直线与圆中的距离问题讲义-2027届高三数学一轮复习

直线与圆中的距离问题 一、知识点梳理 （一）两条基本事实 圆上的点到定点的距离，等于"定点到圆心的距离"加减半径；圆上的点到定直线的距离，等于"圆心到直线的距离"加减半径。 点 与圆 上点的距离，最大为 ，最小为 。 直线 与圆 上点的距离，最大为 ，最小为 。 题目常避开"距离"二字，本质是把条件翻译成"某点到某圆心（或某直线）的距离"。 （二）把"距离"藏起来的三条线索 线性规划的语言：圆在 内，即圆心到该直线的距离不小于半径，再配合圆心在哪一侧定出参数范围。 对称性的语言：过 的两条切线关于 对称，则圆心与 的连线垂直于 ，故 到圆心的距离等于圆心到 的距离。 几何图形的语言：直线与圆交于 ，圆心 到直线的距离 满足 ； 为等边三角形时 。 （三）把"圆"藏起来的四种定值 垂直定值：，则 在以 为直径的圆上。 距离平方和为定值：，配方后 与 系数相同，轨迹是圆。 距离之比为定值：（，），轨迹是圆； 时退化为 的垂直平分线。 向量数量积为定值：，取 中点建系，即得 在某个圆上。 （四）用存在性问题反映距离 圆与圆有公共点：两圆心距离 。 两切线互相垂直： 到圆心的距离为 ；两切线夹角为 时距离为 。 直线与圆有公共点：等价于圆心到直线的距离不超过半径。 三类的落点相同——把条件写成距离不等式，再解不等式。 二、方法导语 解这类题分两步：先识别题面在说什么，"区域""对称""等边三角形""存在点"背后往往是一个距离条件；再把它写成等式或不等式。 动点轨迹是圆的，先求轨迹圆的圆心与半径；涉及两圆位置的用 ；涉及相切、垂直的用相应距离值，最后解出参数范围。 做完一题自查三件事：把"距离"的语言翻译成圆心到直线（或两圆心之间）的距离时，有没有漏掉"哪一侧"的条件；涉及开区间还是闭区间（相切能否取到）；轨迹圆是否需要去掉与坐标轴（或与某直线）的交点。 三、典型例题 例1　用线性规划的语言藏起"距离" 已知圆 在不等式 所表示的区域内，则 的最小值为______。 ①把"在区域内"翻译成距离　圆要整个落在半平面 内，关键是圆心 到直线 的距离不小于半径 。 ②写出距离不等式　利用点到直线的距离公式得 ，即 。 ③结合"哪一侧"定出范围　圆在直线的上方（即 一侧），说明圆心满足 ，即 ，从而去掉绝对值解出 。 注：圆"落在区域内"与"与直线相离"是不同的说法，但翻译成距离条件是同一回事：当圆恰好与边界直线相切时，圆心到直线的距离等于半径，这就是参数取到极值的位置。 【答案】 圆 的圆心为 ，半径为 。圆整个落在半平面 内，等价于圆心到直线 的距离不小于半径，即 。 因为圆心 在直线 的上方（即 一侧），所以 ，于是 。 由 得 ，即 。 所以 的最小值为 。 验算：取 ，圆心为 ，到直线 的距离为 ，恰等于半径，此时圆与直线相切，仍在半平面内。 变式1　线性规划语言 已知圆 在不等式 所表示的区域内，则 的最小值为______。 【答案】 圆 的圆心为 ，半径为 。圆整体落在半平面 内，等价于圆心到直线 的距离不小于半径，即 。 因为圆心 在直线 的 一侧，需要 ，即 ，此时 。 由 得 ，所以 。 所以 的最小值为 。 验算： 时圆心为 ，到直线 的距离为 ，恰等于半径，圆与直线相切，仍在该半平面内。 例2　用对称性的语言藏起"距离" 过直线 上一点 作圆 的切线 ，若 关于直线 对称，则点 到圆心 的距离为______。 ①抓住对称性的推论　 关于 对称，说明直线 是两切线夹角的平分线；而圆心 与 的连线也平分两切线的夹角，故 。 ②把所求距离转化为点到直线的距离　 在 上，，所以 恰是圆心 到直线 的距离。 ③用点到直线的距离公式求解　把 化为一般式 ，代入 得 。 注："两切线关于某直线对称"这种说法，本质是给了一个垂直关系。凡是能判定 的，所求距离就直接等于圆心到 的距离，不必求 的坐标。 【答案】 因为 是过 的圆 的两条切线，所以 平分 与 的夹角。 又 关于直线 对称，说明 也平分 与 的夹角。而夹角的平分线只有两条且互相垂直，由于 不关于 垂直的那条平分线对称（否则 与 重合），故 。 于是点 到圆心 的距离等于圆心 到直线 的距离。 直线 即 ，圆心为 ，所以 。 验算：，且 大于半径 ，说明 确在圆外，能作两条切线，符合题意。 变式2　对称性语言 过直线 上一点 作圆 的切线 ，若 关于直线 对称，则点 到圆心 的距离为______。 【答案】 是过 的两条切线，故 平分两切线的夹角；又 关于 对称， 也平分两切线的夹角，所以 。 于是 等于圆心 到直线 的距离。 直线 ，圆心 ，所以 。 验算： 大于半径 ， 在圆外，可作两条切线，符合题意。 例3　用等边三角形的语言藏起"距离" 已知直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 ______。 ①把"等边三角形"翻译成距离　 等边，说明弦长 等于半径 ，于是圆心 到直线 的距离等于正三角形的高 。 ②写出距离方程　圆心为 ，直线为 ，由 得关于 的方程。 ③解方程并取值　两边平方整理得 ，解出 。 注：圆心到弦的距离 、半弦长 与半径 满足 。当 为等边三角形时 ，于是 。这是弦长问题里最常用的一组关系。 【答案】 圆 的圆心为 ，半径 。 因为 是等边三角形，所以弦长 。 设圆心 到直线 的距离为 ，由弦长公式 得 ，故 。 另一方面，由点到直线的距离公式， 。 所以 ，两边平方得 ， 即 ，。 解得 。 验算：取 ，则圆心为 ，到直线 的距离为，而 ，代入得 ，符合。 变式3　等边三角形语言 已知直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 ______。 【答案】 圆 的圆心为 ，半径 。 因为 为等边三角形，所以弦长 。 设圆心到直线 的距离为 ，由 得 ，。 又 ，所以 。 两边平方得 ，即 ，。 解得 。 验算：取 ，则 ，，由 ，故 ，与 相符。 例4　用"垂足"藏起一个圆 已知实数 成等差数列，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，又已知点 ，则线段 的长的取值范围是______。 ①由等差条件找出直线过的定点　 等差即 。把直线写成 的形式，可见它恒过定点 。 ②判定垂足 M 的轨迹是圆　 是过 所作垂线的垂足，故 ，由这一垂直关系知 在以 为直径的圆上。 ③用点到圆上点的距离范围求解　求出该圆的圆心与半径，再算 到圆心的距离 ，则 。 注："过定点 作动直线的垂线，垂足为 "是一个固定模型：设动直线恒过定点 ，则 ， 的轨迹是以 为直径的圆。抓住这一句，题目就从"轨迹"变成了"点到圆上点的距离"。 【答案】 由 成等差数列得 ，即 。代入直线方程得 ，即 。 该式对任意 成立，故直线恒过定点 。 因为 是过 所作直线 的垂线的垂足，所以 （ 是该直线上的定点），于是点 在以 为直径的圆上。 ，，则该圆的圆心为 的中点 ，半径 。 点 到圆心 的距离。 所以 到 的距离满足 ，即 ， 故 。 验算： 到圆心距离 ，圆半径 ，则最小距离 ，最大距离 ，合理。 变式4　垂足轨迹圆 已知实数 成等差数列，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，又已知点 ，则线段 的长的取值范围是______。 【答案】 由 成等差数列得 ，即 ，代入直线方程得 ，即 ，所以直线恒过定点 。 因为 是过 所作垂线的垂足，所以 ，点 在以 为直径的圆上。 ，，圆心为 的中点 ，半径 。 点 到圆心 的距离 。 所以 ，即 。 验算： 到圆心距离 ，圆半径 ，最小 ，最大 ，与 、 相符。 例5　用"距离平方和为定值"藏起一个圆 在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 。若圆上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是______。 ①由条件求出 M 的轨迹圆　设 ，把 用坐标展开，化简后 与 的系数相同，配方得一圆。 ②转化为两圆有公共点　此时问题变成"圆 与 的轨迹圆有公共点"，即两圆心距离属于 。 ③解不等式得 a 的范围　把两圆心距离用 表示，代入上述范围解出 。 注：形如 的轨迹一定是圆：展开后 的系数相同，不出现 项，配方即得。判别"轨迹是不是圆"的最快办法就是看这两点。 【答案】 设 。由 ，， 得 。 整理得 ，即 。 所以点 在以 为圆心、 的圆上。 题设"圆 上存在点 "等价于圆 与圆 有公共点。圆 的圆心为 ，半径 。 两圆有公共点的条件是 ，即 。 而 ，所以 。 由 得 ，即 。 由 得 ，即 ，其判别式 ，故恒成立。 所以实数 的取值范围是 。 验算：取 ，两圆心距离 ，落在 内，两圆相交，存在公共点；取 ，圆心为 ，两圆心距离为 ，两圆外切，公共点 满足 ，端点可取；取 ，圆心为 ，两圆心距离为 ，两圆外切，公共点 满足 ，端点同样可取。 变式5　距离平方和为定值 已知圆 及点 。若圆上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是______。 【答案】 或 设 。由 得， 整理得 ，即 。 所以点 在以 为圆心、半径 的圆上。"圆 上存在点 "等价于圆 与圆 有公共点。 圆 的圆心 ，半径 ，两圆有公共点当且仅当 ，即 。 ，所以 。 由 得 ，即 ，解得 或 。 由 得 ，即 ，解得 。 两个条件同时满足： 或 与 取交集，得 或 。 所以实数 的取值范围是 或 。 取几个值检验： 时 ，两圆外切，有公共点； 时 ，，两圆相交，有公共点； 时 ，两圆内切，有公共点； 时 ，，两圆内含，无公共点； 时 ，两圆内切，有公共点； 时 ，，两圆相交，有公共点； 时 ，两圆外切，有公共点。 例6　用"两条切线互相垂直"反映距离 已知圆 的方程为 ，若直线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是______。 ①把"两切线垂直"翻译成距离　设圆心为 ，若过 的两条切线互相垂直，则四边形由两条切线、两条半径构成一个正方形（含两个等腰直角三角形），于是 。 ②把"存在 P"翻译成距离不等式　 在直线 上，存在这样的 等价于圆心到该直线的距离不大于 。 ③解不等式得 k 的范围　圆心为 ，半径 ，由 解出 。 注：过点 作圆的两条切线互相垂直是一个高频条件，它的等价说法是。一般地，若两切线的夹角为 ，则 。记住这个换算，就能把"存在性"问题化归为"点到直线的距离"问题。 【答案】 圆 即 ，圆心为 ，半径 。 设过点 的圆 的两条切线为 （ 为切点），且 。因为 ，，四边形 是正方形，所以 。 反过来，若点 到圆心 的距离为 ，则过 的两条切线恰好互相垂直。于是"直线 上存在这样的点 "等价于圆心 到直线 的距离不超过 。 直线 即 ，圆心为 ，所以 。 两边平方得 ，即 ，所以 。 验算：取 ，，恰等于 ，此时直线与以 为圆心、 为半径的圆相切，存在唯一的点 满足条件，取等号成立。 变式6　两切线互相垂直 已知圆 的方程为 ，若直线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是______。 【答案】 圆 即 ，圆心为 ，半径 。 过点 作圆的两条切线互相垂直，等价于 。 于是"直线 上存在这样的 "等价于圆心 到直线 的距离不超过 。 直线 即 ， 。 两边平方得 ，即 ，，所以 。 验算：，，取等号，直线与以 为圆心、 为半径的圆相切；，，， 即圆心，不能作切线——但 时直线上还有其他点 满足 ，故仍成立。 四、巩固练习 1．已知圆 在不等式 所表示的区域内，则实数 的最小值为______。 【答案】 圆 的圆心为 ，半径为 。圆整体落在半平面 内，等价于圆心到直线 的距离不小于半径，即 。 因为圆心 需在直线 的 一侧，即 ，，此时 。 由 得 ，所以 。 所以 的最小值为 。 验算： 时，圆心到直线距离为 ，恰等于半径，圆与直线相切，仍在此半平面内。 2．已知圆 ，若直线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是______。 【答案】 或 圆 的圆心为 ，半径 。 过点 作圆的两条切线互相垂直，等价于 。 于是"直线 上存在这样的 "等价于圆心 到直线 的距离不超过 。 直线 即 ，所以 。 两边平方得 ，即 ， 整理得 。方程 的根为 。 所以 或 。 验算： 时 ，不满足； 时 ，满足；临界值 ， 在右侧，符合。 3．已知圆 ，直线 与圆 相交于 两点， 为线段 的中点。若以 为圆心、 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围是______。 【答案】 圆 的圆心为 ，半径 。因为 是弦 的中点，所以 ，即 到圆心 的距离等于圆心 到直线 的距离 。 以 为圆心、半径 的圆与圆 （半径 ）有公共点，等价于 （两圆半径相等，有公共点当且仅当圆心距不超过两半径之和，且此时必不小于 ）。 所以 。 直线 即 ， 。 两边平方得 ，即 ，，所以 。 但题设要求直线与圆相交于 两点，还需 ； 时 ，直线与圆不相交，故起点应取 ： ，即 ，，解得 。 与 取交集，得 。 验算： 时 ，直线过圆心，弦 为直径， 即圆心 ，以 为圆心、半径 的圆与圆 完全重合，有公共点； 时 ，直线与圆不相交，应排除。 4．在 中，，，则 的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C ，所以 。 以 的中点 为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，。设 。 ，，由 得 ，即 ，整理得 。 所以点 在以原点为圆心、半径 的圆上（去掉与 轴的两个交点）。 的面积 。 因为 在圆 上，所以 ，当 时取到，此时 。 所以面积的最大值为 ，选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆中的距离问题 一、知识点梳理 （一）两条基本事实 圆上的点到定点的距离，等于"定点到圆心的距离"加减半径；圆上的点到定直线的距离，等于"圆心到直线的距离"加减半径。 点 与圆 上点的距离，最大为 ，最小为 。 直线 与圆 上点的距离，最大为 ，最小为 。 题目常避开"距离"二字，本质是把条件翻译成"某点到某圆心（或某直线）的距离"。 （二）把"距离"藏起来的三条线索 线性规划的语言：圆在 内，即圆心到该直线的距离不小于半径，再配合圆心在哪一侧定出参数范围。 对称性的语言：过 的两条切线关于 对称，则圆心与 的连线垂直于 ，故 到圆心的距离等于圆心到 的距离。 几何图形的语言：直线与圆交于 ，圆心 到直线的距离 满足 ； 为等边三角形时 。 （三）把"圆"藏起来的四种定值 垂直定值：，则 在以 为直径的圆上。 距离平方和为定值：，配方后 与 系数相同，轨迹是圆。 距离之比为定值：（，），轨迹是圆； 时退化为 的垂直平分线。 向量数量积为定值：，取 中点建系，即得 在某个圆上。 （四）用存在性问题反映距离 圆与圆有公共点：两圆心距离 。 两切线互相垂直： 到圆心的距离为 ；两切线夹角为 时距离为 。 直线与圆有公共点：等价于圆心到直线的距离不超过半径。 三类的落点相同——把条件写成距离不等式，再解不等式。 二、方法导语 解这类题分两步：先识别题面在说什么，"区域""对称""等边三角形""存在点"背后往往是一个距离条件；再把它写成等式或不等式。 动点轨迹是圆的，先求轨迹圆的圆心与半径；涉及两圆位置的用 ；涉及相切、垂直的用相应距离值，最后解出参数范围。 做完一题自查三件事：把"距离"的语言翻译成圆心到直线（或两圆心之间）的距离时，有没有漏掉"哪一侧"的条件；涉及开区间还是闭区间（相切能否取到）；轨迹圆是否需要去掉与坐标轴（或与某直线）的交点。 三、典型例题 例1　用线性规划的语言藏起"距离" 已知圆 在不等式 所表示的区域内，则 的最小值为______。 变式1　线性规划语言 已知圆 在不等式 所表示的区域内，则 的最小值为______。 例2　用对称性的语言藏起"距离" 过直线 上一点 作圆 的切线 ，若 关于直线 对称，则点 到圆心 的距离为______。 变式2　对称性语言 过直线 上一点 作圆 的切线 ，若 关于直线 对称，则点 到圆心 的距离为______。 例3　用等边三角形的语言藏起"距离" 已知直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 ______。 变式3　等边三角形语言 已知直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则实数 ______。 例4　用"垂足"藏起一个圆 已知实数 成等差数列，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，又已知点 ，则线段 的长的取值范围是______。 变式4　垂足轨迹圆 已知实数 成等差数列，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，又已知点 ，则线段 的长的取值范围是______。 例5　用"距离平方和为定值"藏起一个圆 在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 。若圆上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是______。 变式5　距离平方和为定值 已知圆 及点 。若圆上存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是______。 例6　用"两条切线互相垂直"反映距离 已知圆 的方程为 ，若直线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是______。 变式6　两切线互相垂直 已知圆 的方程为 ，若直线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是______。 四、巩固练习 1．已知圆 在不等式 所表示的区域内，则实数 的最小值为______。 2．已知圆 ，若直线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是______。 3．已知圆 ，直线 与圆 相交于 两点， 为线段 的中点。若以 为圆心、 为半径的圆与圆 有公共点，则实数 的取值范围是______。 4．在 中，，，则 的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $