何板块的核心，难度中等偏上，易、中、难比例大致为5∶3∶2。考点集中在比例线段与黄金分割、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例及位似作图。题型上，选择填空多考成比例线段判断、黄金比计算、相似比与面积比换算；解答题以相似三角形证明和计算为主，常结合测量、投影等实际问题考查建模能力。压轴题多涉及动点问题或相似综合，对推理和运算要求较高。 识记 掌握成比例线段与比例中项的定义，记住黄金分割比，准确说出相似三角形“对应角相等、对应边成比例”的核心定义。 理解 厘清相似比与周长比、面积比之间的换算关系，理解平行线分线段成比例定理，掌握AA、SAS、SSS三种判定定理的适用条件与区别。 应用 能综合运用相似性质进行证明与计算，解决测高、网格作图及动点问题，期中常与特殊平行四边形结合考查。 考点一 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 ⚠️避坑指南 ❌ 定义：四条线段成比例需按顺序对应，a/b=c/d，不可随意调换位置。 ❌ 避坑：单位要统一；线段长度为正，比例式中分母不为零，别忽略顺序。 考点二 比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：比例式可交叉相乘、合分比、等比；注意分母不为零。 ❌ 避坑：合分比要保证分母不为零；等比性质中分母和不为零，别乱套。 考点三 相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 5）相似三角形的性质 ①对应角相等，对应边的比相等； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） ⚠️避坑指南 ❌ 判定：两角相等、两边成比例夹角相等、三边成比例；性质：对应边成比例、对应角相等。 ❌ 避坑：对应关系要找准，别把对应边搞错；面积比是相似比的平方，不是相似比。 考点四 平行线分线段成比例与黄金分割 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） ⚠️避坑指南 ❌ 平行线分线段成比例：对应线段成比例，注意“对应”顺序，别乱比。 ❌ 黄金分割：比值为(√5-1)/2≈0.618，较长段比全长；别记反，也别与全长的比搞混。 考点五 利用相似三角形测高 1.利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2.利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 ⚠️避坑指南 ❌ 方法：构造相似三角形，对应边成比例；注意影子、镜面、标杆的对应关系。 ❌ 避坑：单位统一；人和影、标杆和影要对应，别把对应边搞反，否则结果错。 考点六 位似及位似作图 1.位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2.利用位似变换作图（放大或缩小图形） （1）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 （2）画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 ⚠️避坑指南 ❌ 位似需明确位似中心，对应点连线过中心且对应边平行，位似比等于相似比。 ❌ 避坑：位似图形可在中心同侧或异侧，别漏解；作图时方向别画反，坐标要乘位似比。 题型一 判断是否是成比例线段 典例1 （25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段的性质． 根据比例线段的性质，若四条线段成比例，则最小与最大的乘积等于另外两条线段的乘积．依次验证各选项即可． 【详解】解：A选项：∵，∴不成比例； B选项：∵，相等，∴成比例； C选项：∵，∴不成比例； D选项：∵，∴不成比例； 故选：B． 💡破题要诀 1. 统一单位：先将各线段长度化为同一单位，避免单位不同误判。 2. 算比值验证：按顺序计算两条线段之比，判断比值是否相等，相等则成比例。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义：四条线段a、b、c、d，如果满足，那么就称这四条线段成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西百色·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】选项A：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项B：∵，不成比例，故本选项符合题意； 选项C：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项D：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 因此，不能构成成比例线段的是B． 故选B． 题型二 比例的性质 典例2 （25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，设，（），然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：由，设，（）， 则 故答案为． 💡破题要诀 1. 抓基本性质：两内项之积等于两外项之积，用于转化比例式与等积式。 2. 用合分比与等比：结合合分比、等比性质，设 k 法简化多比例求值问题。 迁移应用 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）若，那么=______． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握比例性质，按比例分配，是解题的关键．根据已知比例关系，设，（），代入所求分式计算． 【详解】解：由，设，（）． ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，由比例关系设参数表示未知数，代入表达式化简求值即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例关系，可得，，，代入所求分式后化简． 【详解】解：因为 ， 所以，，， 代入分式，得：， 注意到分子， 所以． 故答案为：． 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值 典例3 （25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把代入即可求出的长度． 【详解】解：直线， ， ， ， ， ， ． 💡破题要诀 1. 找平行线定比例：由平行线得对应线段成比例，写出比例式。 2. 代数据求解：将已知线段代入比例式，求未知线段长或比值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，由平行线分线段成比例可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型四 黄金分割 典例4 （25-26九年级上·湖南常德·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，则黄金矩形的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 故答案为： 💡破题要诀 1. 记黄金比：较长线段与全线段之比为 (√5-1)/2，约等于 0.618。 2. 列式转化：由黄金分割定义列比例式，代值求线段长或判断分割点位置。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点C是线段的一个黄金分割点，且，其中，则________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的一个黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 题型五 判断两个三角形是否相似 典例5 （25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐一分析即可判断． 【详解】解：A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似可知：，故A不符合题意； B、根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可知：，故B不符合题意； C、根据有一组直角边和一组斜边对应成比例的两个直角三角形相似可知：， 故C不符合题意； D、给的四条线段不是对应边，故此不能证明和相似，故D符合题意． 故选：D． 💡破题要诀 1. 找角或边条件：优先看两角相等，或两边成比例且夹角相等，或三边成比例。 2. 验证对应关系：明确对应顶点与对应边，逐一验证条件，避免对应错位误判。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据等边对等角以及邻补角相等得出，进而根据相似三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①增加条件，根据两角对应相等能判定； ②增加条件，不能判定； ③增加条件，根据两边对应成比例及其夹角相等，能判定． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点在的边上，要判定，下列添加的条件中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，是对角，不是夹角，由两边及对角不能判定，该选项符合题意； 当添加时，是夹角，由两边及夹角能判定，该选项不合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 故选：． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，关键是对相似三角形判定定理的理解与应用．本题需逐一分析每个选项是否能依据判定定理推出，从而找出无法判定的条件． 【详解】解：选项A、， ， 若， 可得，， ， 因此选项A不符合要求；   选项B、若，且， 则（两直线平行，同位角相等）， 此时满足“两边对应成比例且夹角相等”，可判定， 因此选项B不符合要求；   选项C、若，结合产生的内错角、同位角等角度关系， 可推导出另一组角相等，进而通过：两角对应相等判定， 因此选项C不符合要求；   选项D、若，该比例式中对应的角并非与的夹角， （即不满足“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件）， 也无法通过其他相似判定定理推导相似， 因此该条件无法判定， 所以选项D符合要求． 故选：D． 题型六 利用相似三角形的性质求解 典例6 （25-26九年级上·福建泉州·期中）与相似，且与的相似比是，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】20 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵，且相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 💡破题要诀 1. 先证相似：用判定定理证明两三角形相似，明确对应顶点与对应边。 2. 用性质转化：由相似比得对应边成比例、对应角相等，列式求线段或角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高线的比、对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知，，，，．是上一点，且，连接、，所得两个三角形相似，则的长是________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及的知识点是“直角三角形相似的判定（两边对应成比例且夹角相等）”“相似三角形的对应边成比例”．解题方法是根据直角三角形的角相等（），分两种相似情况（），结合对应边成比例列方程求解，再根据确定最终结果．解题关键是考虑相似的两种对应情况，避免漏解；易错点是忽略相似的对应顺序，导致方程列错或结果不符合的条件．解题思路为：设，则，分两种相似情况列比例方程，求解后结合筛选出符合条件的长度． 【详解】如图所示： ∵，是上一点，且， ∴． 设，则，由，，得，分两种情况讨论： 情况1： 此时对应边成比例：，代入得： 整理得：，解得（舍）． 情况2： 此时对应边成比例：，代入得： 整理得：，解得（舍）． 综上所述，，即． 故答案为． 3．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得出相等的边和角，利用等角对等边及线段的和差即可求解；②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得相等边和角，证明，得出比例线段，可求出答案． 【详解】解：①如图所示，当点位于对角线上时， 由折叠的性质得，，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当点位于对角线上时， 设， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（不合题意，舍去） 综上，的长度为4或， 故答案为：4或． 题型七 相似三角形的判定和性质的综合问题 典例7 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 💡破题要诀 1. 先判后性：先用判定定理证相似，明确对应关系，再用性质得比例或角相等。 2. 综合转化：结合已知条件列比例式或方程，求线段长、角度或证明结论。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1） 略 （2） 略 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． (2)如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 【答案】(1)； 解：∵中，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ∵，， ∴ ∴ ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据题意得到，然后结合得到，即可得到，同理求解即可； （2）结合矩形的性质证明，可得，即可得出，然后由（1）可知，则此题可解． 【详解】（1）解：； 证明：略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即 ∴， 由（1）得，， ∴（负值舍去）． 3．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)9 【分析】（1）由题意得，利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）设，证明，得到，据此求解即可； （3）作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； （3）解：作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 题型八 利用相似三角形测物体的高度问题 典例8 （25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在水平路段上，为一根垂直于地面的路灯，C为路灯的光源．小明（图中为）从H出发，沿着方向前行20米至点F，发现影子缩短了5米．已知小明原来影子长15米，小明身高1.6米，那么路灯的高度为（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形，根据题意得到有用的信息和利用相似三角形求得关系式是解题的关键． 