第07讲 万有引力定律及其应用（复习讲义）（天津专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

第07讲 万有引力定律及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 开普勒定律 考点二 万有引力定律 考点三 天体质量和密度的计算 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 开普勒定律 —— 全国卷·T15（天都一号卫星） 浙江1月卷·T6（哈雷彗星） 江苏卷·T5（鹊桥二号） 万有引力定律 江苏卷·T7（探月卫星引力比较） 黑吉辽蒙卷·T9（拉格朗日点） 全国卷·T15（天都一号） 四川卷·T6（卫星追及） 全国甲卷（嫦娥六号） 湖北卷·T4（太空碎片） 天体质量和密度的计算 —— 陕晋青宁卷·T2（天问三号火星质量） 江苏卷·T5（月球与地球质量比） 考情分析 题型与考向：高考对万有引力定律的考查，以选择题为主，难度中等。命题常以我国航天工程（鹊桥中继星、探月工程等）为情境，考查开普勒第三定律的应用、万有引力定律的理解、天体质量与密度的估算。试题侧重比例运算和模型转换能力。 情境与立意： 1.科技前沿类：探月工程、鹊桥中继卫星、空间站等我国航天成就。 2.学习探究类：开普勒定律的迁移应用、天体质量估算方法 复习目标 1.理解开普勒行星运动三定律，能运用开普勒第三定律解决轨道与周期的对应问题。 2.理解万有引力定律的内容和适用条件，会用引力公式进行力的大小比较和方向判断。 3.掌握天体质量和密度的估算方法，能利用"万有引力提供向心力"或"重力等于万有引力"两条思路求解中心天体质量。 4.了解地球表面重力加速度随纬度、高度的变化规律。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 开普勒定律 知●识●解●构 开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津西青·期中）（多选）2025年1月10日，由中国团队开发的DeepSeek人工智能软件一经发布，火爆全球。资深天文爱好者小明同学用该软件搜索“火星与地球的重要参数比较”，得到如图所示的信息。已知火星、地球都是绕太阳公转的行星，忽略天体自转对重力的影响，根据表格中的数据，则下列分析正确的是（     ） 火星 地球 直径/km 质量/kg 与太阳的平均距离 A．火星的公转周期比地球的公转周期大 B．火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度 C．轨道半径相等的火星卫星和地球卫星角速度大小相等 D．火星表面附近的重力加速度大于地球表面重力加速度 变式训练1（25-26高一下·天津河东·期末）2025年11月1日，神舟二十一号飞船与空间站天和核心舱对接成功。飞船的变轨过程可简化为如下模型：飞船变轨前绕地球稳定运行在圆形轨道I上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱在圆形轨道Ⅲ上绕地球沿逆时针方向运行，轨道I和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，下列说法正确的是（     ） A．飞船在轨道I上的线速度小于天和核心舱在轨道Ⅲ上的线速度 B．飞船在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度 C．飞船应先变轨到轨道Ⅲ，然后再加速与天和核心舱对接 D．飞船在轨道Ⅱ上从A向B运行的过程中速度增大 变式训练2（25-26高一下·天津·期末）（多选）如图所示为发射航天器至运行轨道的过程示意图。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P点、Q点。下列说法正确的是（     ） A．航天器在轨道2上的运行周期大于其在轨道3上的运行周期 B．航天器在轨道2上Q点的速度小于其在轨道3上Q点的速度 C．航天器在轨道2上从P点运动到Q点过程中，受到的万有引力对其做负功 D．航天器在轨道1上运行时的机械能大于其在轨道3上运行时的机械能 变式训练3（24-25高一下·天津滨海新区·阶段检测）（多选）北京冬奥会开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（     ） A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大 B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间 C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值相同 变式训练4（25-26高一下·天津河东·阶段检测）如图所示，在某行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为，则行星（     ） A．从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间 B．从b到c的运动时间等于从d到a的时间 C．从到的时间 D．从到的时间 变式训练5（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，我国某环境监测卫星沿椭圆轨道绕地球运行，下列说法正确的是（　　） A．该卫星近地点的速度小于远地点速度 B．该卫星近地点加速度大于远地点加速度 C．该卫星周期小于与近地点高度相同的圆轨道卫星的周期 D．该卫星远地点的运行速度大于与远地点高度相同的圆轨道卫星速度 考点二 万有引力定律 知●识●解●构 1.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。 (2)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg=G，得g=。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=，得g'=。 考●向●破●译 例（24-25高一下·天津·阶段检测）年月日时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布。该黑洞半径为，质量和半径的关系满足：（其中为光速，为引力常量）。若天文学家观测到距黑洞中心距离为的天体以速度绕该黑洞做匀速圆周运动，则（     ） A．该黑洞质量为 B．该黑洞质量为 C．该黑洞的半径为 D．该黑洞的半径为 变式训练1（24-25高一下·天津滨海新区·期中）（多选）太阳系各行星几乎沿同一平面内同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示： 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 20 2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示，根据以上信息可以得出（     ） A．火星与地球绕太阳运动的周期比约为27：8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4 D．由表格信息可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 变式训练2（25-26高一下·天津西青·期中）在某行星和地球表面以相同的速率分别竖直上抛一个物体，它们各自返回抛出点的时间之比为，已知该行星质量约为地球质量的4倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径为（     ） A． B． C． D．2R 变式训练3（25-26高一下·天津西青·期末）有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力大小为F，若两球心间的距离变为原来的2倍，则此时两球间的万有引力大小变为（     ） A． B． C． D． 变式训练4（25-26高一下·天津津南·期末）如图所示，将地球视为均匀球体，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B，它们均随地球自转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等时，下列说法正确的是（     ） A．物体A的线速度大小等于物体B的线速度大小 B．物体A的周期大于物体B的周期 C．物体A的向心加速度大于物体B的向心加速度 D．物体A受到的万有引力小于物体B受到的万有引力 变式训练5（25-26高一下·天津·期末）2025年12月27日我国第二代静止轨道气象卫星发射成功，标志着我国气象卫星观测能力达到国际先进水平。其发射过程可简化为：先进入近地圆轨道I（轨道半径为），经椭圆轨道Ⅱ变轨，在远地点进入圆轨道Ⅲ（轨道半径为）。已知地球表面附近的重力加速度为，地球的半径为，引力常量为，点火过程时间极短，卫星质量变化可忽略。求： (1)地球的质量； (2)卫星在轨道I上运行的速度大小； (3)卫星在轨道Ⅲ上运行的周期大小。 考点三 天体质量和密度的计算 知●识●解●构 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr，得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例5　某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津西青·期中）在天文学中，通常要测量恒星和星系的体积、直径、质量、运动速度等参数，其中引力计算法是常用方法之一。现已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，地球绕太阳公转的周期为，日地中心间距为r，近地卫星绕地球表面做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。下列天体参数的计算正确的是（     ） A．地球的质量 B．太阳的质量 C．地球的平均密度 D．地球的平均密度 变式训练1（25-26高三上·天津和平·期中）（多选）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（　　） A．月球的第一宇宙速度为 B．月球平均密度为 C．“嫦娥五号”所在轨道处重力加速度为 D．月球表面重力加速度为 变式训练2（25-26高一下·天津河西·期中）中国在深空探测领域的技术已进入世界先进行列。假设探测飞船绕某行星做匀速圆周运动，已知探测飞船在某条高空轨道运行的环绕周期为、线速度大小为，引力常量为。则下列物理量能被推算出来的是（     ） A．探测飞船的向心加速度大小 B．探测飞船受到的万有引力 C．探测飞船的质量 D．行星的密度 变式训练3（25-26高一下·天津河北·期末）2026年4月17日，神舟二十一号乘组航天员开展时长约5.5小时的出舱活动，在空间站机械臂与地面科研人员的配合支持下，顺利完成空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等预定任务。已知空间站运行轨道距离地面高度为h，环绕地球做匀速圆周运动；地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，引力常量为G。若将地球视作质量均匀分布的球体，且不考虑地球自转的影响，求： (1)地球的质量M； (2)地球的密度ρ； (3)空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T。 变式训练4（25-26高一下·天津西青·期末）2025年11月25日神舟二十二号飞船与“天宫”空间站对接，宣告我国载人航天首次应急救援任务告捷。我国空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，已知地球半径为R，空间站轨道距离地球表面的高度为h，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求： (1)地球的质量M； (2)地球的第一宇宙速度的大小v； (3)空间站绕地球运动的周期T。 变式训练5（25-26高一下·天津南开·阶段检测）一质量为m=16 kg卫星，现用火箭将其发射，当火箭的加速度为（方向竖直向上）时，卫星的视重为90 N。最终卫星被定位在预定轨道，测得卫星在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ（单位为弧度），轨道半径为r。地球表面重力加速度为g（取10 m/s2），引力常量为G，不考虑地球自转。求： (1)卫星的视重为90 N时，火箭离地球表面的高度为地球半径的几倍？ (2)地球的平均密度（结果用题中物理量的符号表示）。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 万有引力定律及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 开普勒定律 考点二 万有引力定律 考点三 天体质量和密度的计算 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 开普勒定律 —— 全国卷·T15（天都一号卫星） 浙江1月卷·T6（哈雷彗星） 江苏卷·T5（鹊桥二号） 万有引力定律 江苏卷·T7（探月卫星引力比较） 黑吉辽蒙卷·T9（拉格朗日点） 全国卷·T15（天都一号） 四川卷·T6（卫星追及） 全国甲卷（嫦娥六号） 湖北卷·T4（太空碎片） 天体质量和密度的计算 —— 陕晋青宁卷·T2（天问三号火星质量） 江苏卷·T5（月球与地球质量比） 考情分析 题型与考向：高考对万有引力定律的考查，以选择题为主，难度中等。命题常以我国航天工程（鹊桥中继星、探月工程等）为情境，考查开普勒第三定律的应用、万有引力定律的理解、天体质量与密度的估算。试题侧重比例运算和模型转换能力。 情境与立意： 1.科技前沿类：探月工程、鹊桥中继卫星、空间站等我国航天成就。 2.学习探究类：开普勒定律的迁移应用、天体质量估算方法 复习目标 1.理解开普勒行星运动三定律，能运用开普勒第三定律解决轨道与周期的对应问题。 2.理解万有引力定律的内容和适用条件，会用引力公式进行力的大小比较和方向判断。 3.掌握天体质量和密度的估算方法，能利用"万有引力提供向心力"或"重力等于万有引力"两条思路求解中心天体质量。 4.了解地球表面重力加速度随纬度、高度的变化规律。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 开普勒定律 知●识●解●构 开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 =k，k是一个与行星无关的常量 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津西青·期中）（多选）2025年1月10日，由中国团队开发的DeepSeek人工智能软件一经发布，火爆全球。资深天文爱好者小明同学用该软件搜索“火星与地球的重要参数比较”，得到如图所示的信息。已知火星、地球都是绕太阳公转的行星，忽略天体自转对重力的影响，根据表格中的数据，则下列分析正确的是（     ） 火星 地球 直径/km 质量/kg 与太阳的平均距离 A．火星的公转周期比地球的公转周期大 B．火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度 C．轨道半径相等的火星卫星和地球卫星角速度大小相等 D．火星表面附近的重力加速度大于地球表面重力加速度 【答案】AB 【详解】A．绕同一中心天体（太阳）公转时，由开普勒第三定律：（为仅与中心天体有关的常量），轨道半长轴（与太阳平均距离）越大，公转周期越大。火星轨道半长轴大于地球，因此火星公转周期更大，故A正确； B．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，由万有引力提供向心力： 整理得第一宇宙速度公式：。 代入表格数据得比值：​​​，其中​​，，计算得，因此火星第一宇宙速度小于地球，故B正确； C．绕行星运行的卫星，万有引力提供向心力：，整理得​​，为中心天体（行星）的质量。火星和地球质量不同，轨道半径相等时，角速度不相等，故C错误； D．忽略自转影响，行星表面重力等于万有引力： 整理得，计算比值：，因此火星表面重力加速度小于地球，故D错误。 故选 AB。 变式训练1（25-26高一下·天津河东·期末）2025年11月1日，神舟二十一号飞船与空间站天和核心舱对接成功。飞船的变轨过程可简化为如下模型：飞船变轨前绕地球稳定运行在圆形轨道I上，椭圆轨道Ⅱ为飞船的转移轨道，核心舱在圆形轨道Ⅲ上绕地球沿逆时针方向运行，轨道I和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，下列说法正确的是（     ） A．飞船在轨道I上的线速度小于天和核心舱在轨道Ⅲ上的线速度 B．飞船在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度 C．飞船应先变轨到轨道Ⅲ，然后再加速与天和核心舱对接 D．飞船在轨道Ⅱ上从A向B运行的过程中速度增大 【答案】B 【详解】A．在轨道I和轨道Ⅲ上，都有，整理得； 由题可知：轨道I的半径小于轨道Ⅲ的半径，所以飞船在轨道I上的线速度大于天和核心舱在轨道Ⅲ上的线速度，故A错误； B．飞船所受合力等于万有引力，根据牛顿第二定律，有，整理得； 由题可知，飞船在A点到地心的距离相同，因此无论在哪个轨道，经过A点的加速度都相等，故B正确； C．若飞船先变轨到轨道Ⅲ上运行，再加速后会做离心运动而离开轨道Ⅲ，因此不会实现与天和核心舱对接，故C错误； D．A、B点分别是椭圆轨道Ⅱ的近地点和远地点，根据开普勒第二定律可知，飞船从A到B过程中速度减小，故D错误。 故选B。 变式训练2（25-26高一下·天津·期末）（多选）如图所示为发射航天器至运行轨道的过程示意图。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P点、Q点。下列说法正确的是（     ） A．航天器在轨道2上的运行周期大于其在轨道3上的运行周期 B．航天器在轨道2上Q点的速度小于其在轨道3上Q点的速度 C．航天器在轨道2上从P点运动到Q点过程中，受到的万有引力对其做负功 D．航天器在轨道1上运行时的机械能大于其在轨道3上运行时的机械能 【答案】BC 【详解】A．设轨道1、3的半径分别为，，地球质量为，航天器质量为，万有引力常量为，且，由图知椭圆轨道2的半长轴为 由开普勒第三定律得 结合，可知，故A错误； B．在点，椭圆轨道2与圆轨道3的轨道半径均为，设椭圆轨道2在，点的速度分别为，，圆轨道3的速度为，由开普勒第二定律，且，点的速度均沿轨道切线方向，得 航天器在椭圆轨道2上仅受万有引力作用，机械能守恒，取无穷远处为零势能面，有 联立前两式得 圆轨道3上由万有引力提供向心力得 整理得 由前述两式得 两速度均为正，所以，故B正确； C．航天器从点运动到点的过程中，地心距离增大，万有引力势能增加。由保守力做功与势能变化的关系得，故C正确； D．对于半径为的圆轨道，航天器仅受万有引力，故 取无穷远处为零势能面，万有引力势能为 圆轨道上航天器的机械能为 由，可知，故D错误。 故选BC。 变式训练3（24-25高一下·天津滨海新区·阶段检测）（多选）北京冬奥会开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（     ） A．夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大 B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间 C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，则地球和火星对应的k值相同 【答案】CD 【详解】A．由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误； B．地球经历春夏秋冬，由图可知是逆时针方向运行，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小；所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误； C．根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确； D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，，k值只与中心天体的质量有关，则地球和火星对应的k值是相同的，故D正确。 故选CD。 变式训练4（25-26高一下·天津河东·阶段检测）如图所示，在某行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点，若行星运动周期为，则行星（     ） A．从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间 B．从b到c的运动时间等于从d到a的时间 C．从到的时间 D．从到的时间 【答案】A 【详解】AB．根据开普勒第二定律可知行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。行星 从d经a到b运动的平均速率大于从b经c到d的平均速率，可知从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的时间； 由b到c运动时的平均速率小于由d到a运动时的平均速率，而弧长bc等于弧长da，故从b到c的运动时间大于从d到a的时间，故A正确，B错误； CD．在整个椭圆轨道上时间与周期的关系满足，，故CD错误。 故选A。 变式训练5（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，我国某环境监测卫星沿椭圆轨道绕地球运行，下列说法正确的是（　　） A．该卫星近地点的速度小于远地点速度 B．该卫星近地点加速度大于远地点加速度 C．该卫星周期小于与近地点高度相同的圆轨道卫星的周期 D．该卫星远地点的运行速度大于与远地点高度相同的圆轨道卫星速度 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第二定律，卫星与地球的连线在相等时间内扫过相等面积。近地点距地心近，相同时间内运动弧长必须大，因此近地点速度大于远地点速度，故A错误； B．根据牛顿第二定律 可得 故加速度大小仅与到地心的距离有关。近地点小，故加速度大；远地点大，故加速度小，故B正确； C．设近地点到地心距离为，则椭圆轨道的半长轴。由开普勒第三定律，因，故，故C错误； D．若卫星做圆周运动，所需向心力恰好等于万有引力，由 可得速度 卫星椭圆轨道远地点两侧的轨迹到地心的距离，小于圆轨道上该点两侧轨迹到地心的距离，若卫星在远地点速度，则卫星接下来会运动到比周围两侧更高的圆轨道上，故该卫星远地点的运行速度要小于与远地点高度相同的圆轨道卫星速度，才能继续待在椭圆轨道，故D错误； 故选B。 考点二 万有引力定律 知●识●解●构 1.万有引力定律 (1)内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。即F=G，G为引力常量，通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。 (2)适用条件 ①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg=G，得g=。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r=R+h处由mg'=，得g'=。 考●向●破●译 例（24-25高一下·天津·阶段检测）年月日时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布。该黑洞半径为，质量和半径的关系满足：（其中为光速，为引力常量）。若天文学家观测到距黑洞中心距离为的天体以速度绕该黑洞做匀速圆周运动，则（     ） A．该黑洞质量为 B．该黑洞质量为 C．该黑洞的半径为 D．该黑洞的半径为 【答案】B 【详解】AB．令黑洞的质量为，环绕天体质量为，根据万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力有 可得黑洞的质量，故A错误，B正确； CD．黑洞质量和半径的关系满足 可得黑洞的半径，故CD错误。 故选B。 变式训练1（24-25高一下·天津滨海新区·期中）（多选）太阳系各行星几乎沿同一平面内同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示： 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 20 2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球的公转轨道半径之比约为3：2，如图所示，根据以上信息可以得出（     ） A．火星与地球绕太阳运动的周期比约为27：8 B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大 C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9：4 D．由表格信息可知，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 【答案】BD 【详解】A．火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律有 可得，故A错误； B．火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确； C．在星球表面根据万有引力定律有 由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误； D．相邻两次冲日的时间间隔满足 解得 由公式可知，外行星的公转周期T星越大（即离太阳越远），冲日时间间隔t越短。表格中海王星的轨道半径最大（20AU），因此其公转周期最大，相邻两次冲日的时间间隔最短，故D正确。 故选BD。 变式训练2（25-26高一下·天津西青·期中）在某行星和地球表面以相同的速率分别竖直上抛一个物体，它们各自返回抛出点的时间之比为，已知该行星质量约为地球质量的4倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径为（     ） A． B． C． D．2R 【答案】B 【详解】竖直上抛物体返回抛出点的时间为，两星球上抛初速率相同，故与成反比。由题意，可得。 星球表面重力近似等于万有引力，有，得，因此。 已知，代入得，解得，B正确。 故选B。 变式训练3（25-26高一下·天津西青·期末）有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力大小为F，若两球心间的距离变为原来的2倍，则此时两球间的万有引力大小变为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设两球质量均为，原球心距为，则 球心距变为后，万有引力大小为== 故选A。 变式训练4（25-26高一下·天津津南·期末）如图所示，将地球视为均匀球体，在地球赤道上的物体A和在天津的物体B，它们均随地球自转而做匀速圆周运动。当两个物体质量相等时，下列说法正确的是（     ） A．物体A的线速度大小等于物体B的线速度大小 B．物体A的周期大于物体B的周期 C．物体A的向心加速度大于物体B的向心加速度 D．物体A受到的万有引力小于物体B受到的万有引力 【答案】C 【详解】A．由图可知，物体在赤道上，物体在天津，它们均随地球自转而做匀速圆周运动，则它们的角速度相等，即，由于物体的转动半径大于物体的转动半径（即），根据线速度与角速度的关系可知，物体的线速度大小大于物体的线速度大小，故A错误； B．根据周期与角速度的关系可知，物体的周期等于物体的周期，故B错误； C．根据向心加速度与角速度的关系可知，由于，则物体的向心加速度大于物体的向心加速度，故C正确； D．由于两个物体质量相等，且它们到地心的距离都等于地球半径，根据万有引力定律可知，物体受到的万有引力大小等于物体受到的万有引力，故D错误。 故选C。 变式训练5（25-26高一下·天津·期末）2025年12月27日我国第二代静止轨道气象卫星发射成功，标志着我国气象卫星观测能力达到国际先进水平。其发射过程可简化为：先进入近地圆轨道I（轨道半径为），经椭圆轨道Ⅱ变轨，在远地点进入圆轨道Ⅲ（轨道半径为）。已知地球表面附近的重力加速度为，地球的半径为，引力常量为，点火过程时间极短，卫星质量变化可忽略。求： (1)地球的质量； (2)卫星在轨道I上运行的速度大小； (3)卫星在轨道Ⅲ上运行的周期大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在地球表面附近，物体受到的万有引力近似等于重力，所以有 所以地球质量为 （2）轨道I为近地圆轨道，轨道半径为R。卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有 所以 又 所以 （3）轨道Ⅲ为圆轨道，轨道半径为，卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 所以 考点三 天体质量和密度的计算 知●识●解●构 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G=mg，得天体质量M=。 (2)天体密度ρ===。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G=mr，得M=。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ===。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ=，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例5　某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津西青·期中）在天文学中，通常要测量恒星和星系的体积、直径、质量、运动速度等参数，其中引力计算法是常用方法之一。现已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，地球绕太阳公转的周期为，日地中心间距为r，近地卫星绕地球表面做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G。下列天体参数的计算正确的是（     ） A．地球的质量 B．太阳的质量 C．地球的平均密度 D．地球的平均密度 【答案】C 【详解】AD．设地球上物体质量为，根据万有引力与重力关系有 解得，故A错误； B．根据万有引力提供向心力有 解得，故B错误； C．设近地卫星质量为，近地卫星满足 解得 地球平均密度，故C正确； D．密度为，故D错误； 故选C。 变式训练1（25-26高三上·天津和平·期中）（多选）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（　　） A．月球的第一宇宙速度为 B．月球平均密度为 C．“嫦娥五号”所在轨道处重力加速度为 D．月球表面重力加速度为 【答案】ABD 【详解】首先由探测器绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得 推导得核心关系 A．第一宇宙速度是近月表面环绕的速度，对近月卫星有 解得 代入 得，故A正确； B．月球质量 月球体积 平均密度，故B正确； C．嫦娥五号所在轨道处的重力加速度等于其向心加速度，即，故C错误； D．月球表面万有引力等于重力 代入 得，故D正确。 故选ABD。 变式训练2（25-26高一下·天津河西·期中）中国在深空探测领域的技术已进入世界先进行列。假设探测飞船绕某行星做匀速圆周运动，已知探测飞船在某条高空轨道运行的环绕周期为、线速度大小为，引力常量为。则下列物理量能被推算出来的是（     ） A．探测飞船的向心加速度大小 B．探测飞船受到的万有引力 C．探测飞船的质量 D．行星的密度 【答案】A 【详解】A．由线速度和周期可求得轨道半径 根据向心加速度公式即可求出向心加速度大小，故A正确； B．因为探测飞船的质量未知，所以根据无法求得探测飞船受到的万有引力，故B错误； C．万有引力提供向心力，由可知，探测飞船的质量可以在等式两边约去，所以无法求出探测飞船的质量，故C错误； D．由可求出中心天体（行星）的质量 但由于行星的半径未知，无法得知其体积，所以无法求出行星的密度，故D错误。 故选A。 变式训练3（25-26高一下·天津河北·期末）2026年4月17日，神舟二十一号乘组航天员开展时长约5.5小时的出舱活动，在空间站机械臂与地面科研人员的配合支持下，顺利完成空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等预定任务。已知空间站运行轨道距离地面高度为h，环绕地球做匀速圆周运动；地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，引力常量为G。若将地球视作质量均匀分布的球体，且不考虑地球自转的影响，求： (1)地球的质量M； (2)地球的密度ρ； (3)空间站绕地球做匀速圆周运动的周期T。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不考虑地球自转影响时，地球表面质量为的物体所受重力等于万有引力， 解得地球质量 （2）将地球视作质量均匀分布的球体，均匀球体的体积公式为 由密度定义得 化简得： （3）空间站绕地球做匀速圆周运动，轨道半径 根据万有引力提供向心力得 结合黄金代换关系 化简得周期 变式训练4（25-26高一下·天津西青·期末）2025年11月25日神舟二十二号飞船与“天宫”空间站对接，宣告我国载人航天首次应急救援任务告捷。我国空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，已知地球半径为R，空间站轨道距离地球表面的高度为h，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响。求： (1)地球的质量M； (2)地球的第一宇宙速度的大小v； (3)空间站绕地球运动的周期T。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设地球的质量为M，对地球表面的物体，有 解得 （2）对贴近地球表面运动的卫星m1，根据万有引力提供向心力得 解得 （3）对空间站，万有引力提供向心力，有 解得 变式训练5（25-26高一下·天津南开·阶段检测）一质量为m=16 kg卫星，现用火箭将其发射，当火箭的加速度为（方向竖直向上）时，卫星的视重为90 N。最终卫星被定位在预定轨道，测得卫星在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ（单位为弧度），轨道半径为r。地球表面重力加速度为g（取10 m/s2），引力常量为G，不考虑地球自转。求： (1)卫星的视重为90 N时，火箭离地球表面的高度为地球半径的几倍？ (2)地球的平均密度（结果用题中物理量的符号表示）。 【答案】(1)3倍 (2) 【详解】（1）设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的竖直向上的支持力或拉力F，物体受到的重力为，是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得      在距离地面h处，物体的重力为10 N，物体的重力等于万有引力 在地球表面： 在距地面h高处： 两式相除可得 解得   （2）在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度为 根据万有引力提供卫星的向心力，则 由 解得 地球的密度为     得。         1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $