5.2 二次函数的图象与性质（第4课时二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.2二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学 习 目 标 1 2 3 掌握用配方法将二次函数一般式y=ax²+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)²+k的方法。 熟记y=ax2+bx+c对称轴、顶点坐标，能判断开口方向、增减性，求解函数最值。 经历“配方转化--图象探究--归纳公式”的过程，发展代数变形能力，深化数形结合、转化的数学思想. 1.说出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的特征和性质. y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h，k) 直线x=h 当 x<h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x>h 时 y 随着 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x>h 时，y 随着 x 的增大而减小. x=h 时，y最小值=k x=h 时，y最大值=k 知识回顾 利用二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)很容易的能知道它的图象与性质。 那么如何研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质呢? 可以把一般式转化为顶点式。 导入新课 函数 y =-x2 图象向右平移1个单位，再向上2个单位. 你能说出函数 y = - (x - 1)2 +2图象的开口方向、对称轴 和顶点，最值及增减性吗? 函数 y = - (x - 1)2 +2图象怎样由函数 y = -x2 图象平移得到？ 你能直接说二次函数y= -x 2+ x +的图象与性质呢？ 导入新课 (1)如何画出函数y= - x 2+ x + 的图象? 怎样将y=-x 2+x +化为y=a(x-h)2 +k (a≠ 0)的形式? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 利用配方法。 ①用配方法，得到： y = -x2+ x + = -（x2-2x）+ = -（x2-2x+1-1）+ = -（x-1）2+2 配方的方法及步骤是什么？ （1）“提”：提出二次项系数； （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式. 配方后的表达式通常称为顶点式. ②要画出函数y=-x 2+x +的图象，可以先画出函数y=-（x-1）2+2的图象。 如何画出y=-（x-1）2+2的图象？ 可以先画出二次函数y=-x2 的图象,然后把图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度, 就得到二次函数y=-x2+x+的图象。 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -6 -1 -2 -3 -4 -5 -7 -8 y=-x2 ③画出二次函数y=- x2 的图象。 x ... -2 -1 0 1 2 ... y=-x2 ... ... - - 0 -2 -2 列表 描点 连线 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -6 -1 -2 -3 -4 -5 -7 -8 y=-x2 ④画出二次函数y=-x 2+x +的图象。 先向右平移1个单位长度 再向上平移2个单位长度 y=- x 2+x + 还有其他平移方法吗？ y=- （x-1）2+2 y=-x2 (2)还有其他方法画抛物线 y=-x 2+x +的图象？ 由y=- x 2+x + =-（x-1）2+2可知： 抛物线y=-x 2+x +的对称轴是x=1,顶点坐标是(1,2)。 可以用描点法画出抛物线y=-x 2+x +的图象。 列表： x ··· -1 0 1 2 3 ··· y=-x 2+x + ··· ··· 利用图象的对称性取适当的值。 0 2 0 描点 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -6 -1 -2 -3 -4 -5 -7 -8 连线 画图象时我们取了几个点？ 这几个点有什么特征？ x ··· -1 0 1 2 3 ··· y=-x 2+x + ··· ··· 0 2 0 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -6 -1 -2 -3 -4 -5 -7 -8 用五个点，一般是顶点及关于对称轴对称的两组点, 用这样的五个点，画出函数 图象的方法叫作五点作图法。 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -6 -1 -2 -3 -4 -5 -7 -8 你能说出抛物线y=-x 2+x +的图象与性质吗？ ①图象的形状与抛物线y=-x 2相同； ②开口向下； ③对称轴是x=1； ④顶点坐标是(1,2)，顶点是 图象的最高点，有最大值是2； ⑤当x<1时，y随x增大而增大； 当x>1时，y随x增大而减小. 二次函数y=ax2+bx+c图象的作法方法总结 1、平移法: 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)； 步骤2：作出y=ax2的图象； 步骤3：平移y=ax2的图象，使顶点坐标为(h，k). 2、描点法: 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)，对称轴； 步骤2：以顶点为中心，左右对称各取几组对应值，列表； 步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接。 方法归纳 (3)一般地,如何研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质? 通过配方法将 一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 化成顶点式y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c = a(x2 + x) + c = a[x2 + x + ()2 − ()2] + c =(x + )2 + （1）“提” （2）“配” （3）“化” 对二次函数的一般式如何配方？ 二次函数y=ax2+bx+c 对称轴为x =- ，顶点为（-，）。 配方步骤： 二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,它的 对称轴为x =- ，顶点为（-，）。 当a>0时,抛物线的开口向上, 当a<0时,抛物线的开口向下。 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质： 结合二次函数y=ax2+bx+c的图象，你能说明它的增减性和最值吗？ 如果 a > 0， 那么当x <时，y随x的增大而减小， 当 x >时，y随x的增大而增大； 顶点是最低点，也就是说当x=时， 二次函数y=ax2+bx+c有最小值. 最小值是。 顶点是最高点，也就是说当x=时， 二次函数y=ax2+bx+c有最大值. 最大值是。 如果 a ＜ 0， 那么当x <时，y随x的增大而增大， 当 x >时，y随x的增大而减小； 用数学软件进行探究:当a,b,c变化时,抛物线y=ax2+bx+c的形状和位置会发生怎样的变化? 你能总结出二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系吗？ (1)a决定抛物线的开口方向； (2)b联合a决定对称轴的位置； x y O (a>0) x y O (a<0) 当b与a同号，即＜0时，对称轴在y轴左侧； 当b与a异号，即＞0时，对称轴在y轴右侧； 记忆口诀： 左同右异 (3) c决定抛物线与y轴的交点位置。 例1、对于二次函数y＝－x2－2x＋2，下列结论正确的是（　） A. 其图象的对称轴为直线x＝1 B. 其图象的顶点坐标为（－1，3） C. 当x＜1时，y随x的增大而增大 D. 当x＞－1时，y随x的增大而增大 B 典例讲解 1.二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是( ) A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4 B 跟踪练习 例2、把下列函数的表达式化成y=a(x-h)2+k的形式,并画出函数的图象。 (1) y=-3x2+12x-3；（2）y=x2+2x+1。 解：(1)y=-3(x-2)2+9； (2)y=(x+2)2-3； 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 -1 y=-3x2+12x-3 y= x2+2x+1 典例讲解 2.把下列函数的表达式化成y=a(x-h)2+k的形式,并画出函 数的图象。 (1)y=x2+4x-3; (2)y=-2x2+2x-1。 跟踪练习 例3、已知二次函数y=-x 2+4x-3,分析它的图象和性质。 解: ∵ y=-x 2+4x-3 =-(x-2)2+1； ∴函数图象的开口向下,对称轴为x=2, 顶点坐标为(2,1)。 当x<2时,y 随x 的增大而增大; 当x>2时,y 随x 的增大而减小; 当x=2时,y取得最大值,最大值为1。 还有其他解法吗？ 典例讲解 解法二:直接应用性质。 ∵a=-1＜0,b=4,c=-3, ∴开口向下，且有最高点。 对称轴是直线x=-=-=2 ∵ ==1, ∴顶点坐标为（2，1） 当x<2时,y 随x 的增大而增大; 当x>2时,y 随x 的增大而减小; 当x=2时,y取得最大值,最大值为1。 典例讲解 3.求二次函数y=3x2-2x-1图象的对称轴和顶点坐标, 并求它的最小值。 解：∵a=3＞0,b=-2,c=-1, ∴对称轴是直线x=-=-=。 ∵ ==-, ∴顶点坐标为（2，-）. 当x=时,y取得最小值,最小值为-。 跟踪练习 例4、已知抛物线y=ax2+bx+c,其中a<0,b>0,c>0。回答下列问题: (1)抛物线与y轴的交点在原点的上方还是下方? (2)抛物线的对称轴在y轴的左侧还是右侧? 顶点在哪个象限? (3)在平面直角坐标系中画出抛物线的大致图形。 解：(1)交点在原点上方。理由: ∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标为(0,c),c>0, ∴抛物线与y轴的交点在原点的上方。 拓展延申 (2)右侧。理由: ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-,a<0,b>0,即a,b异号，∴x=->0,故抛物线的对称轴在y轴的右侧。 顶点第一象限。理由: ∵ =c-,c>0,a<0,b>0, ∴＜0 ， ∴ c- >0, ∴ >0。 ∴抛物线的顶点（-，）在第一象限。 拓展延申 (3)在平面直角坐标系中画出抛物线的大致图形如图： 拓展延申 4.当a>0时,抛物线y=ax2-2x-3的顶点在哪个象限? 解:∵对称轴为直线x=- = ,a>0， ∴>0， ∵ ==-3-,a>0, ∴-3-＜0 ， ∴ ＜0。 ∴抛物线的顶点（，-3- ）在第四象限。 跟踪练习 例5.抛物线y=x2-6x+c的部分图象如图所示。 (1)求这条抛物线的对称轴; (2)如何平移抛物线y=x2 得到这条抛物线? (3)在图中补全这条抛物线。 解:(1)∵抛物线y=x2-6x+c, ∴对称轴为直线x=-=3. 探索创新 (2)∵抛物线y=x2-6x+c经过点(1,0), ∴1-6+c=0,解得c=5, ∴抛物线的函数解析式为y=x2-6x+5. ∵y=x2-6x+5=(x-3)2-4, ∴它可以由抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到. 探索创新 (3)在图中补全这条抛物线如图所示： 探索创新 1.若A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函 数y＝x2＋2x－8图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系 是 （用“＜”连接）. y1＜y2＜y3　 当堂检测 2.小亮在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出了下面的表格: 如果表中的y值有一处是错误的,你能帮他指出错误并改正吗? 解：表中y值有错误的一处是1，应该改为-3。 当堂检测 3. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋2（a≠0）. （1） 抛物线的对称轴是直线 ； （2） 若抛物线经过点（4，9），求a的值； （3） 当a＜0，0≤x≤3时，函数y＝ax2－2ax＋2（a≠0） 的最大值是6，求a的值. x＝1　 解：（2） 把（4，9）代入y＝ax2－2ax＋2（a≠0）， 得9＝16a－8a＋2，解得a＝ . 当堂检测 （3） ∵ a＜0，0≤x≤3，对称轴为直线x＝1， ∴ 当x＝1时，函数有最大值，即a－2a＋2＝6， 解得a＝－4 当堂检测 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 配方得y=(x + )2 + 对称轴为直线x=- 顶点为（- ，） 如果 a > 0， 那么当x <时，y随x的增大而减小， 当 x >时，y随x的增大而增大； 当x=时，有最小值是。 如果 a ＜ 0， 那么当x <时，y随x的增大而增大， 当 x >时，y随x的增大而减小； 当x=时，有最大值是。 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $