第二章 分式与分式方程 单元复习 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第2章 分式与分式方程 （新教材）鲁教版五四制 · 八年级上册 主讲人： 单元复习 1.7.2013 ‹#› 01 学习目标 1.理解分式的概念，能区分整式与分式；能确定分式有意义、无意义及分式值为零的条件，发展抽象能力。 2.理解并掌握分式的基本性质，能进行约分，知道最简分式的概念，能正确运用符号法则进行恒等变形。 3.掌握分式的乘除、乘方、加减法则及混合运算顺序，能熟练进行分式四则运算，将结果化为最简分式或整式，发展运算能力。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 01 学习目标 4.掌握解分式方程的一般步骤，理解增根产生的原因，会检验并正确舍去增根，发展推理能力。 5.能分析实际问题中的等量关系，列分式方程解决行程、工程、销售等问题，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念。 6.经历”类比分数研究分式”的过程，感悟从特殊到一般、从数到式的数学思想方法，能有条理地表达代数推理过程。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 知识图谱 1.7.2013 ‹#› 考点突破 考点一：分式的定义 1.分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式。如果B 中含有. ，那么称 为 。其中 A 称为 的 ，B称为 的 。 字母 分式 分式 分子 分式 分母 2. 分式与整式的区别： 。 分母中是否含有字母 ！！！特别注意： ①π是数字，不是字母。如，是整式，而不是分式。 ②分式的定义是形式上的定义，看原始形式判断，不要化简后判断。如，是分式。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点一：分式的定义 3.分式有无意义 ①分式有意义的条件： ，即 。 ②分式无意义的条件： ，即 。 4.分式值为0： ，即 。 分母不为零 分母为零 分子为0且分母不为0 ①分式值为正的条件： ※拓展： 分式的值为正，当且仅当分子、分母同号； ②分式值为负的条件： 分式的值为负，当且仅当分子、分母异号。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点二：分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 2.约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分。 约分的步骤：①分子、分母因式分解； ②确定公因式； ③约去公因式。 约分的结果必须是最简分式或整式。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点二：分式的基本性质 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。 4.符号法则： ， 分子、分母、分式本身的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。 （三变二，值不变） 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点三：分式的运算 1.分式的乘法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 2.分式的除法法则 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点三：分式的运算 3.分式的乘方法则 分式乘方，分子、分母分别乘方。负分式乘方：偶次幂得正，奇次幂得负。 4.同分母分式的加减法则 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。当分子是多项式时，要把分子看成一个整体加上括号，再去括号运算。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点三：分式的运算 6.通分与最简公分母 根据分式的基本性质，把异分母分式化为同分母分式的过程叫做通分。 异分母分式通分时，通常取最简公分母作为共同分母。 7.找最简公分母的方法 ①系数：取各分母系数的最小公倍数； ②字母：把各分母中出现的字母都取到； ③指数：相同字母取指数最高的幂； ④分母是多项式的，先因式分解，再按上述方法确定。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点三：分式的运算 8.异分母分式的加减法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。 9.分式的混合运算 ①运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 ②运算中遇到整式，把整式看成分母为 1 的分式参与运算。 ③运算结果要化为最简分式或整式。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点四：分式方程 10.分式方程 (1)分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 (2)解分式方程的一般步骤 判断一个方程是不是分式方程： 一看分母中是否含有未知数，二看它是不是方程。 ①找最简公分母； ②方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程（依据是等式的基本性质）； ③解这个整式方程； ④检验。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 考点突破 考点四：分式方程 10.分式方程 (3)增根：在方程变形中产生的、不适合原方程的根叫做原方程的增根。 产生增根的原因是方程两边乘了一个使分母为零的整式。 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 简便检验法：将所得根代入最简公分母（或原分式分母），看是否为 0；若为 0，则是增根，应舍去，此时原方程无解。 (4)列分式方程解应用题的一般步骤： ①审题，找出等量关系；②设未知数；③列分式方程；④解方程； ⑤检验（先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义）；⑥作答。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型一：分式定义辨析 【例1】下列各式中，不是分式的是（　） A. B. C. D. A 【变式1-1】在 、、、、中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. C.3个 D.4个 C 【变式1-2】下列说法正确的是（　） A. 含有字母的式子一定是分式　　B. 分母中含有字母的式子是分式 C. 分数一定是分式　　 D. 是整式 B 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型二：分式有无意义、值为零与正负条件 【例2】若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. D 【变式2-1】分式无意义的条件是 . 【变式2-2】若分式的值为0，则的值为 . 【变式2-3】若分式无论取何实数，分式都有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式2-4】当 时，分式的值为正。 当 时，分式的值为负。 C 任意实数 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型三：约分与最简分式 【例3】下列四个分式中，为最简分式的是（　） A. B. C. D. A 【变式3-1】分式与的最简公分母是 . 【变式3-2】下列式子从左到右的变形，正确的是（　） A. B. C. D. C 【变式3-3】下列式子从左到右的变形，正确的是（　） A. B. C. D. C 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型三：约分与最简分式 【变式3-4】约分（1）；（2） 解：（1）. （2） 【变式3-5】如果把分式中的和都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值是（　） A. 不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的 2 倍 D. 扩大为原来的 4 倍 【解析】 C 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型四：分式的乘除与乘方 【例4】化简的结果是（ ） A. B. C. D. C 【变式4-1】计算： . 【变式4-2】化简代数式：的结果为（ ） A. B. C. D. C 【变式4-3】计算： 解： 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型五：分式的加减法 【例5】计算 . 【变式5-1】化简的结果是（ ） A. B. C. D. B 【变式5-2】通分（1）与；（2）与 解：（1） （2） 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型五：分式的加减法 【变式5-3】化简： 解： 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型六：分式混合运算与化简求值 【例6】化简： 解： 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型六：分式混合运算与化简求值 【变式6-1】化简： 解： 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型六：分式混合运算与化简求值 【变式6-2】先化简，再求值：(1+)，然后从 −1、1、−2、2 中选取一个合适的数作为 的值代入求值。 解： (1+ ) 当时， 原式= 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型六：分式混合运算与化简求值 【变式6-3】先化简，再求值：，其中 解： 当时， 原式= 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型七：解分式方程 【例7】解方程 (1) (2) (3) 解：(1) 分式两边同乘，得 检验：当时， ∴是原分式方程的解 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型七：解分式方程 【例7】解方程 (1) (2) (3) 解：(2) 分式两边同乘，得 检验：当时， ∴是原分式方程的解 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型七：解分式方程 【例7】解方程 (1) (2) (3) 解：(3) 分式两边同乘，得 检验：当时， ∴是原分式方程的增根 ∴原分式方程无解 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型八：含参分式方程 【例8】关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. D 【变式8-1】关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 . 解析： 两边同乘，得 ∵解为正数 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型八：含参分式方程 【变式8-3】关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 . 【变式8-4】关于的分式方程无解，则的值为 . 【变式8-2】关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. A 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型九：分式方程的应用 【例9】某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用 480 元购买足球的数量和用 390 元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多 15 元。求足球和排球的单价各是多少元？ 解：设排球的单价为元，则足球的单价为元 由题意，得 解之得， 经检验：是分式方程的解 ∴排球的单价为65元，足球的单价为80元。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型九：分式方程的应用 【变式9-1】为提高生产效率，某工厂将生产线升级改造，改造后比改造前每天多生产 100 件，改造后生产 600 件的时间与改造前生产 400 件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ 　） A. B. C. D. B 【变式9-2】一艘货轮在静水中的航速为 40 km/h，它以该航速沿江顺流航行 120 km 所用时间，与沿江逆流航行 80 km 所用时间相等，则江水的流速为（　 ） A. B. C. D. D 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型九：分式方程的应用 【变式9-3】某旅行社组织游客从 A 地到 B 地的航天科技馆参观，已知 A 地到 B 地路程为 300 千米，乘坐 A 型车比乘坐 B 型车少用 2 小时，A 型车的平均速度是 B 型车的 3 倍，求 B 型车的平均速度。 解：设B型车的平均速度，则A型车的平均速度 由题意，得 解之得， 经检验：是分式方程的解 ∴B型车的平均速度为 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型十：整体思想 【例10】已知，求的值. 解：设 ∴ 则 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型十：整体思想 【变式10-1】已知，求的值. 解：设 则， ∴ 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型十：整体思想 【变式10-2】已知，求的值为 . 解：∵ 则 ∴ 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型十：整体思想 【变式10-3】已知，则的值为 . 解： 则 ∴ 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型十一：新定义 【例11】我们学过。 若关于的方程满足，且两个根分别为，称其为“十字方程”。 如，两个根分别为1、2。请解答： （1）“十字方程”，两根分别为多少？ （2）“十字方程”，两根分别为，求。 （3）关于的“十字方程”的两根分别为，求。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 题型精讲 题型十一：新定义 解：（1）由题意得， ∴ ∴ 两根分别为-2，-4 （2）由题意得， ∴ ∴ （3）由题意得， ∴ ∴。 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 课堂小结 今天，都有哪些收获？ 1.7.2013 现在，让我们开启第一章的旅程：几何溯源。在这一章，我们将一起探寻三角形在中国古代数学和工程中的智慧闪光。 ‹#› 谢谢！ 1.7.2013 同学们好！今天，让我们一起踏上一段穿越时空的数学之旅，回到古代中国，探寻几何的源头。我们将要学习的“三角形”，不仅是现代数学的基础，更是我们祖先在丈量土地、观测星象、建造宫殿时智慧的结晶。这节课，我们将从现代的视角出发，结合古代的智慧，重新认识这个熟悉又陌生的图形。 ‹#› $