2.6 列方程解决实际问题（第6课时）课件 2026--2027学年北京版七年级数学上册

第2章 一元一次方程 2.6 列方程解决实际问题 （第6课时）古代数学问题与方程建模 年 级：七年级上册 学 科：数学（北京版） 新知讲授 从问题进入本课 学习任务 古代数学问题与方程建模 已有基础 一元一次方程建模与求解。 今天关注 比较方程法、假设法与逐次检验。 例题讲解 例 8 鸡兔同笼，共有头，足，问鸡、兔各几何。 答：只鸡，只兔 解 解法：设鸡只，兔只 ，， 解法： 方法：由总只数表示另一类，再用总脚数列方程。 注意：鸡兔数应为非负整数。 新知讲授 思考与交流 请你比较一下这两种解法有什么不同，并与同学们交流你的看法。怎样选择初始时输入的的值？ 输入整数 停止 若大于72 输入 若小于72 输入 答：两种解法思路不同；程序初值取到的整数。 方程法设鸡只、兔只，按脚数建立相等关系 假设全是兔时多出只脚，每把一只兔换成鸡减少只脚 初始取到的整数，使鸡兔数都有实际意义 方法：每增加一只鸡，总脚数减2。 注意：初值取整数，按总脚数修正。 新知讲授 把古代语句译成数量 共有头26 鸡与兔共有只。 共有足72 鸡的脚数与兔的脚数之和。 各几何 分别求鸡和兔的只数。 新知讲授 一个未知数表示两类动物 设鸡数 鸡只。 总头数 兔有只。 脚数 鸡，兔，总和为。 新知讲授 假设法与方程法的联系 全部看成兔 脚数。 多出脚数 。 鸡的只数 每只鸡比兔少只脚，。 新知讲授 盈与不足对应不同方向 人出八盈三 总付款比物价多，物价。 人出七不足四 总付款比物价少，物价。 同一物价 。 新知讲授 薄田单价先换成每亩 给定条件 亩薄田钱。 每亩单价 钱。 总价 买亩，要付钱。 新知讲授 计算程序如何向正确答案靠近 设鸡数x 计算。 脚数偏多 把加，用一只鸡替换一只兔。 脚数偏少 把减，用一只兔替换一只鸡。 课堂练习 练习1 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。（几个人一起去购买物品，如果每人出钱，那么剩余钱；如果每人出钱，那么差钱。问有多少人，物品的价格是多少） “钱”为古代货币单位。 答：人，物价钱 解 设人，物价可表示为或 钱 方法：把同一物价分别写成实付减盈余或实付加不足。 注意：盈余要减，不足要加；人数须为正整数。 课堂练习 练习2 今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百。今并买一顷，价钱一万。问善田、恶田各几何。（用钱可以买亩良田，用钱可以买亩薄田。现在用钱买了顷土地，问良田、薄田各买了多少亩） 顷=亩。以上两题摘自《九章算术》。 答：良田亩，薄田亩 解 设良田亩，则薄田亩 方法：先换算每亩单价，再按面积和总价列式。 注意：一顷等于一百亩，薄田报价是七亩总价。 课堂总结 古代数学问题与方程建模 两类数量 总数减去一种 第二关系 脚数或总费用 古题今译 明确盈亏含义 检验 数量与总量同时核对 特别提醒：“剩余”要减，“不足”要加；解需符合实际取值。 针对训练 训练1 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 鸡兔共有只，鸡只，兔多少只？ （2） 鸡只、兔只，脚的总数怎样表示？ 解第（1）题 只 总只数等于鸡加兔 减去鸡数 方法：由总只数表示另一类，再用总脚数列方程。 注意：鸡兔数应为非负整数。 针对训练 训练1 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 鸡兔共有只，鸡只，兔多少只？ （2） 鸡只、兔只，脚的总数怎样表示？ 解第（2）题 每只鸡只脚 每只兔只脚 方法：由总只数表示另一类，再用总脚数列方程。 注意：鸡兔数应为非负整数。 针对训练 训练2 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 鸡兔共只，脚只，求鸡兔各多少。 （2） 同为只、只脚，若设兔只，怎样列式？ 解第（1）题 鸡只、兔只 ， 方法：由总只数表示另一类，再用总脚数列方程。 注意：鸡兔数应为非负整数。 针对训练 训练2 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 鸡兔共只，脚只，求鸡兔各多少。 （2） 同为只、只脚，若设兔只，怎样列式？ 解第（2）题 鸡数 解得，与鸡一致 方法：由总只数表示另一类，再用总脚数列方程。 注意：鸡兔数应为非负整数。 针对训练 训练3 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 假设只全是兔，实际只脚，比假设少多少脚？ （2） 把一只兔换成一只鸡，脚数减少多少？由少只脚可知鸡几只？ 解第（1）题 只 方法：假设全为同一类，按每次替换造成的差求数量。 注意：一次兔换鸡减少两只脚。 针对训练 训练3 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 假设只全是兔，实际只脚，比假设少多少脚？ （2） 把一只兔换成一只鸡，脚数减少多少？由少只脚可知鸡几只？ 解第（2）题 减少只；鸡只 方法：假设全为同一类，按每次替换造成的差求数量。 注意：一次兔换鸡减少两只脚。 方法总结 鸡兔问题的两种列法 方法1　设鸡数 ① 鸡为只，兔为只 ② 按总脚数列 方法2　设兔数 ① 兔为只，鸡为只 ② 按总脚数列 针对训练 训练4 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 鸡兔共只，脚数可能为吗？ （2） 鸡兔共只，脚数可能为吗？ 解第（1）题 不可能 鸡兔每只脚数都为偶数 总脚数必须是偶数 方法：检查脚数是否为偶数并落在可行范围内。 注意：每只动物的脚数只能是二或四。 针对训练 训练4 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 鸡兔共只，脚数可能为吗？ （2） 鸡兔共只，脚数可能为吗？ 解第（2）题 不可能 全为兔时最多只脚 超过上限 方法：检查脚数是否为偶数并落在可行范围内。 注意：每只动物的脚数只能是二或四。 针对训练 训练5 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 共买物品，人各出元，余元，物价怎样表示？ （2） 人各出元还差元，物价怎样表示？ 解第（1）题 元 收款 余款应从收款中减去 方法：把同一物价分别写成实付减盈余或实付加不足。 注意：盈余要减，不足要加；人数须为正整数。 针对训练 训练5 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 共买物品，人各出元，余元，物价怎样表示？ （2） 人各出元还差元，物价怎样表示？ 解第（2）题 元 收款不够 需再加不足的元 方法：把同一物价分别写成实付减盈余或实付加不足。 注意：盈余要减，不足要加；人数须为正整数。 针对训练 训练6 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 若每人出元剩元，每人出元还差元，求人数。 （2） 人共买物品，每人出元剩元。求物价，并用每人出元还差元核对。 解第（1）题 人 方法：把同一物价分别写成实付减盈余或实付加不足。 注意：盈余要减，不足要加；人数须为正整数。 针对训练 训练6 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 若每人出元剩元，每人出元还差元，求人数。 （2） 人共买物品，每人出元剩元。求物价，并用每人出元还差元核对。 解第（2）题 元 方法：把同一物价分别写成实付减盈余或实付加不足。 注意：盈余要减，不足要加；人数须为正整数。 方法总结 盈亏问题的两种表达 方法1　用人数表示物价 ① 各人出资总额减去盈余 ② 各人出资总额加上不足 方法2　用物价表示人数 ① 物价加盈余后除以每人出资 ② 物价减不足后除以每人出资 针对训练 训练7 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 良田每亩钱，薄田亩钱，薄田每亩价格多少？ （2） 共买亩，良田亩，薄田总价怎样表示？ 解第（1）题 钱 总价÷亩数 不是钱每亩 方法：先换算每亩单价，再按面积和总价列式。 注意：一顷等于一百亩，薄田报价是七亩总价。 针对训练 训练7 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 良田每亩钱，薄田亩钱，薄田每亩价格多少？ （2） 共买亩，良田亩，薄田总价怎样表示？ 解第（2）题 钱 薄田亩数 单价乘亩数 方法：先换算每亩单价，再按面积和总价列式。 注意：一顷等于一百亩，薄田报价是七亩总价。 针对训练 训练8 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 票分成人元、儿童元，共售张收元。成人票多少张？ （2） 一组轮车与轮车共辆，车轮个，三轮车多少辆？ 解第（1）题 张 设成人， 方法：用总件数表示另一类，再按总金额列方程。 注意：不同单价对应各自数量，件数为整数。 针对训练 训练8 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 票分成人元、儿童元，共售张收元。成人票多少张？ （2） 一组轮车与轮车共辆，车轮个，三轮车多少辆？ 解第（2）题 辆 设三轮， 方法：由总辆数表示另一类，再用车轮总数列方程。 注意：车辆数为非负整数，每种车的轮数分别对应。 针对训练 训练9 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 程序试鸡数，脚数。当增加，怎样变化？ （2） 脚数算出大于时，应把鸡数加还是减？ 解第（1）题 减少 一兔换一鸡 方法：观察鸡数每变一只时总脚数怎样改变。 注意：增加鸡数会减少总脚数，初值取可行整数。 针对训练 训练9 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 程序试鸡数，脚数。当增加，怎样变化？ （2） 脚数算出大于时，应把鸡数加还是减？ 解第（2）题 加 增加鸡数会减少脚数 使总脚数向靠近 方法：观察鸡数每变一只时总脚数怎样改变。 注意：增加鸡数会减少总脚数，初值取可行整数。 方法总结 方程法与假设法 方法1　方程法 ① 总只数表示另一类动物数量 ② 用总脚数建立等量关系 方法2　假设法 ① 假设全部为兔，计算多出的脚数 ② 每换成一只鸡，脚数减少 针对训练 训练10 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 计算程序给出鸡、兔，如何检验？ （2） 如果解出鸡数，可直接作鸡的只数吗？ 解第（1）题 头数、脚数均满足 方法：把鸡兔数分别代回头数与脚数关系。 注意：两个条件都须满足。 针对训练 训练10 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 计算程序给出鸡、兔，如何检验？ （2） 如果解出鸡数，可直接作鸡的只数吗？ 解第（2）题 不能 只数必须为非负整数 需要回查数据或方程 方法：检查动物只数是否为非负整数。 注意：小数只数不符合题意，须回查条件与方程。 针对训练 训练11 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 班级买大本每本元、小本每本元，共本用元。大本多少？ （2） 投币箱有元、角硬币共枚，共元。元硬币多少枚？ 解第（1）题 本 方法：用总件数表示另一类，再按总金额列方程。 注意：不同单价对应各自数量，件数为整数。 针对训练 训练11 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 班级买大本每本元、小本每本元，共本用元。大本多少？ （2） 投币箱有元、角硬币共枚，共元。元硬币多少枚？ 解第（2）题 枚 方法：由总枚数表示另一类硬币，再按总金额列式。 注意：先把角化为元。 针对训练 训练12 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 学生合买礼物，每人出元余元，每人出元差元。多少学生，礼物多少元？ （2） 采购两种苗木共棵，甲每棵元、乙每棵元，共元。甲乙各多少棵？ 解第（1）题 人；元 ， 方法：把同一物价分别写成实付减盈余或实付加不足。 注意：盈余要减，不足要加；人数须为正整数。 针对训练 训练12 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 学生合买礼物，每人出元余元，每人出元差元。多少学生，礼物多少元？ （2） 采购两种苗木共棵，甲每棵元、乙每棵元，共元。甲乙各多少棵？ 解第（2）题 甲棵、乙棵 ， 方法：用总件数表示另一类，再按总金额列方程。 注意：不同单价对应各自数量，件数为整数。 方法总结 检验与程序调整 方法1　双重检验 ① 同时核对头数和脚数 ② 只数应为非负整数 方法2　逐次调整 ① 脚数偏多，鸡数增加 ② 脚数偏少，鸡数减少 $