5.4.3 正切函数的性质与图象知识点梳理-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图象 知识点梳理 · 人教A版 必修第一册 第五章 七面观切 · 断波续形版式 对应教材 5.4.3 正切函数的图象与性质（教材本节标题次序为「图象与性质」，内容相同） ★ 本课三处最要紧：第一，正切不是一条连续的波，而是被竖直渐近线 x = + kπ 切成一段段的曲线，每一段都从 −∞ 升到 +∞；第二，它的最小正周期是 π（不是 2π），因为终边转半圈、sin 与 cos 同时变号，商不变；第三，单调性必须写开区间、且「无递减区间」——不能说「在定义域上递增」。 ★ 七个性质里最该记牢的是：定义域 {x | x ≠ + kπ, k∈Z}、最小正周期 π、正切是奇函数、对称中心 (, 0)、渐近线 x = + kπ。图象不画也该能在脑子里「长」出来。 ★ 比较大小、求最值，靠的是单调性和值域，不是硬算——先判断两个数落在哪一段开区间，再看函数是增是减。 本课地图 · 七面一览 七面是一条曲线的七种「读法」：面一把正切从 sin 与 cos 的商里长出来，面二看它隔多远重复，面三把图象画出来，面四看它关于谁对称，面五看哪些段往上走，面六把对称轴和对称中心一次性收齐，面七看曲线被什么切开。 七面一览：前两面管来源与重复，后五面管图象、对称与升降 面次 这一面看什么 怎么看（工具） 到这一面结束你会 面一 正切从哪来、x 能取哪些 定义 tan x = sin x/cos x，分母为零处无定义 说得出定义域 {x|x≠+kπ} 与值域 R 面二 隔多远重复一次 用 tan(x+π) = tan x 验证 说得出最小正周期是 π 面三 图象长什么样 描点法＋周期平移，找渐近线 能在脑子里画出一支正切曲线 面四 关于谁对称 看 f(−x) 与 f(x) 说出正切是奇函数 面五 哪些段往上走 一个周期里读升降 背出单调递增区间，知道无递减区间 面六 关于哪条线、哪个点对称 从奇偶和周期推出 说出对称中心 (,0)，无对称轴 面七 曲线被什么切开 看分母为零处 说出渐近线 x = + kπ 面一 · 定义与定义域：正切从 sin 与 cos 的商长出 正切函数由正弦、余弦定义：把角的纵坐标除以横坐标，就得到正切值。分母是 cos x，一旦 cos x = 0，这个商就没有意义——正切的「断点」正是由此而来。 定义与定义域：分母一为零，函数就无定义 项目 内容 正切的定义 （cos x ≠ 0） 定义域 {x | x ≠ + kπ, k∈Z} 值域 R 提醒：cos x = 0 当且仅当 x = + kπ（k∈Z），所以定义域要「挖掉」这无穷多个点；挖掉之后，正切值可以取到任意实数，值域是 R。别把定义域写成 {x | x ≠ kπ} 或 {x | x ≠ π + kπ}——那是正弦、余弦的「峰谷」位置，正切在那些点是有定义的。 七面归一：正切从 长出；定义域挖掉 x = + kπ 这无穷多个点，值域是 R。 面二 · 周期性：最小正周期是 π 正切是周期函数。验证 π 是周期，只需看 tan(x + π) 是否等于 tan x： 周期性：kπ 都是周期，最小正周期是 π（不是 2π） 函数 周期（k∈Z 且 k≠0） 最小正周期 正切 y = tan x kπ π 怎么验证：tan(x + π) = = = = tan x，所以 tan(x + π) = tan x。为什么不是 2π？因为终边转半圈，sin x 与 cos x 同时变号，它们的商不变——半圈就重复了。k = 0 时 T = 0 不是周期（定义要求非零常数）。 七面归一：正切的最小正周期是 π——终边转半圈、sin 与 cos 同时变号，商不变，所以半圈就重复。 面三 · 图象：描点连成一支，平移续出全部 图象一律零图片：用「描点法」取一个周期内的几个特殊点，连成光滑曲线，再利用周期 π 平移得到全部。不依赖额外几何构造，纯靠数值与平移描述。 描点：（−, ）、（−, −1）、（0, 0）、(, 1）、(, ) x tan x 位置说明 在 x 轴下方，靠左渐近线一侧 −1 在 x 轴下方 0 0 过原点 1 在 x 轴上方 在 x 轴上方，靠右渐近线一侧 画三步：① 在 (−, ) 内把上面的点连成一条从 −∞ 升到 +∞、过原点的光滑曲线；② 直线 x = 、x = 是这条曲线的两条竖直渐近线（曲线无限靠近却永不碰到）；③ 由周期 π，把这一段向左、右平移，就得到全部图象——相邻两条渐近线之间各有一支，形状完全相同，且都单调递增。 七面归一：图象＝一支断波：在 (−, ) 内从 −∞ 升到 +∞、过原点；x = + kπ 是渐近线；靠周期 π 平移续出全部支。 面四 · 奇偶性：正切是奇函数 判断奇偶性看 f(−x) 与 f(x) 的关系：若 f(−x) = −f(x) 则为奇函数（图象关于原点对称）。 奇偶性：从 f(−x) 与 f(x) 的关系直接判断 函数 奇偶性 依据 正切 y = tan x 奇函数 tan(−x) = −tan x，图象关于原点对称 提醒：正切的奇偶性不用硬记——图象「长相」已经决定了它。一支断波关于原点旋转半圈与自己重合（奇），而且对称中心 (, 0) 里当 k 为偶数就是原点本身，也印证了这一点。 七面归一：正切是奇函数：tan(−x) = −tan x，图象关于原点中心对称。 面五 · 单调性：每段都增，没有递减区间 正切在每一个开区间 (− + kπ, + kπ) 上都单调递增——相邻渐近线之间各有一支，且都上升。 单调性：每一支都递增，整条曲线没有下降的一段 区间（k∈Z） 单调性 说明 (− + kπ, + kπ) 单调递增 相邻渐近线之间各有一支，且都上升 —— 无单调递减区间 正切没有下降的一段 提醒：单调性必须写开区间——在 x = + kπ 处函数根本没定义，不能写闭区间；更不能说「正切在定义域上单调递增」，因为定义域被渐近线切成一段一段，跨段并不单调（例如从一支的右端跳到下一支的左端，函数值从 +∞ 跌回 −∞）。正切无单调递减区间。比较大小先定位两个数落在哪一段：若都在同一段开区间内，函数递增，自变量大的函数值也大。 七面归一：正切在 (− + kπ, + kπ) 单调递增；必须写开区间，且整条曲线无递减区间。 面六 · 对称性：只有中心对称，没有对称轴 正切曲线是中心对称图形：所有对称中心都在 x 轴上。它绕任何竖直线翻折都不能与自己重合，所以没有对称轴。 对称性：中心在 (, 0)，无对称轴 对称类型 结论 说明 中心对称 对称中心 (, 0)（k∈Z） 函数值为 0 处（kπ, 0）与渐近线过 x 轴处（ + kπ, 0）都是中心 轴对称 没有对称轴 正切曲线绕任何竖直线翻折都不与自己重合 提醒：对称中心写 (, 0) 这类「与 x 轴交点／函数值为 0 处」即可，这类点在 4.5 才有正式名目，本课就按「交点」说。对称中心有两个来源：函数值为 0 的点 (kπ, 0)，以及渐近线穿过 x 轴的点 ( + kπ, 0)；合起来正是 (, 0)。 七面归一：正切是中心对称、无轴对称：对称中心 (, 0)，没有对称轴。 面七 · 渐近线：曲线被竖直线切成一段段 正切图象有无限多条竖直渐近线，恰好是定义域里被「挖掉」的那些 x。 渐近线：x = + kπ，把曲线切成一段段 渐近线方程 夹出的区间 说明 x = + kπ（k∈Z） (− + kπ, + kπ) 两条相邻渐近线之间恰有一支曲线 提醒：渐近线 x = + kπ 与定义域里「挖掉」的点一一对应——分母 cos x = 0 的地方，曲线被切开。每两条相邻渐近线之间恰好一支曲线，且由周期 π 可知各支形状完全相同、都单调递增。 七面归一：渐近线是 x = + kπ，与定义域挖掉的点一一对应；每两条之间恰有一支曲线。 课本一角 · 周期是 π，不是 2π 为什么正弦、余弦的最小正周期是 2π，而正切只有 π？回到单位圆看：转 π（半圈）后，角 x 的终点与 x + π 的终点正好关于原点对称，于是纵坐标、横坐标同时变号，它们的商 sin/cos 不变——正切半圈就重复。而正弦、余弦各自只变号不抵消，要转整圈（2π）才回到原值。后来人们发现，单摆、交流电的起伏用正弦、余弦描述，而坡度、折射角这类「比值」问题则归到正切——「周期 π」与「中心对称」正是正切能被简洁刻画的底气。 收束 · 七面速查卡 七条性质收在一张表里，考前翻一眼就够。 七面总表（k∈Z，区间端点含分数均走 OMML 竖式） 性质 正切 y = tan x 定义 （cos x ≠ 0） 定义域 {x | x ≠ + kπ, k∈Z} 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调递增 (− + kπ, + kπ)（k∈Z） 单调递减 无 对称中心 (, 0)（k∈Z） 对称轴 无 渐近线 x = + kπ（k∈Z） 七面归一：正切从 长出，定义域挖掉 x = + kπ、值域 R；最小正周期 π，是奇函数；在 (− + kπ, + kπ) 单调递增、无递减区间；对称中心 (, 0)、没有对称轴；渐近线 x = + kπ 把曲线切成一段段。记住「一支断波、半圈重复、过原点、无轴只有心」，正切就装进脑子里了。 过关自测 满分 100 分：选择题 6 题，每题 5 分，共 30 分；填空题 4 题，每题 5 分，共 20 分；解答题 3 题，共 50 分。答案与解析在文末。 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1. 函数 y = tan x 的定义域是（ ） A.R B.{x | x ≠ kπ, k∈Z} C.{x | x ≠ + kπ, k∈Z} D.{x | x ≠ π + kπ, k∈Z} 2. 函数 y = tan x 的最小正周期是（ ） A.π B.2π C. D.4π 3. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A.y = tan x B.y = cos x C. D. 4. 函数 y = tan x 在区间 (−, ) 上（ ） A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 5. 正切曲线 y = tan x 的对称中心是（ ） A.(kπ, 0)（k∈Z） B.(kπ + , 0)（k∈Z） C.(, 0)（k∈Z） D.(0, 0) 6. 正切曲线 y = tan x 的渐近线方程是（ ） A.x = kπ B.x = + kπ C.x = 2kπ D.y = 0 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 7. 函数 y = tan x 的值域是 ______。 8. 函数 y = tan x 是 ______ 函数（填「奇」或「偶」）。 9. 函数 y = tan x 的渐近线方程是 x = ______（k∈Z）。 10. 函数 y = tan x 在区间 (− + kπ, + kπ)（k∈Z）上的单调性是 ______。 三、解答题（共 50 分） 11.（14 分）写出函数 y = tan x 的定义域、值域、最小正周期，并说明它的奇偶性。 12.（18 分）比较 与 的大小，并说明理由。 13.（18 分）求函数 y = tan(2x − ) 的定义域与最小正周期。 参考答案与解析 一、选择题答案：1～6 依次为 C、A、A、A、C、B 1. C。tan x = ，cos x = 0 即 x = + kπ 时无定义，故定义域 {x|x≠+kπ}；A 是值域，B、D 挖错了点。 2. A。正切的最小正周期是 π；tan(x+π) = tan x。 3. A。tan(−x) = −tan x，正切是奇函数；B 余弦是偶，C 是偶，D 非奇非偶。 4. A。正切在 (−, ) 上单调递增；它无递减区间。 5. C。正切的对称中心是 (, 0)（k∈Z），含 (kπ,0) 与 (+kπ,0) 两类；A 只取到函数值为 0 的那一半，B 是余弦的对称中心。 6. B。渐近线 x = + kπ；A 是正弦的对称轴、也是正切对称中心横坐标之一，并非渐近线。 二、填空题答案 7. R。正切值可取到任意实数。 8. 奇。tan(−x) = −tan x。 9. + kπ（k∈Z）。渐近线过定义域被挖掉的点。 10. 单调递增（或「递增」）。每一段开区间内都上升，且无递减区间。 三、解答题解析 11.（14 分） 定义域：{x | x ≠ + kπ, k∈Z}；值域：R；最小正周期：π。 奇偶性：奇函数。理由：对任意 x（在定义域内），tan(−x) = −tan x，即 f(−x) = −f(x)，图象关于原点对称。 12.（18 分） < 。理由：、 都在开区间 (−, ) 内（约 0.63、1.26，都小于 1.57），而 y = tan x 在 (− + kπ, + kπ) 上单调递增；取 k = 0 得 (−, ) 递增。因为 < ，所以 < 。 13.（18 分） 定义域：2x − ≠ + kπ（k∈Z），即 2x ≠ + kπ，得 x ≠ + （k∈Z）。 最小正周期：T = 。 学科网（北京）股份有限公司 $