第4章 培优点1 数列的函数特征-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

培优点1　数列的函数特征 数列是一类特殊的函数——数列可以看作定义在正整数集（或其有限子集{1，2，3，…，n}）上，当自变量按从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列的通项公式（若存在）体现了数列的项与其项数之间的对应关系，实质就是一个函数解析式，定义域为正整数集（或其有限子集）. 如果我们知道数列的通项公式或前n项和公式，可以借助函数的性质来研究数列的性质：如单调性、最值、周期性等．特别地，若数列{an}满足存在一个最小的正整数T，使得an＋T＝an对一切正整数n都成立，则数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期． 常见类型有以下三种． 返回首页 类型一 数列的单调性 返回首页 (2)若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围． 返回首页 【方法点拨】　解决数列单调性问题的两种方法 (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)利用函数的单调性：若an＝f(n)，n∈N*，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则{an}是递增数列；若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则{an}是递减数列．  返回首页 类型二 数列的最大(小)项 返回首页 返回首页 类型三 数列的周期性 D　 返回首页 返回首页 【方法点拨】　利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 (1)根据数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项； (2)确定该数列的周期； (3)利用周期性求出要求的项． 返回首页 B　 尝试训练 返回首页 C　 返回首页 返回首页 B　 返回首页 4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－20n(n∈N*)，则数列{an}中的最小项为______．(用具体数字作答) 解析：由题意得an＝2n－20n(n∈N*)，故an＋1－an＝2n+1－20(n＋1)－2n＋20n＝2n－20， 当n≤4时，an＋1－an＜0，故an＋1＜an， 当n≥5时，an＋1－an＞0，故an＋1＞an， 即得a1＞a2＞a3＞a4＞a5＜a6＜…， 所以数列{an}中的最小项为a5＝25－100＝－68. －68 返回首页 5．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x211＝______． 5 x 1 2 3 4 5 6 f(x) 4 5 1 2 6 3 解析：由题可知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1， 即数列{xn}是以6为周期的周期数列，又211＝35×6＋1， 所以x211＝x1＝5. 返回首页 6．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，∀n∈N*，an＋2＝an＋1－an，Sn为{an}的前n项和，则S2 026＝______． 解析：因为a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an，所以a3＝a2－a1＝2，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－2，a7＝a6－a5＝1，a8＝a7－a6＝3，…， 所以{an}是以6为周期的周期数列，且S6＝1＋3＋2－1－3－2＝0， 而2 026＝337×6＋4，S4＝1＋3＋2－1＝5，故S2 026＝S4＝5. 5 返回首页 2和3 返回首页 $