首先根据得到，再根据得到，即可得到并求解的长，最后根据求解的长即为路灯的高度． 【详解】解：由题意可知：米，米，（米），米， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：米， ∴米， ∵，即，解得：米， ∴路灯的高度为8米， 故选：B． 💡破题要诀 1. 构相似三角形：利用影子、标杆或镜子构造相似，明确对应边。 2. 列比例求解：将已知物高、影长等代入相似比，求物体高度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川达州·期末）王莉同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高米的王莉影长为2米，同时测得旗杆的影长为米，则学校的旗杆高为__________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，关键是掌握“同一时刻，平行光下物体的高度与影长成正比”的原理．同一时刻太阳光线平行，人和旗杆均垂直于地面，因此人与影子、旗杆与影子分别构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可得到旗杆高度． 【详解】解：设学校旗杆的高度为米． 根据题意，得， 解得； 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设纸筒的长度为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：设纸筒的长度为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 即纸筒的长度为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 【答案】3 【分析】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出是解题关键．由已知得，则根据相似三角形的性质可得，解答即可． 【详解】解：由题意知：， ∵于点B，于点D， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：3． 题型九 求位似图形的坐标 典例9 （25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与关于原点位似，与的相似比为，得，，因为点在第一象限，所以点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），与的相似比为， ∴ ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 💡破题要诀 1. 找位似中心与比：确定位似中心坐标和位似比 k，注意对应点连线过中心。 2. 按公式求坐标：原坐标乘 k 得对应点坐标，注意 k 正负决定同侧或异侧。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．已知，则的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O，， ∴位似比为， ∵， ∴，即． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的位似图形，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以点为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的位似图形，且， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点，在第一象限，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键． 根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，四边形为正方形， ∴， ∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为， ，即， 解得：， 则点的坐标为， 故答案为：． 题型十 在平面直角坐标系中作位似图形 典例10 （25-26九年级上·安徽合肥·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点B为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为2∶1； (2)以点O为对称中心，作出关于成中心对称的图形； (3)直接写出的外心坐标_____． 【答案】(1) 如下图，即为所求； (2) 如（1）图，即为所求； (3) 【分析】本题考查了画位似图形、中心对称图形、三角形外心的确定，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）延长到，使，延长到，使，以点B为位似中心，所以点B即为，连接，即可得答案； （2）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，即可得答案； （3）作和的垂直平分线，交于点E，点E即为的外心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如（1）图，点E即为的外心，坐标为． 💡破题要诀 1. 定位似中心与比：明确位似中心坐标和位似比 k，确定对应点在中心同侧或异侧。 2. 算坐标描点连线：原坐标乘 k 得对应点坐标，描点后顺次连接成图。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图平面直角坐标系中，的位置如图所示， (1)写出各顶点的坐标分别为A（ ），B（ ），C（ ）； (2)作出向左平移4个单位后得到的； (3)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为； (4)在（3）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为（ ）． 【答案】(1)；； (2) 解：如图，为所求图形； (3) 如图，即为所求． (4) 【分析】本题主要考查平移，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）直接写出坐标即可 （2）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （3）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （4）根据题意的出点M的坐标，然后根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图可得，，，． 故答案为：；；． （2）略 （3）略 （4） M为边上的中点， 点M的坐标为，即， 的边上与点M对应的点的坐标为，即． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图（1）中，以为位似中心，相似比为，在网格内将放大得到，请画出． (2)在图（2）中，线段上作点，利用格点作图使得． (3)在图（3）中，利用格点在边上作一个点，使得． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2)如图，点即为所作． (3)如图，点即为所作． 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理，勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点，根据平行线分线段成比例定理可判断点满足条件； （3）把绕点逆时针旋转得到，平移使点与点重合，则点的对应点为点，则与的交点为点． 【详解】（1）解：延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； （2）取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作． （3）把绕点逆时针旋转得到，平移使点与点重合，则点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为． (1)在如图的方格纸中把以点为位似中心扩大，使放大前后的相似比为，画出（与在位似中心点的两侧，的对应点分别是），点为外接圆的圆心，点的坐标为 ； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，则点经过的路径为 ． 【答案】(1) 如图所示，点，为所求， (2) 如图所示，为所求， 【分析】本题考查网格与作图—作位似图、旋转、图形与坐标变换、勾股定理、弧长公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）利用关于原点为位似中心的两图形的对应的坐标关系写出点的坐标，然后描点即可得到；再利用网格特点，作和的垂直平分线交于点，点即为得到的外接圆的圆心，然后写出点坐标即可； （2）利用旋转的性质即可画出，利用勾股定理求出，再利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：由题， 则点B的路径为， 故答案为：． 题型十一 相似三角形与几何图形综合问题 典例11 （25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． (1)请证明小丽所作的四边形是正方形； (2)如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 又∵正方形中，， ∴． ∴四边形为正方形． (2)①过点作，是垂足，与相交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴, 正方形边长为，则, ∴， 即． ∴． 即． ② 【分析】（1）先证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形即可； （2）①过点作，是垂足，与相交于点，根据相似三角形的判定和性质解答即可； ②根据三角形面积公式得出，，再根据①的结论可知，，求出，代入得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：与正方形同底等高， ∴，． 由①的结论可知，， 则， 解得：． ∴． 💡破题要诀 1. 找相似构比例：从平行、等角或等比入手证相似，明确对应边得比例式。 2. 综合转化求解：将比例式与勾股、面积等结合，列方程求线段或角度。 迁移应用 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边可得出，此题得解； （2）过点作交于点，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出和的长度，在中，利用勾股定理可求出的长，此题得解． 【详解】（1）过点作，交的延长线于点， ． ， ， ． 又， ， ， ，， ， ； （2）解：过点作交于点，如图所示． ，， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ，， ． 在中，，即， 解得：（舍负）， ，． ∵在中，， ∴， 解得． 2．（2026·四川巴中·中考真题）四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解． （2）过点作于点，与的交点为，先证明四边形是矩形，得到，，再证明，即可求出的值． （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值． （4）连接，利用折叠的性质，证明，得到，再结合（2）得出，然后作点关于的对称点，连接，当三点共线时，有最小值为的长，最后结合勾股定理求出的最小值． 【详解】（1）解：如图，设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，与的交点为， 四边形是矩形， ，， ， ， 所以四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ． （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（2），同理可得，即， ， 作点关于的对称点，连接， ，，则， ， 当三点共线时，有最小值为的长，即有最小值为的长， ， 有最小值， 有最小值． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东济宁·期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最小与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则该组线段成比例，逐项判断即可． 【详解】解：A、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． B、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． C、排序得，，，， ，， ，该组线段成比例． D、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 3．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据由勾股定理求出，再由翻折的性质得，设与交于点，然后说明 ，可得，进而得出，接下来求出，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，， 设与交于点， ， ，， ， ， ， ∵与同高（顶点为，底边在上）， ， 与同高（顶点为，底边在上）， ， 又， ， 由翻折得， ， 即与重叠部分的面积是． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据图2可求得；过E作于H，则可证明，同理，可证明，得．设．由可求得x的值，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由题意，根据图2可得，当时，即时，， ∴． 又∵， ∴当点D运动到中点时，则． 如图，过E作于H， ∵， ∴． 又∵， ∴． 同理，． ∴． 设． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，经检验，是方程的根． ∴， ∴． 二、填空题 5．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 7．（2026·江苏常州·中考真题）如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 【答案】120 【分析】证明，根据相似三角形的高之比等于相似比即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 8．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． 【答案】 【分析】设则，求出，证明，，，利用相似的性质得到，对于定点，矩形唯一确定，则关于的方程有唯一的实数根，进一步求出答案即可． 【详解】解：在矩形中，，． 设则， 由题意可得，，即，解得， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴， 同理可得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∵对于定点，矩形唯一确定， ∴关于的方程有唯一的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴， 即 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 11．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 12．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 【答案】(1)解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：如图，作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)证明：如图，过点作于点，作于点，连接， 则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1），证明过程为：延长至点，使得，连接，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）作，交延长线于点，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作于点，作于点，连接，先得出，则，再得出，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①证明，即可；③证明可得结论；④设，，则，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：①四边形是矩形， ，，， 于点， ∴， ， 故①正确； ②现有条件不足以证明，故②错误； ③，， ， ， ∵ ， ， 故③正确； ④设，， ∵E是中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，即， ， 故④正确 故正确的有①③④． 二、填空题 3．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 三、解答题 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【探究证明】如图①，在矩形中，，分别交、于点E、F，分别交、于点G、H，求证：； (2)【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，，则折痕的长； (3)【拓展运用】如图③，四边形中，，，，，点M、N分别在边、上，则的值为______． 【答案】(1)证明：过A作交于M，过D作交于N，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）添加辅助线，过A作交于M，过D作交于N，由平行得到四边形、均为平行四边形，再证明与相似，进而得到边长的关系； （2）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（1）可知，，即，计算求解即可； （3）过点作，交的延长线于，过点作，连接，证明和，再利用，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（1）可知，，即， 解得， ∴的长． （3）解：如图，过点作，交的延长线于，过点作，连接， ∵，，， 四边形是矩形， ，，， 在和 中， ， ， ， ，且， ，， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴（不符合题意），， ∴， 由（1）可得． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 成比例线段 考点二 比例的性质 考点三 相似三角形的相关概念、判定和性质 考点四 平行线分线段成比例与黄金分割 考点五 利用相似三角形测高 考点六 位似及位似作图 05 重难题型突破 题型一 判断是否是成比例线段 题型二 比例的性质 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值 题型四 黄金分割 题型五 判断两个三角形是否相似 题型六 利用相似三角形的性质求解 题型七 相似三角形的判定和性质的综合问题 题型八 利用相似三角形测物体的高度问题 题型九 求位似图形的坐标 题型十 在平面直角坐标系中作位似图形 题型十一 相似三角形与几何图形综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第三章“图形的相似”在期中考试中约占20—25分，是几何板块的核心，难度中等偏上，易、中、难比例大致为5∶3∶2。考点集中在比例线段与黄金分割、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例及位似作图。题型上，选择填空多考成比例线段判断、黄金比计算、相似比与面积比换算；解答题以相似三角形证明和计算为主，常结合测量、投影等实际问题考查建模能力。压轴题多涉及动点问题或相似综合，对推理和运算要求较高。 识记 掌握成比例线段与比例中项的定义，记住黄金分割比，准确说出相似三角形“对应角相等、对应边成比例”的核心定义。 理解 厘清相似比与周长比、面积比之间的换算关系，理解平行线分线段成比例定理，掌握AA、SAS、SSS三种判定定理的适用条件与区别。 应用 能综合运用相似性质进行证明与计算，解决测高、网格作图及动点问题，期中常与特殊平行四边形结合考查。 考点一 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作 或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位 也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从 （或从 ）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 ⚠️避坑指南 ❌ 定义：四条线段成比例需按顺序对应，a/b=c/d，不可随意调换位置。 ❌ 避坑：单位要统一；线段长度为正，比例式中分母不为零，别忽略顺序。 考点二 比例的性质 1）比例的重要性质： 基本性质：若，则 ；反之，也成立。 和比性质：若，则 ； 更比性质：若，则 ； 反比性质：若，则 ； 等比性质：若，则 。 2）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的 。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使 ，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 ⚠️避坑指南 ❌ 性质：比例式可交叉相乘、合分比、等比；注意分母不为零。 ❌ 避坑：合分比要保证分母不为零；等比性质中分母和不为零，别乱套。 考点三 相似三角形的相关概念、判定和性质 1）相似三角形的概念： ， 的两个三角形是相似三角形。 2）相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是 。 3）相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 4）相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组 ，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的 ，并且 ，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ，那么这两个三角形相似。 5）相似三角形的性质 ①对应角 ，对应边的 ； ②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于 。 ③相似三角形周长的比等于 ，面积的比等于 。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） ⚠️避坑指南 ❌ 判定：两角相等、两边成比例夹角相等、三边成比例；性质：对应边成比例、对应角相等。 ❌ 避坑：对应关系要找准，别把对应边搞错；面积比是相似比的平方，不是相似比。 考点四 平行线分线段成比例与黄金分割 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的 。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的 。 黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即 ），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） ⚠️避坑指南 ❌ 平行线分线段成比例：对应线段成比例，注意“对应”顺序，别乱比。 ❌ 黄金分割：比值为(√5-1)/2≈0.618，较长段比全长；别记反，也别与全长的比搞混。 考点五 利用相似三角形测高 1.利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2.利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 ⚠️避坑指南 ❌ 方法：构造相似三角形，对应边成比例；注意影子、镜面、标杆的对应关系。 ❌ 避坑：单位统一；人和影、标杆和影要对应，别把对应边搞反，否则结果错。 考点六 位似及位似作图 1.位似的概念及性质 （1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 。这时的相似比又称为 。 （2）相似图形与位似图形的区别与联系：区别：① ，相似图形没有；② ，相似图形没有。 联系： 。 （3）位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 （4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2.利用位似变换作图（放大或缩小图形） （1）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 （2）画位似图形的一般步骤：① ；② （分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③ ；④ 。 （3）以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 ⚠️避坑指南 ❌ 位似需明确位似中心，对应点连线过中心且对应边平行，位似比等于相似比。 ❌ 避坑：位似图形可在中心同侧或异侧，别漏解；作图时方向别画反，坐标要乘位似比。 题型一 判断是否是成比例线段 典例1 （25-26九年级上·福建泉州·期中）下列各组的四条线段成比例的是（    ） A．1，2，3，4 B．1，2，， C．1，4，5，6 D．2，3，， 💡破题要诀 1. 统一单位：先将各线段长度化为同一单位，避免单位不同误判。 2. 算比值验证：按顺序计算两条线段之比，判断比值是否相等，相等则成比例。 迁移应用 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（25-26九年级上·广西百色·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型二 比例的性质 典例2 （25-26九年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ． 💡破题要诀 1. 抓基本性质：两内项之积等于两外项之积，用于转化比例式与等积式。 2. 用合分比与等比：结合合分比、等比性质，设 k 法简化多比例求值问题。 迁移应用 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）若，那么=______． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，则 ． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期中），则的值为 ． 题型三 由平行截线求相关线段的长或比值 典例3 （25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点，，，若，，则的长为______． 💡破题要诀 1. 找平行线定比例：由平行线得对应线段成比例，写出比例式。 2. 代数据求解：将已知线段代入比例式，求未知线段长或比值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，直线，交于点O，．若，，，则的值为________． 2．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 题型四 黄金分割 典例4 （25-26九年级上·湖南常德·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，则黄金矩形的宽是 ． 💡破题要诀 1. 记黄金比：较长线段与全线段之比为 (√5-1)/2，约等于 0.618。 2. 列式转化：由黄金分割定义列比例式，代值求线段长或判断分割点位置。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点C是线段的一个黄金分割点，且，其中，则________．（结果保留根号） 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为_____． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则 ． 题型五 判断两个三角形是否相似 典例5 （25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）在和中，，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 找角或边条件：优先看两角相等，或两边成比例且夹角相等，或三边成比例。 2. 验证对应关系：明确对应顶点与对应边，逐一验证条件，避免对应错位误判。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，点在上，点在上，，增加下列一个条件：①；②；③．其中能判定的条件是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，点在的边上，要判定，下列添加的条件中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在五边形中，，延长，分别交直线与点，．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 题型六 利用相似三角形的性质求解 典例6 （25-26九年级上·福建泉州·期中）与相似，且与的相似比是，若的面积是，则的面积是_________． 💡破题要诀 1. 先证相似：用判定定理证明两三角形相似，明确对应顶点与对应边。 2. 用性质转化：由相似比得对应边成比例、对应角相等，列式求线段或角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知，，，，．是上一点，且，连接、，所得两个三角形相似，则的长是________． 3．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在菱形中，，，为边上的一点，，为边上的一动点，沿将翻折．点落在点处．当点在菱形的对角线上时，的长度为 ． 题型七 相似三角形的判定和性质的综合问题 典例7 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 💡破题要诀 1. 先判后性：先用判定定理证相似，明确对应关系，再用性质得比例或角相等。 2. 综合转化：结合已知条件列比例式或方程，求线段长、角度或证明结论。 迁移应用 1．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． (2)如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 3．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 题型八 利用相似三角形测物体的高度问题 典例8 （25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在水平路段上，为一根垂直于地面的路灯，C为路灯的光源．小明（图中为）从H出发，沿着方向前行20米至点F，发现影子缩短了5米．已知小明原来影子长15米，小明身高1.6米，那么路灯的高度为（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．12 💡破题要诀 1. 构相似三角形：利用影子、标杆或镜子构造相似，明确对应边。 2. 列比例求解：将已知物高、影长等代入相似比，求物体高度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川达州·期末）王莉同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高米的王莉影长为2米，同时测得旗杆的影长为米，则学校的旗杆高为__________米． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，在点P处水平放置一平面镜（平面镜的厚度和大小忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好照射到点C处，已知点B、P、D在同一直线上，于点B，于点D，且，，，则的长为_____ ． 题型九 求位似图形的坐标 典例9 （25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 💡破题要诀 1. 找位似中心与比：确定位似中心坐标和位似比 k，注意对应点连线过中心。 2. 按公式求坐标：原坐标乘 k 得对应点坐标，注意 k 正负决定同侧或异侧。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．已知，则的对应点的坐标是______． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的位似图形，则点C的坐标为______． 3．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点，在第一象限，若点的坐标为，则点的坐标是______． 题型十 在平面直角坐标系中作位似图形 典例10 （25-26九年级上·安徽合肥·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点B为位似中心，作出的位似图形，使与的位似比为2∶1； (2)以点O为对称中心，作出关于成中心对称的图形； (3)直接写出的外心坐标_____． 💡破题要诀 1. 定位似中心与比：明确位似中心坐标和位似比 k，确定对应点在中心同侧或异侧。 2. 算坐标描点连线：原坐标乘 k 得对应点坐标，描点后顺次连接成图。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图平面直角坐标系中，的位置如图所示， (1)写出各顶点的坐标分别为A（ ），B（ ），C（ ）； (2)作出向左平移4个单位后得到的； (3)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为； (4)在（3）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为（ ）． 2．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图（1）中，以为位似中心，相似比为，在网格内将放大得到，请画出． (2)在图（2）中，线段上作点，利用格点作图使得． (3)在图（3）中，利用格点在边上作一个点，使得． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，建立如图所示的平面直角坐标系，点的坐标为． (1)在如图的方格纸中把以点为位似中心扩大，使放大前后的相似比为，画出（与在位似中心点的两侧，的对应点分别是），点为外接圆的圆心，点的坐标为 ； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，则点经过的路径为 ． 题型十一 相似三角形与几何图形综合问题 典例11 （25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，小丽为了在中作一个内接正方形（点、、、在三角形的边上），进行了如下操作． 第一步：如图2，在边上任取一点，作，为垂足，以为边作正方形． 第二步：如图3，作射线交于点． 第三步：如图3，过点作，交于点，作，，垂足为，． (1)请证明小丽所作的四边形是正方形； (2)如图1，边长为的正方形内接于（点、、、在三角形的边上），知，边上的高为． ①求证：； ②连接，若边上的高，的面积为，的面积为．设，则与的关系式__________（直接写答案）． 💡破题要诀 1. 找相似构比例：从平行、等角或等比入手证相似，明确对应边得比例式。 2. 综合转化求解：将比例式与勾股、面积等结合，列方程求线段或角度。 迁移应用 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）某学校数学社团开展解题闯关活动． (1)【闯关活动一】如图1，在中，点O在线段上，，，，，求的长． 经过社团成员合作交流发现，过点B作，交的延长线于点D，通过构造就可以解决此问题（如图2）．请根据所发现的解题思路求出的度数和线段的长； (2)【闯关活动二】拓展应用：请参考（1）的解决思路，解决以下问题： 如图3，在四边形中，对角线与相交于点O，，，，，求的长． 2．（2026·四川巴中·中考真题）四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东济宁·期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 3．（2026·江苏无锡·中考真题）在直角三角形纸片中，，，．点在边上，将沿翻折，得到．当时，与重叠部分的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 二、填空题 5．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 7．（2026·江苏常州·中考真题）如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 8．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 11．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 12．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在矩形中，E是上一点，于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若E是中点，则．其中所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题 3．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 三、解答题 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【探究证明】如图①，在矩形中，，分别交、于点E、F，分别交、于点G、H，求证：； (2)【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，，则折痕的长； (3)【拓展运用】如图③，四边形中，，，，，点M、N分别在边、上，则的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $