第二章 分式与分式方程 单元复习讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第二章 分式与分式方程 单元复习讲义 一、复习目标 1. 理解分式的概念，能区分整式与分式；能确定分式有意义、无意义及分式值为零的条件。 2. 理解并掌握分式的基本性质，能进行约分，知道最简分式的概念，能正确运用符号法则。 3. 掌握分式的乘除、乘方、加减法则及混合运算顺序，能熟练进行分式四则运算，将结果化为最简分式或整式。 4. 掌握解分式方程的一般步骤，理解增根产生的原因，会检验并正确舍去增根。 5. 能分析实际问题中的等量关系，列分式方程解决问题，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。 6. 经历”类比分数研究分式”的过程，感悟从特殊到一般、从数到式的数学思想方法，发展运算能力、推理能力与模型观念。 二、复习重难点 （一）复习重点 1. 分式的基本性质、约分与最简分式。 2. 分式四则运算的法则与混合运算顺序。 3. 解分式方程的步骤与检验。 （二）复习难点 1. 异分母分式的通分与最简公分母的确定（分母为多项式时先因式分解）。 2. 增根的产生原因、检验方法及含参问题的讨论。 3. 从实际问题中抽象等量关系并列出分式方程。 三、知识梳理 （一）分式的概念 1. 分式的定义：如果 、 表示两个整式，并且 中含有字母，那么式子 叫做分式。分式 中， 叫做分子， 叫做分母。 2. 分式与整式的区别：分母中是否含有字母。 是常数，不是字母 3. 分式有意义的条件：分母不等于零，即 。 分式无意义的条件：分母等于零，即 4. 分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即 且 。 （二）分式的基本性质 1. 基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即 运用性质时，必须注意所乘（或除以）的整式不能为零，这是与分数的基本性质最大的不同之处。 2. 约分：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。约分的步骤：①分子、分母因式分解；②确定公因式；③约去公因式。约分的结果必须是最简分式或整式。 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。 4. 符号法则： 记忆口诀：三变二，值不变（分子、分母、分式本身的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变）。 （三）分式的运算 1. 分式的乘除法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 2. 分式的乘方法则： 分式乘方，分子、分母分别乘方。负分式乘方：偶次幂得正，奇次幂得负。 3. 同分母分式的加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。当分子是多项式时，要把分子看成一个整体加上括号，再去括号运算。 4. 异分母分式的加减法则： 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则进行计算。 5. 通分与最简公分母：根据分式的基本性质，把异分母分式化为同分母分式的过程叫做通分。异分母分式通分时，通常取最简公分母作为共同分母。 找最简公分母的方法： ①系数：取各分母系数的最小公倍数； ②字母：把各分母中出现的字母都取到； ③指数：相同字母取指数最高的幂； ④分母是多项式的，先因式分解，再按上述方法确定。 6. 分式的混合运算： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。 （2）运算中遇到整式，把整式看成分母为 1 的分式参与运算。 （3）运算结果要化为最简分式或整式。 （四）分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判断一个方程是不是分式方程，一看分母中是否含有未知数，二看它是不是方程。 2. 解分式方程的一般步骤： ①找最简公分母； ②方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程 ③解这个整式方程； ④检验。 3. 增根：在方程变形中产生的、不适合原方程的根叫做原方程的增根。 产生增根的原因是方程两边乘了一个使分母为零的整式。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 简便检验法：将所得根代入最简公分母（或原分式分母），看是否为 0；若为 0，则是增根，应舍去，此时原方程无解。 4. 列分式方程解应用题的一般步骤： ①审题，找出等量关系；②设未知数；③列分式方程；④解方程；⑤检验（先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义）；⑥作答。 5. 本章常见的实际应用模型： 行程问题（含顺水、逆水航行），工程问题（工作总量、工作效率、工作时间），销售利润问题（利润、售价、成本、利润率），浓度与配比问题，面积与产量问题等。 四、题型精讲 【题型1】分式概念辨析 【例1】.下列各式中，是分式的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【变式1-1】.下列各式中，是分式的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【变式1-2】.在 、、、、 中，分式的个数是（　） A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个 【变式1-3】.下列说法正确的是（　） A. 含有字母的式子一定是分式　　B. 分母中含有字母的式子是分式 C. 分数一定是分式　　 D. 是整式 【题型2】分式有意义、值为零与正负条件 【例2】.若分式 有意义，则的取值范围是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【变式2-1】.分式 无意义的条件是______。 【变式2-2】.若分式 的值为 0，则 x 的值为（　）　 A. 　B. 　C. 　D. 【变式2-3】.若 ，则 x 的值为______。 【变式2-4】.若分式 不论 x 取何实数总有意义，则 m 的取值范围是（　） A. 　B. 　C. 　D. 【变式2-5】.当 x ______ 时，分式 的值为正；当 x ______ 时，分式 的值为负。 【题型3】约分与最简分式 【例3】.下列四个分式中，为最简分式的是（　） A. 　　B. C. 　　D. 【变式3-1】.分式 与 的最简公分母是______。 【变式3-2】.下列式子从左到右的变形，正确的是（　） A. 　B. 　C. 　D. 【变式3-3】.下列式子从左到右的变形，正确的是（　） A. B. C. D. 【变式3-4】.约分：（1）　　（2） 【变式3-5】.如果把分式 中的 x 和 y 都扩大为原来的 2 倍，那么分式的值是（　） A. 不变　　B. 缩小为原来的 　　C. 扩大为原来的 2 倍　　D. 扩大为原来的 4 倍 【题型4】分式的乘除与乘方 【例4】.化简 的结果是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【变式4-1】.计算： = ______。 【变式4-2】.化简代数式 ，结果为（　） A. 　B. 　C. 　D. 【变式4-3】.计算： = ______。 【变式4-4】.计算： 【题型5】分式的加减法 【例5】.计算： = ______。 【变式5-1】.化简 的结果是（　） A. 　B. 　C. 　D. 【变式5-2】.化简 的结果是（　） A. 　B. 　C. 　D. 【变式5-3】.通分：（1） 与 ；（2） 与 【变式5-4】.化简： 【题型6】分式混合运算与化简求值 【例6】.先化简，再求值：，其中 。 【变式6-1】.先化简 ，然后从 中选取一个合适的数作为 x 的值代入求值。 【变式6-2】.先化简 ，并从 四个数中选择一个适合的数作为 x 的值代入求值。 【变式6-3】.先化简，再求值：，其中 。 【题型7】解分式方程 【例7】.方程 的解为______。 【变式7-1】.解方程： 【变式7-2】.解方程： 【变式7-3】.若关于 x 的分式方程 （m 为常数）有增根，则增根是______。 【变式7-4】.解分式方程： 【题型8】含参分式方程 【例8】.关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是（　） A. 　B. 　C. 　D. 【变式8-1】.关于 x 的分式方程 的解为正数，则 m 的取值范围是______。 【变式8-2】.若分式方程 的解为负数，则 a 的取值范围是（　） A. 且 　B. 且 　C. 且 　D. 且 【变式8-3】.关于 x 的方程 的解为非负数，则 m 的取值范围是______。 【变式8-4】.方程 无解，则 m 的值为______。 【题型9】分式方程的应用 【例9】.某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用 480 元购买足球的数量和用 390 元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多 15 元。求足球和排球的单价各是多少元？ 【变式9-1】.为提高生产效率，某工厂将生产线升级改造，改造后比改造前每天多生产 100 件，改造后生产 600 件的时间与改造前生产 400 件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　） A. 200　B. 300　C. 400　D. 500 【变式9-2】.一艘货轮在静水中的航速为 40 km/h，它以该航速沿江顺流航行 120 km 所用时间，与沿江逆流航行 80 km 所用时间相等，则江水的流速为（　） A. 5 km/h　B. 6 km/h　C. 7 km/h　D. 8 km/h 【变式9-3】.端午节前夕，某校组织包粽子活动。已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包 20 个粽子，甲组包 150 个粽子所用时间与乙组包 120 个所用时间相同。求甲、乙两组平均每小时各包多少个粽子。 【变式9-4】.某旅行社组织游客从 A 地到 B 地的航天科技馆参观，已知 A 地到 B 地路程为 300 千米，乘坐 A 型车比乘坐 B 型车少用 2 小时，A 型车的平均速度是 B 型车的 3 倍，求 B 型车的平均速度。 【题型10】整体思想 【例10】.已知 ，求 的值。 【变式10-1】.已知 ，求 的值。 【变式10-2】.已知 ，则 的值为______。 【变式10-3】.若 ，则 的值为______。 【变式10-4】.已知 ，则 的值为______。 【题型11】新定义题 【例11】.我们学过 。 若关于 x 的方程满足 （a、b 为非零整数），且两个根分别为 x₁=a、x₂=b，称其为“十字方程”。 如 ，两根为 1、2。 请解答： （1）“十字方程” ，两根分别为多少？ （2）“十字方程” 两根分别为 a、b，求 ； （3）关于 x 的“十字方程” 的两根为。 【变式11-1】.阅读材料：分子比分母小的分式叫“真分式”，分子次数大于或等于分母次数的叫“假分式”，假分式可化为“带分式”，如 。 根据材料回答： （1）分式 是真分式还是假分式？ （2）假分式 可化为带分式形式是什么？ （3）如果分式 的值为整数，则满足条件的整数 x 的值有多少个？ 【变式11-2】.已知 （a、b、c 互不相等），求 x+y+z 的值 依照上述方法解答：已知 ，其中 ，求 的值。 参考答案与解析 【题型1】分式概念辨析 【例1】答案与解析： A：π 是常数， 分母不含字母 → 整式； C：分母是常数 4 → 整式；D：多项式 → 整式； B：分母 中含字母 x → 分式。 判据回顾：只看原式分母是否含字母。 【变式1-1】答案：B：只有的分母含字母 x。 【变式1-2】答案：C：、、三个是分式； 与 分母是常数（π 是常数），是整式。 【变式1-3】答案：B：A 反例 ；C 分数是整式；D 的 分母含 x 是分式。 【题型2】分式有意义、值为零与正负条件 【例2】答案与解析： 分式有意义 ⇔ 分母不为零。 令 ，解得 。 易错提醒：B 选项 恰是使分母为零的值，对应“无意义”，不要选反。 【变式2-1】答案：x=-2（分母 x+2=0 即无意义）。 【变式2-2】答案：A：x²-1=0 得 x=±1，代回分母 x-1 检验，x=1 使分母为零舍去，取 x=-1。 【变式2-3】答案：x=-2 或 x=-1。分子 (x+2)(x+1)=0 得 x=-2 或 x=-1，代回分母 x-1 均不为零，两个值都满足。 【变式2-4】答案：C：配方 (x-3)²+(m-9)，要恒不为零需 m-9>0 即 m>9。 【变式2-5】答案：x<5（-x+5>0）；任意实数（x²+1 恒正，分子 -4 恒负）。 提示：值为正看分子分母同号；值为负看异号。注意分母恒正或恒负的情形。 【题型3】约分与最简分式 【例3】答案与解析： B：，可约分； C：；D：，可约分； A 的分子 无法分解，与分母无公因式，是最简分式。 方法：先分解因式，再看有无公因式可约。 【变式3-1】答案：6a²b³（系数 2 与 3 的最小公倍数 6，a 取 a²、b 取 b³）。 【变式3-2】答案：C：只有同乘 m 符合基本性质；A 乘方、B 同减、D 同加都错。 【变式3-3】答案：C：符合符号法则；A、B、D 均不成立。 【变式3-4】答案：（1）；（2），先分解因式再约分。 【变式3-5】答案：C：新分式为 3·==2×原式，扩大 2 倍。 提示：把 x、y 都换成 2x、2y 代入原式，再化简比较。 【题型4】分式的乘除与乘方 【例4】答案与解析： 乘方把分子、分母分别乘方：。 负数偶次幂为正，负号消失。 易错提醒：若指数是 3，则结果为 ，负号保留（奇次幂为负）。 【变式4-1】答案：。约去公因式 m 与 n，即得。 【变式4-2】答案：C：a²-1=(a+1)(a-1)，2a+2=2(a+1)，除变乘倒后约分得 2a+2。 【变式4-3】答案：。注意 9-x²=-(x+3)(x-3)，符号要提出来。 【变式4-4】答案：。四个分式统一变乘法，逐个分解因式再约分。 提示： 提示：① 分子分母是多项式：先分解因式，再约分。 提示：② 出现除法：除式分子分母颠倒，除变乘。 提示：③ 注意 这类“括号前带负号”的变形。 提示：④ 三个分式连乘除：统一变乘法后整体约分。 【题型5】分式的加减法 【例5】答案与解析： 分母同为 ，分子相减： 。 关键两步：分子多项式整体相减；约去公因式 。 【变式5-1】答案：A：同分母相减，m²-m 分解为 m(m-1)，约分得 m。 【变式5-2】答案：D：，分子合并得 (a-b)²，约分得 a-b。 【变式5-3】答案：（1）最简公分母 a²b²，化为 与 ；（2）最简公分母 x(x+y)(x-y)，即 x²+xy 与 x²-y² 的公分母。 【变式5-4】答案：。括号内通分得 ，除变乘后约分。 提示： 提示：① 分母互为相反数（b−a 与 a−b），先用符号法则转化。 提示：② 通分找最简公分母：先对分母分解因式。 提示：③ 括号内先通分合并，再除变乘。 【题型6】分式混合运算与化简求值 【例6】答案与解析： 分解因式：，。 除变乘：。 当 时：。 注意：x=3 使原式分母、除式均非零，可以代入。 【变式6-1】答案：化简得 ，只能取 x=-1，值为 。 【变式6-2】答案：化简得 ，只能取 x=2，值为 。 【变式6-3】答案：化简得 ，当 a=-2 时值为 。 提示：选值前先看原式——使任何分母为零、使除式为零的数都不能取。 【题型7】解分式方程 【例7】答案与解析： 最简公分母：，两边同乘得： ，解得 。 检验：，是原方程的解。 书写规范：检验步骤必须写出，不能省略。 【变式7-1】答案：x=。隐含条件 x≠1 且 x≠-2，去分母后解得并检验。 【变式7-2】答案：无解。注意 3-x=-(x-3)，两边同乘 (x+3)(x-3) 解得 x=3，检验公分母为零，是增根。 【变式7-3】答案：x=4。增根只与最简公分母 x-4=0 有关。 【变式7-4】答案：无解。4-x=-(x-4)，解得 x=4 使分母为零，是增根。 提示： 提示：① 最简公分母先分解因式；分母相反数先转化（如 ）。 提示：② 增根 = 使最简公分母为零的 x 值，与参数 m 无关，直接令公分母为零即可。 【题型8】含参分式方程 【例8】答案与解析： 转化：，两边同乘 ： 。 有增根即 ，代入得 ，故 。 关键：先定增根（公分母零点），再代入求参数。 【变式8-1】答案：m<2 且 m≠0。解出 x=，正数得 m<2，又 2x-1≠0 得 m≠0。 【变式8-2】答案：A：去分母得 a=x-1，即 x=a+1；解为负数 a+1<0 得 a<-1；又 x≠-2 即 a+1≠-2，得 a≠-3。故 a<-1 且 a≠-3，选 A。 【变式8-3】答案：m≤-1 且 m≠-3。x=-m-1，非负得 m≤-1，且 x≠2 得 m≠-3。 【变式8-4】答案：m=-1。转化后 x=，无解即增根 x=2，代入得 m=-1。 提示：① 解出 x（含参数）→ 列不等式 → 排除使分母为零的值。 提示：② “无解”要把增根代入求解，注意 的转化。 【题型9】分式方程的应用 【例9】答案与解析： 设排球每个 元，则足球每个 元。 由“数量相同”列方程：。 解得 ，检验：不是增根，且符合实际。 足球单价： 元。 【变式9-1】答案：B（300 件）。设改造后每天 x 件，= ，解得 x=300。 【变式9-2】答案：D（8 ）。设流速 v，= ，解得 v=8。 【变式9-3】答案：甲 100 个、乙 80 个。设乙每小时 x 个，=，解得 x=80。 【变式9-4】答案：100 。设 B 型 x ，+2=，解得 x=100。 【题型10】整体思想 【例10】答案与解析： 设 ，则 。 代入：。 方法：设 k 后字母消失，只剩 k 的代数运算，k 最终约掉。 【变式10-1】答案：6：通分得 x-y=-4xy，代入后约分得 6。 【变式10-2】答案：：x+y=2xy，代入得 =。 【变式10-3】答案：8：同除 x 得 x+=3，平方得 x²+=7，所求 x²+1+=8。 【变式10-4】答案：：取倒数得 x+=3，所求取倒数为 (x+)²-3=6，故为 。 【题型11】新定义题 【例11】答案与解析： （1）ab=8、a+b=−6，拆得两根为 −2、−4。 （2）ab=−2、a+b=−1，。 （3）换元 y=x−3：，两根 y=n、n+1，故两根之差为 1。 关键：把方程改写成 x+=a+b 的标准形，套定义即可。 【变式11-1】答案：（1）真分式（分子次数小于分母）；（2）1+；（3）4 个（x+4 为 ±1、±2）。 【变式11-2】答案：。设比值为 k，三式相加得 2(x+y+z)=k(x+y+z)，k=2。 由 x+y=2z 得 x+y-z=z、x+y+z=3z，比值 。 学科网（北京）股份有限公司 $