2.3二次函数与一元二次方程、不等式章节练习卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》章节练习卷 人教A版（2019新教材）必修第一册　第二章 一元二次函数、方程和不等式　2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 满分：100分　　考试时间：90分钟 班级：____________　　姓名：____________　　学号：____________ 注意事项： 1．本卷为试题卷，共三大题、20个小题，满分100分，考试时间90分钟。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷上作答无效。 2．解一元二次不等式时，解集须用集合或区间表示；涉及分式不等式时应注意分母不为0；作图须用直尺。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个正确选项） 1．不等式x²－5x＋6＞0的解集为（　　） A. {x|x＜2 或 x＞3}　　B. {x|2＜x＜3} C. {x|x＜－3 或 x＞－2}　　D. {x|－3＜x＜－2} 2．二次函数y＝x²－3x＋2的图象与x轴交点的横坐标是方程x²－3x＋2＝0的两个根，则不等式x²－3x＋2＜0的解集为（　　） A. {x|x＜1 或 x＞2}　　B. {x|1＜x＜2} C. R　　D. ∅ 3．不等式　　≤0的解集为（　　） A. {x|－1＜x≤2}　　B. {x|－1≤x≤2} C. {x|x＜－1 或 x≥2}　　D. {x|x≤－1 或 x≥2} 4．若不等式ax²＋ax＋1＞0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A. {a|0≤a＜4}　　B. {a|0＜a＜4} C. {a|a＞4}　　D. {a|a＜0} 5．若不等式ax²＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b的值为（　　） A. 0　　B. 1 C. －1　　D. 2 6．若对任意x∈[1，3]，不等式x²－2x＋a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A. {a|a＞1}　　B. {a|a≥1} C. {a|a＞－1}　　D. {a|a＞－3} 7．如图1，二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象开口向上，与x轴交于两点，其横坐标分别为1和3，则不等式ax²＋bx＋c＞0的解集为（　　） 图1 A. {x|1＜x＜3}　　B. {x|x＜1 或 x＞3} C. {x|x＜3}　　D. R 8．若不等式x²－ax＋1＞0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A. {a|－2＜a＜2}　　B. {a|－2≤a≤2} C. {a|a＜－2 或 a＞2}　　D. {a|a≤－2 或 a≥2} 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．不等式－x²＋2x＋3≥0的解集为____________。 10．不等式2x²－x－1＞0的解集为____________。 11．若不等式ax²＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜1 或 x＞3}，则不等式ax²＋bx＋c＜0的解集为____________。 12．若不等式x²－2x＋m＜0的解集为空集，则实数m的取值范围为____________。 13．如图2，不等式　　≤0的解集在数轴上表示如图（－1为实心点，3为空心点），则该不等式的解集为____________ 图2 14．若不等式ax²＋2x＋a＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为____________。 三、解答题（本大题共6小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分）求下列不等式的解集： （1）x²－4x＋3＞0； （2）9x²－6x＋1＞0； （3）－x²＋2x－3＞0。 16．（8分）已知不等式ax²＋bx＋6＞0的解集为{x|－2＜x＜3}。 （1）求实数a、b的值； （2）求不等式bx²＋ax＋6＞0的解集。 17．（10分）解关于x的不等式x²－ax－2a²＞0（a∈R）。 18．（10分）已知函数f(x)＝x²＋ax＋1。 （1）若对x∈R恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围； （2）若对x∈[0，2]恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围。 19．（10分）用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙长足够）的矩形菜园，设垂直于墙的一边长为x m。 （1）若菜园面积不小于96 m²，求x的取值范围； （2）菜园面积能否达到180 m²？若能，求相应的x的值；若不能，请说明理由。 20．（12分）已知二次函数f(x)＝x²－2x－3，其图象如图3所示。 图3 （1）结合图象，求不等式f(x)＞0的解集； （2）若不等式f(x)＜0的解集为A，不等式f(x)≥0的解集为B，求A∩B和A∪B； （3）若关于x的不等式f(x)＋m＜0的解集为（－2，4），求实数m的值，并求不等式f(x)＋m＞0的解集。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．A　2．B　3．A　4．A　5．A　6．A　7．B　8．A 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．[－1，3]　10．{x|x＜－ 或 x＞1}　11．（1，3）　12．m≥1　13．[－1，3）　14．a＜－1 三、解答题（共58分） 15．（8分）解：（1）由x²－4x＋3＞0，得(x－1)(x－3)＞0， ∴ 解集为{x|x＜1 或 x＞3}。（3分） （2）由9x²－6x＋1＞0，得(3x－1)²＞0， ∴ 解集为{x|x≠}。（3分） （3）由－x²＋2x－3＞0，得x²－2x＋3＜0。 ∵ Δ＝(－2)²－4×3＝－8＜0，且二次项系数为正， ∴ 解集为∅。（2分） 16．（8分）解：（1）∵ 不等式ax²＋bx＋6＞0的解集为{x|－2＜x＜3}， ∴ 方程ax²＋bx＋6＝0的两根为－2和3，且a＜0。 由根与系数的关系，得(－2)＋3＝－，且(－2)×3＝， 解得a＝－1，b＝1。（4分） （2）由（1）知，bx²＋ax＋6＞0，即x²－x＋6＞0。 ∵ Δ＝(－1)²－4×6＝－23＜0， ∴ 不等式bx²＋ax＋6＞0的解集为R。（4分） 17．（10分）解：原不等式可化为(x－2a)(x＋a)＞0。（2分） ①当a＞0时，2a＞－a，原不等式的解集为{x|x＞2a 或 x＜－a}；（3分） ②当a＝0时，原不等式为x²＞0，解集为{x|x≠0}；（2分） ③当a＜0时，2a＜－a，原不等式的解集为{x|x＞－a 或 x＜2a}。（3分） 18．（10分）解：（1）∵ f(x)＝x²＋ax＋1对x∈R恒有f(x)≥0， ∴ Δ＝a²－4≤0，解得－2≤a≤2。（5分） （2）f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝－。 ①当－∈[0，2]，即－4≤a≤0时，f(x)在[0，2]上的最小值为f(－)＝1－， 由1－≥0，得－2≤a≤2，故－2≤a≤0； ②当－＜0，即a＞0时，f(x)在[0，2]上为增函数，f(0)＝1＞0恒成立； ③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[0，2]上为减函数，f(2)＝5＋2a≥0， 得a≥－，与a＜－4矛盾，无解。 综合①②③，实数a的取值范围为a≥－2。（5分） 19．（10分）解：依题意，与墙平行的一边长为(40－2x)m，其中0＜x＜20， 菜园面积S＝x(40－2x)。（2分） （1）由x(40－2x)≥96，得x²－20x＋48≤0，即(x－4)(x－16)≤0， ∴ 4≤x≤16，即x的取值范围为[4，16]。（4分） （2）S＝x(40－2x)＝－2x²＋40x＝－2(x－10)²＋200，最大值为200，故180可达。 由x(40－2x)＝180，得x²－20x＋90＝0，解得x＝10±√10，均满足0＜x＜20。 ∴ 面积能达到180 m²，此时x＝10±√10。（6分） 20．（12分）解：（1）由图象可知，f(x)与x轴交于点（－1，0）和（3，0），且开口向上， ∴ 不等式f(x)＞0的解集为{x|x＜－1 或 x＞3}。（3分） （2）A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x≤－1 或 x≥3}， ∴ A∩B＝∅，A∪B＝R。（4分） （3）f(x)＋m＜0，即x²－2x＋(m－3)＜0，其解集为（－2，4）， ∴ 方程x²－2x＋(m－3)＝0的两根为－2和4。 由两根之积，得m－3＝(－2)×4＝－8，解得m＝－5。（3分） 由f(x)－5＞0，得x²－2x－8＞0，即(x－4)(x＋2)＞0， ∴ 不等式f(x)＋m＞0的解集为{x|x＜－2 或 x＞4}。（2分） 命题细目表 题号 题型 分值 考查内容 能力要求 难度 素材来源／改编说明 1 选择 3 一元二次不等式的解法（两根法） 直接应用 基础 2025全国卷解不等式题同型改编 2 选择 3 三个二次关系的转化（解集与方程的根） 直观想象 基础 教材2.3引例同型改编 3 选择 3 分式不等式转化为一元二次不等式 转化化归 中档 2024全国高考分式不等式题同型改编 4 选择 3 一元二次不等式恒成立（含a＝0讨论） 分类讨论 中档 2025全国高考恒成立题型同型改编 5 选择 3 已知解集求参数（根与系数的关系） 推理计算 基础 2024全国高考求参题型同型改编 6 选择 3 闭区间上恒成立求参数 数形结合 中档 2025全国高考恒成立题型同型改编 7 选择 3 二次函数图象与不等式解集（图象法） 直观想象 基础 原创（教材2.3图象法原型） 8 选择 3 恒成立问题（判别式法） 直接应用 基础 原创 9 填空 3 解一元二次不等式（化正系数） 直接应用 基础 原创 10 填空 3 解一元二次不等式（解集含分数） 直接应用 基础 教材习题同型改编 11 填空 3 已知一不等式解集反求另一不等式解集 逆向思维 中档 原创 12 填空 3 解集为空集求参数（判别式） 简单推理 基础 原创 13 填空 3 分式不等式的解集（数轴表示） 直观想象 中档 原创（教材数轴表示同型） 14 填空 3 恒成立求参数（a＜0且Δ＜0） 综合推理 较难 2024全国高考恒成立题型同型改编 15 解答 8 解三个二次不等式（Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0） 分类讨论 基础 教材2.3例3同型改编 16 解答 8 已知解集求参数并解新不等式 推理计算 基础 2025全国高考求参题型同型改编 17 解答 10 含参数一元二次不等式（分类讨论） 分类讨论 中档 2024/2025全国高考含参题型同型改编 18 解答 10 恒成立问题（R上与闭区间上） 数形结合 中档 原创（教材练习延伸） 19 解答 10 一元二次不等式的实际应用（面积问题） 建模应用 中档 教材2.3引言围栏问题同型改编（改数据） 20 解答 12 二次函数图象综合（解不等式、集合、含参） 综合探究 较难 原创（教材2.3探究延伸） 难度配比（按分值统计）：基础题约49分、中档题约36分、较难题约15分（约1.5成）。本节为单一知识点（二次函数与一元二次方程、不等式）的章节练习卷，解题方法集中于三个二次关系的转化、一元二次不等式的解法与含参讨论、恒成立问题，中档题比重略高于整卷7∶2∶1的常规结构，较难题约占1.5成，总体梯度合理，符合章节练习卷特点，并与云南省高考复习“基础为主、注重区分”的命题导向一致。 说明：本卷依据人教A版（2019新教材）必修第一册第二章2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》命题，知识范围限一元二次不等式的解法（图象法）、三个二次的关系、含参数一元二次不等式、恒成立问题及一元二次不等式的简单实际应用；分式不等式仅考查化为整式不等式的转化，不涉及2.1不等式的性质、2.2基本不等式及高次不等式等延伸内容。全部题目为原创或依据2024—2025年全国高考真题同型改编（不复制原题数据与网络现题），考查方向与当前教学进度一致。 1 学科网（北京）股份有限公司 $