6.4 生活中的圆周运动 重难突破系列讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第二册

专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 6.4　生活中的圆周运动【单元复习】 （解析版） 人教版高中物理必修第二册　|　第六章《圆周运动》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．知道生活中圆周运动的两类典型模型：水平面内（铁路弯道、汽车转弯、水平转盘）由侧向静摩擦力或重力与支持力（拉力）的合力提供向心力；竖直面内（拱桥、绳/杆/管道）由重力与约束弹力沿半径方向的合力提供向心力； 2．掌握倾斜路面（铁路弯道）转弯：外轨略高于内轨，规定速度 v＝；车速大于规定速度挤压外轨、小于规定速度挤压内轨；水平路面转弯由侧向静摩擦力提供向心力，允许的最大车速 v≤； 3．掌握竖直面圆周：凸形桥最高点 mg−N＝mv²/r（失重，v＝时N＝0）、凹形桥最低点 N−mg＝mv²/r（超重）；绳（外轨道）模型最高点临界 vmin＝，杆（管道）模型最高点速度可取0，会求最低点拉力 T−mg＝mv²/r； 4．理解圆锥摆 mgtanθ＝mω²r、r＝htanθ，得 ω＝、T＝2π；知道航天器中重力全部提供向心力（完全失重，并非不受重力）；理解离心运动的产生条件（向心力不足沿切线飞出）及其应用与危害。 【思维导图】 生活中的圆周运动 路面转弯 铁路弯道外轨高·合力水平向心 规定速度 v＝ v大挤外轨·v小挤内轨 水平路面 v≤ 生活中的圆周运动 桥与竖直面 凸桥 mg−N＝mv²/r·失重 凹桥 N−mg＝mv²/r·超重 绳最高点 vmin＝ 杆/管道最高点 v可取0 生活中的圆周运动 圆锥摆 mgtanθ＝mω²r r＝htanθ ω＝·与质量无关 T＝2π 生活中的圆周运动 失重离心 重力全提供向心力·完全失重 向心力不足沿切线飞出 应用：脱水桶/离心机/棉花糖 危害：侧滑/砂轮破裂 考点一　水平路面与倾斜路面上的圆周运动 1．铁路（公路）弯道为什么要外轨超高：火车（汽车）在水平路面上转弯时，若路面水平，所需向心力完全由侧向静摩擦力（或轮缘与轨道的挤压）提供；但火车质量很大，仅靠轮缘挤压极易磨损轨道。为此铁路弯道处把外轨铺得略高于内轨，使轨道平面向圆心方向倾斜（如图1）。此时轨道对车轮的支持力N不再竖直向上，而是垂直于倾斜路面指向斜上方，重力mg竖直向下，二者的合力沿水平方向指向弯道圆心，提供转弯所需的向心力。 图1　铁路弯道处外轨略高于内轨：重力mg与轨道支持力N的合力沿水平方向指向圆心，提供转弯所需向心力；θ为轨道平面与水平面的夹角 2．规定速度与内外轨挤压：当车轮对两侧轨道均无侧向压力时，重力与支持力的合力恰好提供向心力。设弯道半径为r、轨道倾角为θ，竖直方向Ncosθ＝mg，水平方向Nsinθ＝mv²/r，两式相除得 tanθ＝v²/(gr)，即规定速度 v＝。当实际车速v大于规定速度时，所需向心力增大而合力不足，车轮有做离心运动、向轨道外侧挤压的趋势，外轨对外侧轮缘产生向内的侧压力以补充向心力；反之v小于规定速度时，内轨受到车轮轮缘的挤压。 3．水平路面转弯与倾斜路面类比：汽车在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，由轮胎与地面间的最大静摩擦力提供向心力。设动摩擦因数为μ，则 μmg＝mv²/r，得允许的最大车速 v≤；车速过大、路面结冰（μ减小）或弯道半径过小时，所需向心力超过最大静摩擦力，汽车将做离心运动而侧滑。倾斜路面（如赛车场超高弯道、飞机倾斜转弯）的受力与铁路弯道类似，都是靠重力与支持力（升力）的合力提供向心力。 ▎重难诠释 ①水平路面转弯：向心力由侧向静摩擦力提供，v≤，车速过大即侧滑； ②倾斜（超高）路面：重力与支持力的合力水平指向圆心，规定速度 v＝； ③v＞规定速度→挤压外轨（外轨补充向心力）；v＜规定速度→挤压内轨； ④向心力是效果力，由实际受力（摩擦力或合力）提供，不能说物体“额外受到向心力”。 考点二　竖直面内的圆周运动：桥、绳杆模型、圆锥摆与失重离心 1．拱形桥与凹形桥——超重与失重：汽车通过凸形（拱形）桥最高点时，圆心在下方，向心力竖直向下，由重力与支持力的合力提供：mg−N＝mv²/r，得 N＝mg−mv²/r。此时支持力N小于重力mg，汽车处于失重状态；当 v＝ 时N＝0，汽车恰好对桥面无压力（腾空飞起）。汽车通过凹形桥最低点时（如图2），圆心在上方，向心力竖直向上：N−mg＝mv²/r，得 N＝mg＋mv²/r，支持力大于重力，汽车处于超重状态，因此凹形桥谷底比凸形桥顶更易使轮胎爆胎。 图2　汽车通过凹形桥最低点：圆心O在正上方，支持力N竖直向上、重力mg竖直向下，N−mg＝mv²/r提供向上的向心力，汽车处于超重状态 2．绳模型与外轨道模型——最高点临界：如图3左，小球用长为r的轻绳拴住（或在竖直光滑圆轨道内侧运动），在竖直面内做圆周运动。在最高点，重力mg与绳拉力T（或轨道压力）均指向圆心（向下）：T＋mg＝mv²/r。绳只能拉不能推，故最高点速度越小T越小；当T＝0时mg＝mv²/r，得最高点最小速度 vmin＝。若 v＜，小球在到达最高点之前即脱离轨道，不能完成完整的圆周运动。 图3　绳模型（左，虚线圆）与竖直圆轨道（右）：绳只能提供指向圆心的拉力，最高点最小速度 vmin＝ 3．杆模型与管道模型——最高点速度可为零：如图4，小球固定在轻杆一端（或在光滑圆形管道内运动）时，杆（管道外壁）既能提供指向圆心的拉力，也能提供背离圆心的支持力。在最高点，若v＜，杆对小球为向上的支持力：mg−N＝mv²/r；若v＞，杆对小球为向下的拉力：mg＋T＝mv²/r；v＝时杆（管道）的弹力恰好为零。因此杆（管道）模型最高点速度可以为零（v≥0即可通过最高点）。在最低点，无论绳还是杆，均有 T−mg＝mv²/r，此时绳（杆）的拉力最大。 图4　杆模型（左，虚线圆）与光滑管道（右，双圆）：杆/管道既能拉又能支持，最高点速度可取0；v＜时为支持力，v＞时为拉力 图5　竖直面内圆周运动各位置受力：最高点（左，绳拉/轨道压指向圆心向下）、只由重力提供向心力（中）、最低点（右，支持力向上） 4．圆锥摆：如图6，小球用长为L的细线拴住，在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。小球受重力mg与绳拉力T，二者的合力水平指向圆心。设悬点到小球圆周所在平面的竖直高度为h，绳与竖直方向夹角为θ，则圆周半径r＝htanθ。竖直方向Tcosθ＝mg，水平方向Tsinθ＝mω²r＝mω²htanθ，联立得 ω＝，即圆锥摆的角速度只与高度h有关，与摆球质量、绳长（只要h相同）均无关；周期 T＝2π/ω＝2π。 图6　圆锥摆：悬点P到圆周所在平面的竖直高度为h，圆周半径r＝htanθ；由合力提供向心力推得 ω＝，与摆球质量无关 5．航天器中的完全失重与离心运动：航天器（及其中的物体）绕地球做圆周运动时，地球对物体的重力恰好全部用来提供绕地球做圆周运动所需的向心力，物体对支持物不再有挤压，处于“完全失重”状态——这并非不受重力，而是重力全部充当了向心力。做圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然消失或不足时，物体将沿所在位置的切线方向飞出（或逐渐远离圆心），这就是离心运动（如图7）。 图7　离心运动：合力恰好提供向心力时做圆周运动（Fn＝mω²r）；合力不足时沿切线飞出（Fn＜mω²r）；合力消失时沿直线切线飞出（Fn＝0）；合力过大则做向心运动（Fn＞mω²r） 6．离心运动的应用与危害：离心运动在技术上有广泛应用，如洗衣机脱水桶（图8）、离心脱水机、离心沉淀器、制作“棉花糖”等——利用转速足够大时水滴（糖液）的附着力不足以提供向心力而被甩出。其危害则有：汽车、火车转弯过快时因离心趋势而侧滑、挤压轨道；高速砂轮（轮）转速过高时因离心作用破裂飞出等，故转弯要限速、砂轮不得超速使用。 图8　洗衣机脱水桶：桶壁对水滴的弹力提供水滴做圆周运动的向心力，转速足够大时附着力不足，水滴沿切线从漏水孔甩出 ▎重难诠释 ①凸桥最高点 mg−N＝mv²/r（失重），v＝时N＝0；凹桥最低点 N−mg＝mv²/r（超重），谷底更易爆胎； ②绳/外轨道模型最高点临界 vmin＝，T＋mg＝mv²/r；杆/管道模型最高点v可取0，v＜为支持力、v＞为拉力；最低点均有 T−mg＝mv²/r； ③圆锥摆 mgtanθ＝mω²r、r＝htanθ，得 ω＝、T＝2π，ω只与高度h有关； ④完全失重＝重力全部提供向心力（并非不受重力）；离心运动＝向心力不足沿切线飞出，要会分析脱水、侧滑等实例。 考向一　铁路弯道与水平路面转弯（外轨超高合力向心·规定速度v=·v大挤外轨v小挤内轨·水平路面v≤·转盘摩擦临界） 1．复兴号高铁以速率v0通过某弯道时，车轮对两侧轨道均无侧向压力，轨道平面与水平面的夹角为θ，弯道半径为R，重力加速度为g。某次高铁以恒定速率v通过此弯道，下列说法正确的是（　　） A．tanθ=(v₀²)/(gR) B．sinθ=(v₀²)/(gR) C．cosθ=(v₀²)/(gR) D．若v＞v0，此时车轮一定对内轨产生侧向压力 【答案】A 【详解】 ABC、当车轮对两侧轨道均无侧向压力时，高铁的向心力由重力和轨道支持力的合力提供： 竖直方向受力平衡：Ncosθ＝mg 水平方向合力提供向心力：Nsinθ=m(v₀²)/(R) 将两式相除消去N和m，可得tanθ=(v₀²)/(gR)，故A正确，BC错误。 D、若v＞v0，所需向心力为F=m(v²)/(R)，重力和支持力的合力不足以提供火车做圆周运动的向心力，火车有做离心运动的趋势，则此时外轨对车轮轮缘施加压力，即侧向压力方向由外轨指向内轨所以向心力大于重力与支持力的合力，外轨会对车轮施加向内的侧向压力补充向心力，车轮对外轨产生侧向压力，故D错误。 故选：A。 2．2026年3月WSBK葡萄牙站，法国车手瓦伦丁•德比斯驾驶张雪机车820RR﹣RS赛车，连续两回合夺冠，实现中国摩托车品牌在该赛事的历史性突破。张雪机车赛车专用热熔胎的黏性极强，其与干燥路面间的动摩擦因数达1.2，已知赛道的某一水平弯道半径约为48m，根据以上条件，若要不打滑地通过该弯道，则赛车的最大车速约为（　　） A．24m/s B．18m/s C．12m/s D．10m/s 【答案】A 【详解】 赛车在水平弯道转弯时，重力与支持力平衡，由轮胎与地面间的最大静摩擦力提供向心力，临界不打滑时有 fmax=μmg=(mv²)/(r) 代入数据可得v＝24m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．如图所示，圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心r＝0.1m处有一质量m＝0.3kg的小物块随圆盘一起转动。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.2，取重力加速度大小g＝10m/s²，若小物块恰好未发生滑动，则圆盘转动的角速度为（　　） A．2rad/s B．4rad/s C．2rad/s D．2rad/s 【答案】D 【详解】 根据题意分析可知，若小物块恰好未发生滑动，则由静摩擦力提供向心力，fmax=μmg=mω²r 解得圆盘转动的角速度为ω==rad/s=2rad/s，故D正确，ABC错误。 故选：D。 4．如图所示，餐厅内两瓷罐P、Q（可视为质点）静置在水平转盘上与转盘始终保持相对静止，随转盘绕中心转轴OO′做匀速圆周运动，瓷罐P、Q的质量分别为m、2m，到转轴OO′的距离分别为R、2R，两瓷罐与转盘间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．瓷罐P、Q受到的摩擦力方向均与自身线速度方向相反 B．瓷罐P、Q受到的静摩擦力大小之比为1：2 C．瓷罐P、Q角速度大小始终相等 D．缓慢增大转盘转速时，瓷罐P相较于瓷罐Q先滑动 【答案】C 【详解】 A、瓷罐做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，摩擦力方向指向圆心，瓷罐的线速度方向沿圆周切线方向，摩擦力方向与线速度方向垂直，故A错误； C、两瓷罐P、Q在水平转盘上与转盘始终保持相对静止，两瓷罐同轴转动，瓷罐P、Q角速度大小始终相等，故C正确； B、瓷罐做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，对瓷罐P，由牛顿第二定律得fP=mω²R，对瓷罐Q，由牛顿第二定律得fQ=2mω²⋅2R，瓷罐P、Q受到的静摩擦力大小之比为fP：fQ＝1：4，故B错误； D、瓷罐刚好滑动时，最大静摩擦力提供向心力，对瓷罐P，由牛顿第二定律得μmg=mωP²R，解得瓷罐P的临界角速度为ωP=；对瓷罐Q，由牛顿第二定律得μ⋅2mg=2mωQ²⋅2R，解得瓷罐Q的临界角速度为ωQ=，可知Q的临界角速度更小，则缓慢增大转盘转速时，瓷罐Q相较于瓷罐P先滑动，故D错误。 故选：C。 5．如图所示，轻质“T”形支架绕竖直轴OO'转动，水平横杆上套有P、Q两个小球（可视为质点）。已知P、Q的质量分别为2m和m，与横杆间的动摩擦因数分别为μ和3μ。P球到转轴OO'的距离为Q球到转轴距离的2倍。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若支架从静止开始绕竖直轴缓慢加速转动（角速度逐渐增大），直至小球相对横杆即将发生滑动。在此过程中，横杆对竖直转轴的最大水平作用力大小为（　　） A．(1)/(2)μmg B．(3)/(2)μmg C．μmg D．9μmg 【答案】B 【详解】 分别对P和Q小球，根据牛顿第二定律可得μ⋅2mg=2mω₁²⋅2r，3μ⋅mg=mω₂²r 解得ω₁=，ω₂= 由于ω1＜ω2，则小球P先达到最大静摩擦力，此时对Q，有fQ=mω₁²r 解得fQ=(1)/(2)μmg 对横杆，有 μ•2mg＝F+f 解得F=(3)/(2)μmg 根据牛顿第三定律可得，横杆对竖直转轴的最大水平作用力大小为F′=F=(3)/(2)μmg，故B正确，ACD错误。 故选：B。 考向二　凸凹桥与竖直面超重失重（凸桥mg−N=mv²/r失重·v=腾空·凹桥N−mg=mv²/r超重·水流星/摩天轮合力） 6．2026年我国自主设计和制造的摩托车在世界大赛中多次夺冠，实现了历史性突破。如图所示，某次比赛中，骑手和车（整体视为质点）以一定速度经过拱形赛道最高点时，骑手和车（　　） A．向心加速度为零 B．速度越大向心力越小 C．所受支持力大于重力 D．所受重力与支持力的合力提供向心力 【答案】D 【详解】 AB、骑手和车过拱形赛道时做圆周运动，向心加速度a=(v²)/(r)，速度不为零，则向心加速度不为零，向心力F=m(v²)/(r)，速度越大向心力越大，故AB错误； CD、骑手和车过拱形赛道最高点时，重力和支持力的合力提供向心力，向心力F＝mg﹣N，重力大于支持力，故C错误，D正确。 故选：D。 7．有关圆周运动的实例分析，下列说法正确的是（　　） A．图甲中汽车通过凹形桥的最低点时，速度越大对桥面的压力越小 B．图乙中两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，二者的角速度相等 C．图丙中脱水筒中的水滴因受到离心力作用而被甩出去 D．图丁中火车转弯低于规定速度行驶时，车轮不会挤压铁轨 【答案】B 【详解】 A、汽车通过凹形桥最低点时，受重力mg和支持力FN，则由牛顿第二定律得FN-mg=m(v²)/(R) 解得FN=mg+m(v²)/(R) 结合牛顿第三定律，汽车对桥面的压力F压＝FN，速度v越大，压力越大，故A错误； B、设悬点到小球运动平面的竖直高度为h，绳与竖直方向夹角为θ，小球受重力和拉力，合力提供向心力，有mgtanθ＝mω²r 根据几何关系r＝htanθ 代入数据可得ω=，两小球在同一水平面内运动，高度h相同，角速度ω相等，故B正确； C、脱水筒中的水滴被甩出，是因为水滴受到的附着力小于做圆周运动所需的向心力，从而做离心运动，故C错误； D、火车转弯时，若以规定速度v0行驶，重力和支持力的合力提供向心力，有mgtanθ=m(v₀²)/(R) 当行驶速度v＜v0时，所需向心力m(v²)/(R)减小，小于重力和支持力的合力，火车有向内侧运动的趋势，内轨对车轮轮缘有向外侧的挤压作用，故D错误。 故选：B。 8．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为(2πR)/(ω) B．所受合力的大小始终为mω²R C．在与转轴等高处受到摩天轮作用力的方向水平向左 D．在与转轴等高处受到摩天轮的作用力大小为mg 【答案】B 【详解】 A．根据题意分析可知，匀速圆周运动中，角速度与周期的关系为T=(2π)/(ω)，故A错误。 B．根据题意分析可知，匀速圆周运动的合力全部提供向心力，向心力大小为Fn=mω²R 因此座舱所受合力大小始终为mω²R，故B正确。 C．根据题意分析可知，当座舱运动到与转轴等高的位置时，向心力方向水平指向转轴。此时座舱受两个力：竖直向下的重力mg、摩天轮对座舱的作用力F。两个力的合力需要水平向左，因此F需要同时满足：竖直分量向上平衡重力，水平分量向左提供向心力，因此F的方向为斜向左上方，并非水平向左，故C错误。 D．摩天轮对座舱的作用力F的竖直分量大小为mg，水平分量大小为mω²R，根据勾股定理可得F=，故D错误。 故选：B。 9．如图所示，质量m＝2.0×10³kg的汽车以一定的速率驶过凸形桥面的顶部，桥面的圆弧半径为10m，桥面顶部与水平路面的高度差为1.25m。g取10m/s²。（1）若汽车以8m/s的速率驶过凸形桥面的顶部。求汽车对桥面的压力大小；（2）若汽车通过拱桥最高点时刚好腾空飞起，求汽车此时的速率；（3）若汽车以12m/s的速率驶过凸形桥面的顶部，汽车到达水平路面时，离开桥顶的水平距离为多少？ 【答案】（1）汽车对桥面的压力大小为7.2×10³N； 【详解】 （1）汽车以v1＝8m/s的速率驶过桥顶时，受重力和桥面的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg-N=m(v₁²)/(R)， 代入数据解得支持力N=m(g-(v₁²)/(R))=2.0×10³×(10-(8²)/(10))N=7.2×10³N； 根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力大小等于支持力大小，即为7.2×10³N。 （2）若汽车通过拱桥最高点时刚好腾空飞起，此时桥面对汽车的支持力为零，仅由重力提供向心力， 根据牛顿第二定律有mg=m(v₂²)/(R)，代入数据解得汽车刚好腾空时的速率v₂==m/s=10m/s。 （3）若汽车以v3＝12m/s的速率驶过桥顶，由于v3＞v2，汽车脱离桥面做平抛运动， 其在竖直方向做自由落体运动，根据位移时间公式有h=(1)/(2)gt²，代入数据解得t==s=0.5s； 汽车在水平方向做匀速直线运动，到达水平路面时离开桥顶的水平距离x＝v3t＝12m/s×0.5s＝6m。 （1）汽车对桥面的压力大小为7.2×10³N； （2）汽车刚好腾空飞起时的速率为10m/s； （3）汽车到达水平路面时离开桥顶的水平距离为6m。 10．如图，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平轴转动，滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在潮湿衣物上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。下列说法正确的是（　　） A．衣物受到向心力作用 B．衣物在最高点受弹力一定小于重力 C．衣物中的水滴在最低点时更容易被甩出 D．不论滚筒转速多大，衣物都能随滚筒在竖直面内做圆周运动 【答案】C 【详解】 A．衣物实际受到重力、筒壁弹力和摩擦力等作用，向心力由这些力的合力或沿半径方向的分力提供，受力分析时不能说物体受到向心力作用，故A错误； BD．衣物做圆周运动在最高点，向心力方向向下，有mg+N＝mω²r，即N＝mω²r﹣mg，弹力不一定小于重力；且要保持接触需N≥0，即ω²r≥g，转速太小时衣物不能随滚筒在竖直面内做圆周运动，故B错误，D错误。 C．在最低点，向心力方向向上，若水滴随衣物做圆周运动，则有N′﹣mg＝mω²r，即N′＝mg+mω²r，所需约束作用比最高点大，水滴更容易脱离衣物并从漏水孔甩出，故C正确。 故选：C。 考向三　绳/杆/管道模型临界（绳最高点vmin=·杆管道v可0·v<支持v>拉·最低点T−mg=mv²/r·F-v²图像） 11．如图所示，长为L的轻杆一端固定在光滑的水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球。给小球一垂直于轻杆方向的初速度，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，空气阻力可忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球在速度增大的过程中，向心力一定增大 B．小球在整个运动过程中，加速度方向始终指向圆心 C．小球过最高点时，速度至少为 D．小球过最高点时，杆对小球的弹力一定随小球速度的增大而增大 【答案】A 【详解】 A、小球在竖直平面内做圆周运动，其向心力大小满足公式Fn=m(v²)/(L)，小球质量m与运动半径L均为定值，故在小球速度增大的过程中，其所需的向心力一定增大，故A正确； B、小球在竖直平面内做变速圆周运动，除最高点和最低点外，小球所受重力沿运动切线方向均有分力，产生切向加速度，小球的合加速度为向心加速度与切向加速度的矢量和，合加速度方向并不始终指向圆心，故B错误； C、轻杆模型与轻绳模型不同，轻杆既能对小球施加拉力，也能对小球施加支持力，因此小球通过最高点时的临界速度为零，即只要v≥0就能通过最高点，并不需要速度达到，故C错误； D、小球通过最高点时，若速度v＜，杆对小球表现为向上的支持力FN，根据牛顿第二定律有mg-FN=m(v²)/(L)，解得FN=mg-m(v²)/(L)，此时杆对小球的弹力随小球速度的增大而减小；若速度v＞，杆对小球表现为向下的拉力FT，根据牛顿第二定律有mg+FT=m(v²)/(L)，解得FT=m(v²)/(L)-mg，此时杆对小球的弹力随小球速度的增大而增大，故D错误； 故选：A。 12．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其F﹣v²图像如图乙所示。则（　　） A．小球做圆周运动的半径R=(b)/(a) B．当地的重力加速度大小g=(a)/(R) C．v²＝c时，小球受到的弹力方向向上 D．v²＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 【答案】D 【详解】 A、由图乙所示可知，当v²＝0时，小球速度为零，向心力为零，杆对小球的支持力与重力平衡，即F＝mg＝a 当F＝0时，v²＝b，此时重力提供向心力，对小球，根据牛顿第二定律得mg=m(b)/(R)，解得R=(mb)/(a)，故A错误； B、当F＝0时重力提供向心力，对小球，由牛顿第二定律得mg=m(b)/(R)，解得当地重力加速度大小g=(b)/(R)，故B错误； C、当v²＝c时，由图可知c＞b，此时m(v²)/(R)＞m(b)/(R)=mg，重力不足以提供向心力，杆对小球表现为拉力，方向向下，故C错误； D、当v²＝2b时，v²＞b，杆对小球表现为拉力，对小球，根据牛顿第二定律得F+mg=m(2b)/(R)，又因为mg=m(b)/(R)，解得F＝mg，即小球受到的弹力大小与重力大小相等，故D正确。 故选：D。 13．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，管径略大于小球的直径d。已知管道半径为R（R＞d），重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时的最小速度为 B．小球通过最低点时，内侧管壁对小球可能有作用力 C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为4mg D．如果小球在最低点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为9mg 【答案】D 【详解】 A、圆形管道既可以提供向上的支持力，也可以提供向下的压力，小球通过最高点时的最小速度为0，故A错误； B、小球通过最低点时，若内侧管壁对小球有作用力，作用力的方向一定竖直向下；若内侧管壁对小球有作用力，管径略大于小球的直径d，外侧管壁对小球一定没有作用力；小球通过最低点时，受到竖直向下的重力和竖直向下的弹力，合力竖直向下，合力不指向圆心，小球不能做圆周运动，故B错误； C、在最高点，对小球，由牛顿第二定律得FN1+mg=m((2)²)/(R)，解得FN1＝3mg，管道外壁对小球的作用力大小为3mg，方向竖直向下；根据牛顿第三定律，小球对管道外壁作用力大小为3mg，方向竖直向上，故C错误； D、在最低点，对小球，根据牛顿第二定律得FN2-mg=m((2)²)/(R)，解得FN2＝9mg，管道外壁对小球的支持力大小为9mg，方向竖直向上；根据牛顿第三定律，小球对管道外壁作用力大小为9mg，方向竖直向下，故D正确。 故选：D。 14．如图所示，在倾角θ＝30°且足够大的光滑斜面上，有一长L＝0.8m的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量m＝1kg的小球。现使小球在斜面上做完整的圆周运动，M点为圆周的最低点，N点为圆周的最高点。小球可视为质点，重力加速度g＝10m/s²。（1）求小球通过N点的最小速度；（2）若小球运动到M点时的速度vM＝6m/s，求此时小球的加速度大小和小球对细线的拉力大小。 【答案】（1）小球通过N点的最小速度为2m/s； 【详解】 （1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过N点时细线的拉力为零，根据向心力公式有mgsinθ=m(vN²)/(L) 可得小球通过N点的最小速度vN==m/s＝2m/s （2）由小球运动到M点时的速度vM＝6m/s，可得加速度a=(vM²)/(L)=(6²)/(0.8)m/s²＝45m/s² 根据牛顿第二定律有T﹣mgsinθ＝ma 计算可得细线对小球的拉力大小T＝50N 由牛顿第三定律可得小球对细线的拉力大小也为50N。 （1）小球通过N点的最小速度为2m/s； （2）若小球运动到M点时的速度vM＝6m/s，求此时小球的加速度大小为45m/s²，小球对细线的拉力大小为50N。 15．小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m＝100g的小球（大小不计），甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球在某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F而断掉，球飞行水平距离s后恰好无碰撞地落在邻近的一倾角为α＝53°的光滑固定斜面体上并沿斜面下滑。已知斜面体顶端与小球做圆周运动最低点的高度差h＝0.8m，斜面体顶端到水平地面的高度差H＝5m，绳长r＝0.3m，重力加速度g取10m/s²，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：（1）绳断时小球的速度大小v1和小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s；（2）绳能承受的最大拉力F的大小；（3）小球在斜面体上的运动时间。 【答案】（1）绳断时小球的速度大小v1为3m/s，小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s为1.2m； 【详解】 （1）绳断后，小球以初速度v1，在空中做平抛运动，竖直方向有h=(1)/(2)gt₁² 得t1＝0.4s 由题意可知，小球恰好落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，有tan53°=(vy)/(v₁)，其中vy＝gt1 得v1＝3m/s，vy＝4m/s 水平方向，有s＝v1t1 得s＝1.2m （2）在小球做竖直面圆周的最低点，对小球，根据牛顿第二定律，有F₂-mg=m(v₁²)/(r) 得F2＝4N，根据牛顿第三定律，绳能承受的最大拉力F＝F2＝4N （3）根据前面分析，可得小球从斜面体顶端开始下滑的初速度v₃==m/s=5m/s 根据牛顿第二定律，有mgsin53°＝ma3 根据匀变速直线运动位移与时间关系，有(H)/(sin53°)=v₃t₃+(1)/(2)a₃t₃² 得t₃=(5)/(8)(-1)s （1）绳断时小球的速度大小v1为3m/s，小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s为1.2m； （2）绳能承受的最大拉力F的大小为4N； （3）小球在斜面体上的运动时间为(5)/(8)(-1)s。 考向四　圆锥摆与离心运动（mgtanθ=mω²r·ω=与质量无关·旋转秋千·漏斗·侧滑离心危害） 16．有关生活中的圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图甲中，脱水筒转动角速度越大，附着在其内壁上一起转动的衣服所受摩擦力越大 B．图乙为汽车通过拱桥最高点时的情形，此时汽车处于超重状态 C．图丙为水平圆盘转动时的示意图，物体离转盘中心越近，所需向心力越大，越容易做离心运动 D．图丁两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的角速度相同 【答案】D 【详解】 A.对衣服受力分析，竖直方向受重力、静摩擦力，水平方向受桶壁的支持力。衣服竖直方向受力平衡，因此静摩擦力大小始终等于重力大小，与脱水桶的角速度无关，故A错误； B.汽车通过拱形桥最高点时，向心力方向竖直向下，即汽车的加速度方向竖直向下，因此此时汽车为失重状态，故B错误； C.根据F向=mω²r，当物体质量m、角速度ω不变时，物体离转盘中心越近，转动半径r越小，所需向心力越小；而物体能提供的最大静摩擦力是定值，所需向心力越小，越不容易做离心运动，故C错误； D.对丁图中小球受力分析，受重力mg、细线拉力T，二力的合力提供匀速圆周运动的向心力。设悬点到小球运动水平面的竖直高度为h，细线与竖直方向夹角为θ，小球做圆周运动的轨道半径r＝htanθ。竖直方向受力平衡Tcosθ＝mg；水平方向合力提供向心力Tsinθ＝mω²r。将r＝htanθ代入向心力公式，联立两式可得mgtanθ＝mω²•htanθ，得ω=。由于两个小球在同一水平面内运动，因此h相同，角速度ω与小球质量、细线长度均无关，二者角速度相同，故D正确。 故选：D。 17．如图所示，质量为m的小球用不可伸长的轻质细绳悬挂，使小球在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受细绳的拉力充当向心力 B．若仅增大小球质量，小球的周期减小 C．若仅增大小球质量，则夹角θ减小 D．若仅增大小球角速度，则夹角θ增大 【答案】D 【详解】 A．根据题意分析可知，小球在水平面内做匀速圆周运动，合外力（重力与拉力的合力）充当向心力，故A错误； B．根据题意分析可知，小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力mgtanθ=m(4π²)/(T²)⋅Lsinθ 整理得周期公式T=2π 可知周期T与质量无关，故B错误； C．根据题意分析可知，小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力mgtanθ＝mω²Lsinθ 得cosθ=(g)/(ω²L) 可知夹角θ与质量无关，故C错误； D．由上述分析可知，若仅增大小球角速度ω，则夹角θ增大，故D正确。 故选：D。 18．如图甲所示为游乐园里的旋转秋千，长为l的钢绳一端连接座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，且与竖直方向的夹角为θ，简化模型如图乙所示。不计钢绳所受的重力，重力加速度为g。则角速度ω与夹角θ的关系为（　　） A．ω= B．ω= C．ω= D．ω= 【答案】C 【详解】 座椅受到重力和绳子的拉力，合力提供水平面内，即做圆周运动的向心力为Fn＝mgtanθ 根据牛顿第二定律Fn=mω²(r+lsinθ) 解得角速度ω= 故ABD错误，C正确。 故选：C。 19．把一个小球放在如图所示的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．半径越大，小球受到的合力越大 B．半径越大，小球向心加速度的大小越大 C．半径越大，小球转速越大 D．半径越大，转动半圈小球受到的合力的冲量越大 【答案】D 【详解】 AB.对小球做受力分析，小球受重力mg、漏斗壁的支持力N，竖直方向受力平衡，合力沿水平方向提供向心力。设漏斗壁的倾角为定值θ，可得合力F合＝mgtanθ 故向心加速度a=(F合)/(m)=gtanθ 故小球所受合力和向心加速度与圆周运动半径r无关，半径增大，合力不变，向心加速度不变，故AB错误； C.由a＝ω²r＝（2πn）²r 可得n=(1)/(2π)，故半径越大，转速n越小，故C错误； D.根据动量定理，合力冲量等于动量变化，半圈末速度反向，Δp＝2mv＝2m，随r增大，故D正确。 故选：D。 20．在短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛。比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而甩离正常比赛路线。如图所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为圆弧在O点的切线（研究时可将运动员看作质点），下列说法正确的是（　　） A．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧 B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力 C．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心 D．发生侧滑是因为运动员的速度过大，受到的合力不足以提供向心力 【答案】D 【详解】 A、若运动员水平方向不受任何外力时沿Oa线做离心运动，实际上运动员要受摩擦力作用，所以滑动的方向在Oa右侧与Ob之间，故A错误； B、侧滑时运动员做离心运动，此时运动员受到的合外力小于做圆周运动的向心力，故B错误； C、发生侧滑时，运动员的合力方向仍然指向圆心方向，只是大小不够，并非合力方向背离圆心，故C错误； D、运动员速度过大时，所需向心力Fn=(mv²)/(r)增大，实际受到的合力不足以提供向心力，因此发生侧滑，故D正确。 故选：D。 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖转盘叠放/弹簧/绳连多物摩擦临界、凸桥腾空计算、圆锥摆与倾斜转台、半球罐摩擦范围、锥面离开与竖直面最低点拉力等综合） 21．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，说法正确的是（　　） A．图甲中汽车通过最高点时要减速是为了防止爆胎 B．图乙中脱水筒甩出的水滴受到离心力的作用 C．如图丙，杂技演员表演“水流星”，匀速转动通过最低点时水对桶底压力最大 D．图丁中如果火车行驶速度超过轨道设计的规定速度，轮缘会挤压内轨 【答案】C 【详解】 A．图甲中汽车通过最高点时，加速度方向向下，汽车处于失重状态，汽车要减速是为了防止汽车飞离接触面，不是为了防止爆胎，故A错误； B．图乙中脱水筒甩出的水滴，是因为水滴受到的实际力不足以提供所需的向心力，水滴并没有受到离心力的作用，故B错误； C．如图丙，杂技演员表演“水流星”，匀速转动时，在下半圆时，加速度的竖直分量向上，设绳子与竖直方向的夹角为θ；根据N-mgcosθ=m(v²)/(r)，得N=mgcosθ+m(v²)/(r)，当处于最低点时，θ＝0°，此时水受到的弹力最大，即水对桶底压力最大，故C正确； D．图丁中如果火车行驶速度超过规定速度，重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心运动趋势，所以轮缘会挤压外轨，则外轨提供弹力补充重力和支撑力的合力提供向心力的不足，不是挤压内轨，故D错误。 故选：C。 22．如图所示，下列有关生活中圆周运动的实例分析，说法正确的是（　　） A．图甲中，脱水筒的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力 B．图乙中，火车转弯时行驶速度超过设计速度，车轮会挤压内轨 C．图丙中，汽车通过拱桥最高点时，汽车处于超重状态 D．图丁中，“水流星”转动过程中，在最高点处水与桶底的压力可能等于0 【答案】D 【详解】 A．图甲中，脱水筒的脱水原理是水滴的附着力不足以提供做圆周运动的向心力时水滴做离心运动被甩出，故A错误； B．图乙中，火车转弯时行驶速度超过设计速度时，火车受的支持力和重力的合力不足以提供火车做圆周运动的向心力，此时火车有做离心运动的趋势，则车轮会挤压外轨，故B错误； C．图丙中，汽车通过拱桥最高点时，加速度向下，汽车处于失重状态，故C错误； D．图丁中，根据竖直面内圆周运动绳模型，“水流星”转动过程中，在最高点处当满足mg=m(v²)/(l)时，水与桶底的压力等于0，故D正确。 故选：D。 23．下列四幅图是有关生活中的圆周运动的实例分析，其中说法正确的是（　　） A．图甲中杂技演员表演“水流星”，在最高点处，水对桶底一定有压力 B．图乙中汽车在起伏的山路上以较大速度匀速率行驶，A处比B处更容易爆胎 C．图丙中如果火车转弯行驶速度超过设计速度，轮缘会挤压内轨，会使内轨受损 D．图丁中两个球在同一水平面内做圆锥摆运动，悬线与过悬点竖直方向的夹角θ小的球，则其圆锥摆运动的角速度也小 【答案】B 【详解】 A．图甲中杂技演员表演“水流星”，在最高点处，如果重力恰好提供向心力，则桶对水没有支持力，水对桶底没有压力，故A错误； B．汽车在A处向心加速度竖直向上，处于超重状态，路面对轮胎的支持力大于汽车重力，在B处向心加速度竖直向下，处于失重状态，路面对轮胎的支持力小于汽车重力，故A处比B处更容易爆胎，故B正确； C．图丙中如果火车转弯行驶速度超过设计速度，需要的向心力大于提供的向心力，要做离心运动，轮缘会挤压外轨，故C错误； D．设悬点到水平面的高度为h，由mgtanθ＝mω²htanθ，解得ω=，故D错误。 故选：B。 24．关于生活中的圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，物体随水平圆盘匀速转动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B．如图乙，物体在水平面上做圆周运动，若在A点运动轨迹突然发生改变而沿虚线运动，则一定是因为物体的速度突然变大了 C．如图丙，如果火车转弯时行驶速度超过设计速度，轮缘会挤压外轨 D．如图丁，若小球在竖直放置的光滑圆形轨道内侧做完整圆周运动，则对轨道最低点和最高点的压力差一定是自身重力的4倍 【答案】C 【详解】 A、甲图中，物体随水平圆盘匀速转动时，受到重力、支持力、摩擦力作用，物体是靠重力、支持力和摩擦力的合力提供的向心力，故A错误； B、如图乙，物体在水平面上做圆周运动，若在A点运动轨迹突然发生改变而沿虚线运动，则物体做的是离心运动，即物体所受的合外力不足以提供向心力所致，所以可能是物体的速度变小了，也可能是细线的拉力变小了，故B错误； C、丙图中，在设计速度下火车转弯时由重力和支持力的合力提供向心力，如果行驶速度超过轨道的设计速度，需要的向心力会更大，重力和支持力的合力不足，轮缘会挤压外轨，由外轨弹力补充向心力，故C正确； D、丁图中若小球在竖直放置的光滑圆形轨道内侧做完整圆周运动，小球在最高点时，根据牛顿第二定律可得：mg+F₁=m(v₁²)/(R) 小球在最低点时，根据牛顿第二定律可得：F₂-mg=m(v₂²)/(R) 根据动能定理可得：mg⋅2R=(1)/(2)mv₂²-(1)/(2)mv₁² 联立可得：F2﹣F1＝6mg，可知小球对轨道最低点和最高点的压力差一定是自身重力的6倍，故D错误。 故选：C。 25．如图所示，两同学到游乐场乘坐“旋转秋千”，他们分别坐在用相同长度的轻质缆绳悬挂的座椅中，两同学（含座椅）质量不同。不计空气阻力，当水平圆盘带着两人达到匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．质量大的同学运动的周期小 B．质量大的同学运动的半径小 C．两同学运动的线速度大小相等 D．两同学运动的向心力大小相等 【答案】C 【详解】 设水平圆盘转动的角速度为ω，悬挂轻质缆绳的悬点到转轴的距离为R，缆绳长度为L，缆绳与竖直方向的夹角为θ。对同学（含座椅）受力分析，合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtanθ＝mω²（R+Lsinθ），解得gtanθ＝ω²（R+Lsinθ）。由于ω、R、L均相同，可知夹角θ与质量无关，两同学缆绳与竖直方向的夹角θ相等，运动半径r＝R+Lsinθ相等。 A、两同学均随水平圆盘转动，角速度ω相同，根据T=(2π)/(ω)可知，两同学运动的周期相等，故A错误； B、由上述分析可知，两同学运动的半径r相等，故B错误； C、根据v＝ωr，由于ω和r均相等，可知两同学运动的线速度大小相等，故C正确； D、根据Fn=mω²r，由于ω和r均相等，可知质量大的同学向心力较大，故D错误。 故选：C。 26．如图所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，小球m1的角速度为ω1；L2跟竖直方向的夹角为30°，小球m2的角速度为ω2，则ω1：ω2的值为（　　） A．()/(3) B．1 C． D．3 【答案】B 【详解】 设细线与竖直方向的夹角为θ，小球所受合力的大小为mgtanθ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝mLsinθω² 得ω= 两小球Lcosθ相等，所以角速度相等，故B正确，ACD错误。 故选：B。 27．如图所示是两个圆锥摆，两个质量相等、可以看作质点的金属小球有共同的悬点，在相同的水平面内做匀速圆周运动，下面说法正确的是（　　） A．A球对绳子的拉力较大 B．A球圆周运动的向心力较大 C．B球圆周运动的线速度较大 D．B球圆周运动的角速度较大 【答案】C 【详解】 BCD、小球均受竖直向下的重力，沿绳向上的拉力，由于小球做匀速圆周运动，合力提供向心力 设悬点到水平面的高度为h，则Fn=mgtanθ=m(v²)/(r)=mω²r，r＝htanθ 解得v=tanθ，ω= B球与竖直方向的夹角大于A球与竖直方向的夹角，B球圆周运动的向心力较大，线速度较大，角速度相等，故BD错误，C正确； A、细线的拉力大小为T=(mg)/(cosθ)，B球与竖直方向的夹角大于A球与竖直方向的夹角，B球所受绳的拉力大，结合牛顿第三定律，B球对绳子的拉力较大，故A错误。 故选：C。 28．游乐场有一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图，魔盘侧面与水平面的夹角为θ。质量分别为M和m（M＞m）的大人和小朋友随魔盘一起转动，其轨道半径分别为R、r（R＞r），动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则下列说法错误的是（　　） A．大人受到的摩擦力可能小于Mgsinθ B．大人受到魔盘的支持力一定比小朋友大 C．大人受到魔盘的作用力一定比小朋友大 D．大人一定比小朋友后发生相对滑动 【答案】D 【详解】 设人的质量为m0，随盘转动的半径为r0，魔盘的角速度为ω，并设受到魔盘的静摩擦力f沿斜面向上；在垂直于盘面方向上受力平衡，有N=m₀gcosθ+m₀ω²r₀sinθ，在平行于盘面方向上，根据牛顿第二定律有m₀gsinθ-f=m₀ω²r₀cosθ；解得静摩擦力为f=m₀gsinθ-m₀ω²r₀cosθ，人受到魔盘的作用力大小为F=，代入化简可得F=m₀。 A、由共性分析推导的静摩擦力表达式可知，由于ω＞0，表达式中减数项大于零，此时f的大小完全可能小于m0gsinθ（当角速度较大时甚至反向），即可知大人受到的摩擦力可能小于Mgsinθ，故A正确； B、根据支持力表达式N=m₀(gcosθ+ω²r₀sinθ)可知，大人的质量M与运动半径R均大于小朋友的相应值，在角速度相同时其受到的支持力一定比小朋友大，故B正确； C、根据人受到魔盘作用力的表达式F=m₀可知，由于大人的质量与半径均更大，其受到魔盘的作用力一定比小朋友大，故C正确； D、当魔盘角速度逐渐增大导致人恰好向外滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力且方向沿斜面向下，即满足f＝﹣μN；代入前面的表达式解得发生相对滑动时的临界角速度平方为ωc²=(g(sinθ+μcosθ))/(r₀(cosθ-μsinθ))，由此可知临界角速度随运动半径的增大而减小；由于大人的半径较大，其临界角速度较小，必然比小朋友先发生相对滑动，故D错误。 故选：D。 29．如图所示，带有中心转轴的水平转盘上放置一质量为1kg的小物块，物块与转轴通过轻质弹簧连接，弹簧伸长5cm，小物块恰好处于静止状态。已知弹簧的劲度系数为100N/m，原长为20cm，现让转盘以某角速度匀速转动，弹簧长度不变，滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，重力加速度g＝10m/s²，下列说法中正确的是（　　） A．物块与转盘间的动摩擦因数为0.2 B．当物块与转盘间的摩擦力大小为0时，转盘角速度为5rad/s C．当摩擦力的大小为4N时，转盘角速度可能为6rad/s D．当转盘角速度为8rad/s时，弹簧弹力大小为11N 【答案】C 【详解】 转盘未转动时，物块恰好处于静止状态，说明此时水平方向受力平衡，且静摩擦力达到最大值。 弹簧伸长量为Δx＝5cm＝0.05m，由胡克定律可知此时弹簧的弹力大小为Fs＝kΔx＝5N。 根据水平方向受力平衡条件可知，转盘对物块的最大静摩擦力大小为fm＝Fs＝5N。 A、已知滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，由fm＝μmg代入数据可解得动摩擦因数μ＝0.5，故A错误； B、当物块与转盘间的摩擦力为0时，由弹簧弹力单独提供物块做圆周运动所需的向心力。根据牛顿第二定律有Fs=mω²r，代入数据解得此时转盘的角速度为ω=2rad/s，故B错误； C、当摩擦力大小为4N时，由于该值小于最大静摩擦力5N，物块可以随转盘保持相对静止。若静摩擦力的方向指向转轴，根据向心力公式有Fs+f=mω₁²r，代入数据解得ω1＝6rad/s。若静摩擦力的方向背离转轴，根据向心力公式有Fs-f=mω₂²r，代入数据解得ω2＝2rad/s。因此，当摩擦力的大小为4N时，转盘的角速度完全可能为6rad/s，故C正确； D、由题意可知转动过程中弹簧长度始终不变，其形变量恒为0.05m，弹簧弹力大小必定始终为5N。在维持该轨道半径运动的前提下，弹簧弹力大小不可能变为11N，故D错误。 故选：C。 30．如图所示，水平转盘上静置有质量为m的小物块A，和质量为2m的小物块B，小物块A和转盘间的动摩擦因数为μ，小物块B和转盘间的动摩擦因数为3μ，小物块A、B与转盘圆心O的距离分别为L和2L，A、B两物块由一过圆心的轻质细绳相连，初始时刻轻绳恰好伸长且无拉力。使转盘由静止开始绕圆心O做角速度缓慢增加的圆周运动。物体间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。（1）求轻绳无拉力时转盘的角速度ω的取值范围；（2）求小物块B与转盘间的摩擦力刚达到最大静摩擦力时转盘的角速度大小；（3）当A、B两物块相对转盘静止，且A所受摩擦力大小为(μmg)/(2)时，求转盘的角速度大小。 【答案】（1）轻绳无拉力时转盘的角速度ω的取值范围是0≤ω≤； 【详解】 （1）对小物块A，最大静摩擦力提供向心力μmg=mωA²L， 解得临界角速度ωA= 对小物块B，最大静摩擦力提供向心力3μ⋅2mg=2mωB²⋅2L 解得临界角速度ωB= 角速度范围为0≤ω≤ （2）在小物块A、B与转盘间的摩擦力均为最大静摩擦力之前，A、B与转盘间的摩擦力均指向圆心。小物块A由拉力和摩擦力的合力提供向心力，对于小物块B由拉力和摩擦力提供向心力。设拉力为T，则对小物块A有μmg+T＝mω²L 对小物块B有fB+T=4mω²L 又fB＝3μ•2mg 解得ω= （3）小物块A的摩擦力存在两种指向的可能；当A的摩擦力指向圆心时，此时fA=(μmg)/(2) 此时两物体的静摩擦都未达最大值，轻绳无拉力，对小物块A有fA=mω₁²L 解得ω1= 当角速度继续增大，当小物块B达到最大静摩擦力后，由于小物块B所需向心力大于小物块A所需向心力，因此小物块A所受摩擦力从指向圆心开始逐渐减小，当A的摩擦力指向圆心，fA=(μmg)/(2)时，对小物块A有 fA+T=mω₂²L 对小物块B有6μmg+T=4mω₂²L 联立解得ω2= 小物块A所受摩擦力从指向圆心减为0后，开始反向增大，当A的摩擦力背向圆心，fA=(μmg)/(2)时，对小物块 A有T-fA=mω₃²L 对小物块B有6μmg+T=4mω₃²L 联立解得ω3= （1）轻绳无拉力时转盘的角速度ω的取值范围是0≤ω≤； （2）小物块B与转盘间的摩擦力刚达到最大静摩擦力时转盘的角速度大小是； （3）当A、B两物块相对转盘静止，且A所受摩擦力大小为(μmg)/(2)时，转盘的角速度大小是或 或。 31．游乐场中常见的“旋转魔碟”设施可简化为一个带有直立外缘、可绕中心轴高速旋转的巨型水平转台，如图所示，某参与者（看作质点）静坐在转台表面，转台半径R＝3m。已知该参与者的质量m＝60kg，其就座位置与转台中心O点的距离r＝1m，参与者与台面间的动摩擦因数μ＝0.5。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当地重力加速度大小g＝10m/s²。（1）当转台以角速度ω1＝2rad/s匀速转动时，参与者相对转台静止，求参与者受到的摩擦力大小f；（2）继续缓慢增大转台的角速度，若转台以角速度ω2＝3rad/s匀速转动时，参与者与直立外壁接触并相对转台静止，求外壁对该参与者的作用力大小F。 【答案】（1）当转台以角速度ω1＝2rad/s匀速转动时，参与者相对转台静止，参与者受到的摩擦力大小f是240N； 【详解】 （1）当转台以角速度ω1＝2 rad/s匀速转动时，参与者相对转台静止，参与者受到的静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律可得f=mω₁²r 代入数据可得f＝240N （2）转台以角速度ω2＝3 rad/s匀速转动时，参与者紧贴直立外壁随转台做匀速圆周运动，此时运动半径为R＝3m，其在竖直方向上受力平衡，则有FN＝mg 水平方向的合力提供向心力，根据牛顿第二定律则有F+μmg=mω₂²R 代入数据可得外壁对该参与者的作用力大小F＝1320N （1）当转台以角速度ω1＝2rad/s匀速转动时，参与者相对转台静止，参与者受到的摩擦力大小f是240N； （2）外壁对该参与者的作用力大小F是1320N。 32．一质量m的汽车经过一半径R的拱形桥，已知重力加速度为g，求：（1）汽车经过拱形桥顶部时的最大速度vm；（2）若汽车以速度v经过拱形桥顶部时，所受阻力大小为f，牵引力为F。求此时汽车：①受到的支持力大小FN；②加速度大小a。 【答案】（1）汽车经过拱形桥顶部时的最大速度vm为； 【详解】 （1）当支持力为零时速度最大，重力提供向心力mg=m(vm²)/(R) 解得vm= （2）①对汽车进行受力分析，如图所示 由牛顿第二定律得mg-FN=m(v²)/(R) 解得FN=mg-m(v²)/(R) ②向心加速度为a₁=(v²)/(R) 水平方向上，由牛顿第二定律得F﹣f＝ma2 由运动的合成规律得此时汽车加速度为a= 解得a= （1）汽车经过拱形桥顶部时的最大速度vm为； （2）①受到的支持力大小FN为mg-m(v²)/(R)； ②加速度大小a为。 33．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝37°，已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为f＝0.5mg不变。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；（2）若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围。 【答案】（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度ω0为(1)/(2)； 【详解】 （1）小物块做圆周运动，由重力、支持力合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 Fn=mgtanθ=mω₀²r 其中r＝Rsinθ 解得ω₀=(1)/(2) （2）当摩擦力沿切面斜向下时，由重力、支持力、摩擦力提供向心力，摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，在竖直方向上根据平衡条件有 FNcosθ＝fsinθ+mg 在水平方向根据牛顿第二定律有FNsinθ+fcosθ=mωmax²Rsinθ 解得ωmax= 当摩擦力沿切面斜向上时，由重力、支持力、摩擦力的合力提供向心力，摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最小，在竖直方向上根据平衡条件有 FNcosθ+fsinθ＝mg 在水平方向上根据牛顿第二定律有 FNsinθ-fcosθ=mωmin²Rsinθ 解得ωmin= 则陶罐旋转的角速度的范围≤ω≤ （1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，此时的角速度ω0为(1)/(2)； （2）若小物块一直相对陶罐静止，陶罐旋转的角速度的范围为≤ω≤。 34．光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5m的轻绳一端系一质量为0.1kg的小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。（1）当小球的角速度不断增大，求小球恰离开圆锥表面时的角速度和此时细绳的拉力大小；（2）当小球的角速度为2rad/s时，求轻绳中的拉力大小；（3）逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为2N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。（取g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） 【答案】（1）小球恰离开圆锥表面时的角速度为5rad/s，此时细绳的拉力大小为1.25N； 【详解】 （1）设圆锥母线与竖直方向夹角为θ，根据几何关系知θ＝37°； 小球恰好离开圆锥表面时，圆锥对小球的支持力为零，小球仅受重力和轻绳的拉力； 竖直方向有T0cos37°＝mg，代入数据解得恰好离开时的拉力大小T0＝1.25N； 水平方向根据牛顿第二定律有T₀sin37°=mω₀²Lsin37°； 代入数据解得小球恰离开圆锥表面时的角速度ω0＝5rad/s。 （2）当小球角速度为ω1＝2rad/s时，因ω1＜ω0，小球未离开表面，受支持力FN； 对小球受力分析，竖直方向有T1cos37°+FNsin37°＝mg； 水平方向根据牛顿第二定律有T₁sin37°-FNcos37°=mω₁²Lsin37°； 联立两方程并代入数据，解得此时轻绳中的拉力大小为T1＝0.872N。 （3）当轻绳拉力达到Tmax＝2N时，因Tmax＞T0，小球已离开圆锥表面； 设此时轻绳与竖直方向夹角为α，竖直方向有Tmaxcosα＝mg； 代入数据解得cosα＝0.5，即夹角α＝60°； 水平方向有Tmaxsinα=m(v²)/(Lsinα)，代入数据解得平抛初速度v=()/(2)m/s； 断裂时小球距地面的高度h＝H﹣Lcos60°，代入数据解得h＝0.5m； 轻绳断裂后小球做平抛运动，竖直方向有h=(1)/(2)gt²，解得运动时间t=()/(10)s； 平抛水平位移x＝vt，代入数据解得水平位移x=()/(2)m； 断裂时小球做圆周运动的轨迹半径R=Lsin60°=()/(4)m； 小球落地点与O'点间的距离D=，代入数据解得D=()/(4)m。 （1）小球恰离开圆锥表面时的角速度为5rad/s，此时细绳的拉力大小为1.25N； （2）轻绳中的拉力大小为0.872N； （3）轻绳断裂后小球落地点与O'点间的距离为()/(4)m。 35．如图所示，半圆形竖直轨道固定在水平面上，其半径为r。质量为m的物块沿轨道下滑至最低点P时的速度大小为v。已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求物块在P点：（1）角速度；（2）受到的摩擦力大小。 【答案】（1）角速度是(v)/(r)； 【详解】 （1）由线速度与角速度的关系得v＝rω 解得ω=(v)/(r) （2）在P点，沿法向，由牛顿第二定律得N-mg=(mv²)/(r) 由滑动摩擦力公式得 f＝μN 解得f=μ(mg+(mv²)/(r)) （1）角速度是(v)/(r)； （2）受到的摩擦力大小是μ(mg+(mv²)/(r))。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　6.4 生活中的圆周运动 — — 学科网（北京）股份有限公司 $专题讲义 人教版高中物理必修第二册 人教版·高中物理必修第二册 6.4　生活中的圆周运动【单元复习】 （原卷版） 人教版高中物理必修第二册　|　第六章《圆周运动》　|　单元复习提优　|　建议用时 60 分钟　|　难度：★★★☆☆ ▎学习目标 1．知道生活中圆周运动的两类典型模型：水平面内（铁路弯道、汽车转弯、水平转盘）由侧向静摩擦力或重力与支持力（拉力）的合力提供向心力；竖直面内（拱桥、绳/杆/管道）由重力与约束弹力沿半径方向的合力提供向心力； 2．掌握倾斜路面（铁路弯道）转弯：外轨略高于内轨，规定速度 v＝；车速大于规定速度挤压外轨、小于规定速度挤压内轨；水平路面转弯由侧向静摩擦力提供向心力，允许的最大车速 v≤； 3．掌握竖直面圆周：凸形桥最高点 mg−N＝mv²/r（失重，v＝时N＝0）、凹形桥最低点 N−mg＝mv²/r（超重）；绳（外轨道）模型最高点临界 vmin＝，杆（管道）模型最高点速度可取0，会求最低点拉力 T−mg＝mv²/r； 4．理解圆锥摆 mgtanθ＝mω²r、r＝htanθ，得 ω＝、T＝2π；知道航天器中重力全部提供向心力（完全失重，并非不受重力）；理解离心运动的产生条件（向心力不足沿切线飞出）及其应用与危害。 【思维导图】 生活中的圆周运动 路面转弯 铁路弯道外轨高·合力水平向心 规定速度 v＝ v大挤外轨·v小挤内轨 水平路面 v≤ 生活中的圆周运动 桥与竖直面 凸桥 mg−N＝mv²/r·失重 凹桥 N−mg＝mv²/r·超重 绳最高点 vmin＝ 杆/管道最高点 v可取0 生活中的圆周运动 圆锥摆 mgtanθ＝mω²r r＝htanθ ω＝·与质量无关 T＝2π 生活中的圆周运动 失重离心 重力全提供向心力·完全失重 向心力不足沿切线飞出 应用：脱水桶/离心机/棉花糖 危害：侧滑/砂轮破裂 考点一　水平路面与倾斜路面上的圆周运动 1．铁路（公路）弯道为什么要外轨超高：火车（汽车）在水平路面上转弯时，若路面水平，所需向心力完全由侧向静摩擦力（或轮缘与轨道的挤压）提供；但火车质量很大，仅靠轮缘挤压极易磨损轨道。为此铁路弯道处把外轨铺得略高于内轨，使轨道平面向圆心方向倾斜（如图1）。此时轨道对车轮的支持力N不再竖直向上，而是垂直于倾斜路面指向斜上方，重力mg竖直向下，二者的合力沿水平方向指向弯道圆心，提供转弯所需的向心力。 图1　铁路弯道处外轨略高于内轨：重力mg与轨道支持力N的合力沿水平方向指向圆心，提供转弯所需向心力；θ为轨道平面与水平面的夹角 2．规定速度与内外轨挤压：当车轮对两侧轨道均无侧向压力时，重力与支持力的合力恰好提供向心力。设弯道半径为r、轨道倾角为θ，竖直方向Ncosθ＝mg，水平方向Nsinθ＝mv²/r，两式相除得 tanθ＝v²/(gr)，即规定速度 v＝。当实际车速v大于规定速度时，所需向心力增大而合力不足，车轮有做离心运动、向轨道外侧挤压的趋势，外轨对外侧轮缘产生向内的侧压力以补充向心力；反之v小于规定速度时，内轨受到车轮轮缘的挤压。 3．水平路面转弯与倾斜路面类比：汽车在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，由轮胎与地面间的最大静摩擦力提供向心力。设动摩擦因数为μ，则 μmg＝mv²/r，得允许的最大车速 v≤；车速过大、路面结冰（μ减小）或弯道半径过小时，所需向心力超过最大静摩擦力，汽车将做离心运动而侧滑。倾斜路面（如赛车场超高弯道、飞机倾斜转弯）的受力与铁路弯道类似，都是靠重力与支持力（升力）的合力提供向心力。 ▎重难诠释 ①水平路面转弯：向心力由侧向静摩擦力提供，v≤，车速过大即侧滑； ②倾斜（超高）路面：重力与支持力的合力水平指向圆心，规定速度 v＝； ③v＞规定速度→挤压外轨（外轨补充向心力）；v＜规定速度→挤压内轨； ④向心力是效果力，由实际受力（摩擦力或合力）提供，不能说物体“额外受到向心力”。 考点二　竖直面内的圆周运动：桥、绳杆模型、圆锥摆与失重离心 1．拱形桥与凹形桥——超重与失重：汽车通过凸形（拱形）桥最高点时，圆心在下方，向心力竖直向下，由重力与支持力的合力提供：mg−N＝mv²/r，得 N＝mg−mv²/r。此时支持力N小于重力mg，汽车处于失重状态；当 v＝ 时N＝0，汽车恰好对桥面无压力（腾空飞起）。汽车通过凹形桥最低点时（如图2），圆心在上方，向心力竖直向上：N−mg＝mv²/r，得 N＝mg＋mv²/r，支持力大于重力，汽车处于超重状态，因此凹形桥谷底比凸形桥顶更易使轮胎爆胎。 图2　汽车通过凹形桥最低点：圆心O在正上方，支持力N竖直向上、重力mg竖直向下，N−mg＝mv²/r提供向上的向心力，汽车处于超重状态 2．绳模型与外轨道模型——最高点临界：如图3左，小球用长为r的轻绳拴住（或在竖直光滑圆轨道内侧运动），在竖直面内做圆周运动。在最高点，重力mg与绳拉力T（或轨道压力）均指向圆心（向下）：T＋mg＝mv²/r。绳只能拉不能推，故最高点速度越小T越小；当T＝0时mg＝mv²/r，得最高点最小速度 vmin＝。若 v＜，小球在到达最高点之前即脱离轨道，不能完成完整的圆周运动。 图3　绳模型（左，虚线圆）与竖直圆轨道（右）：绳只能提供指向圆心的拉力，最高点最小速度 vmin＝ 3．杆模型与管道模型——最高点速度可为零：如图4，小球固定在轻杆一端（或在光滑圆形管道内运动）时，杆（管道外壁）既能提供指向圆心的拉力，也能提供背离圆心的支持力。在最高点，若v＜，杆对小球为向上的支持力：mg−N＝mv²/r；若v＞，杆对小球为向下的拉力：mg＋T＝mv²/r；v＝时杆（管道）的弹力恰好为零。因此杆（管道）模型最高点速度可以为零（v≥0即可通过最高点）。在最低点，无论绳还是杆，均有 T−mg＝mv²/r，此时绳（杆）的拉力最大。 图4　杆模型（左，虚线圆）与光滑管道（右，双圆）：杆/管道既能拉又能支持，最高点速度可取0；v＜时为支持力，v＞时为拉力 图5　竖直面内圆周运动各位置受力：最高点（左，绳拉/轨道压指向圆心向下）、只由重力提供向心力（中）、最低点（右，支持力向上） 4．圆锥摆：如图6，小球用长为L的细线拴住，在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。小球受重力mg与绳拉力T，二者的合力水平指向圆心。设悬点到小球圆周所在平面的竖直高度为h，绳与竖直方向夹角为θ，则圆周半径r＝htanθ。竖直方向Tcosθ＝mg，水平方向Tsinθ＝mω²r＝mω²htanθ，联立得 ω＝，即圆锥摆的角速度只与高度h有关，与摆球质量、绳长（只要h相同）均无关；周期 T＝2π/ω＝2π。 图6　圆锥摆：悬点P到圆周所在平面的竖直高度为h，圆周半径r＝htanθ；由合力提供向心力推得 ω＝，与摆球质量无关 5．航天器中的完全失重与离心运动：航天器（及其中的物体）绕地球做圆周运动时，地球对物体的重力恰好全部用来提供绕地球做圆周运动所需的向心力，物体对支持物不再有挤压，处于“完全失重”状态——这并非不受重力，而是重力全部充当了向心力。做圆周运动的物体，当提供向心力的合力突然消失或不足时，物体将沿所在位置的切线方向飞出（或逐渐远离圆心），这就是离心运动（如图7）。 图7　离心运动：合力恰好提供向心力时做圆周运动（Fn＝mω²r）；合力不足时沿切线飞出（Fn＜mω²r）；合力消失时沿直线切线飞出（Fn＝0）；合力过大则做向心运动（Fn＞mω²r） 6．离心运动的应用与危害：离心运动在技术上有广泛应用，如洗衣机脱水桶（图8）、离心脱水机、离心沉淀器、制作“棉花糖”等——利用转速足够大时水滴（糖液）的附着力不足以提供向心力而被甩出。其危害则有：汽车、火车转弯过快时因离心趋势而侧滑、挤压轨道；高速砂轮（轮）转速过高时因离心作用破裂飞出等，故转弯要限速、砂轮不得超速使用。 图8　洗衣机脱水桶：桶壁对水滴的弹力提供水滴做圆周运动的向心力，转速足够大时附着力不足，水滴沿切线从漏水孔甩出 ▎重难诠释 ①凸桥最高点 mg−N＝mv²/r（失重），v＝时N＝0；凹桥最低点 N−mg＝mv²/r（超重），谷底更易爆胎； ②绳/外轨道模型最高点临界 vmin＝，T＋mg＝mv²/r；杆/管道模型最高点v可取0，v＜为支持力、v＞为拉力；最低点均有 T−mg＝mv²/r； ③圆锥摆 mgtanθ＝mω²r、r＝htanθ，得 ω＝、T＝2π，ω只与高度h有关； ④完全失重＝重力全部提供向心力（并非不受重力）；离心运动＝向心力不足沿切线飞出，要会分析脱水、侧滑等实例。 考向一　铁路弯道与水平路面转弯（外轨超高合力向心·规定速度v=·v大挤外轨v小挤内轨·水平路面v≤·转盘摩擦临界） 1．复兴号高铁以速率v0通过某弯道时，车轮对两侧轨道均无侧向压力，轨道平面与水平面的夹角为θ，弯道半径为R，重力加速度为g。某次高铁以恒定速率v通过此弯道，下列说法正确的是（　　） A．tanθ=(v₀²)/(gR) B．sinθ=(v₀²)/(gR) C．cosθ=(v₀²)/(gR) D．若v＞v0，此时车轮一定对内轨产生侧向压力 2．2026年3月WSBK葡萄牙站，法国车手瓦伦丁•德比斯驾驶张雪机车820RR﹣RS赛车，连续两回合夺冠，实现中国摩托车品牌在该赛事的历史性突破。张雪机车赛车专用热熔胎的黏性极强，其与干燥路面间的动摩擦因数达1.2，已知赛道的某一水平弯道半径约为48m，根据以上条件，若要不打滑地通过该弯道，则赛车的最大车速约为（　　） A．24m/s B．18m/s C．12m/s D．10m/s 3．如图所示，圆盘在水平面内匀速转动，盘面上距圆盘中心r＝0.1m处有一质量m＝0.3kg的小物块随圆盘一起转动。已知小物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝0.2，取重力加速度大小g＝10m/s²，若小物块恰好未发生滑动，则圆盘转动的角速度为（　　） A．2rad/s B．4rad/s C．2rad/s D．2rad/s 4．如图所示，餐厅内两瓷罐P、Q（可视为质点）静置在水平转盘上与转盘始终保持相对静止，随转盘绕中心转轴OO′做匀速圆周运动，瓷罐P、Q的质量分别为m、2m，到转轴OO′的距离分别为R、2R，两瓷罐与转盘间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．瓷罐P、Q受到的摩擦力方向均与自身线速度方向相反 B．瓷罐P、Q受到的静摩擦力大小之比为1：2 C．瓷罐P、Q角速度大小始终相等 D．缓慢增大转盘转速时，瓷罐P相较于瓷罐Q先滑动 5．如图所示，轻质“T”形支架绕竖直轴OO'转动，水平横杆上套有P、Q两个小球（可视为质点）。已知P、Q的质量分别为2m和m，与横杆间的动摩擦因数分别为μ和3μ。P球到转轴OO'的距离为Q球到转轴距离的2倍。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若支架从静止开始绕竖直轴缓慢加速转动（角速度逐渐增大），直至小球相对横杆即将发生滑动。在此过程中，横杆对竖直转轴的最大水平作用力大小为（　　） A．(1)/(2)μmg B．(3)/(2)μmg C．μmg D．9μmg 考向二　凸凹桥与竖直面超重失重（凸桥mg−N=mv²/r失重·v=腾空·凹桥N−mg=mv²/r超重·水流星/摩天轮合力） 6．2026年我国自主设计和制造的摩托车在世界大赛中多次夺冠，实现了历史性突破。如图所示，某次比赛中，骑手和车（整体视为质点）以一定速度经过拱形赛道最高点时，骑手和车（　　） A．向心加速度为零 B．速度越大向心力越小 C．所受支持力大于重力 D．所受重力与支持力的合力提供向心力 7．有关圆周运动的实例分析，下列说法正确的是（　　） A．图甲中汽车通过凹形桥的最低点时，速度越大对桥面的压力越小 B．图乙中两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，二者的角速度相等 C．图丙中脱水筒中的水滴因受到离心力作用而被甩出去 D．图丁中火车转弯低于规定速度行驶时，车轮不会挤压铁轨 8．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　） A．运动周期为(2πR)/(ω) B．所受合力的大小始终为mω²R C．在与转轴等高处受到摩天轮作用力的方向水平向左 D．在与转轴等高处受到摩天轮的作用力大小为mg 9．如图所示，质量m＝2.0×10³kg的汽车以一定的速率驶过凸形桥面的顶部，桥面的圆弧半径为10m，桥面顶部与水平路面的高度差为1.25m。g取10m/s²。（1）若汽车以8m/s的速率驶过凸形桥面的顶部。求汽车对桥面的压力大小；（2）若汽车通过拱桥最高点时刚好腾空飞起，求汽车此时的速率；（3）若汽车以12m/s的速率驶过凸形桥面的顶部，汽车到达水平路面时，离开桥顶的水平距离为多少？ 10．如图，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平轴转动，滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在潮湿衣物上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。下列说法正确的是（　　） A．衣物受到向心力作用 B．衣物在最高点受弹力一定小于重力 C．衣物中的水滴在最低点时更容易被甩出 D．不论滚筒转速多大，衣物都能随滚筒在竖直面内做圆周运动 考向三　绳/杆/管道模型临界（绳最高点vmin=·杆管道v可0·v<支持v>拉·最低点T−mg=mv²/r·F-v²图像） 11．如图所示，长为L的轻杆一端固定在光滑的水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球。给小球一垂直于轻杆方向的初速度，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，空气阻力可忽略，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球在速度增大的过程中，向心力一定增大 B．小球在整个运动过程中，加速度方向始终指向圆心 C．小球过最高点时，速度至少为 D．小球过最高点时，杆对小球的弹力一定随小球速度的增大而增大 12．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定质量为m的小球。现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，速度大小为v，其F﹣v²图像如图乙所示。则（　　） A．小球做圆周运动的半径R=(b)/(a) B．当地的重力加速度大小g=(a)/(R) C．v²＝c时，小球受到的弹力方向向上 D．v²＝2b时，小球受到的弹力大小与重力大小相等 13．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做完整的圆周运动，管径略大于小球的直径d。已知管道半径为R（R＞d），重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球通过最高点时的最小速度为 B．小球通过最低点时，内侧管壁对小球可能有作用力 C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为4mg D．如果小球在最低点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为9mg 14．如图所示，在倾角θ＝30°且足够大的光滑斜面上，有一长L＝0.8m的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量m＝1kg的小球。现使小球在斜面上做完整的圆周运动，M点为圆周的最低点，N点为圆周的最高点。小球可视为质点，重力加速度g＝10m/s²。（1）求小球通过N点的最小速度；（2）若小球运动到M点时的速度vM＝6m/s，求此时小球的加速度大小和小球对细线的拉力大小。 15．小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m＝100g的小球（大小不计），甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球在某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F而断掉，球飞行水平距离s后恰好无碰撞地落在邻近的一倾角为α＝53°的光滑固定斜面体上并沿斜面下滑。已知斜面体顶端与小球做圆周运动最低点的高度差h＝0.8m，斜面体顶端到水平地面的高度差H＝5m，绳长r＝0.3m，重力加速度g取10m/s²，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：（1）绳断时小球的速度大小v1和小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s；（2）绳能承受的最大拉力F的大小；（3）小球在斜面体上的运动时间。 考向四　圆锥摆与离心运动（mgtanθ=mω²r·ω=与质量无关·旋转秋千·漏斗·侧滑离心危害） 16．有关生活中的圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　） A．图甲中，脱水筒转动角速度越大，附着在其内壁上一起转动的衣服所受摩擦力越大 B．图乙为汽车通过拱桥最高点时的情形，此时汽车处于超重状态 C．图丙为水平圆盘转动时的示意图，物体离转盘中心越近，所需向心力越大，越容易做离心运动 D．图丁两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的角速度相同 17．如图所示，质量为m的小球用不可伸长的轻质细绳悬挂，使小球在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球所受细绳的拉力充当向心力 B．若仅增大小球质量，小球的周期减小 C．若仅增大小球质量，则夹角θ减小 D．若仅增大小球角速度，则夹角θ增大 18．如图甲所示为游乐园里的旋转秋千，长为l的钢绳一端连接座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，且与竖直方向的夹角为θ，简化模型如图乙所示。不计钢绳所受的重力，重力加速度为g。则角速度ω与夹角θ的关系为（　　） A．ω= B．ω= C．ω= D．ω= 19．把一个小球放在如图所示的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．半径越大，小球受到的合力越大 B．半径越大，小球向心加速度的大小越大 C．半径越大，小球转速越大 D．半径越大，转动半圈小球受到的合力的冲量越大 20．在短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛。比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而甩离正常比赛路线。如图所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为圆弧在O点的切线（研究时可将运动员看作质点），下列说法正确的是（　　） A．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧 B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力 C．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心 D．发生侧滑是因为运动员的速度过大，受到的合力不足以提供向心力 ★ 重难题型专练（15题）★ （精选高频重难题，覆盖转盘叠放/弹簧/绳连多物摩擦临界、凸桥腾空计算、圆锥摆与倾斜转台、半球罐摩擦范围、锥面离开与竖直面最低点拉力等综合） 21．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，说法正确的是（　　） A．图甲中汽车通过最高点时要减速是为了防止爆胎 B．图乙中脱水筒甩出的水滴受到离心力的作用 C．如图丙，杂技演员表演“水流星”，匀速转动通过最低点时水对桶底压力最大 D．图丁中如果火车行驶速度超过轨道设计的规定速度，轮缘会挤压内轨 22．如图所示，下列有关生活中圆周运动的实例分析，说法正确的是（　　） A．图甲中，脱水筒的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力 B．图乙中，火车转弯时行驶速度超过设计速度，车轮会挤压内轨 C．图丙中，汽车通过拱桥最高点时，汽车处于超重状态 D．图丁中，“水流星”转动过程中，在最高点处水与桶底的压力可能等于0 23．下列四幅图是有关生活中的圆周运动的实例分析，其中说法正确的是（　　） A．图甲中杂技演员表演“水流星”，在最高点处，水对桶底一定有压力 B．图乙中汽车在起伏的山路上以较大速度匀速率行驶，A处比B处更容易爆胎 C．图丙中如果火车转弯行驶速度超过设计速度，轮缘会挤压内轨，会使内轨受损 D．图丁中两个球在同一水平面内做圆锥摆运动，悬线与过悬点竖直方向的夹角θ小的球，则其圆锥摆运动的角速度也小 24．关于生活中的圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．如图甲，物体随水平圆盘匀速转动时，受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用 B．如图乙，物体在水平面上做圆周运动，若在A点运动轨迹突然发生改变而沿虚线运动，则一定是因为物体的速度突然变大了 C．如图丙，如果火车转弯时行驶速度超过设计速度，轮缘会挤压外轨 D．如图丁，若小球在竖直放置的光滑圆形轨道内侧做完整圆周运动，则对轨道最低点和最高点的压力差一定是自身重力的4倍 25．如图所示，两同学到游乐场乘坐“旋转秋千”，他们分别坐在用相同长度的轻质缆绳悬挂的座椅中，两同学（含座椅）质量不同。不计空气阻力，当水平圆盘带着两人达到匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．质量大的同学运动的周期小 B．质量大的同学运动的半径小 C．两同学运动的线速度大小相等 D．两同学运动的向心力大小相等 26．如图所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，小球m1的角速度为ω1；L2跟竖直方向的夹角为30°，小球m2的角速度为ω2，则ω1：ω2的值为（　　） A．()/(3) B．1 C． D．3 27．如图所示是两个圆锥摆，两个质量相等、可以看作质点的金属小球有共同的悬点，在相同的水平面内做匀速圆周运动，下面说法正确的是（　　） A．A球对绳子的拉力较大 B．A球圆周运动的向心力较大 C．B球圆周运动的线速度较大 D．B球圆周运动的角速度较大 28．游乐场有一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图，魔盘侧面与水平面的夹角为θ。质量分别为M和m（M＞m）的大人和小朋友随魔盘一起转动，其轨道半径分别为R、r（R＞r），动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则下列说法错误的是（　　） A．大人受到的摩擦力可能小于Mgsinθ B．大人受到魔盘的支持力一定比小朋友大 C．大人受到魔盘的作用力一定比小朋友大 D．大人一定比小朋友后发生相对滑动 29．如图所示，带有中心转轴的水平转盘上放置一质量为1kg的小物块，物块与转轴通过轻质弹簧连接，弹簧伸长5cm，小物块恰好处于静止状态。已知弹簧的劲度系数为100N/m，原长为20cm，现让转盘以某角速度匀速转动，弹簧长度不变，滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力，重力加速度g＝10m/s²，下列说法中正确的是（　　） A．物块与转盘间的动摩擦因数为0.2 B．当物块与转盘间的摩擦力大小为0时，转盘角速度为5rad/s C．当摩擦力的大小为4N时，转盘角速度可能为6rad/s D．当转盘角速度为8rad/s时，弹簧弹力大小为11N 30．如图所示，水平转盘上静置有质量为m的小物块A，和质量为2m的小物块B，小物块A和转盘间的动摩擦因数为μ，小物块B和转盘间的动摩擦因数为3μ，小物块A、B与转盘圆心O的距离分别为L和2L，A、B两物块由一过圆心的轻质细绳相连，初始时刻轻绳恰好伸长且无拉力。使转盘由静止开始绕圆心O做角速度缓慢增加的圆周运动。物体间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。（1）求轻绳无拉力时转盘的角速度ω的取值范围；（2）求小物块B与转盘间的摩擦力刚达到最大静摩擦力时转盘的角速度大小；（3）当A、B两物块相对转盘静止，且A所受摩擦力大小为(μmg)/(2)时，求转盘的角速度大小。 31．游乐场中常见的“旋转魔碟”设施可简化为一个带有直立外缘、可绕中心轴高速旋转的巨型水平转台，如图所示，某参与者（看作质点）静坐在转台表面，转台半径R＝3m。已知该参与者的质量m＝60kg，其就座位置与转台中心O点的距离r＝1m，参与者与台面间的动摩擦因数μ＝0.5。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当地重力加速度大小g＝10m/s²。（1）当转台以角速度ω1＝2rad/s匀速转动时，参与者相对转台静止，求参与者受到的摩擦力大小f；（2）继续缓慢增大转台的角速度，若转台以角速度ω2＝3rad/s匀速转动时，参与者与直立外壁接触并相对转台静止，求外壁对该参与者的作用力大小F。 32．一质量m的汽车经过一半径R的拱形桥，已知重力加速度为g，求：（1）汽车经过拱形桥顶部时的最大速度vm；（2）若汽车以速度v经过拱形桥顶部时，所受阻力大小为f，牵引力为F。求此时汽车：①受到的支持力大小FN；②加速度大小a。 33．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝37°，已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为f＝0.5mg不变。（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；（2）若小物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围。 34．光滑圆锥固定在水平地面上，其圆锥角为74°，圆锥底面的圆心为O′。用一根长为0.5m的轻绳一端系一质量为0.1kg的小球（可视为质点），另一端固定在光滑圆锥顶上O点，O点距地面高度为0.75m，如图所示，如果使小球在光滑圆锥表面上做圆周运动。（1）当小球的角速度不断增大，求小球恰离开圆锥表面时的角速度和此时细绳的拉力大小；（2）当小球的角速度为2rad/s时，求轻绳中的拉力大小；（3）逐渐增加小球的角速度，若轻绳受力为2N时会被拉断，求当轻绳断裂后小球落地点与O′点间的距离。（取g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） 35．如图所示，半圆形竖直轨道固定在水平面上，其半径为r。质量为m的物块沿轨道下滑至最低点P时的速度大小为v。已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求物块在P点：（1）角速度；（2）受到的摩擦力大小。 重难突破系列　|　人教版高中物理必修二　|　6.4 生活中的圆周运动 — — 学科网（北京）股份有限公司 $