第06讲 圆周运动（复习讲义）（天津专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

第06讲 圆周运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 考向1 圆周运动的物理量 考向2 圆周运动各物理量之间的关系 考向3 匀速圆周运动 考点二 圆周运动的动力学问题 知识点1 向心力和向心加速度 考向1 向心力 考向2 向心加速度 知识点2 常见匀速圆周运动模型 知识点3 离心运动和近心运动 考点三 竖直面内圆周运动 考点四 圆周运动的临界问题 考向1 水平面内圆周运动的临界问题 考向2 竖直面内圆周运动的临界问题 考向3 倾斜面上圆周运动的临界问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆周运动的运动学问题 —— 江苏卷·T4，4 分 —— 圆周运动的动力学问题 —— 江苏卷·4~6题，6分 江苏卷·T8，4 分 江苏卷·T10，4 分 竖直面内圆周运动 江苏卷·T14，8 分 —— 圆周运动的临界问题 —— —— 江苏卷·T10，4 分 考情分析 题型与考向：高考对圆周运动的考查，选择题和计算题均有涉及，难度中等偏上。选择题多以实际生活中的圆周运动为情境，考查线速度与角速度的比较、水平面内圆周运动的受力分析；计算题常以竖直面内圆周运动为载体，考查向心加速度与合力的计算。命题侧重模型建构与受力分析能力。 情境与立意： 生活实践类：游乐设施（旋转杯等）、交通工具（汽车过拱形桥）、生产生活（陶瓷制作转盘）等。 学习探究类：圆锥摆动态变化分析、圆周运动临界条件判断。 复习目标 1.理解线速度、角速度、周期、转速等描述圆周运动的物理量，掌握各物理量之间的关系，能分析同轴转动与牵连转动问题。 2.理解向心力和向心加速度的概念，会运用牛顿第二定律分析圆周运动问题，掌握向心力来源的分析方法。 3.掌握水平面内圆周运动的常见模型（转盘模型、圆锥摆模型），能进行受力分析和动态判断。 4.掌握竖直面内圆周运动的绳模型和杆模型，能分析最高点和最低点的受力情况，理解临界条件。 5.了解离心运动和近心运动的条件，能解释生产生活中的相关现象 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 知●识●解●构 1.描述圆周运动的物理量 2.圆周运动各物理量之间的关系 3.匀速圆周运动 (1)物体沿着圆周运动，线速度的大小处处相等。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：= 向心加速度与半径成正比：= 角速度与半径成反比：= 向心加速度与半径成反比：= 角速度与半径成反比：= 向心加速度与半径成反比：= 考●向●破●译 考向1 圆周运动的物理量 例（25-26高一下·天津河东·期末）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标之一。摩天轮直径为110米，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384人观光。若将游客在座舱中观光的运动视为匀速圆周运动，游客在“天津之眼”的最高点与最低点相比（     ） A．线速度相同 B．加速度相同 C．所受合外力大小相等 D．座椅对游客的作用力大小相等 【答案】C 【详解】ABC．速度、加速度、合外力都是矢量，在匀速圆周运动中，这些物理量的大小是不变的，但是方向随时发生变化，AB错误；C正确； D．对于最高点游客，合外力向下，支持力小于重力，对于最低点游客，合外力向上，支持力大于重力，故“天津之眼”对游客在最高点和最低点的作用力大小不相等，D错误。 故选C。 变式训练1（25-26高一下·天津·期末）如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A，把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法中正确的是（     ） A．小球的角速度突然增大到原来的3倍 B．小球的线速度突然增大到原来的3倍 C．小球的向心加速度突然增大到原来的1.5倍 D．小球的向心力突然增大到原来的1.5倍 【答案】A 【详解】AB．碰钉前、后转动半径分别为， 钉子通过细绳对小球的作用力沿细绳方向，与小球的瞬时速度垂直，故线速度大小不变，即 由角速度定义得，，故A正确，B错误。 CD．由向心加速度公式得， 设小球质量为，由向心力公式得， 二者均增大到原来的3倍，故CD错误。 故选A。 变式训练2（25-26高一下·天津河西·期中）“指尖篮球”是篮球爱好者喜欢的一种运动。如图所示，将篮球放在指尖上，轻轻一拨，篮球就在指尖上稳定旋转。关于图示中P、Q两点的运动，下列说法正确的是（　　） A．Q点的角速度比P点的大 B．Q点的线速度比P点的大 C．P点的转动周期比Q点的小 D．P点的向心加速度比Q点的大 【答案】B 【详解】A．同轴转动角速度相等，因此Q点和P点角速度相同，A错误； B．线速度满足，是点到转轴的转动半径，由图可知，相同，因此，B正确； C．转动周期满足，因为相同，因此P、Q周期相等，C错误； D．向心加速度满足，因为，且相同，因此，D错误。 故选B 。 考向2 圆周运动各物理量之间的关系 例（25-26高一下·天津·期末）图1为明代军事著作《武备志》中记载的“襄阳炮”，其核心结构可简化为如图2所示的刚性轻杆模型。烧掉细线后，轻杆可绕固定转轴O转动，转轴O到配重球A的距离为L，到石弹球B的距离为3L。转动过程中，下列说法正确的是（     ） A．角速度=1∶3 B．线速度=1∶3 C．向心加速度=1∶9 D．周期=3∶1 【答案】B 【详解】AB．在任一时刻，刚性轻杆绕固定转轴转动时，杆上各点的角速度相同，由角速度定义得，由线速度与角速度的关系得， 因此，，故A错误，B正确； CD．由前述计算得两球角速度相等。由向心加速度公式得， 因此 两球在刚性杆约束下同步转动，转过一周所用时间相同，因此，故CD错误。 故选B。 变式训练1（25-26高一下·天津西青·期中）（多选）如图所示，两个皮带轮的转轴分别是和，两皮带轮半径分别为r和2r，B轮上的C点到轴心的距离为r，转动时皮带不打滑，则轮上A、B，C三点的线速度、角速度和向心加速度的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A．皮带不打滑，故；B、C同轴，故。 根据 可得，因此，故A正确； B． 由，，可​得：，代入、 可得：，即​，故B错误； C．对A、C：，​​ 可得，故C错误； D．对A、B：​， 可得，故D正确。 故选AD 。 变式训练2（25-26高一下·天津西青·期末）如图a所示，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图b所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。当转台转速恒定时，关于粗坯上P、Q两质点，下列说法正确的是（     ） A．ωP＞ωQ B．vP=vQ C．一个周期内，P通过的位移大小与Q的相同 D．同一时刻P所受合力的方向与Q的相同 【答案】C 【详解】A．粗坯与转台固定并绕同一竖直轴转动，粗坯上各质点的角速度相同，即，故A错误； B．点到转轴的距离大于点到转轴的距离，由，可知，故B错误； C．经过一个周期，、两质点均回到各自的初始位置，位移均为零，故C正确； D．两质点均做匀速圆周运动，所受合力均指向转轴，图示时刻两者位于转轴两侧，合力方向不同，故D错误。 故选C。 考向3 匀速圆周运动 例（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（     ） A．做匀速圆周运动的物体一定处于平衡状态 B．做匀速圆周运动的物体所受合外力的冲量不变 C．做匀速圆周运动的物体所受合外力一定不做功 D．做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的位移相同 【答案】C 【详解】A．平衡状态的条件是物体合外力为零、加速度为零，保持静止或匀速直线运动。匀速圆周运动的物体始终存在指向圆心的向心加速度，合外力不为零，不属于平衡状态，故A错误； B．冲量是矢量，方向与合外力方向一致。匀速圆周运动的合外力始终指向圆心，方向时刻在变化，因此合外力的冲量方向也会随时间改变，冲量是变化的，故B错误； C．匀速圆周运动的合外力始终沿半径指向圆心，与物体的瞬时速度方向（沿圆周切线方向）始终垂直，根据功的定义，力和位移方向垂直时力不做功，因此合外力一定不做功，故C正确； D．位移是矢量，相等时间内匀速圆周运动物体通过的弧长大小相等，但位移的方向是从初位置指向末位置，方向会随运动位置改变，因此位移并不相等，故D错误。 故选 C。 变式训练1（25-26高一下·天津·期末）如图所示，天津之眼是世界上唯一建在水上桥梁的摩天轮，摩天轮边缘悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，P、Q分别是圆周运动的最高点和最低点，下列叙述正确的是（     ） A．摩天轮转动过程中，乘客的线速度保持不变 B．摩天轮转动过程中，乘客的机械能守恒 C．从P点运动到Q点的过程中乘客所受合力的冲量为零 D．从P点运动到Q点的过程中乘客所受合力做功为零 【答案】D 【详解】A．线速度是矢量，包含大小和方向。匀速圆周运动中乘客的线速度大小不变，但方向时刻沿圆周切线变化，因此线速度是变化的，故A错误； B．机械能等于动能与重力势能之和。乘客做匀速圆周运动时动能恒定，但高度不断变化，重力势能随之改变，因此机械能不守恒，故B错误； C．根据动量定理，合力的冲量等于动量变化量。P点和Q点的乘客线速度方向相反、大小相等，动量是矢量，因此初末动量并不相等，动量变化量不为零，即合力冲量不为零，故C错误； D．根据动能定理，合力做功等于动能的变化量。乘客做匀速圆周运动，从P到Q的过程中动能始终不变，初末动能差值为0，因此合力做功为零，故D正确。 故选 D。 变式训练2（25-26高一下·天津南开·阶段检测）关于曲线运动，下列说法正确的有（　　） A．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动 B．做曲线运动的物体，受到的合外力方向一定不断改变 C．只要物体做匀速圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心 D．做曲线运动的物体速度方向在时刻改变，故曲线运动不可能是匀变速运动 【答案】C 【详解】A．匀速圆周运动的合外力为向心力，方向应时刻指向圆心，属于变力。而垂直于初速度方向的恒力方向固定，无法始终与速度方向垂直，例如平抛运动初始时重力与水平初速度垂直，重力是恒力，但物体做平抛运动而非匀速圆周运动，故A错误； B．物体做曲线运动的条件是合外力与速度方向不共线，合外力方向可以恒定，例如平抛运动的合外力为重力，方向始终竖直向下，故B错误； C．匀速圆周运动的速度大小不变，切向合力为零，合外力全部提供向心力，因此一定指向圆心，故C正确； D．匀变速运动的判定依据是加速度恒定，平抛运动是曲线运动，加速度为恒定的重力加速度，属于匀变速曲线运动，故D错误。 故选C。 考点二 圆周运动的动力学问题 知识点1 向心力和向心加速度 知●识●解●构 1.向心力 (1)作用效果 产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)大小 Fn=m=mrω2=mr=mωv。 (3)方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2.圆周运动中向心力与合力的关系 火车转弯 考●向●破●译 考向1 向心力 【重】 例（26-27高三上·天津河西·开学考试）如图所示，长为的细绳一端固定，另一端系一质量为的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为，下列说法中正确的是（     ） A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．越大，小球运动的角速度越小 C．越大，小球运动的速度越大 D．越大，小球运动的周期越大 【答案】C 【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，只受重力和细绳的拉力两个力的作用。 小球的受力情况及绳与竖直方向的夹角如图所示： 向心力是根据力的作用效果命名的力，由重力与绳的拉力共同产生的合力提供，受力分析中不能把向心力当作小球单独受到的力，故A错误； BCD．设小球质量为、绳长为，绳与竖直方向的夹角为，小球做匀速圆周运动的半径为，取小球为研究对象，将绳的拉力沿竖直方向和指向圆心的水平方向分解。竖直方向小球受力平衡，有 水平方向绳拉力的分量提供向心力，有 小球做圆周运动的半径由几何关系给出，即 由以上三式消去和，解得小球运动的角速度 由上式可知，增大时减小，角速度随增大而增大。由线速度与角速度的关系得 因此增大时与都增大，线速度随增大而增大。由周期与角速度的关系得 综上，增大时角速度增大、线速度增大、周期减小，故BD错误，C正确。 故选C。 变式训练1（25-26高一下·天津·期末）如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬于天花板的A点，现使小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为，当地的重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．小球受重力、拉力和向心力的作用 B．小球所受向心力的方向沿细绳指向A点 C．小球做匀速圆周运动的向心力大小 D．小球做匀速圆周运动的角速度为 【答案】D 【详解】A．小球实际只受重力和细线的拉力，向心力是沿半径方向的合力，不是另一个力，故A错误； B．向心力方向沿水平方向指向圆心，不沿细绳指向点，故B错误； CD．小球在竖直方向平衡，水平方向合力提供向心力，有， 圆周半径为 由向心力公式得 联立前述关系得，故C错误，D正确。 故选D。 变式训练2（25-26高三上·天津河北·阶段检测）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是（　　） A．在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力 B．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变 C．摩天轮转动一周的过程中，乘客的向心力保持不变 D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变 【答案】A 【详解】A．在最高点，由乘客重力与座椅的支持力的合力提供向心力，则有 可得 可知，在最高点，乘客重力大于座椅对他的作用力，故A正确； B．乘客在竖直面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能在改变，可知，乘客的机械能发生变化，故B错误； C．乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，乘客的向心力大小不变，方向时刻改变，故C错误； D．令重力与线速度方向夹角为，则乘客重力的瞬时功率 重力一定，线速度大小一定，发生变化，则摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率发生变化，故D错误。 故选A。 考向2 向心加速度 例（24-25高一下·天津东丽·阶段检测）（多选）如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　） A．A物体运动的线速度大小不变 B．A物体运动的角速度大小不变 C．B物体运动的角速度大小不变 D．B物体运动的线速度大小不变 【答案】AC 【详解】AD．双曲线分支，即a与r成反比，满足。​向心加速度公式中，若线速度大小不变，则与成反比，符合图中A的图像规律，故A正确，D错误； BC．过原点的倾斜直线，即a与r成正比，满足。若角速度不变，由可知与成正比，符合图中B的图像规律，故B错误，C正确； 故选AC 。 变式训练1（25-26高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，A、B为咬合传动的两齿轮边缘上的两点，，则A、B两点的（     ） A．线速度之比为 B．角速度之比为 C．周期之比为 D．向心加速度之比为 【答案】D 【详解】A．咬合传动的齿轮，边缘点线速度大小相等，即，故A错误； B．由线速度公式可得 解得，即，故B错误； C．由周期公式可得 解得，即，故C错误； D．由向心加速度公式可得 解得，即，故D正确。 故选D。 变式训练2（24-25高一下·天津河北·阶段检测）如图所示，长度为的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为，g=10m/s2，试求： (1)小球在最低点的向心加速度大小； (2)小球在最低点所受绳的拉力大小； (3)若小球到达最高点时，绳的拉力大小为，此时的速度为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在最低点的向心加速度大小为 （2）小球在最低点时，根据牛顿第二定律有 解得此时小球所受绳的拉力大小为 （3）小球到达最高点时，根据牛顿第二定律有 解得此时小球的速度大小为。 知识点2 常见匀速圆周运动模型 知●识●解●构 常见匀速圆周运动模型 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 洗衣机转筒 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 考●向●破●译 例（26-27高三上·天津南开·阶段检测）（多选）内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个小球a和b紧贴内壁，且a球的质量为b球的两倍，分别在图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（     ） A．a球的线速度必大于b球的线速度 B．a球的角速度必小于b球的角速度 C．a球的运动周期必小于b球的运动周期 D．a球对筒壁的压力必大于b球对筒壁的压力 【答案】ABD 【详解】对小球受力分析，小球受重力与筒壁的支持力，二者的合力提供圆周运动的向心力，设圆锥内壁与水平面的夹角为，竖直方向受力平衡有 水平方向根据牛顿第二定律有 A．解得线速度 由图可知，a球的轨道半径大于b球的轨道半径，则a球的线速度必大于b球的线速度，故A正确； B．解得角速度 由图可知，a球的轨道半径大于b球的轨道半径，则a球的角速度必小于b球的角速度，故B正确； C．解得周期 由图可知a球的轨道半径大于b球的轨道半径，则a球的运动周期必大于b球的运动周期，故C错误； D．小球受到的支持力 由牛顿第三定律可知小球对筒壁的压力 因为a球的质量为b球的两倍，所以a球对筒壁的压力必大于b球对筒壁的压力，故D正确。 故选ABD。 变式训练1（2026·江西·模拟预测）2026年3月29日，在世界超级摩托车锦标赛中，车手驾驶某款中国产赛车连续夺得两回合冠军，实现了零的突破。如图，甲、乙、丙三条虚线为赛车过水平发卡弯（又称形弯）的三种行驶线路，为获得更大的安全过弯速度，应选择的线路是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲、乙均可 【答案】B 【详解】摩托车做圆周运动的向心力由摩擦力提供，则由 可得 因摩擦系数相同，则线路乙的半径越大，越能获得更大的安全转弯速度，应选择线路乙。 故选B。 变式训练2（25-26高三上·四川内江·期中）如图所示，倾角为θ、半径为R的倾斜圆盘，绕过圆心O垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为m的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中A、B分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，OC与OB的夹角为60°。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小物块与圆盘间的动摩擦因数μ=2tanθ。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块从B运动到A的过程，摩擦力先减小后增大 C．小物块在C点时受到的摩擦力大小为 D．小物块从B运动到C的过程中，摩擦力做功mgRsinθ 【答案】C 【详解】A．根据题意可知，小物块随圆盘做匀速圆周运动，其合外力始终指向圆心。对小物块受力分析，小物块受重力、支持力和摩擦力，重力沿圆盘平面有分力，根据平行四边形定则可知摩擦力并不始终指向圆心，故A错误； C．根据题意可知，小物块在最低点恰好相对圆盘静止，则说明摩擦力达到最大静摩擦力，依题意有 又因为，解得 在C点时，摩擦力指向圆心的分力提供向心力，大小为 摩擦力的另一个分力平衡重力沿斜面方向的分力，大小为 两个分力的夹角为60°，故C点所受摩擦力大小为，故C正确； B．根据题意可知，设小物块位置与圆心连线和OA夹角为，结合C选项分析可知小物块从B运动到A的过程，摩擦力大小 由于、大小不变，从B到A，从180°减小到0°，则增大，故摩擦力减小，故B错误； D．根据题意可知，小物块从B运动到C的过程中，由动能定理有 解得摩擦力做功，故D错误。 故选C。 知识点3 离心运动和近心运动 知●识●解●构 .离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)离心运动的本质：并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津滨海新区·期末）下列说法正确的是（     ） A．洗衣机脱水是利用了离心运动的原理 B．火车转弯时的速度越小轮缘越不挤压内侧铁轨 C．汽车匀速经过凹形路面最低点时，汽车处于失重状态 D．汽车过拱形桥最高点时速度越大，汽车对桥的压力越大 【答案】A 【详解】A．洗衣机脱水时，脱水桶高速转动，水滴做圆周运动所需向心力较大，当衣物对水滴的附着作用不足以提供所需向心力时，水滴因离心运动被甩出，利用了离心运动原理，故A正确； B．火车转弯处通常外轨高于内轨，按设计速度通过时，重力和支持力的合力恰好提供向心力，轮缘不挤压铁轨；速度小于设计速度时，所需向心力变小，火车有向内侧运动的趋势，内侧轮缘会挤压内侧铁轨，且速度越小挤压越明显，故B错误； C．汽车匀速经过凹形路面最低点时，向心加速度竖直向上，由牛顿第二定律有 得，汽车处于超重状态，故C错误； D．汽车过拱形桥最高点时，向心加速度竖直向下，由牛顿第二定律有 得支持力 速度越大，支持力越小，汽车对桥的压力越小，故D错误。 故选A。 变式训练1（25-26高一下·天津静海·期末）某同学在课本中选取了四幅图片，如图所示，他的观点正确的是（     ） A．图甲，喷泉斜向上喷出的水到最高点时的速度为零 B．图乙，桶内衣物上的水滴受到离心力的作用被甩出 C．图丙，仅改变打击弹性金属片的力度，A球运动时间保持不变 D．图丁，液压杆缓慢将车厢顶起过程中（货物相对车厢静止），摩擦力对货物做负功 【答案】C 【详解】A．图甲，喷泉斜向上喷出的水到最高点时，具有一定的水平速度，所以最高点时的速度不为零，故A错误； B．图乙，桶内衣物上的水滴受到的是实际力不足以提供所需的向心力，做离心运动被甩出，离心力不是实际存在的力，故B错误； C．图丙，用不同力度打击弹性金属片，A球在竖直方向均做自由落体运动，下落高度不变，所以运动时间保持不变，故C正确； D．图丁，液压杆缓慢将车厢顶起过程中（货物相对车厢静止），摩擦力的方向与货物的速度方向垂直，摩擦力对货物不做功，故D错误。 故选C。 变式训练2（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）（多选）如图所示一个小球在力作用下以速度做匀速圆周运动，若从某时刻起小球的运动情况发生了变化，对于引起小球沿、、三种轨迹运动的原因说法正确的是（     ） A．沿轨迹运动，可能是增大了 B．沿轨迹运动，一定是增大了 C．沿轨迹运动，可能是减小了 D．沿轨迹运动，可能是减小了 【答案】CD 【详解】小球做匀速圆周运动，则有 A．沿a轨迹运动，即小球沿切线飞出，则F变为了零，故A错误； BD．沿轨迹运动，即小球做离心运动，则有 可知，可能是力F减小了，或者是v变大了，故B错误，D正确； C．沿轨迹运动，即小球做近心运动，则有 可知，可能是力F增大了，或者是v变小了，故C正确。 故选CD。 考点三 竖直面内圆周运动 知●识●解●构 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒定律解题。 3.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= ①恰好过最高点，v=0，F弹=mg ②恰好无弹力，F弹=0，v= 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津西青·期中）（多选）如图所示，长为R的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在光滑的水平轴O上。给小球一个初速度后，使小球在竖直平面内做完整圆周运动，空气阻力可忽略，重力加速度为g。则在小球获得初速度后的运动过程中，以下说法正确的是（     ） A．小球过最低点时处于超重状态 B．小球过最高点时的最小速度为 C．小球过最高点时，杆所受的弹力可能等于零 D．小球过最高点时，杆对球的作用力可能与球所受重力方向相反 【答案】ACD 【详解】A．小球过最低点时，向心力指向圆心（方向向上），小球加速度向上，因此处于超重状态，故A正确； B．是绳子模型做圆周运动时最高点的最小速度；轻杆可以对小球提供支撑力，小球完成完整圆周运动时，最高点最小速度为，故B错误； C．当小球在最高点时，根据牛顿第二定律，当速度时，所需向心力刚好等于小球重力，，重力完全提供向心力，此时杆对小球弹力为0，杆受到的弹力也为0，故C正确； D．据牛顿第二定律，当速度时，所需向心力小于小球重力，此时杆对小球弹力取负值，即方向竖直向上，与重力方向相反，故D正确。 故选 ACD。 变式训练1（25-26高一下·天津河北·期末）如图所示，滑板运动员（含滑板）可视为质点，总质量m=50kg，某时刻运动员以一定的初速度从平台边缘P点水平飞出，恰好以vA=10m/s的速度从A点沿圆弧轨道AB的切线方向进入粗糙且固定的竖直轨道，已知O为圆弧轨道的圆心，B为轨道最低点（O、B在同一竖直线上），OA与竖直方向的夹角为53°，圆弧轨道半径R=4m，运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.5倍，重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，空气阻力忽略不计。求： (1)运动员从P点飞出时的初速度v0的大小； (2)运动员经过最低点B时的速度vB的大小； (3)运动员从A到B的过程中，摩擦力对运动员做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）运动员从P点水平飞出后做平抛运动，在A点沿圆弧切线方向进入轨道，可知A点速度vA的方向与水平方向夹角为53°，将vA沿水平、竖直方向分解，则水平分量等于平抛的初速度，因此 （2）运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.5倍，则运动员受的支持力是其总重力的3.5倍，经过最低点B时有 解得 （3）运动员由A到B，由动能定理得 解得摩擦力对运动员做功 变式训练2（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）如图所示，ABC是光滑轨道，其中BC部分是半径为的竖直放置的半圆，部分与部分平滑连接。一质量为的小木块放在轨道水平部分，木块被水平飞来的质量为的子弹射中，子弹留在木块中。若被击中的木块恰能到达最高点，重力加速度为，求： (1)B点的速度大小； (2)子弹的初速度的大小； (3)子弹击中木块并留在其中的过程中子弹和木块产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在最高点C，有 解得 由B点运动到C的过程，由动能定理得 解得 （2）子弹打击木块的过程，由动量守恒定律有 解得 （3）子弹打击木块的过程，由能量守恒定律有 解得。 考点四 圆周运动的临界问题 知●识●解●构 一、水平面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆。 (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。 2.常见的两种临界极值问题 (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 (2)与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 物块随圆盘转动的几种临界问题分析(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 一物块随圆盘 一起运动 两物块用轻绳连接,其中一个位于圆盘中心(μ相同) 两物块用轻绳连接,位于圆盘中心同侧(μ相同) 两物块用轻绳连接,分别位于圆盘中心两侧(rA>rB,μ相同) 情境图 出现临界状态之前 静摩擦力提供向心力,即F静=mω2r 对物块B:静摩擦力提供向心力,即F静=mBω2rB 对物块A:FA静=mAω2rA,对物块B:FB静=mBω2rB 对物块A:FA静=mAω2rA,对物块B:FB静=mBω2rB 临界状态1 物块刚好相对圆盘滑动:静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmg=mω2r得ω=(临界角速度) 轻绳恰好绷直时,对物块B有:静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmBg=mBω2rB得ω= 轻绳恰好无拉力时,物块B的静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmBg=mBω2rB得ω= 轻绳恰好无拉力时,物块A的静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmAg=mAω2rA得ω= 临界状态2 —— 物块A刚好相对圆盘滑动时,对A有FT=μmAg,对B有μmBg+FT=mBω2rB 物块A刚好要相对圆盘滑动时,对A有μmAg-FT=mAω2rA,对B有μmBg+FT=mBω2rB 物块B刚好要相对圆盘滑动时,对B有FT-μmBg=mBω2rB,对A有μmAg+FT=mAω2rA 二、竖直面内圆周运动的两种模型对比 物理情景 轻绳模型 轻杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 受力特征 在最高点除重力外,物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外,物体受到的弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学方程 mg+FT=m mg±FN=m 临界特征 FT=0 mg=m 即vmin= v=0 即F向=0 FN=mg 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 三、倾斜面上圆周运动的临界问题 物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。 在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。 考●向●破●译 考向1 水平面内圆周运动的临界问题 例（25-26高一下·四川成都·期末）（多选）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一起，大圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲不打滑转动。两圆盘的半径之比为，两圆盘和小物体、间的动摩擦因数相同。离甲盘圆心点，距乙盘圆心点，当甲缓慢转动且转速慢慢增加时（     ） A．两物块相对盘滑动前，与的线速度之比为 B．物块相对盘滑动前，与的向心加速度之比为 C．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 D．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 【答案】ABD 【详解】A．甲、乙两轮子边缘上的各点线速度大小相等，则有 可得 根据 ，可得物块相对盘开始滑动前，的线速度 的线速度 因此、的线速度比，故A正确； B．物块相对盘开始滑动前，根据向心加速度公式得的向心加速度 的向心加速度 因此向心加速度比，故B正确； CD．物体即将滑动时，最大静摩擦力提供向心力 得临界向心加速度 两物体动摩擦因数相同，因此临界向心加速度相等。 由B选项可知，物块相对盘开始滑动前，在相同转速下 所以随转速慢慢增加，的向心加速度先达到临界向心加速度，先开始滑动，故C错误，D正确。 故选ABD。 变式训练1（26-27高三上·山东德州·阶段检测）（多选）如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m且均可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕中心轴转动，且角速度可调，三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ。已知A、B、C三个物体与O点共线，且，现将三个物体用水平轻质细线相连，保持细线伸直且无张力，然后让圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．A的向心力增加最快 B．当时，整体才会发生滑动 C．当时，B、C间的细线开始提供拉力 D．当时，在ω增大的过程中，B、C间的拉力不断增大 【答案】CD 【详解】A．当圆盘转速增大时，由静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由公式 可知，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，故A错误； B．当A、B的摩擦力也达到最大时，且BC的拉力大于AB整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到绳的拉力，对C得 对AB整体可得 解得 当时，整体才会发生滑动，故B错误； C．当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，BC开始提供拉力，由此可知 解得 故当时间的连线开始提供拉力，故C正确； D．当时，C摩擦力沿着半径向里，且没有出现滑动，故在增大的过程中，由于向心力 不断增大，故B、C间的拉力不断增大，故D正确。 故选CD。 变式训练2（25-26高一下·四川攀枝花·期末）（多选）如图所示，OA为水平圆盘上固定的竖直杆，O为圆盘的圆心。在圆盘的边缘上放一质量为m的滑块，并用长为L的轻绳连接滑块与竖直杆上的A点，轻绳恰好伸直但无拉力。已知滑块与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，轻绳与竖直杆间的夹角为θ，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，滑块可视为质点，轻绳可绕竖直杆上的A点无摩擦转动。现缓慢增大圆盘的转速，下列说法中正确的是（     ） A．滑块滑离圆盘前，轻绳的最大拉力为 B．滑块的最大速度为 C．当圆盘的角速度小于时，轻绳无拉力 D．当圆盘的角速度超过时，轻绳拉力保持不变 【答案】AC 【详解】C．当静摩擦力达到最大静摩擦力μmg时，绳即将出现拉力，有 解得 由于 则当圆盘的角速度小于时，轻绳无拉力，故C正确； ABD．角速度继续增大，静摩擦力已经达到最大值μmg不再增大，绳开始产生拉力T，此时有， 随着ω增大，T逐渐增大，N逐渐减小，当N=0时，滑块与圆盘之间摩擦力消失，此时有， 解得， 滑块的最大速度为 综上可知，滑块滑离圆盘前，轻绳的最大拉力为。当圆盘的角速度超过时，滑块脱离圆盘，绳与竖直杆的夹角变大，轻绳拉力增大，故A正确，BD错误； 故选AC。 考向2 竖直面内圆周运动的临界问题 例（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动 B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于 C．当时，就能使轨道离开地面 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小 【答案】C 【详解】A．小球在竖直光滑圆形轨道（管模型）内做圆周运动，通过最高点的最小速度为 根据机械能守恒定律，有 解得，故A错误； B．在最低点，由牛顿第二定律得 解得 在最高点，若，轨道对小球表现为支持力，由 得 此时小球对轨道的压力方向向下，大小差 若，轨道对小球表现为压力，由 得 此时小球对轨道的压力方向向上，大小差 由于题目未限定的具体范围，压力大小差不恒等于，故B错误； C．要使轨道离开地面，小球在最高点对轨道必须有竖直向上的弹力，且 根据牛顿第三定律，轨道对小球有竖直向下的弹力 对小球在最高点应用牛顿第二定律 即 由机械能守恒定律 联立解得 即，故C正确； D．当时，小球在最高点速度为0，轨道对小球支持力（向上），小球对轨道压力（向下），此时轨道对地面压力为；在最低点小球对轨道压力为（向下），轨道对地面压力为；在运动过程中存在小球对轨道无作用力的位置（此时轨道对地面压力为）。因此轨道对地面的压力先减小后增大，故D错误。 故选C。 变式训练1（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）某同学设计的游戏装置示意图如图所示，固定在竖直面内的半圆形光滑轨道、粗糙水平直轨道CD与半圆形光滑圆管轨道的内壁在B、C处平滑连接，D点处固定有一竖直弹性板。、为圆心，在同一竖直线上，轨道最低点与光滑水平面相切于A点，轨道和的半径分别为r、，轨道CD长度为，一质量为m且可视为质点的滑块（大小略小于圆管内径）静止在光滑水平面上。游戏时给滑块一初速度（未知），若滑块最终能停在轨道CD上，游戏成功。已知滑块与轨道CD间的动摩擦因数，滑块与弹性板碰撞后以等大速率弹回，圆管内径可忽略，重力加速度为g。则（　　） A．若，滑块恰能到C点 B．若，游戏成功 C．若，游戏不成功，且滑块将能沿轨道返回到出发点 D．若，滑块第一次过轨道的顶点时对圆管外壁的弹力大小为 【答案】BC 【详解】A．滑块恰好能上到B点需满足 解得 滑块恰好能上到C点需满足 解得 综合可知，滑块恰能到C点，故A错误； B．当滑块的速度时能上到轨道CD，与挡板碰后最大能到C点，则 解得 游戏成功则，故B正确； C．当滑块的速度与挡板碰后沿轨道到B，恰好能沿圆轨道返回到出发点，则 解得，故C正确； D．当滑块的速度，则， 解得，故D错误。 故选BC。 变式训练2（26-27高三上·四川泸州·阶段检测）如图所示，将一质量为0.2 kg可视为质点的小球系于长为1 m的细线上，随细线绕O点作竖直圆周运动，某时刻在最低点P时细线断裂，小球从离水平地面3.2 m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4 m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8 m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4 m。不计空气阻力，重力加速度取，求： (1)在P点断裂前瞬间，细线所受拉力大小； (2)小球第二次与地面碰撞时的速度大小； (3)若小球与地面碰撞时，碰撞前后水平分速度之比、竖直分速度之比均为定值，则第3次碰撞时的位置与P点的水平位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球刚被击出时的速度大小为，小球被击出到第一次落地前瞬间，根据平抛运动的规律可得水平位移 竖直位移 解得 在P点断裂前瞬间，根据牛顿第二定律可得 解得细线所受拉力 （2）设小球第一次弹起后速度大小为，小球做斜抛运动，根据对称性可知水平位移 竖直位移 解得小球水平速度为 小球第二次与地面碰撞时的速度大小 （3）根据（2）分析可知，第一次碰后水平分速度 第一次碰撞前水平分速度 可得碰撞后水平分速度是碰撞前水平分速度的 第一次碰后竖直分速度 第一次碰前竖直分速度 可得碰撞后竖直分速度是碰撞前竖直分速度的 第1次碰后水平位移为 第2次碰后水平位移为 第3次碰撞时跟P点时的水平位移大小 考向3 倾斜面上圆周运动的临界问题 例（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动。物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角，重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是（     ） A．物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动的最大向心力为0.3N B．运动过程中摩擦力方向始终指向圆盘中心 C．越大物块在最高点受到的摩擦力越大 D．倾斜圆盘角速度最大值 【答案】D 【详解】A．物块在圆盘最低点时，所需向心力沿盘面向上，指向圆心，此时是静摩擦力达到最大值的临界位置。垂直盘面方向受力平衡，支持力 最大静摩擦力 最低点时沿盘面方向 代入得，故A错误； B．圆盘倾斜时，重力沿盘面有分力，物块的向心力是重力沿盘面的分力、摩擦力的合力，方向始终指向圆心，因此摩擦力需要平衡重力的盘面分力、同时提供部分向心力，方向不会始终指向圆盘中心，故B错误； C．物块在盘面最高点时，向心力沿盘面向下指向圆心，沿盘面方向的受力关系为 当角速度从0开始增大时，摩擦力先沿盘面向上、大小随增大而减小，减为0后再沿盘面向下、大小随增大而增大，并非全程随增大而变大，故C错误； D．角速度的最大值由最容易滑动的最低点临界条件决定，最低点静摩擦力达到最大值时， 解得，故D正确。 故选D。 变式训练1（25-26高一上·辽宁大连·期末）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角，已知重力加速度大小为，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为不变。（已知，） (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度； (2)若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小物块受力分析，由重力、支持力提供向心力 其中 解得 （2）当摩擦力沿切面斜向下时，由重力、支持力、摩擦力提供向心力，摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，受力分析，竖直方向 水平方向 解得 当摩擦力沿切面斜向上时，由重力、支持力、摩擦力提供向心力，摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最小，，受力分析，竖直方向 水平方向 陶罐旋转的角速度的范围 变式训练2（25-26高一下·山东临沂·期中）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离处有一质量、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为是轨迹圆上的最高点，是轨迹圆上的最低点，是半圆弧的中点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。求： (1)物体在点受到的摩擦力大小； (2)物体在点受到的摩擦力大小； (3)物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）为轨迹最高点，假设摩擦力方向沿斜面向上（背离圆心），由牛顿第二定律可得 代入数据解得 ，则假设成立，摩擦力大小为，方向沿斜面向上。 （2）是中点，圆心方向垂直于，重力沿盘面的分力沿向下，向心力沿垂直指向圆心，两个分量相互垂直。摩擦力大小等于两个分量的矢量和 代入数据得 （3）物体在最低点时摩擦力最大，此处最容易发生滑动：点指向圆心方向沿斜面向上，由牛顿第二定律 得 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，垂直盘面方向支持力 要求 因此 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 圆周运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 考向1 圆周运动的物理量 考向2 圆周运动各物理量之间的关系 考向3 匀速圆周运动 考点二 圆周运动的动力学问题 知识点1 向心力和向心加速度 考向1 向心力 考向2 向心加速度 知识点2 常见匀速圆周运动模型 知识点3 离心运动和近心运动 考点三 竖直面内圆周运动 考点四 圆周运动的临界问题 考向1 水平面内圆周运动的临界问题 考向2 竖直面内圆周运动的临界问题 考向3 倾斜面上圆周运动的临界问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 圆周运动的运动学问题 —— 江苏卷·T4，4 分 —— 圆周运动的动力学问题 —— 江苏卷·4~6题，6分 江苏卷·T8，4 分 江苏卷·T10，4 分 竖直面内圆周运动 江苏卷·T14，8 分 —— 圆周运动的临界问题 —— —— 江苏卷·T10，4 分 考情分析 题型与考向：高考对圆周运动的考查，选择题和计算题均有涉及，难度中等偏上。选择题多以实际生活中的圆周运动为情境，考查线速度与角速度的比较、水平面内圆周运动的受力分析；计算题常以竖直面内圆周运动为载体，考查向心加速度与合力的计算。命题侧重模型建构与受力分析能力。 情境与立意： 生活实践类：游乐设施（旋转杯等）、交通工具（汽车过拱形桥）、生产生活（陶瓷制作转盘）等。 学习探究类：圆锥摆动态变化分析、圆周运动临界条件判断。 复习目标 1.理解线速度、角速度、周期、转速等描述圆周运动的物理量，掌握各物理量之间的关系，能分析同轴转动与牵连转动问题。 2.理解向心力和向心加速度的概念，会运用牛顿第二定律分析圆周运动问题，掌握向心力来源的分析方法。 3.掌握水平面内圆周运动的常见模型（转盘模型、圆锥摆模型），能进行受力分析和动态判断。 4.掌握竖直面内圆周运动的绳模型和杆模型，能分析最高点和最低点的受力情况，理解临界条件。 5.了解离心运动和近心运动的条件，能解释生产生活中的相关现象 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 圆周运动的运动学问题 知●识●解●构 1.描述圆周运动的物理量 2.圆周运动各物理量之间的关系 3.匀速圆周运动 (1)物体沿着圆周运动，线速度的大小处处相等。 (2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：= 向心加速度与半径成正比：= 角速度与半径成反比：= 向心加速度与半径成反比：= 角速度与半径成反比：= 向心加速度与半径成反比：= 考●向●破●译 考向1 圆周运动的物理量 例（25-26高一下·天津河东·期末）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标之一。摩天轮直径为110米，每个座舱可乘坐8个人，可同时供384人观光。若将游客在座舱中观光的运动视为匀速圆周运动，游客在“天津之眼”的最高点与最低点相比（     ） A．线速度相同 B．加速度相同 C．所受合外力大小相等 D．座椅对游客的作用力大小相等 变式训练1（25-26高一下·天津·期末）如图所示，长为L的细绳一端固定在O点，另一端拴住一个小球，在O点的正下方与O点相距的地方有一枚与竖直平面垂直的钉子A，把球拉起使细绳在水平方向伸直，由静止开始释放，在细绳碰到钉子后的瞬间（细绳没有断），下列说法中正确的是（     ） A．小球的角速度突然增大到原来的3倍 B．小球的线速度突然增大到原来的3倍 C．小球的向心加速度突然增大到原来的1.5倍 D．小球的向心力突然增大到原来的1.5倍 变式训练2（25-26高一下·天津河西·期中）“指尖篮球”是篮球爱好者喜欢的一种运动。如图所示，将篮球放在指尖上，轻轻一拨，篮球就在指尖上稳定旋转。关于图示中P、Q两点的运动，下列说法正确的是（　　） A．Q点的角速度比P点的大 B．Q点的线速度比P点的大 C．P点的转动周期比Q点的小 D．P点的向心加速度比Q点的大 考向2 圆周运动各物理量之间的关系 例（25-26高一下·天津·期末）图1为明代军事著作《武备志》中记载的“襄阳炮”，其核心结构可简化为如图2所示的刚性轻杆模型。烧掉细线后，轻杆可绕固定转轴O转动，转轴O到配重球A的距离为L，到石弹球B的距离为3L。转动过程中，下列说法正确的是（     ） A．角速度=1∶3 B．线速度=1∶3 C．向心加速度=1∶9 D．周期=3∶1 变式训练1（25-26高一下·天津西青·期中）（多选）如图所示，两个皮带轮的转轴分别是和，两皮带轮半径分别为r和2r，B轮上的C点到轴心的距离为r，转动时皮带不打滑，则轮上A、B，C三点的线速度、角速度和向心加速度的关系是（     ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26高一下·天津西青·期末）如图a所示，将陶瓷粗坯固定在绕竖直轴转动的水平转台上，用刀旋削，使坯体厚度适当，表里光洁。对应的简化模型如图b所示，粗坯的对称轴与转台转轴OO′重合。当转台转速恒定时，关于粗坯上P、Q两质点，下列说法正确的是（     ） A．ωP＞ωQ B．vP=vQ C．一个周期内，P通过的位移大小与Q的相同 D．同一时刻P所受合力的方向与Q的相同 考向3 匀速圆周运动 例（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（     ） A．做匀速圆周运动的物体一定处于平衡状态 B．做匀速圆周运动的物体所受合外力的冲量不变 C．做匀速圆周运动的物体所受合外力一定不做功 D．做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的位移相同 变式训练1（25-26高一下·天津·期末）如图所示，天津之眼是世界上唯一建在水上桥梁的摩天轮，摩天轮边缘悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，P、Q分别是圆周运动的最高点和最低点，下列叙述正确的是（     ） A．摩天轮转动过程中，乘客的线速度保持不变 B．摩天轮转动过程中，乘客的机械能守恒 C．从P点运动到Q点的过程中乘客所受合力的冲量为零 D．从P点运动到Q点的过程中乘客所受合力做功为零 变式训练2（25-26高一下·天津南开·阶段检测）关于曲线运动，下列说法正确的有（　　） A．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定能做匀速圆周运动 B．做曲线运动的物体，受到的合外力方向一定不断改变 C．只要物体做匀速圆周运动，它所受的合外力一定指向圆心 D．做曲线运动的物体速度方向在时刻改变，故曲线运动不可能是匀变速运动 考点二 圆周运动的动力学问题 知识点1 向心力和向心加速度 知●识●解●构 1.向心力 (1)作用效果 产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 (2)大小 Fn=m=mrω2=mr=mωv。 (3)方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2.圆周运动中向心力与合力的关系 火车转弯 考●向●破●译 考向1 向心力 【重】 例（26-27高三上·天津河西·开学考试）如图所示，长为的细绳一端固定，另一端系一质量为的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为，下列说法中正确的是（     ） A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．越大，小球运动的角速度越小 C．越大，小球运动的速度越大 D．越大，小球运动的周期越大 变式训练1（25-26高一下·天津·期末）如图所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬于天花板的A点，现使小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为，当地的重力加速度为g。下列说法正确的是（     ） A．小球受重力、拉力和向心力的作用 B．小球所受向心力的方向沿细绳指向A点 C．小球做匀速圆周运动的向心力大小 D．小球做匀速圆周运动的角速度为 变式训练2（25-26高三上·天津河北·阶段检测）“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是（　　） A．在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力 B．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变 C．摩天轮转动一周的过程中，乘客的向心力保持不变 D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变 考向2 向心加速度 例（24-25高一下·天津东丽·阶段检测）（多选）如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　） A．A物体运动的线速度大小不变 B．A物体运动的角速度大小不变 C．B物体运动的角速度大小不变 D．B物体运动的线速度大小不变 变式训练1（25-26高一下·天津滨海新区·期末）如图所示，A、B为咬合传动的两齿轮边缘上的两点，，则A、B两点的（     ） A．线速度之比为 B．角速度之比为 C．周期之比为 D．向心加速度之比为 变式训练2（24-25高一下·天津河北·阶段检测）如图所示，长度为的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为，g=10m/s2，试求： (1)小球在最低点的向心加速度大小； (2)小球在最低点所受绳的拉力大小； (3)若小球到达最高点时，绳的拉力大小为，此时的速度为多大？ 知识点2 常见匀速圆周运动模型 知●识●解●构 常见匀速圆周运动模型 运动模型 向心力Fn的来源(图示) 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 洗衣机转筒 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 考●向●破●译 例（26-27高三上·天津南开·阶段检测）（多选）内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个小球a和b紧贴内壁，且a球的质量为b球的两倍，分别在图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（     ） A．a球的线速度必大于b球的线速度 B．a球的角速度必小于b球的角速度 C．a球的运动周期必小于b球的运动周期 D．a球对筒壁的压力必大于b球对筒壁的压力 变式训练1（2026·江西·模拟预测）2026年3月29日，在世界超级摩托车锦标赛中，车手驾驶某款中国产赛车连续夺得两回合冠军，实现了零的突破。如图，甲、乙、丙三条虚线为赛车过水平发卡弯（又称形弯）的三种行驶线路，为获得更大的安全过弯速度，应选择的线路是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲、乙均可 变式训练2（25-26高三上·四川内江·期中）如图所示，倾角为θ、半径为R的倾斜圆盘，绕过圆心O垂直于盘面的转轴匀速转动。一个质量为m的小物块放在圆盘的边缘，恰好随圆盘一起匀速转动。图中A、B分别为小物块转动过程中所经过的最高点和最低点，OC与OB的夹角为60°。小物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小物块与圆盘间的动摩擦因数μ=2tanθ。下列说法正确的是（　　） A．小物块受到的摩擦力始终指向圆心 B．小物块从B运动到A的过程，摩擦力先减小后增大 C．小物块在C点时受到的摩擦力大小为 D．小物块从B运动到C的过程中，摩擦力做功mgRsinθ 知识点3 离心运动和近心运动 知●识●解●构 .离心运动和近心运动 (1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 (2)受力特点(如图) ①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 (3)离心运动的本质：并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津滨海新区·期末）下列说法正确的是（     ） A．洗衣机脱水是利用了离心运动的原理 B．火车转弯时的速度越小轮缘越不挤压内侧铁轨 C．汽车匀速经过凹形路面最低点时，汽车处于失重状态 D．汽车过拱形桥最高点时速度越大，汽车对桥的压力越大 变式训练1（25-26高一下·天津静海·期末）某同学在课本中选取了四幅图片，如图所示，他的观点正确的是（     ） A．图甲，喷泉斜向上喷出的水到最高点时的速度为零 B．图乙，桶内衣物上的水滴受到离心力的作用被甩出 C．图丙，仅改变打击弹性金属片的力度，A球运动时间保持不变 D．图丁，液压杆缓慢将车厢顶起过程中（货物相对车厢静止），摩擦力对货物做负功 变式训练2（25-26高一下·天津滨海新区·阶段检测）（多选）如图所示一个小球在力作用下以速度做匀速圆周运动，若从某时刻起小球的运动情况发生了变化，对于引起小球沿、、三种轨迹运动的原因说法正确的是（     ） A．沿轨迹运动，可能是增大了 B．沿轨迹运动，一定是增大了 C．沿轨迹运动，可能是减小了 D．沿轨迹运动，可能是减小了 考点三 竖直面内圆周运动 知●识●解●构 1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。 2.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒定律解题。 3.竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg+F弹=m mg±F弹=m 临界特征 F弹=0 mg=m 即vmin= ①恰好过最高点，v=0，F弹=mg ②恰好无弹力，F弹=0，v= 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 考●向●破●译 例（25-26高一下·天津西青·期中）（多选）如图所示，长为R的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在光滑的水平轴O上。给小球一个初速度后，使小球在竖直平面内做完整圆周运动，空气阻力可忽略，重力加速度为g。则在小球获得初速度后的运动过程中，以下说法正确的是（     ） A．小球过最低点时处于超重状态 B．小球过最高点时的最小速度为 C．小球过最高点时，杆所受的弹力可能等于零 D．小球过最高点时，杆对球的作用力可能与球所受重力方向相反 变式训练1（25-26高一下·天津河北·期末）如图所示，滑板运动员（含滑板）可视为质点，总质量m=50kg，某时刻运动员以一定的初速度从平台边缘P点水平飞出，恰好以vA=10m/s的速度从A点沿圆弧轨道AB的切线方向进入粗糙且固定的竖直轨道，已知O为圆弧轨道的圆心，B为轨道最低点（O、B在同一竖直线上），OA与竖直方向的夹角为53°，圆弧轨道半径R=4m，运动员在轨道最低点B时对轨道的压力是其总重力的3.5倍，重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，空气阻力忽略不计。求： (1)运动员从P点飞出时的初速度v0的大小； (2)运动员经过最低点B时的速度vB的大小； (3)运动员从A到B的过程中，摩擦力对运动员做的功W。 变式训练2（25-26高三上·天津东丽·阶段检测）如图所示，ABC是光滑轨道，其中BC部分是半径为的竖直放置的半圆，部分与部分平滑连接。一质量为的小木块放在轨道水平部分，木块被水平飞来的质量为的子弹射中，子弹留在木块中。若被击中的木块恰能到达最高点，重力加速度为，求： (1)B点的速度大小； (2)子弹的初速度的大小； (3)子弹击中木块并留在其中的过程中子弹和木块产生的热量。 考点四 圆周运动的临界问题 知●识●解●构 一、水平面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆。 (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。 2.常见的两种临界极值问题 (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 (2)与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 物块随圆盘转动的几种临界问题分析(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 一物块随圆盘 一起运动 两物块用轻绳连接,其中一个位于圆盘中心(μ相同) 两物块用轻绳连接,位于圆盘中心同侧(μ相同) 两物块用轻绳连接,分别位于圆盘中心两侧(rA>rB,μ相同) 情境图 出现临界状态之前 静摩擦力提供向心力,即F静=mω2r 对物块B:静摩擦力提供向心力,即F静=mBω2rB 对物块A:FA静=mAω2rA,对物块B:FB静=mBω2rB 对物块A:FA静=mAω2rA,对物块B:FB静=mBω2rB 临界状态1 物块刚好相对圆盘滑动:静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmg=mω2r得ω=(临界角速度) 轻绳恰好绷直时,对物块B有:静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmBg=mBω2rB得ω= 轻绳恰好无拉力时,物块B的静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmBg=mBω2rB得ω= 轻绳恰好无拉力时,物块A的静摩擦力达到最大静摩擦力,由μmAg=mAω2rA得ω= 临界状态2 —— 物块A刚好相对圆盘滑动时,对A有FT=μmAg,对B有μmBg+FT=mBω2rB 物块A刚好要相对圆盘滑动时,对A有μmAg-FT=mAω2rA,对B有μmBg+FT=mBω2rB 物块B刚好要相对圆盘滑动时,对B有FT-μmBg=mBω2rB,对A有μmAg+FT=mAω2rA 二、竖直面内圆周运动的两种模型对比 物理情景 轻绳模型 轻杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 受力特征 在最高点除重力外,物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外,物体受到的弹力方向向下、等于零或向上 受力示意图 力学方程 mg+FT=m mg±FN=m 临界特征 FT=0 mg=m 即vmin= v=0 即F向=0 FN=mg 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 三、倾斜面上圆周运动的临界问题 物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。 在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。 考●向●破●译 考向1 水平面内圆周运动的临界问题 例（25-26高一下·四川成都·期末）（多选）如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一起，大圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲不打滑转动。两圆盘的半径之比为，两圆盘和小物体、间的动摩擦因数相同。离甲盘圆心点，距乙盘圆心点，当甲缓慢转动且转速慢慢增加时（     ） A．两物块相对盘滑动前，与的线速度之比为 B．物块相对盘滑动前，与的向心加速度之比为 C．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 D．随转速慢慢增加，先相对盘开始滑动 变式训练1（26-27高三上·山东德州·阶段检测）（多选）如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m且均可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕中心轴转动，且角速度可调，三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ。已知A、B、C三个物体与O点共线，且，现将三个物体用水平轻质细线相连，保持细线伸直且无张力，然后让圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．A的向心力增加最快 B．当时，整体才会发生滑动 C．当时，B、C间的细线开始提供拉力 D．当时，在ω增大的过程中，B、C间的拉力不断增大 变式训练2（25-26高一下·四川攀枝花·期末）（多选）如图所示，OA为水平圆盘上固定的竖直杆，O为圆盘的圆心。在圆盘的边缘上放一质量为m的滑块，并用长为L的轻绳连接滑块与竖直杆上的A点，轻绳恰好伸直但无拉力。已知滑块与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，轻绳与竖直杆间的夹角为θ，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，滑块可视为质点，轻绳可绕竖直杆上的A点无摩擦转动。现缓慢增大圆盘的转速，下列说法中正确的是（     ） A．滑块滑离圆盘前，轻绳的最大拉力为 B．滑块的最大速度为 C．当圆盘的角速度小于时，轻绳无拉力 D．当圆盘的角速度超过时，轻绳拉力保持不变 考向2 竖直面内圆周运动的临界问题 例（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为，半径为，轨道最低点有一个质量为的小球（可视为质点）。现给小球一水平初速度，使小球在竖直轨道内做圆周运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．当时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动 B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于 C．当时，就能使轨道离开地面 D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小 变式训练1（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）某同学设计的游戏装置示意图如图所示，固定在竖直面内的半圆形光滑轨道、粗糙水平直轨道CD与半圆形光滑圆管轨道的内壁在B、C处平滑连接，D点处固定有一竖直弹性板。、为圆心，在同一竖直线上，轨道最低点与光滑水平面相切于A点，轨道和的半径分别为r、，轨道CD长度为，一质量为m且可视为质点的滑块（大小略小于圆管内径）静止在光滑水平面上。游戏时给滑块一初速度（未知），若滑块最终能停在轨道CD上，游戏成功。已知滑块与轨道CD间的动摩擦因数，滑块与弹性板碰撞后以等大速率弹回，圆管内径可忽略，重力加速度为g。则（　　） A．若，滑块恰能到C点 B．若，游戏成功 C．若，游戏不成功，且滑块将能沿轨道返回到出发点 D．若，滑块第一次过轨道的顶点时对圆管外壁的弹力大小为 变式训练2（26-27高三上·四川泸州·阶段检测）如图所示，将一质量为0.2 kg可视为质点的小球系于长为1 m的细线上，随细线绕O点作竖直圆周运动，某时刻在最低点P时细线断裂，小球从离水平地面3.2 m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4 m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8 m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4 m。不计空气阻力，重力加速度取，求： (1)在P点断裂前瞬间，细线所受拉力大小； (2)小球第二次与地面碰撞时的速度大小； (3)若小球与地面碰撞时，碰撞前后水平分速度之比、竖直分速度之比均为定值，则第3次碰撞时的位置与P点的水平位移大小。 考向3 倾斜面上圆周运动的临界问题 例（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动。物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角，重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是（     ） A．物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动的最大向心力为0.3N B．运动过程中摩擦力方向始终指向圆盘中心 C．越大物块在最高点受到的摩擦力越大 D．倾斜圆盘角速度最大值 变式训练1（25-26高一上·辽宁大连·期末）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角，已知重力加速度大小为，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为不变。（已知，） (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度； (2)若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围。 变式训练2（25-26高一下·山东临沂·期中）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离处有一质量、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为是轨迹圆上的最高点，是轨迹圆上的最低点，是半圆弧的中点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。求： (1)物体在点受到的摩擦力大小； (2)物体在点受到的摩擦力大小； (3)物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $