专题03 反比例函数（知识&考点&公式&12高频&3易错&3重难&3模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材人教版

专题03 反比例函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例函数的概念：一般地，形如 的函数叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是 的一切实数． 2.反比例函数的三种表达形式： ① ； ② ； ③ ． 3.判断一个函数是不是反比例函数，关键在于能否化成 的形式，且自变量x的指数必须是 ． 知识点02 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象是 ，它有两个分支，分别位于不同的 内． 2.当k＞0时，图象的两个分支分别位于 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ； 当k＜0时，图象的两个分支分别位于 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ． 3.双曲线既是轴对称图形，又是 图形，对称中心是 ． 4.双曲线与坐标轴 交点（x≠0，y≠0），它无限接近坐标轴但不相交． 知识点03 反比例函数图象中k的几何意义 1.设点P（x，y）是反比例函数y＝k/x（k≠0）图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形PMON的面积＝ ． 2.过点P作x轴（或y轴）的垂线，与坐标轴围成的直角三角形面积＝| ． 3.|k|越大，双曲线离坐标轴越 ． 知识点04 反比例函数解析式的求法（待定系数法） 1.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：设解析式为 ；代入图象上的 点的坐标；求出k的值；写出解析式． 2.由于反比例函数只有一个待定系数k，所以只需 点的坐标即可确定其解析式． 知识点05 反比例函数与一次函数的综合 1.求反比例函数与一次函数图象的 坐标：联立两个解析式，解方程组． 2.交点个数：反比例函数y＝k/x与一次函数y＝ax＋b的图象交点个数，由 解的个数决定． 3.利用图象可以比较函数值的大小，或求不等式的 （数形结合分析）． 知识点06 实际问题与反比例函数 1.实际问题中的两个变量若满足 关系，可建立反比例函数模型来解决问题． 2.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：审题、设出 、用已知条件求k、利用解析式解决问题、检验是否符合 意义． 3.常见模型：工程效率、行程时间、杠杆、面积等中的反比例关系． 考点01 反比例函数的概念与识别 考点内容：反比例函数的定义；三种表达形式；判断函数是否为反比例函数（k≠0，自变量指数为－1）． ①判断给定的函数是不是反比例函数； ②指出反比例函数解析式中的比例系数k； ③含参数的解析式，由“它是反比例函数”求参数的值（注意k≠0）． 考点02 反比例函数的图象与性质 考点内容：双曲线及其所在象限；k的符号决定象限与增减性；对称性；与坐标轴无交点． ①根据k的符号判断图象所在象限、增减性； ②判断图象上的点所在的象限或比较函数值大小； ③由图象（或性质）求k的取值范围或参数的值． 考点03 k的几何意义（面积问题） 考点内容：|k|与矩形面积、直角三角形面积的关系． ①求过图象上点所作垂线与坐标轴围成的矩形（三角形）面积； ②已知面积，求k的值（注意k的符号）； ③利用面积关系求点的坐标或解析式． 考点04 反比例函数解析式的求法 考点内容：待定系数法求解析式；由已知点、面积、函数值求k． ①用待定系数法求反比例函数解析式； ②已知图象上一点（或面积）求k； ③求某一自变量的函数值，或求某函数值对应的自变量． 考点05 反比例函数与一次函数综合 考点内容：交点坐标；函数值大小比较；不等式解集；由图象判断k、b的符号． ①求反比例函数与一次函数的交点坐标； ②利用图象比较函数值大小或求不等式解集； ③由图象位置判断比例系数k与一次项系数b的符号． 考点06 实际问题与反比例函数 考点内容：用反比例函数模型解决实际问题（工程、行程、物理等）；图象信息的读取． ①根据实际问题建立反比例函数模型并求解析式； ②利用图象或解析式解决问题（求某变量的值或范围）； ③结合反比例关系判断变量的增减性． 1 反比例函数的定义、图象与性质 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 反比例函数定义 y＝（k为常数，k≠0） 自变量x、函数值y都不为0 2 反比例函数变形 y＝k x⁻¹；x y＝k（k≠0） 三种形式等价，可相互转化 3 图象 双曲线（两个分支） 位于不同象限，与坐标轴不相交 4 k＞0的性质 图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小 对称中心为原点 5 k＜0的性质 图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大 对称中心为原点 6 k的几何意义 过图象上点作坐标轴垂线：矩形面积＝|k|，三角形面积＝|k|/2 与点的位置无关，只与|k|有关 2 解析式求法、综合与应用 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 待定系数法求解析式 设，代入一点坐标求k 只需一个点的坐标即可确定 8 实际应用模型 反比例关系模型（y＝） 建立模型后求k，再解决问题 辨析01 反比例函数必须满足 y＝k/x（k≠0） 判断一个函数是不是反比例函数，关键在于能否写成y＝（k≠0）的形式，k是不等于0的常数，自变量x的指数是－1．不要只凭“两个变量成反比”就断定是反比例函数，必须是x与y的乘积为常数． 辨析02 比例系数k不能为0 只有k≠0时，y＝才是反比例函数；若k＝0，则y恒等于0，不是反比例函数．判断含参函数是否为反比例函数时，k≠0是必要前提． 辨析03 自变量x的取值范围是x≠0 反比例函数y＝中，分母不能为0，所以自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；函数值y也不为0，图象与坐标轴没有交点． 辨析04 k的符号决定图象所在象限与增减性 k＞0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k＜0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大．增减性必须分象限描述． 辨析05 增减性要分象限说，不能笼统判断 反比例函数在每个象限内具有单调性，但跨越两个象限时不能直接说增减性．比较函数值大小时，要分同象限（看增减性）与异象限（先判断y的正负）两种情况讨论． 辨析06 |k|的几何意义：矩形（三角形）面积 过反比例函数图象上一点分别作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积恒为|k|，直角三角形面积恒为|k|/2．这个面积与点的位置无关，只与|k|有关；由面积求k时要注意符号（由图象所在象限确定）． 辨析07 双曲线是中心对称图形 反比例函数图象是双曲线，既是轴对称图形（关于直线y＝x、y＝－x对称），又是中心对称图形，对称中心是原点（0，0）． 辨析08 与一次函数交点的个数 反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的交点个数，由联立方程组得到的方程（常化为一元二次方程）的判别式决定，可能是0个、1个或2个交点，不要误认为一定有2个交点． 辨析09 待定系数法只需一个点 反比例函数只有一个待定系数k，因此只需图象上的一个点的坐标即可求出解析式；与一次函数（需两个点）不同，不要误以为需要两个点． 辨析10 实际应用中的反比例关系 实际问题中，当两个变量的乘积为定值时，它们成反比例，可建立y＝模型．解题时要注意自变量的实际取值范围，检验结果是否符合题意． 【题型一】反比例函数的定义 【例1】（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）下列函数中，y不是x的反比例函数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型二】利用反比例函数的定义求字母的值 【例2】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【变式2-1】（2026九年级上·山东·专题练习）若是反比例函数，则的值为______． 【变式2-2】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【题型三】反比例函数的图象 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）若，，三点在同一函数图象上，则函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型四】反比例函数图象与其它图象共存问题 【例4-1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象 是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型五】 利用反比例函数图象与性质比较函数值大小 【例5-1】（2025·安徽亳州·二模）已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24九年级下·广东东莞·开学考试）已知点在反比例函数的图象上．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】 反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 题型六 反比例函数的性质 【例6-1】（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【变式6-2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（    ） A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 【变式6-3】（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的 是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例7-1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型八 由反比例函数比例系数k的几何意义求面积 【例8】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式8-2】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式8-3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 题型九 由面积求反比例函数的比例系数 【例9】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【变式9-1】如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式9-2】如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 题型十 确定反比例函数的解析式 【例10】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【变式10-1】已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 【变式10-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 题型十一 由实际问题列反比例函数解析式 【例11】（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】 某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【变式11-2】（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【变式11-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 题型十二 反比例函数的实际应用 【例12】（2026·山西阳泉·三模）小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 【变式12-1】（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【变式12-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【变式12-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度v（单位：天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)运输公司原有100辆卡车，每天共可运送土石方．运送40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？ 【题型一】忽视“比例系数k≠0”而致错 【例1】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 易错警示 判断含参函数是否为反比例函数，必须满足k≠0，且自变量x的指数为－1；若题干只说“是函数”，还要分情况讨论，不要漏解． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【题型二】增减性跨象限误判 【例2】（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 易错警示 反比例函数的增减性要分象限描述，不能笼统说“y随x增大而增大（或减小）”；比较不同象限的函数值大小时，要先判断y的符号，再比较大小． 【变式2-1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南周口·期末）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 易错警示 过图象上点作垂线围成的矩形面积是|k|、三角形面积是|k|/2；由面积求k时，要根据图象所在象限确定k的正负，不要只取正值． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【题型一】由反比例函数系数k的几何意义探究规律 【例1】（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【变式1-1】（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【变式12】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【题型二】反比例函数与一次函数的交点问题 【例2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-1】若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C．-3 D．3 【变式2-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为________； (3)若在y轴上找一点P，使最大，则点P的坐标为________． 【题型三】一次函数与反比例函数的实际应用 【例3】过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【变式3-1】某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，每毫升血液中含药量随时间的变化情况如图，根据图像回答下列问题：    (1)求当时，y与x的函数表达式； (2)求当时，y与x的函数表达式； (3)如果每毫升血液中含药量为及以上时，药物对治疗疾病有效，请问病人服药后内有多长时间药物对治疗疾病有效？请说明理由． 【变式3-2】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）宜阳县某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间）之间的函数关系图象，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． (1)分别求出当（即段）和（即段）时，y与x之间的函数关系式； (2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到（含及）的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长? 【变式3-3】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【题型一】反比例函数与一次函数的综合 【例1】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【变式1-1】如图，反比例函数（k为常数，）的图象与一次函数的图象交于A、B两点，A点坐标为，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围是 ； (3)点C是线段与y轴的交点，点D是反比例函数的图象上一点，点D的横坐标为3，连接，则的面积是多少？ 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 【题型二】反比例函数与三角形的综合 【例2】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接， (O是坐标原点) (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； (2)求的面积． (3)在轴上是否存在一点 P，使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2-1】（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型三】反比例函数与四边形的综合 【例3】（2026·江西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【变式3-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【变式3-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 技巧 一句话要点 判断是否为反比例函数——“三要素检查法” k≠0、自变量指数为－1、能化成y＝k/x形式。 识别象限与增减性——“看k的符号” k＞0一三象限（每象限y随x增大而减小），k＜0二四象限（每象限y随x增大而增大）。 求比例系数k——“代入一点法” 把图象上一点的坐标代入y＝k/x，解出k。 k的几何意义求面积——“作垂线” 过图象上点作坐标轴垂线：矩形面积＝|k|，三角形面积＝|k|/2。 由面积求k——“先符号后数值” 先由图象所在象限确定k的正负，再求|k|。 比较函数值大小——“先象限后符号” 同象限看增减性，异象限先判断y的正负再比较。 求交点坐标——“联立方程组法” 把两个解析式联立，解出交点坐标。 判断交点个数——“看方程判别式” 联立所得方程（常化为一元二次方程）的判别式决定交点个数。 求不等式解集——“数形结合法” 画出图象，观察哪个函数图象在上方，确定x的范围。 待定系数法——“一个点定k” 反比例函数只需一个点即可求出解析式。 对称性——“原点对称法” 反比例函数图象关于原点中心对称，关于直线y＝x、y＝－x轴对称。 实际应用——“审设列求检验” 建立反比例函数模型，注意自变量取值范围，检验结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 反比例函数的概念 1.反比例函数的概念：一般地，形如y＝k/x（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数． 2.反比例函数的三种表达形式： ①y＝（k≠0）； ②y＝kx⁻¹（k≠0）； ③xy＝k（k≠0）． 3.判断一个函数是不是反比例函数，关键在于能否化成y＝（k≠0）的形式，且自变量x的指数必须是－1． 知识点02 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y＝k/x（k≠0）的图象是双曲线，它有两个分支，分别位于不同的象限内． 2.当k＞0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k＜0时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 3.双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是原点． 4.双曲线与坐标轴没有交点（x≠0，y≠0），它无限接近坐标轴但不相交． 知识点03 反比例函数图象中k的几何意义 1.设点P（x，y）是反比例函数y＝k/x（k≠0）图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形PMON的面积＝|k|． 2.过点P作x轴（或y轴）的垂线，与坐标轴围成的直角三角形面积＝． 3.|k|越大，双曲线离坐标轴越远． 知识点04 反比例函数解析式的求法（待定系数法） 1.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：设解析式为y＝k/x（k≠0）；代入图象上的一个点的坐标；求出k的值；写出解析式． 2.由于反比例函数只有一个待定系数k，所以只需一个点的坐标即可确定其解析式． 知识点05 反比例函数与一次函数的综合 1.求反比例函数与一次函数图象的交点坐标：联立两个解析式，解方程组． 2.交点个数：反比例函数y＝k/x与一次函数y＝ax＋b的图象交点个数，由方程组解的个数决定． 3.利用图象可以比较函数值的大小，或求不等式的解集（数形结合分析）． 知识点06 实际问题与反比例函数 1.实际问题中的两个变量若满足反比例关系，可建立反比例函数模型来解决问题． 2.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：审题、设出解析式、用已知条件求k、利用解析式解决问题、检验是否符合实际意义． 3.常见模型：工程效率、行程时间、杠杆、面积等中的反比例关系． 考点01 反比例函数的概念与识别 考点内容：反比例函数的定义；三种表达形式；判断函数是否为反比例函数（k≠0，自变量指数为－1）． 常见考法： ①判断给定的函数是不是反比例函数； ②指出反比例函数解析式中的比例系数k； ③含参数的解析式，由“它是反比例函数”求参数的值（注意k≠0）． 考点02 反比例函数的图象与性质 考点内容：双曲线及其所在象限；k的符号决定象限与增减性；对称性；与坐标轴无交点． 常见考法： ①根据k的符号判断图象所在象限、增减性； ②判断图象上的点所在的象限或比较函数值大小； ③由图象（或性质）求k的取值范围或参数的值． 考点03 k的几何意义（面积问题） 考点内容：|k|与矩形面积、直角三角形面积的关系． 常见考法： ①求过图象上点所作垂线与坐标轴围成的矩形（三角形）面积； ②已知面积，求k的值（注意k的符号）； ③利用面积关系求点的坐标或解析式． 考点04 反比例函数解析式的求法 考点内容：待定系数法求解析式；由已知点、面积、函数值求k． 常见考法： ①用待定系数法求反比例函数解析式； ②已知图象上一点（或面积）求k； ③求某一自变量的函数值，或求某函数值对应的自变量． 考点05 反比例函数与一次函数综合 考点内容：交点坐标；函数值大小比较；不等式解集；由图象判断k、b的符号． 常见考法： ①求反比例函数与一次函数的交点坐标； ②利用图象比较函数值大小或求不等式解集； ③由图象位置判断比例系数k与一次项系数b的符号． 考点06 实际问题与反比例函数 考点内容：用反比例函数模型解决实际问题（工程、行程、物理等）；图象信息的读取． 常见考法： ①根据实际问题建立反比例函数模型并求解析式； ②利用图象或解析式解决问题（求某变量的值或范围）； ③结合反比例关系判断变量的增减性． 1 反比例函数的定义、图象与性质 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 反比例函数定义 y＝（k为常数，k≠0） 自变量x、函数值y都不为0 2 反比例函数变形 y＝k x⁻¹；x y＝k（k≠0） 三种形式等价，可相互转化 3 图象 双曲线（两个分支） 位于不同象限，与坐标轴不相交 4 k＞0的性质 图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小 对称中心为原点 5 k＜0的性质 图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大 对称中心为原点 6 k的几何意义 过图象上点作坐标轴垂线：矩形面积＝|k|，三角形面积＝|k|/2 与点的位置无关，只与|k|有关 2 解析式求法、综合与应用 序号 名称 公式（几何语言） 说明 7 待定系数法求解析式 设，代入一点坐标求k 只需一个点的坐标即可确定 8 实际应用模型 反比例关系模型（y＝） 建立模型后求k，再解决问题 辨析01 反比例函数必须满足 y＝k/x（k≠0） 判断一个函数是不是反比例函数，关键在于能否写成y＝（k≠0）的形式，k是不等于0的常数，自变量x的指数是－1．不要只凭“两个变量成反比”就断定是反比例函数，必须是x与y的乘积为常数． 辨析02 比例系数k不能为0 只有k≠0时，y＝才是反比例函数；若k＝0，则y恒等于0，不是反比例函数．判断含参函数是否为反比例函数时，k≠0是必要前提． 辨析03 自变量x的取值范围是x≠0 反比例函数y＝中，分母不能为0，所以自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；函数值y也不为0，图象与坐标轴没有交点． 辨析04 k的符号决定图象所在象限与增减性 k＞0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k＜0时图象在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大．增减性必须分象限描述． 辨析05 增减性要分象限说，不能笼统判断 反比例函数在每个象限内具有单调性，但跨越两个象限时不能直接说增减性．比较函数值大小时，要分同象限（看增减性）与异象限（先判断y的正负）两种情况讨论． 辨析06 |k|的几何意义：矩形（三角形）面积 过反比例函数图象上一点分别作x轴、y轴的垂线，围成的矩形面积恒为|k|，直角三角形面积恒为|k|/2．这个面积与点的位置无关，只与|k|有关；由面积求k时要注意符号（由图象所在象限确定）． 辨析07 双曲线是中心对称图形 反比例函数图象是双曲线，既是轴对称图形（关于直线y＝x、y＝－x对称），又是中心对称图形，对称中心是原点（0，0）． 辨析08 与一次函数交点的个数 反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的交点个数，由联立方程组得到的方程（常化为一元二次方程）的判别式决定，可能是0个、1个或2个交点，不要误认为一定有2个交点． 辨析09 待定系数法只需一个点 反比例函数只有一个待定系数k，因此只需图象上的一个点的坐标即可求出解析式；与一次函数（需两个点）不同，不要误以为需要两个点． 辨析10 实际应用中的反比例关系 实际问题中，当两个变量的乘积为定值时，它们成反比例，可建立y＝模型．解题时要注意自变量的实际取值范围，检验结果是否符合题意． 【题型一】反比例函数的定义 【例1】（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：这是的形式（），是正比例函数，不是反比例函数． B选项：这是的形式（），符合反比例函数定义． C选项：化简：这不是的形式，不是反比例函数． D选项：化简：这是二次函数，不是反比例函数． 【变式1-1】（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）下列函数中，y不是x的反比例函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的一般形式，据此逐项判断即可． 【详解】解∶A． 是正比例函数，不符合反比例函数的定义，y不是x的反比例函数； B．，符合的形式，是x的反比例函数； C．，符合反比例函数的定义，是x的反比例函数； D．，符合的形式，是x的反比例函数． 【变式1-2】在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 【题型二】利用反比例函数的定义求字母的值 【例2】若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 【变式2-1】（2026九年级上·山东·专题练习）若是反比例函数，则的值为______． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 【变式2-2】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 【题型三】反比例函数的图象 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）若，，三点在同一函数图象上，则函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 则D选项不正确，B选项正确； 故选：B． 【题型四】反比例函数图象与其它图象共存问题 【例4-1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象 是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像，反比例函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．