5.3 确定二次函数的表达式（第1课时顶点式求二次函数表达式）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.3确定二次函数的表达式 第1课时 顶点式求二次函数表达式 学 习 目 标 1 2 3 掌握二次函数顶点式y=a(x-h)2+k，理解顶点(h,k)；会利用顶点和图像上一点，用待定系数法求二次函数解析式；能进行顶点式与一般式之间的互化。 能够根据顶点（或对称轴、最值）以及图像上另一个点的坐标，利用顶点式求出二次函数解析式。顶点式的适用条件：题目给顶点、最值、对称轴优先选用顶点式。 能根据题目条件合理选择解析式形式，提高待定系数法运算能力；体会转化思想。 1.二次函数哪些二次函数得表达式？ 知识回顾 特殊的顶点式：①y=ax2;②y=ax2+k;③y=a(x-h)2。 顶点式：y=a(x-h)2+k 一般式：y=ax2+bx+c 2.它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？ 顶点式的顶点坐标（h,k),对称轴是直线x=h; 一般式的顶点为（-，），对称轴为x =- 。 3.利用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是什么？ （1）设：设函数解析式； （2）代：把点的坐标代入所设解析式，得到含有待定系 数的方程（组）； （3）解：解关于待定系数的方程（组）； （4）写：写出函数解析式。 知识回顾 学习了二次函数的图象与性质,如何运用这些性质确定二次函数的表达式呢? 导入新课 例1、已知二次函数图象的顶点坐标是(1,6),并且经过点(3,-2)。 求这个二次函数的表达式。 根据条件要如何选择设二次函数的表达式的形式？ 当已知二次函数图象的顶点坐标为(h,k)时,可选择顶点式y=a(x-h)2+k 的形式。 典例讲析 （1）“设” （2）“代” （3）“解” 解:∵二次函数图象的顶点坐标是(1,6), ∴设二次函数的表达式为y=a(x-1)2+6。 ∵图象经过点(3,-2), ∴ -2=a(3-1)2+6。 解方程得 a=-2。 ∴这个二次函数的表达式为y=-2(x-1)2+6。 即 y=-2x2+4x+4。 （4）“写” 最总结果常化为一般式 （5）“化” 典例讲析 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(2,1),且抛物线与x轴的一个交点的坐标是(-1,0)。求a,b,c的值。 解析：由该抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2，1)，可设该抛物线为y=a(x-2)2+1;该抛物线过点(-1，0)，将点(-1，0)代入 y=a(x-2)2+1就可以算出a的值，接下来你有思路了吗? 跟踪练习 解:∵二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是(2,1), ∴设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+1。 ∵图象经过点(-1,0), ∴ 0=a(-1-2)2+1。 解方程得 a=-。 ∴这个二次函数的表达式为y=-(x-2)2+1。 ∴ y=-x2+x+。 ∴a的值是-，b的值是，c的值是。 跟踪练习 例2、已知抛物线y=2x2-9沿x轴方向平移后经过点(1,-9)。求平移的距离及平移后的抛物线对应的函数表达式。 解析：抛物线沿x轴方向平移的规律:抛物线左右平移时，二次项系数保持不变，顶点纵坐标不变，遵循“左加右减”的平移规则。首先确定原抛物线的顶点坐标，根据沿x轴平移的特征，写出平移后抛物线的通用顶点式解析式。 典例讲析 解:设抛物线y=2x2-9沿x轴方向平移后的抛物线对应 的函数表达式为y=2(x-h)2-9。 ∵平移后的图象经过点(1,-9), ∴ -9=2(1-h)2-9。 解方程得h=1。 ∴抛物线y=2x2-9沿x轴方向平移1个单位后 得到抛物线的表达式为y=2(x-1)2-9。 即y=2x2-4x-7。 典例讲析 2.将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线。 解:由题意知:抛物线y=-x2+2x+3的顶点为P(1,4), ∵二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位， ∴顶点P(1,4)同样平移后得P(0,2)，这是平移后抛物线的顶点坐标。 ∴平移后的抛物线的关系式为y=-(x-0)2+2=-x2+2。 例3、已知抛物线的对称轴是x=1,且与x轴交于A(－2,0) 并与y轴交于点B(0,8)，求抛物线的解析式？ 解：∵抛物线的对称轴是x=1, ∴设二次函数表达式为 y=a(x-1)2+k。 ∵点A(－2,0),B( 0,8 )在抛物线上， ∴ 9a+k=0 a+k=8 ∴a=-1 ,k=9 ∴抛物线解析式为 y=-(x-1)2+9。 即：y=-x2+2x+8 典例讲析 3.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴是x=-2,且经过点(1,-3)。 求b,c 的值。 解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴是x=-2, ∴设二次函数表达式为 y=(x+2)2+k。 ∵图象经过点(1,-3), ∴ -3=(1+2)2+k。 解方程得k=-12。 ∴抛物线解析式为 y=(x+2)2-12。 即：y=x2+4x-8. ∴b,c 的值分别是4，-8。 跟踪练习 例4、已知二次函数的图象如图。 (1)求这个二次函数的表达式; (2)若抛物线M 与该函数的图象关于y轴对称,求M 对应的函数表达式。 例4、已知当x=4时，二次函数有最小值-3,且该抛物线与x轴 的一个交点A为(7,0). 求抛物线的解析式。 解: ∵当x=4时，二次函数有最小值-3， ∴抛物线的顶点坐标为(4,-3)。 ∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2-3， ∵抛物线经过点A(7,0)， ∴ 0=a(7-4)2-3， ∴ a=。 ∴抛物线解析式为 y=(x-1)2+9。 ∴ y=x2-x+。 典例讲析 使用顶点式求二次函数表达式方法总结 1、已知顶点坐标: 2、已知对称轴: 方法归纳 3、已知最值: 以上三种情况都可设二次函数表达式为y=a(x-h)2+k. 再把已知点得坐标代入即可求得a的值，写出顶点式最后化为一般式。 当堂检测 1.已知某二次函数的图象如图.求这个函数的解析式. 解: ∵抛物线的顶点坐标为(1,3) ∴设二次函数表达式为y=a(x-1)2+3 ∵抛物线经过点O(0,0) ∴ 0=a(0-1)2+3 ∴ a=-3。 ∴抛物线解析式为 y=-3(x-1)2+3。 即：y=-3x2+6x. 当堂检测 2.已知：点(-2,3)在抛物线上，且该点又在抛物线的对称轴上，抛物线与y轴交点的纵坐标是-1.求这个抛物线的解析式. 解:∵点(-2,3)在抛物线上,且该点又在抛物线的对称轴上, ∴抛物线的顶点为(-2,3). ∴设二次函数表达式为 y=a(x+2)2+3, ∵抛物线与y轴交点的纵坐标为-1. ∴把点(0,-1)代入，得 ∴ -1=a(0+2)2+3 ∴ a=-1。 ∴抛物线解析式为 y=-(x+2)2+3。 即：y=-x2-4x-1 1.已知二次函数的顶点时 2.已知二次函数的对称轴时 3.已知二次函数的最值时 4.待定系数求解析式的一般步骤： （1）“设”;（2）“代”; （3）“解”;（4）“写”; （5）“化” 课堂小结 设顶点式：y=a(x-h)2+k求 二次函数解析式 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $