第二章 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北师大版

第二章 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的定义及一般形式 考点二 一元二次方程的解 考点三 解一元二次方程 考点四 一元二次方程根与系数的关系 考点五 一元二次方程的应用 05 重难题型突破 题型一 一元二次方程的定义及一般形式 题型二 一元二次方程的解求参数的值 题型三 解一元二次方程 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型五 利用一元二次方程根与系数的关系求值 题型六 判别式和根与系数的关系综合问题 题型七 用一元二次方程解决图形问题 题型八 用一元二次方程解决销售问题 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 题型十 一元二次方程中新定义型综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第二章“一元二次方程”在期中考试中约占20—25分，是代数板块的重中之重，难度以中等为主，易、中、难比例大致为6∶3∶1。考点集中在方程定义辨析、四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解）、根的判别式及韦达定理。题型上，选择填空多考概念判断、配方变形、判别式求参数范围；解答题常单独考查解方程，并结合增长率、面积、营销等实际问题列方程求解。压轴题偶与几何动点或函数综合，对建模能力要求较高。 识记 掌握一元二次方程的定义与一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），记住直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法。 理解 理解根的判别式 Δ=b²-4ac 与根的关系，掌握根与系数的关系（韦达定理），能不解方程判断根的情况。 应用 能根据方程特征选择最优解法，并解决增长率、传染问题、面积计算等实际问题，期中考试中常与几何图形结合考查。 考点一 一元二次方程的定义及一般形式 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的 最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． ⚠️概念辨析 1. 定义：只含一个未知数且最高次为2的整式方程；一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。 2. 辨析：a=0时退化，不是一元二次方程；分母含未知数也不是。 考点二 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． ⚠️概念辨析 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫根；解方程就是求所有根。 2. 辨析：根一定满足原方程；二次方程最多两个实根，但可能无实根或重根。 考点三 解一元二次方程 1.解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 2.解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． ⚠️避坑指南 ❌ 先化一般形式再选方法：因式分解、配方、公式法；公式法需判Δ≥0。 ❌ 避坑：约去含未知数的因式会丢根；开方时漏负根；Δ<0时无实根，别硬算。 考点四 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= -，x1x2 = ，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 ⚠️易混易错 1. 前提：方程须为一般形式且a≠0，才有x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 2. 易错：忘记先化一般式；用根求参数时忽略Δ≥0检验，导致增解。 考点五 一元二次方程的应用 1.列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2.列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 ⚠️避坑指南 ❌ 步骤：设未知数、列方程、解方程、检验根是否符合实际意义。 ❌ 避坑：增长率为负、长度为负、人数为分数等要舍去；别漏检验和单位。 题型一 一元二次方程的定义与一般形式 典例1 （25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程是“只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项A不符合题意； 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义， 选项B符合题意； 中是分式，该方程不是整式方程， 选项C不符合题意； 含有2个未知数，不是一元二次方程， 选项D不符合题意． 💡破题要诀 1. 抓定义：只含一个未知数、最高次为2、整式方程，三条件缺一不可。 2. 化一般式：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），准确识别 a、b、c。 迁移应用 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列选项中的方程，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，整理原方程得，只含一个未知数，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； ∵B选项只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； C选项含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D选项分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，项与系数，掌握知识点是解题的关键． 将方程化为一般形式后，根据一元二次方程的标准形式确定一次项系数即可． 【详解】解：原方程为 化为， 合并同类项得 ． 故一次项系数为：2． 故答案为：2． 题型二 一元二次方程的解求参数的值 典例2 （25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的根，则的值为___． 【答案】 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得． 💡破题要诀 1. 代根入方程：把已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。 2. 解参数并检验：解出新方程求参数，注意二次项系数不为0及题设限制。 迁移应用 1．（25-26八年级下·北京·期中）若是关于的方程的根，则的值为_____． 【答案】 【分析】把代入方程得，然后把等式两边除以可得到的值． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 即． 2．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 【答案】2005 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 【答案】2028 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 题型三 解一元二次方程 典例3 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 💡破题要诀 1. 看结构选方法：能分解因式用因式分解，形如x2=p或(x+m)2=n用直接开平方，否则配方或公式法。 2. 先化简再求解：化为一般式，算判别式定根的情况，最后代入公式或配方得解。 迁移应用 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【详解】（1）解： ，， （2）解： ，； （3）解： ，． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典例4 （25-26九年级上·广东肇庆·期中）一元二次方程根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能判定 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 💡破题要诀 1. 化一般式：先整理成 ax²+bx+c=0（a≠0），准确写出 a、b、c。 2. 算判别式：Δ=b²-4ac，Δ>0 两不等根，Δ=0 两相等根，Δ<0 无实根。 迁移应用 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，将各方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A． ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．，整理得 ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．，整理得 ∵ ∴，方程没有实数根，符合题意； D．，整理得 ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．熟知以上知识点是正确解决本题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是判别式大于或等于零列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故 的取值范围是 ． 故选B． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：， 解得：且； 故选：B． 题型五 利用一元二次方程根与系数的关系求值 典例5 （25-26九年级下·湖北宜昌·期中）已知α，β是方程的两个根，则______． 【答案】2 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：，其中，， 根据根与系数的关系可得 ． 💡破题要诀 1. 化一般式定系数：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），写出 a、b、c，验证 Δ≥0。 2. 用韦达定理转化：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，将所求式变形代入求值。 迁移应用 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的根为和，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数与常数项，再利用根与系数的关系即可求出两根之积． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得：， 本题中，，代入得 ． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，根据一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，即的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 3．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】 【详解】解：原方程整理得， ∴由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴． 题型六 判别式和根与系数的关系综合问题 典例6 （25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 💡破题要诀 1. 先判根况：化一般式算 Δ，由 Δ 符号确定根的存在与相等情况。 2. 再用韦达：在 Δ≥0 前提下，用 x₁+x₂、x₁x₂ 转化所求式，注意隐含条件。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； (3)若满足，求m的值． 【答案】(1) 且 (2) ， (3) 【分析】（1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴且； 即且， 解得且； （2）解：方程的一个根为， 则， 解得， ∴原方程为， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， 解得：或， ∵且， ∴． 3．（25-26九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的根为 ； (2)求证：无论为何值，方程总有实数根； (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)或； (2) 证明： ∴无论为何值，方程总有实数根． (3)或． 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，包括方程的求解、判别式的应用以及根与系数的关系的运用．解题的关键在于准确计算判别式并判断其正负性；熟练运用根与系数的关系对式子进行变形和计算． （1）将代入原方程，得到一个具体的一元二次方程，然后求解该方程的根． （2）计算原方程的根的判别式，通过对根的判别式进行化简变形，判断其取值范围，从而证明无论为何值，方程总有实数根． （3）先根据根与系数的关系得出和的表达式，再对进行变形，将和代入变形后的式子，得到关于的方程，最后求解即可． 【详解】（1）解：当时，原式可化为 ；． （2）略 （3）解：依题意，得，； ∵ ∴ ， 或， 经检验，或均符合题意． 题型七 用一元二次方程解决图形问题 典例7 （25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了列代数式，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设鸡舍与墙垂直的一边长为，根据鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成，可用含x的式子表示出； （2）根据鸡舍面积为，列出一元二次方程求解，再验根即可． 【详解】（1）解：设鸡舍与墙垂直的一边长为， 因为鸡舍的一边靠墙，另外三边用长的建筑材料围成， 所以平行于墙的一边的长为， 故答案为：； （2）解：根据鸡舍面积为， 可得， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，，符合题意， 答：当时，鸡舍面积为． 💡破题要诀 1. 设未知数建方程：用图形性质（勾股、面积、周长）找等量关系，列一元二次方程。 2. 解方程并取舍：求根后检验是否符合图形实际，舍去负根或不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2)剪去的小正方形的边长为 【分析】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，矩形性质理解，正方形性质理解等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程和一元一次方程是解题的关键． （1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长为（），宽为，高为，根据礼盒底面的长是宽的4倍，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设剪去的小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为，根据礼盒的侧面的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为， 则礼盒底面的长为（），宽为，高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ， ∴（）， 即该长方体礼品盒的体积为， 故答案为：； （2）设小正方形的边长为，则礼盒的侧面的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】（1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为； （2）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 3．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【答案】(1)答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． (2)答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． (3)不可行，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行求解，即可． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可； （2）由（1）可得，垂直于墙的一边长为或；分别求出平行于墙的一边长，进行比较，即可； （3）长方形养鸡场的面积扩建为，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 题型八 用一元二次方程解决销售问题 典例8 （25-26九年级上·四川成都·期中）国庆假期成都市某景区吸引了各地游客前来参观，据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了尽快减少库存，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低3元，平均每天可多售出600个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应调整为多少元？ 【答案】(1)游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为 (2)售价应调整为8.5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，利用该景区假期第三天游客人数=该景区假期第一天游客人数游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应调整为y元，则每个纪念章的销售利润为元，平均每天可售出个，利用总利润=每个纪念章的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%； （2）解：设售价应调整为y元，则每个纪念章的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应调整为8.5元． 💡破题要诀 1. 抓数量关系：理清售价、进价、销量、利润间关系，用“总利润=单件利润×销量”列方程。 2. 解方程取舍：求根后检验是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】(1) (2)75元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，根据题意列出方程，解出的值，由于需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，进行定价即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 2．（25-26九年级上·湖南常德·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)20% (2)38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼       素材2   经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 【答案】任务1：；任务2：降价3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 任务1：设该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； 任务：设该“枕头饼”每盒应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为盒，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：任务1，设该店销售“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 答：该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设平和枕头饼每盒应该降价m元，则每盒的利润为元，月销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，枕头饼每盒应该降价3元． 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 典例9 （25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 (3)点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 💡破题要诀 1. 设时间或路程为未知数：用含未知数的式子表示动点相关线段长，依据勾股、面积等列方程。 2. 解方程并检验：求根后结合动点运动范围取舍，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 3．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)运动2秒或3秒后，的面积为 (2)运动3秒后，的长度为 (3) 不能．理由如下： 根据三角形的面积公式，得， 则， 即， ，方程无实数根． 故线段不能把分成面积相等的两部分． 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程以及配方法的应用． （1）设运动t秒后的面积等于，用t表示出、的长，利用三角形面积公式可得方程解方程即可； （2）在中，根据勾股定理，得，把、代入可得方程，解方程即可； （3）根据三角形的面积公式，得，则，然后判断方程根的情况，方程无根说明线段不能把分成面积相等的两部分； 【详解】（1）解：设运动秒后的面积为． 根据题意，知． 则． 则，即． 解得或3． 故运动2秒或3秒后，的面积为； （2）根据勾股定理，得，即． 解得（不合题意，舍去）或， ． 故运动3秒后，的长度为； （3）略 题型十 一元二次方程中新定义型综合问题 典例10 （25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1) 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 💡破题要诀 1. 读懂新定义：逐字理解运算或概念规则，转化为普通代数式或方程。 2. 按规则列解：依定义列一元二次方程，解后检验是否满足定义限制。 迁移应用 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； (2) (3)m的取值范围为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，解得k的值，再根据“立格方程”的特点得出且，将k的值分别带入，得出符合要求的值． （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，得出两根均为负数，即，最后分类讨论求出m的取值范围即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ， ， 即， 解得，， ∵方程是“立格方程”， ∴，即两根均为负数． ∴且． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， 此时方程为，解得，， 满足，且，符合“立格方程”的定义，因此符合要求． 综上所述，． （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 两根均为负数，即， 分类讨论：①当，时， ， ， ，即 ，满足； ②当，时， ， ， ， ，满足； 综上所述，m的取值范围为或． 3．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①衍生点的坐标为；②；（3）有， 【分析】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口． （1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解； （2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②当时，，当时，，设直线的解析式为，将代入，求解即可． （3）先推导出直线的图象经过定点，得到一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上，则关于的方程的两个根为，代入求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴一元二次方程的衍生点M的坐标为． 故答案为：． （2）①因式分解，得． 解得或， ∵， ∴． 满足，故该方程的衍生点的坐标为． ②当时，，衍生点为；当时，，衍生点为； ∵所有衍生点M都在同一条直线上， ∴设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． （3）存在，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上．理由如下： 将代入直线，得． 直线的图象经过定点． 要使得不论为何值，一元二次方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为， ， ． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 选项A， 中，未知数最高次数为3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； ∵ 选项B ， 中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程； ∵ 选项C， 中，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； ∵ 选项D， ，只含有1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 2．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握通过判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况，判别式恒非负，故方程总有两个实数根． 【详解】解：方程的判别式为： ， 展开并简化： ， 由于， 则对于所有实数，方程恒有两个实数根， 当，即时，方程有两个相等根，当时，方程有两个不等根 故选：D． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米， 由题意，得：. 4．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 二、填空题 5．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程左边展开，然后移项化为一般形式． 【详解】解：∵， ∴， 移项得． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知方程的一个根是，则的值是________． 【答案】 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 即：， ∴． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 【答案】 100 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 三、解答题 9．（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 【答案】(1)证明： ， 任何实数的平方均为非负数，即， 恒成立， 即不论为何值，方程总有实数根． (2)或 【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式恒成立； （2）利用根与系数的关系，将变形为含和的形式，代入已知条件列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据韦达定理，对于方程，两根满足： ，， 已知，利用变形得： ， 将，代入，结合条件得： ， 展开并整理方程： ， ， 因式分解求解： ， 解得： ，． 11．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1) 方程 是“完美方程”，理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“完美方程”； (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解： 是关于的“完美方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 12．（25-26九年级上·重庆万州·期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，该市市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价2000元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低50元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款30万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1) (2)200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2023年的32万人增加到2025年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款30万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）解：∵， ∴， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 最低售价不得少于1200元， ， 解得：， ， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查方程有实数根的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 需要讨论和的情况. 当时，方程为一元一次方程，有实数根；当 时，方程为一元二次方程，利用判别式求解． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，有实数根， ∴满足条件； 当时，方程为一元二次方程，有实数根需， ∴， ∴，即， 综上，的取值范围是， 故选：． 2．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，若，（），连接和相交于，过点作于，若，且，为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，若已知方程的两根为，，则以，为根的一元二次方程为．先证明，得出，进一步得到，，则根据根与系数的关系得到以、的长度为根的一元二次方程为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ， 以、为宽和长的矩形的面积等于， ， ， 以、的长度为根的一元二次方程为， 故选：A． 二、填空题 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 解得． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 三、解答题 5．（25-26八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 最小值为 【分析】（1），因为方程有两个实数根，所以需利用一元二次方程根的判别式，代入方程系数建立关于的不等式，解不等式得到的取值范围． （2）先将展开变形，再利用韦达定理、代入变形后的式子，得到关于的方程，结合（1）中的取值范围确定的值． （3）先利用完全平方公式将变形为，再代入韦达定理的表达式，得到关于的二次函数，结合（1）中的取值范围，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 解得； （2）根据根与系数的关系得：，。 ∵ ， ∴，即， 解得或， 结合，舍去，得； （3）对式子变形，得 ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 结合，函数在上随增大而增大， 因此最小值在处取得， 代入得， 即的最小值为． 7．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为 (2) 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； （2）略 8．（25-26九年级上·广东深圳·期中）2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． (1)请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． (2)市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 【答案】(1)20% (2)①；②该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键． （1）设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a，依题意得，求解即可； （2）①利用当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，列式得； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件，利用销量单个利润总利润，列式求解，再结合使得销量尽可能多，即可求解． 【详解】（1）解：设“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为a， 依题意得：， 解得：，， 因为增长率a为正数，故舍去， 所以， 答：“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率为20%． （2）解：①由题意得， 故答案为； ②设该企业应将智能手办的实际售价定为x元/件， 由题意得：． 整理得：， 解得：，， 由于要使得销量尽可能多，，y随x的增大而减小，因此舍去， 所以． 答：该企业应将智能手办的实际售价定为300元/件． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的定义及一般形式 考点二 一元二次方程的解 考点三 解一元二次方程 考点四 一元二次方程根与系数的关系 考点五 一元二次方程的应用 05 重难题型突破 题型一 一元二次方程的定义及一般形式 题型二 一元二次方程的解求参数的值 题型三 解一元二次方程 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型五 利用一元二次方程根与系数的关系求值 题型六 判别式和根与系数的关系综合问题 题型七 用一元二次方程解决图形问题 题型八 用一元二次方程解决销售问题 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 题型十 一元二次方程中新定义型综合问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 九上第二章“一元二次方程”在期中考试中约占20—25分，是代数板块的重中之重，难度以中等为主，易、中、难比例大致为6∶3∶1。考点集中在方程定义辨析、四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解）、根的判别式及韦达定理。题型上，选择填空多考概念判断、配方变形、判别式求参数范围；解答题常单独考查解方程，并结合增长率、面积、营销等实际问题列方程求解。压轴题偶与几何动点或函数综合，对建模能力要求较高。 识记 掌握一元二次方程的定义与一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），记住直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法。 理解 理解根的判别式 Δ=b²-4ac 与根的关系，掌握根与系数的关系（韦达定理），能不解方程判断根的情况。 应用 能根据方程特征选择最优解法，并解决增长率、传染问题、面积计算等实际问题，期中考试中常与几何图形结合考查。 考点一 一元二次方程的定义及一般形式 1.一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程． （2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个 ； ③未知数的最高次数是 ． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的 最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2.一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成 ． ⚠️概念辨析 1. 定义：只含一个未知数且最高次为2的整式方程；一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。 2. 辨析：a=0时退化，不是一元二次方程；分母含未知数也不是。 考点二 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的 是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． ⚠️概念辨析 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫根；解方程就是求所有根。 2. 辨析：根一定满足原方程；二次方程最多两个实根，但可能无实根或重根。 考点三 解一元二次方程 1.解一元二次方程- 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用 解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 2.解一元二次方程- （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3.解一元二次方程- （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4.解一元二次方程- （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． ⚠️避坑指南 ❌ 先化一般形式再选方法：因式分解、配方、公式法；公式法需判Δ≥0。 ❌ 避坑：约去含未知数的因式会丢根；开方时漏负根；Δ<0时无实根，别硬算。 考点四 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则 ， ，直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= ，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参数的准确取值。 ⚠️易混易错 1. 前提：方程须为一般形式且a≠0，才有x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 2. 易错：忘记先化一般式；用根求参数时忽略Δ≥0检验，导致增解。 考点五 一元二次方程的应用 1.列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2.列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 ． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为 ，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1． ：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2． ：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3． ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5． ：检验所求出的根是否符合所列方程 ⚠️避坑指南 ❌ 步骤：设未知数、列方程、解方程、检验根是否符合实际意义。 ❌ 避坑：增长率为负、长度为负、人数为分数等要舍去；别漏检验和单位。 题型一 一元二次方程的定义与一般形式 典例1 （25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1. 抓定义：只含一个未知数、最高次为2、整式方程，三条件缺一不可。 2. 化一般式：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），准确识别 a、b、c。 迁移应用 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）下列选项中的方程，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 3．（25-26九年级上·广东梅州·期中）若方程的二次项系数是1，则一次项系数是___________． 题型二 一元二次方程的解求参数的值 典例2 （25-26八年级下·浙江杭州·期中）若是一元二次方程的根，则的值为___． 💡破题要诀 1. 代根入方程：把已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。 2. 解参数并检验：解出新方程求参数，注意二次项系数不为0及题设限制。 迁移应用 1．（25-26八年级下·北京·期中）若是关于的方程的根，则的值为_____． 2．（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 题型三 解一元二次方程 典例3 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 💡破题要诀 1. 看结构选方法：能分解因式用因式分解，形如x2=p或(x+m)2=n用直接开平方，否则配方或公式法。 2. 先化简再求解：化为一般式，算判别式定根的情况，最后代入公式或配方得解。 迁移应用 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解下列方程： (1) (2) 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 根据判别式判断一元二次方程根的情况 典例4 （25-26九年级上·广东肇庆·期中）一元二次方程根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能判定 💡破题要诀 1. 化一般式：先整理成 ax²+bx+c=0（a≠0），准确写出 a、b、c。 2. 算判别式：Δ=b²-4ac，Δ>0 两不等根，Δ=0 两相等根，Δ<0 无实根。 迁移应用 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 题型五 利用一元二次方程根与系数的关系求值 典例5 （25-26九年级下·湖北宜昌·期中）已知α，β是方程的两个根，则______． 💡破题要诀 1. 化一般式定系数：整理为 ax²+bx+c=0（a≠0），写出 a、b、c，验证 Δ≥0。 2. 用韦达定理转化：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，将所求式变形代入求值。 迁移应用 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一元二次方程的根为和，则代数式的值为______． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如果，是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是______． 3．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）已知实数a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是________． 题型六 判别式和根与系数的关系综合问题 典例6 （25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 💡破题要诀 1. 先判根况：化一般式算 Δ，由 Δ 符号确定根的存在与相等情况。 2. 再用韦达：在 Δ≥0 前提下，用 x₁+x₂、x₁x₂ 转化所求式，注意隐含条件。 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； (3)若满足，求m的值． 3．（25-26九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的根为 ； (2)求证：无论为何值，方程总有实数根； (3)若，是方程的两个实数根，且，求的值． 题型七 用一元二次方程解决图形问题 典例7 （25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图所示，一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，墙长为，另外三边用长的建筑材料围成． (1)设鸡舍与墙垂直的一边长为，则______ （用含x的式子表示）． (2)当x为多少时，鸡舍面积为？ 💡破题要诀 1. 设未知数建方程：用图形性质（勾股、面积、周长）找等量关系，列一元二次方程。 2. 解方程并取舍：求根后检验是否符合图形实际，舍去负根或不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． (1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，该长方体礼品盒的体积为 ； (2)当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图1，有一张长为、宽为的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）． (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 3．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 题型八 用一元二次方程解决销售问题 典例8 （25-26九年级上·四川成都·期中）国庆假期成都市某景区吸引了各地游客前来参观，据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了尽快减少库存，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低3元，平均每天可多售出600个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应调整为多少元？ 💡破题要诀 1. 抓数量关系：理清售价、进价、销量、利润间关系，用“总利润=单件利润×销量”列方程。 2. 解方程取舍：求根后检验是否符合实际意义，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期中）2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 2．（25-26九年级上·湖南常德·期中）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 3．（25-26九年级上·福建漳州·期中）为了更好推广平和美食——麻枣和枕头饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：麻枣和枕头饼销售方案制定问题 平和糕点历史悠久，平和麻枣，外酥内软，甜而不腻；枕头饼馅料饱满，芝香浓郁．皆为传统名点，馈赠佳品． 素材1 平和麻枣 平和枕头饼       素材2   经统计，该甜品店10月份“平和麻枣”销售量为480盒，12月份销售量为750盒；而“枕头饼”10月份销售量为600盒． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“枕头饼”作降价促销，已知每盒“枕头饼”的成本为10元．经试验，发现该款“枕头饼”每盒每降价1元，月销售量就会增加100盒． 问题解决 任务1 求该甜品店“平和麻枣”10月份到12月份销售量的月平均增长率是多少? 任务2 为了使该店10月份“枕头饼”的总利润达到6300元，求该枕头饼每盒应该降价多少元? 题型九 用一元二次方程解决动态几何问题 典例9 （25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 💡破题要诀 1. 设时间或路程为未知数：用含未知数的式子表示动点相关线段长，依据勾股、面积等列方程。 2. 解方程并检验：求根后结合动点运动范围取舍，舍去不合题意的解。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动，点P，Q同时开始运动． (1)运动几秒后，的面积为？ (2)运动几秒后，的长度为？ (3)P，Q运动过程中，线段能把分成面积相等的两部分吗？如果能，请求出P，Q的运动时间；如果不能，请说明理由． 题型十 一元二次方程中新定义型综合问题 典例10 （25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 💡破题要诀 1. 读懂新定义：逐字理解运算或概念规则，转化为普通代数式或方程。 2. 按规则列解：依定义列一元二次方程，解后检验是否满足定义限制。 迁移应用 1．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； (3)若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，且两根，满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 3．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． 【初步思考】 （1）一元二次方程的衍生点M的坐标为 ； 【尝试应用】 （2）已知一元二次方程． ①求出该方程的衍生点M的坐标； ②由①得到的所有衍生点M都在同一条直线上，该直线的解析式为 ； （3）是否存在b，c，使得不论为何值，一元二次方程的衍生点M始终在直线的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·北京顺义·期中）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·云南怒江·期中）把一元二次方程化成一般形式是_________． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）已知方程的一个根是，则的值是________． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期中）若a是一元二次方程的根，则的值为_____． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 三、解答题 9．（25-26九年级下·山东烟台·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 11．（25-26九年级上·广西玉林·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“完美方程”，并说明理由． (2)已知是关于x的“完美方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 12．（25-26九年级上·重庆万州·期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，该市市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价2000元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低50元．但最低售价不得少于1200元．已知市政府向该公司支付货款30万元，求购买的这种健身器材的套数． 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 2．（25-26九年级上·四川内江·期中）如图，若，（），连接和相交于，过点作于，若，且，为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 三、解答题 5．（25-26八年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1) (2) 6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围． (2)若，求m的值． (3)求的最小值． 7．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 8．（25-26九年级上·广东深圳·期中）2025年粤港澳大湾区全运会筹备工作全面推进，赛事周边文创产品市场热度持续攀升．某文创企业推出“活力大湾区”系列吉祥物智能手办，融合AR互动、赛事资讯实时推送等功能，一经推出便受到市场热烈追捧．经销售部门统计，该系列智能手办在2月份销售1000件，4月份销售1440件． (1)请求出“活力大湾区”系列智能手办从2月份到4月份销售量的月平均增长率． (2)市场调研显示，当每个智能手办售价为200元时，月销售量为3000件；在此基础上，售价每上涨5元，月销售量将减少50件，从生产部门得知，该系列智能手办的生产成本为每件120元． ①设该系列智能手办的售价为x元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于x（元/件）的函数关系式：____________． ②在充分考虑全运会期间市场竞争的情况下，为使月销售利润达到36万元，且使得销量尽可能多，该企业应将智能手办的实际售价定为多少元/件？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $