5.2 二次函数的图象与性质（第3课时二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.2二次函数的图象与性质 第3课时 二次函数y=a（x-h)2+k的图象与性质 学 习 目 标 1 2 3 经历探索二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的作法和性质的过程。 会作出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象，并能比较它们与y=ax2的异同，能说出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 掌握二次函数y＝a(x-h)2＋k (a≠0)图象的性质，会灵活应用其性质，掌握数形结合、类比思想. 知识回顾 1.抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到? y=ax2 向上k 个单位 y=ax2+k 向下k 个单位 y=ax2-k 向左h 个单位 y=a(x+h)2 向右h 个单位 y=a(x-h)2 常数项上加下减 自变量左加右减 知识回顾 2.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: 开口方向及图象 对称轴 顶点 最值 增减性 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 y y x x O O y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y轴 y轴 x=h (0,0) (0,k) (h,0) 最大 （小） 值是0 最大 （小） 值是k 最大 （小） 值是0 a＞0 a＜0 我们已经知道了二次函数y=ax2+k,y=a(x-h)2 与y=ax2(a≠0)的图象之间的关系。 导入新知 在此基础上,我们再来研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质。 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (1)在同一个平面直角坐标系中,用描点法或数学软件分别画出二次函数y=-x2,y=-(x-2)2 和y=-(x-2)2+1的图象。它们的形状和位置分别有什么关系? ①三个二次函数的解析式有什么样的联系? ②如何利用解析式之间的联系，进行列表和描点? x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=-x2 … … y=-(x-2)2 … … y=-(x-2)2+1 … … - -2 - 0 - -2 - 列表: - -8 - -2 - 0 - - -7 - -1 1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-x2, 描点: 连线： y=-(x-2)2 y=-(x-2)2+1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-x2, y=-(x-2)2 y=-(x-2)2+1 比较y=-x2,y=-(x-2)2 和y=-(x-2)2+1它们之间的联系与区别。 二次函数y=- (x-2)2+1的图 象是抛物线，形状与抛物线 y=- x2和抛物线y=- (x-2)2 相同；但位置不同。 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-x2, y=-(x-2)2 y=-(x-2)2+1 说一说y=-(x-2)2+1的图象有哪些性质？ 开口向下； 对称轴是直线x=2； 顶点是（2，1）； 当x＜2时，y随x的增大而增大； 当x＞2时，y随x的增大而减小。 有最高点，也就是说函数 y=- (x-2)2+1有最大值。 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-x2, y=-(x-2)2 y=-(x-2)2+1 抛物线y=-(x-2)2+1的图象由抛物线y=-x2的图象怎样平移得到？ 抛物线y=-x2的先向右平移 2个单位得到y=- (x-2)2 ， 再向上平移1个单位得到 抛物线y=-(x-2)2+1的图象。 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-x2, y=-(x-2)2 y=-(x-2)2+1 抛物线y=-(x-2)2+1的图象由抛物线y=-x2的图象怎样平移得到？ 抛物线y=-x2的先向上平移 1个单位得到y=- x2 +1， 再向右平移2个单位得到 抛物线y=-(x-2)2+1的图象。 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -2 6 (3)如何平移抛物线y=ax2(a≠0)得到抛物线y=a(x-h)2+k? 二次函数y=a(x-h)2+k有哪些性质? y=ax2 先向右（左）|h|个单位 y=a(x-h)2 再向上 （下） |k| 个单位 y=a(x-h)2+k 还可以怎样平移？ x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 -2 6 (3)如何平移抛物线y=ax2(a≠0)得到抛物线y=a(x-h)2+k? 二次函数y=a(x-h)2+k有哪些性质? y=ax2 再向右（左）|h|个单位 y=ax2+k 先向上 （下） |k| 个单位 y=a(x-h)2+k (3)如何平移抛物线y=ax2(a≠0)得到抛物线y=a(x-h)2+k? 二次函数y=a(x-h)2+k有哪些性质? 平移抛物线y=ax2(a≠0)得到抛物线y=a(x-h)2+k，不变 的是决定抛物线的形状和开口的a,变化的是决定物物线 位置的顶点坐标(h,k)。 因此由二次函数表达式y=a(x-h)2+k很容易得到顶点坐标 (h,k)，把二次函数y=a(x-h)2+k的这种形式叫作顶点式。 (3)如何平移抛物线y=ax2(a≠0)得到抛物线y=a(x-h)2+k? 二次函数y=a(x-h)2+k有哪些性质? 二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h； 如果a>0,开口向上， 当x<h时,y随x的增大而减小; 当x>h时,y随x的增大而增大; 当x=h时,y取得最小值,最小值为k。 如果a<0,开口向下 当x<h时,y随x的增大而增大; 当x>h时,y随x的增大 而减小; 当x=h时,y取得最大值,最大值为k。 抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)与抛物线y=ax2 的形状相同,可由抛物线y=ax2 经过平移得到,平移的方向、距离由h,k的值决定。 抛物线y=a(x-h)2+k有以下性质: (1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下。 (2)对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k)。 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质： 4 x y O －2 2 2 4 6 －4 8 10 －2 从二次函数y=a(x-h)2+k的图象中可以发现: 如果a>0,开口向上， 当x<h时,y随x的增大而减小; 当x>h时,y随x的增大而增大; 当x=h时,y取得最小值,最小值为k。 如果a<0,开口向下 当x<h时,y随x的增大而增大; 当x>h时,y随x的增大 而减小; 当x=h时,y取得最大值,最大值为k。 例1、已知二次函数y=(x+2)2+3。 (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标。 (2)当x在什么范围内取值时,y随x的增大而减小? (3)当x取何值时,y取得最小值? 最小值是多少? 解:(1)函数图象的对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2,3)。 (2)∵二次项系数>0,所以∴当x<-2时,y随x的增大而减小。 (3)当x=-2时,y取得最小值,最小值为3。 典例讲解 1.填表: 跟踪练习 例2、已知函数y=ax和y=a(x+m)2+n,且a>0,m<0,n<0, 则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是( ) 解析:(1)根据图象的特点判断a取值是否矛盾; (2)根二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求。 B 典例讲解 2.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( ) [解析]根据二次函数开口向上则a>0,根据(1,-c)是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c>0，故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、二、三象限，故选:A。 A 跟踪练习 例3、将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )。 A.y=(x-2)2 B.y=(x-2)2+6 C.y=x2-6 D.y=x2 D [解析]将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:y=(x-1+1)2+3即y=x2+3;再向下平移3个单位为:y=x2+3-3,即y=x2。故选D。 典例讲解 3.填空 （1）将抛物线y=5(x-1)2+3向右平移2个单位，再向下 平移4个单位后所得抛物线的解析式为 。 y=5(x-3)2-1 （2）将抛物线y=2(x-1)2-3向 平移 个单位， 再向 平移 个单位得到抛物线y=2(x+2)2+1。 左 3 上 4 跟踪练习 例4、二次函数y=a(x-t)2+3，当x>1时，y随x的增大而减小，则实数 a和t满足( ) A.a>0,t≤1 B.a<0,t≤1 C.a>0,t≥1 D.a<0,t≥1 分析a的取值:若a>0(开口向上)，则在对称轴右侧( x>t)y随x增大而增大，与"x>1时y随 x增大而减小”矛盾，因此a<0(开口向下)。 分析t的取值:当a<0(开口向下)时，对称轴右侧(x>t)y随x增大而减小。要使"x>1时y随x增大而减小”，需保证x>1的区间完全在对称轴的右侧(即x>1包含于x>t)。因此，对称轴x=t需满足t≤1， D 典例讲解 1. 二次函数y=3(x+2)2-1 的大致图象是 ( ). A. B. C. D. D 当堂检测 2.对于抛物线y=(x+2)2+3,给出下列结论: ①抛物线y=(x+2)2+3可由抛物线y=x2先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到; ②对称轴为直线x=2; ③顶点坐标(-2,3); ④x>-2时,y随x的增大而增大. 其中结论正确的序号是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④ C 当堂检测 3.若点A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在抛物线 y＝－(x＋1)2＋a上，则y1，y2，y3的大小关系为 ______________．(用“＞”连接) y1＞y2＞y3 当堂检测 4.如果一条抛物线的形状与y=-x2+2 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式. 解：设这个函数关系式为y=a(x-h)2+k. ∵它与抛物线的形状与y=-x2+2 形状相同， ∴a=- ∵它的顶点坐标是（4，-2）， ∴h=4,k=-2 ∴这个函数关系式为y=-(x-4)2-2. 当堂检测 平移规律： 左加右减，上加下减. 二次函数 的图象和性质 图象 1. 开口方向由a的符号决定； 2. h决定对称轴的位置； 3. 顶点坐标 (h，k) 性质 增减性结合开口方向和 对称轴才能确定 与抛物线y=ax2的关系 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $