第三章机械波 考点13波的多解问题 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

高中物理选择性必修一重点考点解读 考点13 波的多解问题 知识网络 考点解读 1．波的周期性 (1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。 (2)在波的传播方向上当两质点平衡位置间的距离为nλ (n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1) (n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。 2．造成波动问题多解的主要因素 周期性 时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确 波经Δt由质点0传到相距Δx的质点1，两质点振动情况始终相同，则有Δt＝nT，Δx＝nλ 空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确 双向性 传播方向双向性：波的传播方向不确定 振动方向双向性：质点振动方向不确定 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态.这样，波形就有多种情况，造成了波动问题的多解性 例如，波上两恰好处于平衡位置的质点P、Q间只有一个波峰，可能有如下几种情况： (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 b．只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。 c．只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 (3)波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 能力素养提升 解决波的多解问题的一般思路 (1)首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。 (2)对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)。 (3)注意题目是否有其他限制条件，如果波的周期、波长、波速有限定，则求出符合限定条件的解。 针对训练 1 （2027河南名校联考）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时刻的波形图，已知波的周期T＞0.6s，下列说法正确的是（　　） A.该波的波速大小一定是10m/s B.该波的波速大小可能是m/s C.t＝2.7s时，Q点的位移一定是0 D.t＝5.1s时，Q点的位移大小可能是0.2m 答案 BC 解析　据题图可知，波长λ＝8m，如果波向左传播，则有（n＋）T＝0.6s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0时，T1＝0.8s＞0.6s，此时波速为v1＝＝10m/s；如果波向右传播，则有（n＋）T＝0.6s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0时，T2＝2.4s＞0.6s，此时波速为v2＝＝m/s，故A错误，B正确.如果波向左传播，则2.7s＝3T1，t＝2.7s时，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，则2.7s＝1T2，t＝2.7s时，Q点也正好到达平衡位置，位移为零，C正确.同理，t＝5.1s时，如果波向左传播，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，Q点也正好到达平衡位置，位移为零，故D错误. 2. [2023海南]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是（　　） A.该波的周期是5s B.该波的波速是3m/s C.4s时P质点向上振动 D.4s时Q质点向上振动 答案 C 解析　由题图可知，该波的周期T＝4s，A错；由P、Q两个质点的振动图像可知，P、Q两个质点振动方向相反，则P、Q间距离为（n＋）λ＝6m（n＝0，1，2，…），则波速v＝＝m/s（n＝0，1，2，…），B错；由质点P的振动图像可知，4s时P质点向上振动，C对；由质点Q的振动图像可知，4s时Q质点向下振动，D错. 3 （2021辽宁）一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2s时的波形如图（a）所示，x＝2m处质点的振动图像如图（b）所示，则波速可能是（　　） 图（a） 图（b） A.m/s B.m/s C.m/s D.m/s 答案 A 解析　由振动图像可知周期T＝4s，由波形图和x＝2m处质点的振动图像结合同侧法可知，（n＋）λ＝2m（n＝0，1，2，…），则波长λ＝m（n＝0，1，2，…），波速v＝＝m/s（n＝0，1，2，…），当n取2时，v＝m/s，故A正确，B、C、D均无对应的n值. 4 一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻的波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点.下列说法正确的是（　　） A.这列波的波速可能为50m/s B.质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cm C.质点c在这段时间内通过的路程可能为60cm D.若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同 答案 ACD 解析　由波形图可知波长λ＝40m，且0.6s＝nT＋T（n＝0，1，2，…），解得周期T＝s（n＝0，1，2，…）.当n＝0时，T＝0.8s，波速v＝＝50m/s，A正确.由波沿x轴正方向传播可知质点a在t时刻沿y轴正方向运动，当n＝0时，T＝0.8s，则质点a在这段时间内通过的路程小于30cm；当n＝1时，T＝s，质点a在这段时间内通过的路程大于30cm，B错误.若n＝1，则T＝s，波传播到c点所用时间为T，0.6s＝T，质点c振动的时间为T－T＝T，故在这段时间内质点c通过的路程为6A＝60cm，C正确.若T＝0.8s，在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，D正确. 5 如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.1 s时刻的波形图，质点M的横坐标x＝2.5 m，波源不在坐标原点O，下列说法正确的是(　　) A．波的频率可能为12.5 Hz B．波的传播速度可能为5 m/s C．t＝0.1 s时刻，质点M一定沿y轴正方向运动 D．质点M在0～0.1 s的路程可能为0.2 m [答案]　AC [解析]　波沿x轴正方向传播，则Δt＝＋nT＝0.1 s(n＝0,1,2,3…)，解得T＝s(n＝0,1,2,3…)，频率为f＝＝Hz(n＝0,1,2,3…)，当n＝1时，解得f＝12.5 Hz，故A正确；波速为v＝λf＝(40n＋10)m/s(n＝0,1,2,3…)，当n＝0时，v＝10 m/s，不可能为5 m/s，故B错误；根据“同侧法”，t＝0.1 s时刻质点M沿y轴正方向运动，故C正确；若质点M在0～0.1 s的路程为0.2 m，正好为一个振幅，则由A选项可知，当n＝0时，周期为T＝0.4 s，此时Δt＝0.1 s＝，但质点在t＝0时不在平衡位置且在往平衡位置振动，路程大于一个振幅，若n≥1，则T≤ s，此时Δt＝0.1 s≥，则路程一定大于5倍振幅，所以质点M在0～0.1 s的路程不可能为0.2 m，故D错误。 6．(2025·海南卷·5题)如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T>0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是(　　) A．波长为5 cm B．波速为10 cm/s C．周期为1 s D．t＝0时刻，质点M向下振动 [答案]　D [解析]　由题图可知波长为10 cm，故A错误；t＝0时刻到t＝0.5 s的过程中，Δt＝nT＋T，n＝0,1,2…，已知波的周期T>0.5 s，则n只能取0，则T＝ s，波速为v＝＝15 cm/s，故B、C错误；简谐横波沿着x轴正方向传播，根据同侧法可知t＝0时刻，质点M向下振动，故D正确。故选D。 7. (2023·海南卷·4题)下面左右两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．该波的周期是5 s B．该波的波速是3 m/s C．4 s时P质点向上振动 D．4 s时Q质点向上振动 [答案]　C [解析]　由振动图像可看出该波的周期是4 s，A错误；由于Q、P两个质点振动反相，则可知两者间距离等于λ＝6 m，n＝0,1,2，…，根据v＝＝ m/s，n＝0,1,2，…可知波速不唯一，B错误；由P质点的振动图像可看出，在4 s时P质点在平衡位置向上振动，C正确；由Q质点的振动图像可看出，在4 s时Q质点在平衡位置向下振动，D错误。故选C。 8 (2025·陕晋青宁卷·8题)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为(　　) [答案]　AD [解析]　根据振动图像可知当波的传播方向为a到b时，xab＝λ＋nλ(n＝0,1,2…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，当波的传播方向为b到a时，xab＝λ＋nλ(n＝0,1,2…)，λ>1 m，解得n＝0或1，即xab＝λ或λ，同时t＝0时，a处于平衡位置，b处于波谷位置，结合图像可知A、D符合。故选AD。 9．湖面上有相距为10 m的甲、乙两条小船，一列水波正在水面上从甲船到乙船沿着连线方向传播，波速为20 m/s，波长大于5 m。某时刻甲船位于平衡位置且向下运动，此时乙船刚好到达波峰，下列说法正确的有(　　) A．此时刻甲船的加速度等于零 B．这列水波的波长可能为10 m C．这列水波的波长可能为40 m D．两小船上下浮动的周期可能为4 s [答案]　AC [解析]　甲船位于平衡位置时，位移为零，当x＝0时，加速度a＝0，故A正确；两船相距Δx＝10 m，两船距离满足Δx＝()λ(n为自然数)，又λ＝10 m，解得n＝0.75，非整数，故B错误；同理，代入λ＝40 m，解得n＝0，是自然数，故C正确；周期T＝，又Δx＝10 m，v＝20 m/s，解得T＝，当n＝0时，T＝2 s；当n＝1时，T＝ s，均不等于4 s，故D错误。故选AC。 10 （2026高考物理河北卷第14题）下图为一列沿 轴正方向传播的简谐横波在 时的波形（中间部分未画出），此时平衡位置在的质点处于波峰。 （1）写出该波的波长，以及在 范围内的所有可能值。 （2）若平衡位置位于原点处的质点在 内通过的路程为 ，求该波的周期和波速。 【答案】（1） ，11m和13m （2）0.8s，2.5m/s 解析 （1）由波形图可知该波的波长，λ=2m 平衡位置处于波峰的质点横坐标满足关系式 =(n+)λ (n=2，3，4···) 又 10m<<14m, 在10~14m范围内的所有可能值有：n=5时，=11m， n=6时，=13m， 在10~14m 范围内的所有可能值有11m和13m。 （2）波动振幅A=1cm，若平衡位置位于原点处的质点在 内通过的路程为s= ， 则有 T+T/4=1s，解得该波的周期 T=0.8s 波速v=λ/T=2.5m/s。 11. （2026高考物理贵州卷第13题）图（a）是绳波在某时刻的照片。设该绳波为简谐横波，以绳中各质点平衡位置的连线为 轴、质点振动方向为y轴，建立如图（b）所示的直角坐标系，图中实线、虚线分别表示t=0和t=0.25s时绳波的图像。若该绳波沿 轴负方向传播，周期大于0.25s。 （1）求绳波的波长和振幅； （2）求绳波的周期和传播速度； （3）在图（c）中，画出t=0.5s时绳波在0~2.0 m内的图像。 解析 （1）由图（b）可知，绳波的波长λ=2.0m，振幅A=16cm （2） 若该绳波沿 轴负方向传播，从t=0到t=0.25s，传播时间△t=0.25s=T+nT （n=0,1,2,3，···） 由于周期T大于0.25s。则n只能取0，解得T=1s。 波的传播速度 v==2m/s (3)时间t=0.5s=T/2，则此时的波形为t=0时波形沿x轴负方向传播半个周期，绳波在0~2.0 m内的图像为题图中实线关于x轴对称的图像，如图。 12．（2026山东师范大学附中质检）水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿轴方向传播的简谐横波，时刻的波形如图中实线所示，时的波形如图中虚线所示。已知：波的周期满足，求： (1)波的传播速度； (2)写出质点振动位移随时间变化的关系式。 答案．(1)或 (2)或 【解析】（1）从时刻到时刻，经过的时间 由图可知，若波沿x轴正方向传播，则（n=0，1，2，…） 当n=1时，解得 满足，波的传播速度 若波沿x轴负方向传播，则（n=0，1，2，…） 当n=1时，解得 满足，波的传播速度 （2）时，质点M处于正向最大位移处，振动方程形式为 由图可知，角频率 若波沿x轴正方向传播，则，联立解得 若波沿x轴负方向传播，则，联立解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理选择性必修一重点考点解读 考点13 波的多解问题 知识网络 考点解读 1．波的周期性 (1)质点振动nT(n＝1,2,3，…)时，波形不变。 (2)在波的传播方向上当两质点平衡位置间的距离为nλ (n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1) (n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。 2．造成波动问题多解的主要因素 周期性 时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确 波经Δt由质点0传到相距Δx的质点1，两质点振动情况始终相同，则有Δt＝nT，Δx＝nλ 空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确 双向性 传播方向双向性：波的传播方向不确定 振动方向双向性：质点振动方向不确定 隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态.这样，波形就有多种情况，造成了波动问题的多解性 例如，波上两恰好处于平衡位置的质点P、Q间只有一个波峰，可能有如下几种情况： (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 (2)双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。 b．只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。 c．只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。 (3)波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 能力素养提升 解决波的多解问题的一般思路 (1)首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。 (2)对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…)。 (3)注意题目是否有其他限制条件，如果波的周期、波长、波速有限定，则求出符合限定条件的解。 针对训练 1 （2027河南名校联考）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6s时刻的波形图，已知波的周期T＞0.6s，下列说法正确的是（　　） A.该波的波速大小一定是10m/s B.该波的波速大小可能是m/s C.t＝2.7s时，Q点的位移一定是0 D.t＝5.1s时，Q点的位移大小可能是0.2m 2. [2023海南]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是（　　） A.该波的周期是5s B.该波的波速是3m/s C.4s时P质点向上振动 D.4s时Q质点向上振动 3 （2021辽宁）一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2s时的波形如图（a）所示，x＝2m处质点的振动图像如图（b）所示，则波速可能是（　　） 图（a） 图（b） A.m/s B.m/s C.m/s D.m/s 4 一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻的波形如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点.下列说法正确的是（　　） A.这列波的波速可能为50m/s B.质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cm C.质点c在这段时间内通过的路程可能为60cm D.若周期T＝0.8s，则在t＋0.5s时刻，质点b、P的位移相同 5 如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.1 s时刻的波形图，质点M的横坐标x＝2.5 m，波源不在坐标原点O，下列说法正确的是(　　) A．波的频率可能为12.5 Hz B．波的传播速度可能为5 m/s C．t＝0.1 s时刻，质点M一定沿y轴正方向运动 D．质点M在0～0.1 s的路程可能为0.2 m 6．(2025·海南卷·5题)如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T>0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是(　　) A．波长为5 cm B．波速为10 cm/s C．周期为1 s D．t＝0时刻，质点M向下振动 7. (2023·海南卷·4题)下面左右两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．该波的周期是5 s B．该波的波速是3 m/s C．4 s时P质点向上振动 D．4 s时Q质点向上振动 8 (2025·陕晋青宁卷·8题)一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为(　　) 9．湖面上有相距为10 m的甲、乙两条小船，一列水波正在水面上从甲船到乙船沿着连线方向传播，波速为20 m/s，波长大于5 m。某时刻甲船位于平衡位置且向下运动，此时乙船刚好到达波峰，下列说法正确的有(　　) A．此时刻甲船的加速度等于零 B．这列水波的波长可能为10 m C．这列水波的波长可能为40 m D．两小船上下浮动的周期可能为4 s 10 （2026高考物理河北卷第14题）下图为一列沿 轴正方向传播的简谐横波在 时的波形（中间部分未画出），此时平衡位置在的质点处于波峰。 （1）写出该波的波长，以及在 范围内的所有可能值。 （2）若平衡位置位于原点处的质点在 内通过的路程为 ，求该波的周期和波速。 11. （2026高考物理贵州卷第13题）图（a）是绳波在某时刻的照片。设该绳波为简谐横波，以绳中各质点平衡位置的连线为 轴、质点振动方向为y轴，建立如图（b）所示的直角坐标系，图中实线、虚线分别表示t=0和t=0.25s时绳波的图像。若该绳波沿 轴负方向传播，周期大于0.25s。 （1）求绳波的波长和振幅； （2）求绳波的周期和传播速度； （3）在图（c）中，画出t=0.5s时绳波在0~2.0 m内的图像。 12．（2026山东师范大学附中质检）水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿轴方向传播的简谐横波，时刻的波形如图中实线所示，时的波形如图中虚线所示。已知：波的周期满足，求： (1)波的传播速度； (2)写出质点振动位移随时间变化的关系式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $