5.4.2角平分线性质的应用课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

2026-10-08

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# 湘教版数学八年级上册 5.$\boldsymbol{4}$.2 角平分线性质的应用专项练习 ## 知识点回顾角平分线性质：角平分线上的点到角两边的垂线段距离相等。角平分线逆定理：在角的内部$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)到角两边距离相等的点$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)在这个角的平分线上。 ✅应用常见题型： 1. 求线段长度； 2. 证明线段相等； 3. 证明角相等； $\boldsymbol{4}$. 三角形内心（三条角平分线交点）$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)内心到三边距离相等； 5. 实际作图$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)选址问题（到角两边距离相等的点）。 > 核心条件：看到角平分线 + 垂直 → 直接得到垂线段相等。满分：100分时间：$\boldsymbol{4}$0分钟 ## 一$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)选择题（每题$\boldsymbol{4}$分$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)共20分） 1. 如图$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$OP$平分$\angle AOB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$PM\perp OA$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$PN\perp OB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)若$$PM=6$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)则$PN$的长为（） A.3 B.6 C.9 D.12 2. 在$\triangle ABC$中$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$AD$是角平分线$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DE\perp AB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DF\perp AC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)下列一定成立的是（） A.$$BD=CD$$ B.$$DE=DF$$ C.$$AB=AC$$ D.$\angle B=\angle C$ 3. 三角形内一点到三边距离相等$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)这个点是三角形（） A.三条高线交点 B.三条中线交点 C.三条角平分线交点 D.三边垂直平分线交点 $\boldsymbol{4}$. $\triangle ABC$中$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$\angle C=90^\circ$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$AD$平分$\angle CAB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$BC=8$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$BD=5$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)则点$D$到$AB$的距离是（） A.3 B.5 C.8 D.13 5. 下列应用题$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)适合用角平分线性质解决的是（） A.求三角形内角和 B.找区域内到两条道路距离相等的点 C.求斜边长度 D.证明两线段中点相同 ## 二$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)填空题（每题$\boldsymbol{4}$分$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)共20分） 1. 角平分线上的点到角两边的________相等。 2. $\triangle ABC$中$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)角平分线交于点$I$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)则点$I$到________距离相等。 3. $OC$平分$\angle AOB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)点$P$在$OC$上$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$PM\perp OA$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$PM=\(\boldsymbol{7}$\)$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)则$P$到$OB$距离为________。 $\boldsymbol{4}$. 在直角三角形中$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)角平分线交点到直角边的距离$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)是利用________定理求解。 5. 要找一个点在角内部且到角两边距离相等$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)则该点一定在________。 ## 三$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)基础解答题（每题8分$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)共32分） 1. 已知：在$\triangle ABC$中$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$AD$平分$\angle BAC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DE\perp AB$于$E$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DF\perp AC$于$F$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$DE=\(\boldsymbol{4}$\)$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)求$DF$的长度。 2. 判断对错$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)并说明理由（1）$AD$平分$\angle BAC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)点$D$在$AD$上$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)连接$DB$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)DC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)则$$DB=DC$$。（2）三角形内心到三边的距离相等。 3. 已知：$\angle C=90^\circ$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$AD$平分$\angle CAB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DE\perp AB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)垂足为$E$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$CD=3$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)求$DE$的长。 $\boldsymbol{4}$. 如图$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$BD$平分$\angle ABC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DE\perp AB$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DF\perp BC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$AB=8$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$BC=6$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$DE=5$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)求$DF$。 ## 四$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)拓展提升题（每题1$\boldsymbol{4}$分$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)共28分） 1. 已知：在$\triangle ABC$中$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$\angle C=90^\circ$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$AD$平分$\angle BAC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$BC=10$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$$BD=6$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)求点$D$到$AB$边的距离。 2. 已知：$\triangle ABC$的角平分线$AM$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)BN$交于点$P$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$PD\perp AB$于$D$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$PE\perp BC$于$E$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$PF\perp AC$于$F$。求证：点$P$在$\angle C$的平分线上。 --- # 参考答案与解析 ## 一$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)选择题 1.B 2.B 3.C $\boldsymbol{4}$.A 5.B ## 二$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)填空题 1. **垂线段距离** 2. **三边** 3.$\boldsymbol{$\boldsymbol{7}$}$ $\boldsymbol{4}$. **角平分线** 5. **这个角的平分线上** ## 三$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)基础解答题 1. 解： $\because AD$平分$\angle BAC$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)DE\perp AB$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)DF\perp AC$ $\therefore DF=$DE=\(\boldsymbol{4}$\)$（角平分线上的点到角两边距离相等）答：$DF=\boldsymbol{$\boldsymbol{4}$}$。 2.（1）×；没有垂直条件$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DB$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)DC$不是垂线段$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)不一定相等。（2）√；三角形三条角平分线交于内心$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)内心到三边距离相等。 3. 解： $\because AD$平分$\angle CAB$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)\angle C=90^\circ$即$DC\perp AC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$DE\perp AB$ $\therefore DE=$CD=3$$ 答：$DE=\boldsymbol{3}$。 $\boldsymbol{4}$. 解： $\because BD$平分$\angle ABC$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)DE\perp AB$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)DF\perp BC$ $\therefore DF=$DE=5$$ 答：$DF=\boldsymbol{5}$。 ## 四$DB\(AM\(DB、DC$BN\)DC\)拓展提升题 1. 解： $\because $BC=10$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$BD=6$$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$\therefore CD=BC-BD=10-6=$\boldsymbol{4}$$ $\because AD$平分$\angle BAC$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)\angle C=90^\circ$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)DE\perp AB$ $\therefore D$到$AB$距离$$DE=CD=\(\boldsymbol{4}$\)$ 答：点$D$到$AB$距离为$\boldsymbol{$\boldsymbol{4}$}$。 2. 证明： $\because AM$平分$\angle BAC$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)PD\perp AB$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)PF\perp AC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$\therefore PD=PF$ $\because BN$平分$\angle ABC$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)PD\perp AB$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)PE\perp BC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)$\therefore PD=PE$ $\therefore PE=PF$ 又$\because PE\perp BC$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)PF\perp AC$$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)点$P$在$\triangle ABC$内部 $\therefore$点$P$在$\angle C$的平分线上（角平分线逆定理） ## 易错警示 1. 做题前提**必须有两条垂直**$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)没有垂直不能直接用角平分线性质； 2. 区分：内心（角平分线交点$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)到三边距离相等）；外心（垂直平分线交点$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)到三顶点距离相等）； 3. 应用题审题：距离=垂线段$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)不是斜线段； $\boldsymbol{4}$. 逆定理使用$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)一定要说明点在角**内部**。第五章到此全部结束！下一章：**6.1.1 函数**$\angle CAB\(\because BC=10\(\because PE\perp BC，PF\perp AC$BD=6\)\angle C=90^\circ\)继续同模板出题吗？湘教版（新教材）数学八年级上册 5.4.2角平分线性质的应用授课教师： . 班级： 8年级（）班 . 时间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章直角三角形如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC, AB，AC边上的点.若BE=CF，S∆BDE=S∆CDF，则点D在∠BAC的平分线上吗? 新知探究说一说新知探究思考如图，已知EF⊥CD于点E，EF⊥AB于点F，MN⊥AC于点N，M是EF的中点.需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢? CM为∠ACD的平分线分析：根据条件需MN=EM AM为∠CAB的平分线根据条件需MN=FM 已知EM=FM 需要添加一个什么条件? MN=EM MN=FM 新知探究添加条件MN=MF可以吗？若添加MN=EM 因为ME⊥CD，MNLAC,MN=ME, 所以点M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线. 又M是EF的中点，则MF=ME=MN. 同理可证AM是∠CAB的平分线. 典例分析例2 如图，在△ABC的外角∠CAD的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 分析： BE+PF 必须把BE、PF转化到一条线段上或一个三角形中根据题意可以将PF转化成PE BE、PE、PB是一个三角形的三边典例分析解因为AP是∠CAD的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，所以PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB, 因此BE+PF>PB. 返回 1．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 举一反三 7 2. 如图，直线，，表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处返回举一反三 8 新知探究做一做任意作一个△ABC，在△ABC内部找一点P，使其到三边的距离相等. A B C P N M D E F 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上根据题意可知点P在∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分线上找点P，只要画△ABC中任意两个内角的角平分线在△ABC中分别作∠BAC与∠ABC的平分线，它们交于点P 这个点P为什么到三边的距离相等呢？新知探究 A B C P N M D E F 证明.过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，垂足分别为点D，E，F. 因为AP是∠BAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以PD=PE. 因为BP是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF⊥BC, 所以PD=PF. 故PD=PE=PF，因此P为所求作的点. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 返回 3．[泰安市期中]如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________． 75° 举一反三 11 4．如图，小明将两把完全相同的长方形直尺（单位：）如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点,在这把直尺上的刻度读数分别是和，则的长度是______. 举一反三 12 【点拨】如图,过点作，垂足为 .因为是两把完全相同的长方形直尺，所以.易知，所以是的平分线,所以 . 因为点,在这把直尺上的刻度读数分别是和，所以 . 由题知，所以，所以，所以 . 返回举一反三 13 5．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________． 50° 举一反三 14 返回【点拨】如图，过点O，O′，O″分别作OD⊥AB于D，O′E⊥BC于E，O″F⊥CA′于F.因为直线MN∥l，所以OD＝O′E＝O″F，所以点O为△ABC三条内角平分线的交点，所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝2(180°－∠BOC)＝2(180°－115°)＝130°，所以∠BAC＝50°. 举一反三 6. 如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝______． 3.5 举一反三 16 返回【点拨】因为△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，所以PE＝PF，PF＝PG.所以PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，PE＝PF，BP＝BP，所以Rt△BEP≌Rt△BFP，所以BE＝BF，同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，因为AB＝8，AC＝6，所以BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x.因为BC＝BF＋CF＝7，所以8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，所以AE＝3.5. 举一反三 7．如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图．返回举一反三 18 8. [宣城市自主招生]如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线恰相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　) A．S1＋S3＝S2＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4 C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＝S3 A 举一反三 19 谢谢观看 THANKS $

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