5.3 确定二次函数的表达式（第2课时一般式与交点式求二次函数表达式）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.3 确定二次函数的表达式 第2课时 一般式与交点式求二次函数表达式 学 习 目 标 1 2 3 掌握用待定系数法求二次函数一般式y=ax2+bx+c解析式；交点式y=a(x-x1)(x-x2)的解析式。 会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式. 理解待定系数法、方程思想；体会数形结合思想，养成规范答题习惯，提升分析问题的能力。 知识回顾 顶点式的适用条件： 题目给顶点坐标、最值、对称轴优先选用顶点式。 1.什么样的条件适用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k？ 2.待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么？ （1）“设” （2）“代” （3）“解” （4）“写” （5）“化” 问题：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 还能用顶点式来求表达式吗？ 如何解呢？ 导入新课 例1、已知二次函数的图象经过点(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 已知三点坐标可以设二次函数表达式为 y＝ax2+bx+c的形式. 典例讲解 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. ∵该图象经过点(-1,10)，(1,4)，(2,7)， 4=a+b+c， ∴ 10=a-b+c， 7=4a+2b+c， a=2， c=5. 解得 b=-3， ∴所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5. ∵y=2x2-3x+5=2(x-)2+ ∴二次函数图像对称轴为直线x=，顶点坐标为(). 当已知三点求二次函数 的解析式时，可选择一般式y=ax2+bx+c的形式。 典例讲解 1.已知二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4； 当x＝－2时，y＝5.则二次函数的表达式是(　　) A.y＝4x2＋3x－5 B.y＝2x2＋x＋5 C.y＝2x2－x＋5 D.y＝2x2＋x－5 A 跟踪练习 例2、如图所示，二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0）， （0，-3），试求出这个二次函数的表达式. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 本题有几种解法？ 典例讲解 解法一：设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c， 将（-3，0），（-1，0），（0，-3）分别代入y=ax²+bx+c得， 0=a-b+c， ∴ 0=9a-3b+c， -3=c， a=-1， c=-3. 解得 b=-4， ∴所求二次函数表达式为 y=-x2-4x-3. 典例讲解 一般式求二次函数解析式 解法二：∵图象经过点（-3，0），（-1，0）， ∴由对称性可得对称轴是直线x=-2， ∴设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+k。 将点(-3,0),（0，-3）代入得 ∴ 0=a（-3+2）2+k， -3=a（0+2）2+k， a=-1， 解得 k=1， ∴二次函数的表达式为y=-(x+2)2+1， 即 y=-x2-4x-3。 典例讲解 顶点式求二次函数解析式 解法三：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线与x轴的交点. ∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2). 其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1). 把点（0，-3）代入上式得 -3=a(0+3)(0+1)， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1), 即y=-x2-4x-3. 当已知抛物线与x轴得两个交点为（x1，0），（x2，0）求解析式时，可选择交点式 y=a(x-x1)(x-x2)的形式。 典例讲解 交点式求二次函数解析式 2.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点， 则该函数的表达式为(　　) A.y＝2x2＋x＋2 B.y＝x2＋3x＋2 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－3x＋2 D 跟踪练习 待定系数法求二次函数表达式方法总结 1、顶点式: 2、一般式: 方法归纳 3、交点式: 已知顶点、最值、对称轴优先选用顶点式y=a(x-h)2+k； 已知图象经过三点时优先选用一般式y=ax2+bx+c； 已知图象与x轴得两个交点时优先选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。 例3、已知二次函数的图象如图 (1)求这个二次函数的表达式; (2)若抛物线M与该函数的图象关于y轴对称,求M对应的 函数表达式。 你能用哪种方法求二次函数得表达式？ 典例讲解 解:(1)由图可知,二次函数的图象经过点(-3,0)和(-1,0), ∴对称轴为x=-2 ∴顶点的坐标为（-2,-2） ∴设二次函数的表达式为y=a(x+2)2-2。 将点(-1,0)的坐标代入,解得a=2。 ∴这个二次函数的表达式为y=2(x+2)2-2。 即y=2x2+8x+6； 典例讲解 (2)∵抛物线M与抛物线y=2(x+2)2-2关于y轴对称, ∴抛物线M与抛物线y=2(x+2)2-2的形状相同， M的顶点坐标为(2,-2), ∴求得M 对应的函数表达式为y=2(x-2)2-2， 即y=2x2-8x+6； 求与已知抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式时，只要求出顶点的对称的顶点坐标代入顶点式y=a(x-h)2+k即可。 典例讲解 3.已知抛物线L对应的函数表达式是y=x2+3x-4,抛物线 M与L关于y轴对称。求M对应的函数表达式。 解：∵抛物线L对应的函数表达式是y=x2+3x-4, ∴化为顶点式为y=(x+)2-。 ∴抛物线L顶点为（-，-） ∵抛物线M与L关于y轴对称， ∴抛物线M顶点为（，-） ∴抛物线M表达式为y=(x-)2-。 即y=x2-3x-4, 跟踪练习 设抛物线L对应的函数表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)。若抛物线M与L关于x轴对称,抛物线N与M关于y轴对称,则N与L有什么关系? 这几个抛物线对应的函数表达式分别是什么? 探究与挑战 解:求抛物线M的函数表达式:抛物线M与L关于x轴对称，L的表达式为y=ax2+bx+c，关于x轴对称后纵坐标变为相反数，状态描述:对称变换得yM=-(ax2+bx+c)，计算得yM=-ax2-bx-c. 求抛物线N的函数表达式:抛物线N与M关于y轴对称， M的表达式为yM=-ax2-bx-c,关于y轴对称后将x换为 -x，状态描述:变量替换得yN=-a(-x)2-b(-x)-c,计算得 yN=-ax2+bx-c. N与L的关系:将L表达式中x换为-x、y换为-y，状态描述: 原点对称变换得 -y=a(-x)2+b(-x)+c，化简得y=-ax2+bx-c，与N表达式一致，故N与 L关于原点对称。 探究与挑战 例5、已知抛物线y=-x2+bx+4经过点(-2,n)和(4,n)。 (1)求b和n的值; (2)若抛物线L与该抛物线关于y轴对称,求L对应的函数表达式。 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+4经过点(-2,n)和(4,n)， ∴对称轴为x=-=1， ∴b=2 ∴抛物线为y=-x2+2x+4。 把(-2,n)代入得：n=-(-2)2+2×（-2）+4 ∴n=-4 拓展延申 （2）∵抛物线y=-x2+2x+4=-(x-1)2+3。 ∴顶点坐标（1，3）。 ∵抛物线L与该抛物线关于y轴对称, ∴抛物线L的表达式为y==-(x+1)2+3。, ∴抛物线L的顶点坐标为（-1，3）, 即y=-x2-2x+4 拓展延申 1.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点， 则该抛物线的对称轴是直线( ) A x=-1 B x=1 C x=3 D x=-3 B 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(3，0) 和(0，2)，则当x=2时，y的值为 . 2 当堂检测 2.设抛物线M的顶点坐标为(-2,1),M与x轴的一个交点的 坐标是(-4,0)。 (1)求M 对应的函数表达式; (2)如果抛物线N与M关于x轴对称,求N对应的函数表达式。 当堂检测 解：(1)∵M的顶点坐标为(-2,1)， ∴设二次函数的表达式为y=a(x+2)2+1。 ∵图象经过点(-4,0), ∴ 0=a(-4+2)2+1。 当堂检测 解方程得 a=-。 ∴这个二次函数的表达式为y=-(x+2)2+1。 (2)∵抛物线N与M关于x轴对称, ∴抛物线N的开口向上，顶点坐标是（-2，-1）， ∴抛物线N的表达式为y=(x+2)2-1。 即y=-x2-x。 即y=x2+x-2. 待定系数法求二次函数表达式的方法： 课堂小结 顶点式：y＝a(x-h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） 一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $