数列知识清单-2027届高三数学一轮复习（安徽）

高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 2027届安徽省高中数学·数列专题清单 (（一)数列的定义与分类 1.定义：按一定次序排列的一列数称为数列，记作{an},其中an是数列的第 n项。 2.分类 ·按项数：有穷数列、无穷数列： ·按增减：递增数列(an+1>an)、递减数列（an+1<an)、常数列、摆 动数列。 3.通项公式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个 公式表示，这个公式就叫数列的通项公式（并非所有数列都有通项公式)。 (二)通项公式与递推公式 ·通项公式：直接由n求am,如an=2n-1: ·递推公式：给出首项（或前几项）以及a与它的前一项（或前几 项)的关系，如an+1=an+n。 (三)Sn与an的关系 设Sn=a1+a2+…+an,则 an=f S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2. 注意：由Sn-Sn-1求得的式子，必须验证n=1时是否也成立，不成立则要分 段书写。 (四)数列的单调性 ·作差法：an+1-an>0则递增，0则递减： 。作商法：各项均为正时，。>1则递增，1则递减。 1 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 二、等差数列 (一)定义与通项公式 1.定义：若an+1-an=d(d为常数)，则{an}为等差数列，d叫公差。 2.通项公式 a,=a+(n-1d,a,=a+n-md. 等差数列an=2n-1的图象（各点在一条直线上，公差即斜率） 15 11 9 图1等差数列的图象（各点在一条直线上，公差即斜率） (二) 等差数列的性质 1.若m+n=p+q,则am+an=ap+ag: 2.下标成等差数列的项也成等差数列： 3.中项：2an=an-1+an+1(n≥2)； 4若{an}、{bn}都是等差数列，则{a±b,}、{kan}也是等差数列。 (三)前n项和公式 sn=nla,ta】 nin-ild. 2 =na1+ 2 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 等差数列的前n项和Sn=n2呈二次函数特征 80 60 0 40 20 0 图2等差数列前n项和Sn的二次函数特征 (四）)前n项和的性质 1.Sn是n的二次函数（常数项为0）： 2.Sn、S2nSn、S3n-S2n也成等差数列： 3.最值：d>0时Sn有最小值，d<0时Sn有最大值，通常由an的 变号项确定取到最值时的n。 Sn=11n-n2的最大值（抛物线顶点取“最接近的整数"） 30 25 55=56=30最 20 10 图3等差数列前n项和的最大值（抛物线顶点”取最接近的整数”） (五)判定方法 ·定义法：an+1-an=d(常数)； 3 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 。中项法：2an+1=an+an+2: 。·通项法：an=pn+q(一次函数)； ·前n项和法：Sn=An+Bn(无常数项)。 4 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 三、等比数列 (一)定义与通项公式 1定义：若。日9为学常数0，则o为等比数列，日叫公比. 2.通项公式 an=a1q”-1,an=anq”m. 等比数列an=2n-1的图象（增长越来越快） ● 60 50 后30 20 10 0 ● n 图4等比数列的图象（增长越来越快） (二)等比数列的性质 1.若m+n=p+q,则aman=ap‘ag 2.下标成等差数列的项成等比数列； 3.中项：a=an-1an+1(n≥2，注意an≠0)。 (三)前n项和公式 na, q=1, Sn={a1-q")_ai-anq 1-q 1-q q1. 5 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (四)前n项和的性质 1.当q≠-1时，Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列： 2.{an}为等比数列=Sn=Aq”-1(A≠0，q≠0，q≠1)。 (五)判定方法 ·定义法： an1=q(非零常数)： a ·中项法：a+1=an·an+2(各项非零)； ·通项法：an=c·q”(c、q非零)。 6 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 四、求数列通项公式的方法 累加法 累乘法 an-an-1=f(n) n(n) on=e1+2nk) an=a1门gk) k2 K=2 把n-1个式子相加， 把n-1个式子相乘， 中间项抵消，得通项。 约去中间项，得通项。 f6 图5累加法与累乘法的思路 (一)公式法 若数列是等差或等比数列，直接用通项公式a,=a1+n-1d或a,=a,9”。 (二)Sn法 已知Sn,用an=S1(n=1)与an=Sn-Sn-1(n≥2)求解，注意验证n=1。 (三)累加法 形如an+1-an=fn,则 a,=a+a,-a++an-an-i=a+∑fkn≥2. (四)累乘法 形如 an1=gnl,则 an an=al. 9.a=aglkn≥2. a an-1 k=2 7 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (五)构造法 1.a1-1Fpa,+q(p≠1，q≠0)：设a1+入=pa,+,则A=9 p-1, {an+入}为等比数列： 2.an+1=pan+q”(p≠q):两边同除以q”+1(或p”+1)后构造： 3.an+1=pan+qn+r:设an+1+m+y=pan+xn-1+y)待定系数。 (六)取倒数法 形如0+1= can C或an+pa,+。 a）,两边取倒数： 1=卫+1 an+1ca’ 转化为等 pa+c 差或等比。 (七)对数变换法 形如an+1=ca(各项为正)，两边取对数：lgan+1=klgan+lgc,转为构造法。 “ 8 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 五、求数列前n项和的方法 (一)公式法 直接用等差、等比数列的求和公式，或利用常用和式。 6 （二)倒序相加法 把Sn与倒序相加的Sn相加，适用于首末两端”等距”的项之和相等的数列 (如等差数列、fx+f1-x型)。 （三)错位相减法 适用于{anb,}({an}等差、{b}等比)型数列。写出Sn与qSn,错位相 减，得等比和，再求和。 Sn=a1b1+a2b2 +a3b3+.+anbn qSn=a1b2+a2b3+.+an-ibn+anbn+1 错位相减 同次幂的项对齐(“错位”)，相减后中间项成等比数列，再求和。 f5 图6错位相减的思路 9 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (四)裂项相消法 适用于《 1 anan+1 型。将通项拆成两项之差，相加时中间项两两抵消，只余首 尾。 常用裂项： 1=1-11=11-1 n(n+1 nn+l'n(n+22 nn+2 =11-1 .1—=n+1-Vn. 2n-1l2n+122n-12n+1'n+n+i 裂项：。1 n+=清-n+ 21- 32- 相邻两行的中间项 一负一正、两两抵消 314=3- 结果只剩首尾： n+D-6-ntl 1 1-ntt f4 图7裂项相消的思路 (五)分组求和法 适用于an=bn+Cn(如”等差+等比”“整式+常数”等)，分别求和后相 加。 (六)并项求和法 适用于正负交替的数列，先把相邻两项（或几项）合并，再求整体和。 10 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 六、数列的综合与应用 (一)数列与函数 数列是定义域为正整数集（或其子集）的函数an=fn。因此： ·等差数列：一次函数；等比数列艹指数型函数； ·研究数列的单调性、最值，可类比函数，但只在正整数点处取值，结 论要回到”整数”上来验证。 (二)数列的单调性与最值 数列an=-n2+9n的最值（先增后减，a4=as最大） 之 18 16 G14 12 最大项a4=a5=20 10 f7 图8数列的最值（先增后减，a4=a5=20最大） 求最值的方法： ·把an视为n的函数（二次、一次、指数型），求最值后取最接近 的正整数： ·用0，与相邻项比较：解，之”得最大项下标（同理可求最小 an≥an+1 项)。 11 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (三)数列与不等式 1.证明单调性：作差an+1-an判断符号，或用an+1/an与1比较。 2.用放缩法证明和式不等式：把通项适当放大或缩小，化为可求和的式子。 ·把马放缩为 1 1-1 (n22): n nn-1)n-1 n 1_11 ·把青放缩为nn+nn+1: 41 K台kk-1 <2可证相关结论。 3.常见放缩方向 原式 放大 缩小 1 1 1 n(n-1) n(n+1 1 1 2”-1 20-7 Vn+1-Vn 1 1 23n 2Vn+1 (四)数学归纳法 证明与正整数n有关的命题，步骤为： (1)归纳奠基：验证n取第一个值n时命题成立； (2)归纳递推：假设n=k(k≥no)时命题成立，证明n=k+1时命题也成 立： (3)由(1)(2)知命题对一切n≥n0成立。 注意：从k到k+1的推证中，必须用到归纳假设，否则不是数学归纳法。 (五)数列的实际应用 ·均匀增长（如等额递增）一等差数列模型： ·增长率一定（如复利、细胞分裂）→等比数列模型： ·分期付款、贷款：本质是等比数列求和： 12 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) ·解题步骤：弄清量的变化规律一建立递推或通项模型一求解并作 答。 13 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 七、二级结论速记 (一)等差数列 1.若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0; 2若口}为等考数列，则数列骨}也是等卷数列，公为号 3.若{an}为等差数列，则an是关于n的一次函数，Sn是关于n的 二次函数（无常数项）； 4.Sn取最大值：当d<0且an≥0、a+1≤0时Sn最大（取最小值类 似)。 (二)等比数列 1.若{an}为等比数列，则Sn=Aq-A(A≠0)； 2.若a1>0、q>1或a1<0、0<q<1,则{a}递增； 3.等比数列中各项均不为0，中项a=an-1an+1。 (三)常用裂项 通项 裂项结果 1 1-1 n(n+1) nn+1 1 11-1 n(n+2 2nn+2 1 2012l 1 2n-1川2n+1 1 e etiz! 1 n(n+1(n+2) 1 Vn+1-Vn Vn+Vn+i n+1 n2n+2 14 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (四)通项构造结论 1ap,*:A2是，a+-la,+刘p2 an 2.an+1= 1=1+P: pan+q'an-1 an 3.an+1=pan+q”:两边除以q+1后构造。 (五)常用求和结论 立g咖2 6 k=1 三2=2-2：22k-1= 15 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 八、易错提醒 1.由Sn求an漏验n=1:分段式中n=1的情形要单独检验。 2.等比数列公比：公比q≠0：遇到”是否为等比”要先讨论q=1的情 形。 3.等比求和分段：q=1与q≠1的求和公式不同，不能混用。 4.判定”从第二项起”：等差、等比的判定要考虑≥2的情形，首项 需单独验证。 5.最值由变号项定：Sn的最值由an的变号确定，不要直接套用函数顶 点。 6.错位相减易错点：项数、对齐方式与符号，最容易在此处失分，建议 多验算一遍。 1 7.裂项系数：裂项后要乘以正确的系数（如2)，并检验首未项。 8.累加、累乘的起止：注意求和（积）的下标从2开始，结果中n≥2 的限制。 9.取倒数、取对数：使用前要确认各项非零且为正。 10. 放缩要适度：放缩的方向要与目标一致，过大或过小都会导致 证不出结论。 11. 数列是”离散”的函数：用函数方法求最值时，要取正整数， 并检验相邻整数点。 12. Sn的二次型：等差数列的Sn=An+Bn没有常数项，借此可 快速判断。 13. 等比中项：由aan-1an+1得an=±an1an+,需结合符号取 舍。 14. 下标范围：通项含根式或分式时，注意使式子有意义的n的 范围。 16 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 九、递推数列专题（进阶） (一)分式递推 an 1.形如an+1 pan+g: 两边取倒数得 。县+日，转化为以立为未知量的 an+1 an 等差或等比数列。 aan+b 2.形如an+1= a,+d:可用”不动点法”求其通项（令x=x也 cx+d,用不动点构 造等比数列)。 (二)二阶线性递推 1.形如an+2=pan+1+qan:解特征方程x=px+q。 。两根r1r2:a,=Ar1+Br: ·两根r1=r2=r:an=A+Bnlr-1。 其中A、B由a1、a2确定。 2.形如an+2=pan+1+q:可先由an+1=pan+q的构造法求出，再整体处理。 (三)相邻项与Sm的关系 ·若条件给出an+1=fSn,通常用an+1=Sn+1-Sn消去a,转化为关于 Sn的递推： ·若给出Qn+1与an的分式关系，可先取倒数、再作差，得到关于 的等差关系。 17 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (四)奇偶项分别讨论 含(-1)”的数列：奇偶项分别成数列 奇数项成二列（回点 偶数项成一列（方块）鲁、 -8 f10 图9含-1”的数列：奇偶项分别成数列 当通项或递推式中含有(-1”时，往往需按n的奇偶分类讨论：把奇数项、 偶数项分别抽出，各自成数列（常见为等差或等比），再分别求和。 18 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 十、数列与不等式综合 (一)放缩技巧 1.裂项放缩： 利用 1<1<1 n(n+1)n2 nn-1) 等把通项放缩为可裂项的式子。 2.等比放缩：把通项放大为等比数列的项，如 1<1 2”-12n1。 3.常用结论 1<2n≥1；- 1 ’nn+1nn+1 (二)证明数列不等式的方法 ·数学归纳法：适合与n有关的命题： ·放缩法：把不易求和的式子放缩为可求和的式子： ·单调性法：构造辅助函数，用导数研究其单调性。 (三)恒成立与存在性 ·若对任意n都有an≤M恒成立，则M≥an的最大值； ·若存在n使an≥M,则M≤an的最大值： ·求参数范围时，先求出数列的最值，再反求参数。 19 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 十一、数学归纳法 数学到归纳法 若第k张倒下，则第k+1张也倒下 第1张 结论：所有骨牌都倒下（命题对一切n成立） f11 图10数学归纳法（多米诺骨牌) 1.步骤 (1)奠基：验证n=n,(初始值)时命题成立： (2)递推：假设n=k(k≥no)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立； (3)由（1)(2)得命题对一切n≥n,成立。 2.常见题型：证明等式、证明不等式、证明整除性、由归纳结论求参数。 【例】用数学归纳法证明1+3+5+…+2n-1=n2。 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立。 (2)假设n=k时命题成立，即1+3+…+2k-1=k2。当n=k+1时， 1+3+…+2k-1+2k+1=k2+2k+1=k+12, 即n=k+1时命题也成立。由(1)（2)知，命题对一切正整数n成立。 20 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 十二、数列的构造与辅助数列 构造辅助数列：an+1=2an+1→an+1=2n为等比数列 120 100 bn=an+1=2n(等比) % 60 an=2n-1 % 20 0 0 0 f9 图11构造辅助数列求通项 1.构造等差数列：形如an+1=an+fn,若取bn=an-gn后bn+1=bn,则{bn} 为常数列。 2.构造等比数列： ·-pa,+q:设b=a,+,是则6=pbe ·an+1=pan+q”:两边除以q”+1,转化为上述类型： 。0n1。取倒数，化为a1=pa,+q型。 pa+g 3.取对数构造：an+1=ca片(an>0)两边取对数，转化为线性递推。 【例】已知a1=1,an+1=3an+2,求an。 解：设an+1+入=3(a,+入，则入=1，故{an+1}是首项为2、公比为3的等 比数列，an+1=2×3”-1,即an=2×3”-1-1。 21 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 十三、典型例题精讲 【例1】已知等差数列中a3=7,a,=19,求通项an及前10项和S10。 解：由a7-a3=4d=12,得d=3,a1=a3-2d=1,故a,=1+3n-1=3n-2。 S10 101a+a0_101+28=145. 2 【例2】已知等比数列中a1=2,q=3,求a4与S5。 解：04=0，q2-2×27=54:S,-1-g21-243-=242 1-q 1-3 【例3】已知数列的前n项和Sn=n+n,求通项an。 解：a1=S=2;当n≥2时，a,=S,-Sn-1=n2+n-n-12+n-1=2n。n=1 时2n=2=a1,也成立，故an=2n。 【例4】已知a1=1,a+1=2an+1,求an。 解：设an+1+入=2an+入，则1=1，故{an+1}是首项为2、公比为2的等比 数列，an+1=2,即an=2”-1。 【例5】己知a1=1,a+1=an+2n,求an。 解：由采加法，Q=a2k=12xlh-1nn-1=r-n*1n.且 n-1 2 n=1时也成立。 1 【例6】求和： 空k+ 111 解：kk+五衣k+1,由裂项相消， 宫-日n1 【例7】求和： 公k2 22 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 解，设，k2则25，-k2 两式错位相减：-5，=2+2+2++2-n-222-1-n-2, 2-1 故S,=n-12m+1+2。 【例8】等差数列中a1=20,公差d=-2,求Sn的最大值。 解：an=20-2n-1=22-2n。由an≥0得n≤11，故Sm在n=11时最大。 11a+au_120+0-110. 2 【例】求证：对≥2,2。 解当经2时，安k-石故 1 盒1安1112 【例10】某厂第1年产量为10万件，以后每年比上一年增长10%，求第 n年的产量。 解：每年产量构成首项为10、公比为1.1的等比数列，故第n年产量为 a,=10×1.1”-1(万件)。 an 【例11】已知a,=1,a,120n+求a. 解：两边取剑数得。合2，故启}是首项为1、公若为2的沙芳数 2-1即a 列，an 【例12】在等比数列中，a1+a3=10,a2+a4=20,求a1与9。 解：由a2+a4=qa1+a3得q=2;再由a1+a1q2=a11+4=10得a1=2。 23 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 【例13】已知等差数列{a,}的前n项和Sn=n2-2n,求a,并判断{an} 的单调性。 解：a1=S1=-1;n≥2时a=S。-Sm-1=n2-2n-(n-12-2n-1=2n-3, n=1时也成立，故a=2n-3。因公差d=2>0,故{an}递增。 【例14】已知数列{a}满足a1=2,an+1=2an-1,求a。 解：设a+1-1=2an-1,则{an-1}是首项为1、公比为2的等比数列， an-1=2”-1,即an=2”-1+1。 【例15】求和：S,=12+2·22+3·2+…+n2”。 解：由错位相减法（见例7），Sn=n-12+1+2。 1 【例16】已知数列{a}的通项a,n+m+求S… 解 a,=Vn+1-Vn, 由 裂 项相 消， Sn=2-1+3-V2+…+Rn+1-Vn=Vn+1-1。 【例17】求数列a=-1”+1n的前100项和。 解：S10=1-2+13-4++99-100=-1×50=-50。 【例18】已知an=2+2n,求前n项和S 解：分组求和，Sn=2+22+…+2+2+4+…+2n=2+1-2+nn+1。 【例19】已知a1=1,an+1=an+2”,求an。 n-1 解： 累加法，a,=a*三-1+2-2-2-1. 【例20】已知a1=1,an+1=3an+2,求an。 解：由an1+2*1=3an+2,得{an+2}是首项为3、公比为3的等比数 列，故an+2”=3”,即an=3”-2”。 24 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 【例21】数列{a,}满足an=n2-。若{an}为递增数列，求k的取值范 围。 解：a*1a,=n+1-kn+1-n2-m=2n+1-k>0对一切n≥1成立，故 k<2n+1的最小值，即k<3。 【例2】证明：对任意正整数n,之。1 2k-12. 1 1111 证明：当k22时，2k-1P2k-22K4k一，放 【例23】某人每年年初存入银行a元，年利率为r,按复利计息，求第n 年年底的本利和。 解：第1年的存款到第n年年底本利和为a1+r”,第2年为a1+rn-1 ,…,第n年为a1+r。 故本利和S=a1+r+al1+r2++al1+rr=a1+rl[1+rP-1 r 【例24】某牛奶厂每月产量比上月增加10%，第1个月产量为5万箱，求 第12个月的产量（保留整数）。 解：产量构成首项5、公比11的等比数列，第12个月产量为 5×1.11≈5×2.853=14.3，约为14万箱。 25 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 十四、公式总表（速查） 1.数列与Sm:an=S1(n=1),an=Sn-Sn-1(n≥2)。 2.等差数列 ·定义：an+1-an=d: ·通项：an=a1+(n-1d=am+n-md: 。中项：2an=an-1+an+1 ·前n项和：S.-naa=na,+nn,d; 2 2 ·性质：m+n=p+q→am+an=ap+ag。 3.等比数列 ·定义： an1=q(q≠0)； an 。通项：an=a1q”-1=amq”m; 。中项：a=an-1an+1; ·前n项：S,=n0(q=1):5,=1-g(g*1)； 1-q 。性质：m+n=p+q→am~an=apag。 4.求通项的方法：公式法、Sn法、累加法、累乘法、构造法(an+1=pan+q )、取倒数法、对数法。 5.求和的方法：公式法、倒序相加、错位相减、裂项相消、分组求和、并项求 和。 111 6. 常用裂项 1=11-1 nn+1 nn+1; nn+22nn+29 1 =n+1-Vn, n+n+1 7.常用和式： k=1 6 k=1 26 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 十五、解题模板与常见模型 （一)求通项：“看结构定方法” 看到的结构 选用方法 an-1-an=f(n) 累加法 an-1=g(n) 累乘法 an an1=pan+q 构造等比（加 q p-1 ) an-1=pan+q" 除以q+1后构造 an 取倒数 an+1= pan+q a+1=cah(a,>0) 取对数 含Sn与an 用an=Sn-Sn-1消 元 含-1r 按n的奇偶分类 (二)求和： “看通项定方法” 通项特征 选用方法 等差或等比 公式法 等差×等比(anbn 错位相减法 ) 可拆成两项之差 裂项相消法 两个数列对应项之和 分组求和法 正负交替 并项求和法 (三)证明数列不等式 ·首选放缩：把通项放缩为可求和的形式，再求和： ·次选归纳：与n有关的命题可用数学归纳法： ·辅助单调：构造函数用导数研究单调性。 27 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) (四)数列的最值与参数 ·求最值：把an或Sn看作关于n的函数，取最接近的正整数： ·求参数：由单调性(an+1>an)、恒成立(an≤M)转化为关于n的 不等式，取n的最小（大）值。 (五)常用放缩汇总 放缩式 说明 1 1 1 裂项放缩 n(n+1 n2 n(n-1 k≥2 2k-122k-22k 1<1 等比放缩 2-12可 <Vn+1-n<1 根式放缩 2Vn+1 2"≥n2(n≥4) 指数增长 (六)典型例题（续） 【例25】已知a1=1,an1=2a,+n+1,求an。 解：设a,+pn+q为等比，代入得p=-1、q=-2,故{an+n+2}是首项为4 、公比为2的等比数列，a,+n+2=42”-1=2+1,即an=2*1-n-2。 【例26】已知数列{an}的前n项和S,=2”-1,求an。 解：a1=S,=1:n≥2时a,=S。-Sn-1=2”-2-1=2”-,n=1时也成立，故 0,2-1. 【例27】求和：S,=,1 R台kk+2 1-11.1 解：kk+22衣k+2 裂项相消得 2n+1n+2-42n+1n+2 28 高中数学·数列专题清单(2027届一轮复习) 【例28】用数学归纳法证明2”>n2(n≥5)。 证明：(1)当n=5时，2=32>25=52，命题成立。 (2)假设n=k(k≥5)时2*>k2。当n=k+1时，21=22>2k2。又k≥5 时2k2>k+12(因2k2-k+12=k2-2k-1>0),故2+1>k+1。 由(1)(2)知，对一切n≥5,2">n2成立。 29