分两种情况讨论，再判断图像即可． 【详解】解：∵0， 若，， 则反比例函数的图象位于第一、第三象限， 二次函数的图象开口向上， 与y轴的交点位于y轴的正半轴． 故C符合条件，B不符合条件； 若，， 反比例函数的图象位于第二、第四象限， 二次函数的图象开口向下， 与y轴的交点位于y轴的负半轴． 故B，D不符合条件， 故选：C． 【变式4-2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 【题型五】 利用反比例函数图象与性质比较函数值大小 【例5-1】（2025·安徽亳州·二模）已知点，在双曲线上；若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像及性质，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键．根据题意可得，反比例函数的图像分布在第二、四象限，即可求解． 【详解】解： 的图像分布在第二、四象限，如图所示， 当，从图像可知， 故选：B． 【变式5-1】（23-24九年级下·广东东莞·开学考试）已知点在反比例函数的图象上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据k值判定反比例函数图象分居的象限是解题关键． 据反比例函数的所在的象限，判断即可． 【详解】解：∵， ∴在反比例函数的图象分居于第一、三象限， 点，，，在反比例函数的图象上，且， ∴，， ． 故选：A． 【变式5-2】 反比例函数的图象上有三点，且，则的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数比例系数， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型六 反比例函数的性质 【例6-1】（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可． 【详解】解：， 该函数可以看作向上平移1个单位得到的， 函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确； 函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确； 该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围； 故选D． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 【变式6-2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（    ） A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小 C．图象也经过点 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，反比例函数的系数k的几何意义． 根据反比例函数的系数k的几何意义判定A；根据反比例函数的图象性质可判定B、D；根据反比例函数图象上点的坐标特征可判定C． 【详解】解：A、∵图中矩形的面积为2，∴，故此选项正确，不符合题意； B、由图象可得：当时，y随x的增大而减小，故此正确，不符合题意； C、反比例函数的解析式为，把代入求得，图象也经过点，故此选项正确，不符合题意； D、由图象可得：当时，，故此错误，符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（25-26九年级上·广东惠州·期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的 是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 题型七 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例7-1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 【变式7-1】正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y=2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（-1，-2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 题型八 由反比例函数比例系数k的几何意义求面积 【例8】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式8-2】（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数系数的几何意义可得，即，再根据为中点可得，进而求出矩形面积． 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． 【变式8-3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型九 由面积求反比例函数的比例系数 【例9】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 【变式9-1】如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式9-2】如图，点A与点B分别在函数与的图象上，线段的中点M在y轴上．若的面积为3，则的值是________． 【答案】6 【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作轴于C，轴于D， ∴轴， ∵M是AB的中点， ∴， 设，， 代入得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十 确定反比例函数的解析式 【例10】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据与x成反比例，设，代入当时，，求解即可． 【详解】解：设． 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴y与x的函数表达式为． 【变式10-1】已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设，，则有，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式 【详解】解：设，，则， 把和，代入得： ，解得， ∴． 【变式10-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 题型十一 由实际问题列反比例函数解析式 【例11】（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 【变式11-1】 某工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数解析式是（　　） A．y＝300x B． C． D．y＝300﹣x 【答案】B． 【分析】利用“工厂现有原材料300t，平均每天用去xt，这批原材料能用y天”，即可列出解析式． 【详解】解：由题意得：xy＝300， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数解析式，正确运用xy＝300得出解析式是解此题的关键． 【变式11-2】（2026·山西长治·三模）为了研究“电热水壶功率与烧开一壶水所需时间”的关系，物理小组在电压恒定的条件下，记录了5个不同功率的电热水壶烧开同样一壶水的实验数据，如下表： 功率x（千瓦） 0.8 1.0 1.6 2.0 2.5 时间y（分钟） 25 20 12.5 10 8 经分析，y与x满足某种函数关系，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断与的函数关系，可通过计算与的乘积，若乘积为定值，则与满足反比例函数关系，据此推导即可． 【详解】解：∵ ，，，，， 可得所有组满足， ∴y与x的函数关系式为． 【变式11-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在平均排水量为每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为（小时），写出时间（小时）与之间的函数解析式：________．如果要在4小时内排完，那么平均每小时排水量至少为________立方米． 【答案】 12 【分析】先计算蓄水池总蓄水量，再根据总水量、每小时排水量、排空时间的关系推导函数解析式，最后根据要求的排空时间计算最低每小时排水量． 【详解】∵原排水管平均排水量为每小时立方米，小时可以排空满池水， ∴蓄水池的总蓄水量为立方米． 根据总蓄水量=每小时排水量×排空总时间，可得， 整理得与的函数解析式为． 若要在小时内排完，即满足， 代入解析式得， ∵为排水量，， ∴不等式两边同乘，不等号方向不变，可得， 解得， 即平均每小时排水量至少为立方米． 题型十二 反比例函数的实际应用 【例12】（2026·山西阳泉·三模）小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 【答案】C 【分析】根据表格数据找出老花镜度数和镜片与光斑距离的关系，计算可得二者乘积为定值，成反比例关系，代入计算即可得到度数． 【详解】由表格已知数据计算得： ∵ ，，， ∴ 可得与满足关系， 当时，代入得， ∴ 这副老花镜的度数为250度． 【变式12-1】（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【答案】6 【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可． 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴， 解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴， 解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 【变式12-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】(1) 与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数） (2) 0.6万元 (3) 24个月 【分析】（1） 根据“月还款额还款月数余款总额”，即可解答； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）根据反比例函数的性质即可解答； 【详解】（1）解：根据题意，需要结清的余款为万元， 则， 整理得，根据题干要求36个月内结清余款，因此自变量的取值范围是，且为正整数， 故与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数）. （2）解：把代入函数，可得， 即每月还款万元； （3）解：5000元万元， 令，整理得，解得：， 根据题意， ∴，因此至少需要24个月结清余款． 【变式12-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度v（单位：天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)运输公司原有100辆卡车，每天共可运送土石方．运送40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少应增加多少辆卡车？ 【答案】(1)与成反比例函数关系，函数解析式为（）． (2)公司至少应增加20辆卡车． 【分析】（1）根据运送总量、速度、时间的等量关系推导函数表达式，根据函数解析式即可判断与成反比例函数关系； （2）先计算剩余土石方量，结合剩余时间要求，列不等式求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得，土石方总量为， ∵ 运送总量 = 平均运送速度 × 运送时间， ∴， ∴， 即v是t的反比例函数． （2）解：设公司应增加x辆卡车． 每辆卡车每天运送土石方量为（/天）， 运送40天后剩余土石方量为． ∵ 剩余任务需在50天内完成， ∴ ， 解得． 答：公司至少应增加20辆卡车． 【题型一】忽视“比例系数k≠0”而致错 【例1】（24-25九年级上·重庆合川·期中）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 易错警示 判断含参函数是否为反比例函数，必须满足k≠0，且自变量x的指数为－1；若题干只说“是函数”，还要分情况讨论，不要漏解． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·周测）已知是关于x的反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出m，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴， 解得， 则． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【题型二】增减性跨象限误判 【例2】（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 易错警示 反比例函数的增减性要分象限描述，不能笼统说“y随x增大而增大（或减小）”；比较不同象限的函数值大小时，要先判断y的符号，再比较大小． 【变式2-1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又 ，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南周口·期末）点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 易错警示 过图象上点作垂线围成的矩形面积是|k|、三角形面积是|k|/2；由面积求k时，要根据图象所在象限确定k的正负，不要只取正值． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接，易得，再根据k的几何意义即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 【题型一】由反比例函数系数k的几何意义探究规律 【例1】（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 【变式1-1】（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 【变式12】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【题型二】反比例函数与一次函数的交点问题 【例2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 不等式的解集是或． 故选：． 【变式2-1】若双曲线与直线一定有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、直接开方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一次函数与反比例函数交点问题是解题的关键． 联立与得，利用双曲线与直线一定有交点，则方程有解，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 化简为：， ∵双曲线与直线一定有交点， ∴方程有解， 又∵双曲线中， ∴，解得：． 故选：A． 【变式2-2】若点是直线与双曲线的交点，则代数式的值是（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意，点是直线与双曲线的交点，可得和，代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵； 故选A． 【变式2-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与x轴交于点C． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集为________； (3)若在y轴上找一点P，使最大，则点P的坐标为________． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把点代入反比例函数，可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再利用待定系数法可求出一次函数的解析式； （2）直接观察图象，即可求解； （3）求出一次函数的图象与y轴的交点，即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数得： ， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入得：， 解得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或 （3）解：如图，设一次函数的图象与y轴交于点P，此时最大， 当时，， ∴点P的坐标为． 【题型三】一次函数与反比例函数的实际应用 【例3】过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 【变式3-1】某医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，每毫升血液中含药量随时间的变化情况如图，根据图像回答下列问题：    (1)求当时，y与x的函数表达式； (2)求当时，y与x的函数表达式； (3)如果每毫升血液中含药量为及以上时，药物对治疗疾病有效，请问病人服药后内有多长时间药物对治疗疾病有效？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据图像，当时，对应的线段是正比例函数的图像，设为（），把代入即可求出，得到表达式即可； （2）当时，图像对应的是一次函数，设为（）．把代入即可求出、，得到表达式即可； （3）由图像可知，有两个时刻成人血液中的含药量为，这两个时刻间的时间段内含药量高于，求出这两个时刻，计算时长即可． 【详解】（1）设时，与之间的函数关系式分别为， 将点代入，解得， 当时，函数表达式为； （2）设时，与之间的函数关系式分别为， 将点代入， 则， 解得， 当时，函数表达式为； （3）由图像可知，有两个时刻成人血液中的含药量为，这两个时刻间的时间段内含药量高于， 将，分别代入（1）、（2）求出的两个函数表达式， ， 解得； ， 解得， 故有效时间为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图像求得函数表达式是解题的关键． 【变式3-2】（24-25八年级下·河南洛阳·期中）宜阳县某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度与时间）之间的函数关系图象，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． (1)分别求出当（即段）和（即段）时，y与x之间的函数关系式； (2)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到（含及）的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长? 【答案】(1)当时，y与x之间的函数关系式为；当时， y与x之间的函数关系式为 (2)这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数解析式即可． （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设线段所在的直线解析式为， ，在线段上， ， 解得， 当时，y与x的函数表达式为； 当时，设所在的双曲线解析式为， 在双曲线段上， ，解得， 当时，y与x的函数表达式为． （2）解：蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 在中，当时，，解得， 在中个，当时，，解得， ， 即这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有． 【变式3-3】（23-24九年级上·山东泰安·阶段检测）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 【题型一】反比例函数与一次函数的综合 【例1】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点． (1)m的值为____________． (2)求反比例函数的解析式． (3)直线与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，请直接写出的面积． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入一次函数解析式，即可求出的值． （2）将点坐标代入反比例函数的解析式即可解决问题． （3）分别求出点和点的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入得，， 故答案为：1． （2）解：由（1）知，点的坐标为． 将点坐标代入得，， 则反比例函数的解析式为． （3）解：将代入得，， 所以点的坐标为． 将代入得，， 所以点的坐标为， 所以的面积为：． 【变式1-1】如图，反比例函数（k为常数，）的图象与一次函数的图象交于A、B两点，A点坐标为，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围是 ； (3)点C是线段与y轴的交点，点D是反比例函数的图象上一点，点D的横坐标为3，连接，则的面积是多少？ 【答案】(1)；， (2)或； (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数于一次函数交点问题等知识点，掌握待定系数法求解析式和数形结合是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求两个解析式即可； （2）数形结合，当时，直接写出自变量x的取值范围即可； （3）过点D作x轴的垂线交直线于点E，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数图象上A点坐标为，点B的纵坐标为． ，解得， 一次函数解析式为，，反比例函数解析式为； （2）观察图象，当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或； （3）过点D作x轴的垂线交直线于点E， 点C是线段与y轴的交点，点D的横坐标为3， 在直线中，当时，， ， ， ． 的面积是． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，且点的坐标为，点的坐标为． (1)求出一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出时的取值范围； (3)点的坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3)9 【分析】（1）根据B的坐标求出m，再求出A，将A，B坐标代入一次函数表达式求出k，b即可； （2）表示一次函数的图象在反比例函数图象上方，数形结合即可得到答案； （3）过点作直线与轴平行，交直线于点，求出E的坐标，根据 即可求解． 本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据图象解不等式，及一次函数与反比例函数图象相交产生的三角形面积，掌握相关基本方法是解题关键． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， ∴反比例函数表达式为， ∵点在的图象上， ， ∴点的坐标为， ∵点，点在的图象上， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图知，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方时， 或； （3）解：过点作直线与轴平行，交直线于点，则点与点的纵坐标相同， 对于直线，当时，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴ ． 【题型二】反比例函数与三角形的综合 【例2】（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接， (O是坐标原点) (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； (2)求的面积． (3)在轴上是否存在一点 P，使得是等腰三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）把代入，得，把代入，求出即可； （2）用待定系数法求出一次函数的解析式，把代入求出，得出，根据的面积代入求出即可； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 反比例函数的解析式为， 把代入，得； （2）解：把代入得， ，解得， 一次函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ， ； （3）解：存在，理由如下， 设点坐标为， ∵， ∴，，， 当时，， ∴，解得或， ∴，， 当时，， ∴，解得（舍去）或， ∴， 当时，， ，解得， ∴． 综上所述，存在点P，使得是等腰三角形，，，，． 【变式2-1】（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集________； (3)在轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合思想，根据交点坐标的横坐标，求解即可； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中，，均为常数． ，解得， 故反比例函数的解析式为； ， 故点B的坐标为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为； （2）解：根据题意，得不等式的解集或； （3）解：设直线与y轴交于点F， 根据题意，得，， ， ， 过点D作轴于点D， 则， ， ， 故是等腰直角三角形， ， ； 过点A作于点A，交x轴于点， 则， ， ， 故是等腰直角三角形， ， ，， ； 解得， 故； 【题型三】反比例函数与四边形的综合 【例3】（2026·江西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作轴于点．证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线的表达式为，可得直线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． （2）的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得 ∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 【变式3-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式3-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，点在第四象限，轴． (1)求的值； (2)以、为边作菱形，求点的坐标； (3)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)关于的不等式的解集为或 【分析】（1）根据正比例函数的图象经过得到，把代入即可得到的值； （2）把正比例函数和反比例函数解析式联立得到，求出，根据四边形是菱形得到 ，由轴得到轴，即可求出点的坐标； （3）根据反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点，根据两个图象的位置即可求出答案． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过 ∴， ∴， 把代入得到，解得； （2）解：由（1）得到， 与联立得到， 解得或， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∵轴． ∴轴， ∵， ∴点的坐标为； （3）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于、两点， ∴当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴关于的不等式的解集为或． 技巧 一句话要点 判断是否为反比例函数——“三要素检查法” k≠0、自变量指数为－1、能化成y＝k/x形式。 识别象限与增减性——“看k的符号” k＞0一三象限（每象限y随x增大而减小），k＜0二四象限（每象限y随x增大而增大）。 求比例系数k——“代入一点法” 把图象上一点的坐标代入y＝k/x，解出k。 k的几何意义求面积——“作垂线” 过图象上点作坐标轴垂线：矩形面积＝|k|，三角形面积＝|k|/2。 由面积求k——“先符号后数值” 先由图象所在象限确定k的正负，再求|k|。 比较函数值大小——“先象限后符号” 同象限看增减性，异象限先判断y的正负再比较。 求交点坐标——“联立方程组法” 把两个解析式联立，解出交点坐标。 判断交点个数——“看方程判别式” 联立所得方程（常化为一元二次方程）的判别式决定交点个数。 求不等式解集——“数形结合法” 画出图象，观察哪个函数图象在上方，确定x的范围。 待定系数法——“一个点定k” 反比例函数只需一个点即可求出解析式。 对称性——“原点对称法” 反比例函数图象关于原点中心对称，关于直线y＝x、y＝－x轴对称。 实际应用——“审设列求检验” 建立反比例函数模型，注意自变量取值范围，检验结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $