4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 课标要求　1.通过生活中的实例，理解等比数列、等比中项的概念．　2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程，能应用等比数列的通项公式进行简单运算． 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色．问：各几何？”其答案构成数列：91，92，93，94，95，96，97，98.这个数列有何特点？ 思考1　回顾等差数列{an}的定义． 提示：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). 思考2　－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂，……依次排成一列数：－，，－，….类比等差数列，你发现这个数列有什么特征？ 提示：从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 提醒　(1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (2)等比数列的公比q可正可负，但不能为0；等比数列中任意一项都不为0. (3)常数列(除0，0，0，…外)都是公比为1的等比数列． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)等比数列的公比为1，则该数列为常数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．等比数列2，4，8，…的公比为(　　) A． B． C．2 D．4 解析：选C.由已知2，4，8，…为等比数列，则公比q＝＝＝2. 3．判断下列数列是否为等比数列： (1)1，3，32，33，…，3n-1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a，－a，a，－a，…. 解：(1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，…. 因为＝＝3(n≥2，n∈N*)， 所以数列{an}为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， 因为＝－1，＝2，所以≠， 所以数列{an}不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，0，…不是等比数列； 当a≠0时，记数列为{an}，易知an＝(－1)n+1·a，n∈N*，且＝－1， 所以数列a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 综上所述，当a＝0时，数列a，－a，a，－a，…不是等比数列； 当a≠0时，数列a，－a，a，－a，…是等比数列． 【感悟提升】　判断一个数列是否为等比数列常用定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 知识点二　等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． 　(1)＋1与－1两数的等比中项是(　　) A．±1 B．1 C．－1 D． (2)已知a，b是方程x2－6x＋1＝0的两根，若m，n分别是a，b的等差中项和等比中项，则mn＝________． 【解析】　(1)设＋1与－1两数的等比中项是x，则x2＝(＋1)(－1)＝1，解得x＝±1. (2)因为a，b是方程x2－6x＋1＝0的两根，故a＋b＝6，ab＝1. 因为m，n分别是a，b的等差中项和等比中项，故a＋b＝6＝2m，ab＝1＝n2， 解得m＝3，n＝±1，故mn＝3或mn＝－3. 【答案】　(1)A　(2)3或－3 【感悟提升】　应用等比中项需注意的问题 (1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，a，b异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 　1.“G＝”是“a，G，b成等比数列”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.充分性：若G＝＝0，则a，G，b不能构成等比数列，充分性不成立； 必要性：若a，G，b成等比数列，则G2＝ab，即G＝±，必要性不成立． 2．已知a＞0，b＞0，且9是3a和3b的等比中项，则a＋b＝______． 解析：9是3a和3b的等比中项，因此92＝3a·3b，化简得34＝3a＋b，即a＋b＝4. 答案：4 知识点三　等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn-1． 　(对接教材例1)在公比为q的等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a2＝4，a5＝－，求an. 【解】　(1)因为a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝a1q4＝405. (2)因为{an}是等比数列，an＝625，n＝4，q＝5， 所以a4＝a1q3，即a1×53＝625，解得a1＝5. (3)由题意可知解得所以an＝a1qn-1＝－8×＝. 【感悟提升】　关于等比数列基本量的运算 (1)a1和q是等比数列的两个基本量，解题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以求出． (2)等比数列的通项公式共涉及4个量a1，an，n，q，知三求一，解题时通常列方程(组)来解决． 　1.在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a9＝(　　) A．128 B．256 C．512 D．1 024 解析：选B.因为an＋1＝2an，a1＝1，所以＝2，即{an}为公比为2的等比数列， 所以a9＝a1·28＝256. 2．在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝4，则16是{an}中的第______项． 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a4＝4， 所以q3＝4，解得q＝2. 则该数列的通项公式为an＝a1qn-1＝2(n-1)，由an＝2(n-1)＝16，可得n＝7， 即16是{an}中的第7项． 答案：7 1．若a，3，b，1成等比数列，则ab＝(　　) A．4 B．6 C．9 D．12 解析：选C.因为a，3，b，1成等比数列，根据等比中项的概念可得，ab＝32＝9. 2．(多选)(教材P31T1改编)下列数列是等比数列的是(　　) A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．－3，－2，－1，0，1 D．，，，， 解析：选ABD.对于A，数列为公比为1的等比数列，故A正确； 对于B，数列为公比为2的等比数列，故B正确； 对于C，≠，不是等比数列，故C错误； 对于D，数列为公比为的等比数列，故D正确． 3．已知等比数列{an}的首项a1与公比q相等，若a3＝16，则a6＝________． 解析：因为等比数列{an}的首项a1与公比q相等，所以a3＝q3＝16， 所以a6＝q6＝(q3)2＝162＝256. 答案：256 4．(教材P31T3改编)在等比数列{an}中，公比为q. (1)若a4＝4，a7＝，求q； (2)若a3＋a4＝14，a5＝－56，求a8. 解：(1)由题意可知解得 (2)由题意得解得所以a8＝a1q7＝448. 1．已学习：等比数列、等比中项的概念及等比数列的通项公式． 2．须贯通：等比数列的通项公式及基本计算，通过建立关于a1和q的方程(组)，求出a1，q后再求an. 3．应注意：等比数列概念中的三个关键点：“从第二项起”、“后一项与它的前一项的比”、“同一个常数(不为零)”． 学科网（北京）股份有限公司 $