2.1.1认识一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 2.1.1认识一元二次方程 专项练习 ## 知识点梳理 1. **一元二次方程定义**：只含有**一个未知数**\(1，0\)并且未知数的**最高次数是2**的**整式方程**\(1，0\)叫做一元二次方程。 2. **一般形式**：$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$a\(b\(x、y\)c\)b\(b\(x、y\)c\)c$为常数\(1，0\)$\boldsymbol{a≠0}$） - $ax^2$：二次项\(1，0\)$a$是二次项系数； - $bx$：一次项\(1，0\)$b$是一次项系数； - $c$：常数项。 > 重点：**$a≠0$**\(1，0\)如果$\(a=0\)$\(1，0\)方程就变成一次方程；$b\(b\(x、y\)c\)c$可以等于0。 3. **方程的根**：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值\(1，0\)叫做一元二次方程的根。 4. 易错提醒 - 必须是**整式方程**\(1，0\)分母含有未知数不是一元二次方程； - 整理成一般形式后\(1，0\)再判断次数； - 判断系数时\(1，0\)要先化为标准形式\(1，0\)注意符号。 ## 一\(b\(x、y\)c\)选择题（每题4分\(1，0\)共20分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A.$\(x+2y=1\)$ B.$x^2-5=0$ C.$\dfrac1{x^2}+\(x=3\)$ D.$x^3+x^2=1$ 2. 将方程$3x^2-5=4x$化为一般形式\(1，0\)二次项系数\(b\(x、y\)c\)一次项系数\(b\(x、y\)c\)常数项依次是（） A.$3\(1，0\)-4\(1，0\)-5$ B.$3\(1，0\)4\(1，0\)-5$ C.$3\(1，0\)-5\(1，0\)4$ D.$-3\(1，0\)-4\(1，0\)5$ 3. 关于$x$的方程$(m-2)x^2+3x-1=0$是一元二次方程\(1，0\)则（） A.$\(\(m=\)2\)$ B.$m≠2$ C.$\(m>2\)$ D.$\(m<2\)$ 4. 若$\(x=2\)$是方程$x^2-ax+2=0$的一个根\(1，0\)则$a$的值是（） A.$3$ B.$-3$ C.$1$ D.$-1$ 5. 下列关于$x$的方程\(1，0\)一定是一元二次方程的是（） A.$ax^2+bx+c=0$ B.$x^2+2x=x^2-1$ C.$(x+1)^2=5$ D.$x^2+\sqrt{x}=0$ ## 二\(b\(x、y\)c\)填空题（每题4分\(1，0\)共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是________（$a≠0$）。 2. 方程$x^2-6x=0$的二次项系数是____\(1，0\)常数项是____。 3. 若$(k+3)x^2-2x+1=0$是一元二次方程\(1，0\)则$k$的取值范围为________。 4. 已知$\(x=1\)$是方程$x^2+mx-3=0$的根\(1，0\)则$\(m=\)$________。 5. 把方程$(x-2)^2=3$化成一般形式为________________。 ## 三\(b\(x、y\)c\)解答题（共60分） 1.（18分）判断下面哪些是一元二次方程\(1，0\)说明理由。 (1)$2x^2=9$；(2)$5x^2-6y=0$；(3)$\dfrac1{x^2}-2x=0$ 2.（20分）把下列方程化成一元二次方程的一般形式\(1，0\)并写出二次项系数\(b\(x、y\)c\)一次项系数\(b\(x、y\)c\)常数项。 （1）$4x^2=1-5x$ （2）$(x+3)(x-2)=6$ 3.（22分）已知$\(x=3\)$是一元二次方程$x^2-2x+k=0$的一个根。 （1）求$k$的值；（2）判断$x=-1$是不是这个方程的根。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：A二元；C分母含未知数\(1，0\)不是整式方程；D最高次数3次。 2.A 解析：整理$3x^2-4x-5=0$\(1，0\)二次项系数3\(1，0\)一次项系数$-4$\(1，0\)常数项$-5$。 3.B 解析：一元二次方程二次项系数不能为0\(1，0\)$m-2≠0$\(1，0\)$m≠2$。 4.A 解析：代入$\(x=2\)$\(1，0\)$4-2a+2=0$\(1，0\)解得$\(a=3\)$。 5.C 解析：A缺少$a≠0$；B化简后二次项抵消\(1，0\)是一次方程；D含根号下未知数\(1，0\)不是整式方程。 ### 填空题 1.$ax^2+bx+c=0$ 2.$1\(1，0\)0$ 3.$k≠-3$ 4.$2$ 5.$x^2-4x+1=0$ ### 解答题 1.解： （1）$2x^2=9$是一元二次方程\(1，0\)只含一个未知数\(1，0\)未知数最高次数2\(1，0\)整式方程。 （2）$5x^2-6y=0$不是\(1，0\)含有$x\(b\(x、y\)c\)y$两个未知数。 （3）$\dfrac1{x^2}-2x=0$不是\(1，0\)分母含有未知数\(1，0\)不是整式方程。 2.解： （1）移项得：$\boldsymbol{4x^2+5x-1=0}$ 二次项系数：$4$\(1，0\)一次项系数：$5$\(1，0\)常数项：$-1$。 （2）展开：$x^2+x-6=6$\(1，0\)整理得$\boldsymbol{x^2+x-12=0}$ 二次项系数：$1$\(1，0\)一次项系数：$1$\(1，0\)常数项：$-12$。 3.解： （1）将$\(x=3\)$代入方程： $3^2-2\times3+k=0$\(1，0\)$9-6+k=0$\(1，0\)解得$k=-3$。 方程为$x^2-2x-3=0$。 （2）把$x=-1$代入左边：$(-1)^2-2\times(-1)-3=1+2-3=0$\(1，0\)左边=右边。 ∴$x=-1$是方程的根。 ## 易错点总结 1. 判断一元二次方程\(1，0\)**先化为整式\(1，0\)再看化简后最高次数\(1，0\)二次项系数不为0**。 2. 写一般形式\(1，0\)移项时注意变号；系数包含前面的正负号。 3. 检验根：把数值代入方程左右两边\(1，0\)相等即为根。 下一节：**2.1.2一元二次方程的近似解**\(1，0\)继续写吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 2.1.1认识一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二章 一元二次方程 素养目标 1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是否为一元二次方程;（重点） 2.能够将一个一元二次方程化为一般形式，并能指出二次项系数、一次项系数和常数项; 3.能根据简单的实际问题列一元二次方程.(难点） 素养目标 在一个方程中，只含有______________，且未知数的指数都是______，这样的方程叫做一元一次方程． 1.什么是一元一次方程？ 一个未知数 1 2.一元一次方程的一般形式是什么？ 一元一次方程的一般形式是：ax＋b＝0（a，b是常数，a 0）． ≠ 情境导入 03 新知探究 1. 我们学过的方程有哪些？ 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？ （1）5x+3 = 8 （2）x + y = 8 （3） 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 03 新知探究 探究1 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 03 新知探究 8 m 5 m 已知量： 未知量： 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 你能找出地毯问题中的相等关系吗？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 03 新知探究 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m ， 那么地毯的长为 m， 宽为　 m， 根据题意，可得方程： （ 8－2x ） （ 5－2x ） (8－2x )(5－2x ) = 18 03 新知探究 你能求出这个宽度吗？ (8－2x )(5－2x ) = 18 40 - 16x -10x + 4x2 = 18 2x2 -13x +11 = 0 （去括号） （移项、合并同类项） 知识点1 一元二次方程的定义 1.[西安高新区模拟] 下列是一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 10 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.［教材P35“习题2.1”第2题变式］ 填表： 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数项 _________________ ___ ____ ____ _____________ ____ ___ ____ _____________ ___ ____ ___ ________________ ___ ___ ____ 1 10 10 0 5 0 1 7 返回 举一反三 11 03 新知探究 连续整数问题 观察下面等式： 102＋112＋122 ＝132＋142 　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 根据题意，可得方程： x＋1 x＋2 x＋3 x＋4 探究2 如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_____，_____，_______， _______。 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 03 新知探究 x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2 去括号、移项、合并同类项 x2 - 8x -20 = 0 03 新知讲解 探究3 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直 距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，那么梯子底端滑动多少米? 你能计算出滑动前梯子底端到墙的距离吗? =6(m) 如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程? (x+6)²+7²=10² 1 m x m 10 m 8 m x²+12x-15=0 03 新知讲解 由上面三个问题，得到三个方程： (8-2x)(5-2x)=18， x²+(x+1)²+(x+2)²=(x+3)²+(x+4)²， (x+6)²+7²=10²。 这三个方程有什么共同特点? ①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 2x²-13x+11=0 x²-8x-20=0 x²+12x-15=0 03 新知讲解 提炼概念 我们把ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0。 即为bx+c=0，不是一元二次方程， 所以规定a≠0。 思考：为什么规定a≠0？ 新课探究 例1 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 x²=-2x+6； 4-3x²=0； (4x+1)(2x-3)=-3； (x-1)²+3x=4x²。 解： 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x²+2x-6=0 1 2 -6 3x²-4=0 3 0 -4 4x²-5x=0 4 -5 0 3x²-x-1=0 3 -1 -1 知识点3 建立一元二次方程模型 4.某小区有一块正方形的空地，从这块空地上划出部 分区域进行绿化（图中阴影部分），原空地一边减 少了，另一边减少了 ，剩余空地的面积为 ，求原正方形空地的边长。设原正方形空地的 边长为 ，则可列方程为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 5.两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数。设较小的奇数为 ，则可列 方程为_______________。 返回 举一反三 19 6.若关于的一元二次方程 化为一般形式后 的二次项系数为1，一次项系数为，则 的值为( ) C A.1 B.3 C. D.0 返回 举一反三 20 7. ［教材P36“习题2.1”第6题变式］ 《九章算术》中记载： “今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大 意是：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈， 问它的高与宽各是多少？设矩形门的宽为 尺，则依题意所列方程为 _____________________（1丈尺，1尺 寸）。 返回 举一反三 21 8. 某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题： （1）当 _______时，方程为一元一次方程； （2）当 ___时，方程为一元二次方程。 或0 1 返回 举一反三 22 9.根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成 一般形式：如图，用 长的围栏围成总面积 为 的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的 一面靠墙（墙足够长），求 的长。 解：设的长为 。 由题意，得 ， 化成一般形式为 。 返回 举一反三 23 我们把ax2+bx +c = 0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式. 认识一元二次方程-第1课时 一元二次方程的定义 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 其中，ax2，bx，c分别 称为二次项、一次项和常数项，a，b分别 称为二次项系数和一次项系数. 列一元二次方程的基本思路 (1)找等量关系； (2)设未知数； (3)列出方程． 课堂小结 谢谢观看 THANKS $