精品解析：福建厦门沧江高级中学2026-2027学年高三上学期9月考试数学试题

厦门沧江高级中学2026—2027学年高三上学期9月考试数学试题 本试卷共4页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】扇形的圆心角，其弧长，由弧度制定义，该扇形的半径， 所以该扇形的面积. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数都是上的减函数， 因此函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在的区间为. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 5. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数是定义在上的偶函数，对任意的都有， 则有. 又函数满足对任意的都有，有. 当时，，故. 6. 已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数运算性质结合对数函数单调性可判断大小关系. 【详解】注意到，从而， ，又在上单调递增， ，则. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，，故是奇函数， 所以函数的图象关于原点中心对称，当时，，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减； A选项中图像关于原点中心对称且在先增后减，符合要求，A正确； B选项中图像关于原点中心对称，但是在先单调递减后单调递增，不符合要求，B错误； C选项中图像在先单调递增再单调递减，但是关于轴对称，不符合要求，C错误； D选项中图像关于原点中心对称，但是在单调递增，不符合要求，D错误； 8. 函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得恒成立，构造函数，求导根据函数单调性可得的最大值即可得答案. 【详解】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】方法一：对于A，由正弦二倍角公式得，故A错误； 对于B，由两角和的余弦公式得，故B正确； 对于C，由两角和的正切公式得，其中，故C错误； 对于D，由余弦二倍角公式得，故D正确． 方法二：对于A，，且，故，A错误； 对于B，由积化和差公式得，，两式相减得，故B正确； 对于C，由得，故原式左边，故C错误； 对于D，由半角公式得，故，故D正确． 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 原命题“，”的否定为“，”，正确. 选项B：指数函数满足，令即，代入得， 故函数恒过定点，不是，错误. 选项C：是偶函数，故，， 又在上为减函数，且，因此，正确. 选项D：因为为增函数，且对称轴为，且要满足， 即或，所以函数递增区间为，错误. 11. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 对任意的，都有 D. 当时，的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数图象，结合图象分析可得的解析式，根据奇偶性的定义及图象对选项逐一分析即可. 【详解】 画出函数的图象， 对于：，所以，故正确； 对于：由图可知，函数的图象关于轴对称， 所以任意的，都有，故正确；错误； 对于：设与的交点横坐标为，则， 在和上单调递增，在上单调递减， 由的对称性可知. 所以当时，的最大值为1，故正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据对数和指数的运算法则计算即可. 【详解】 故答案为： 13. 设为第二象限角.若，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由二倍角公式得到关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 因为为第二象限角，所以. 故答案为： 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由有两个不同的极值点，转变成直线与有两个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为有两个不同的极值点， 所以有两个不同的根，即有两个不同的根， 即直线与有两个不同的交点， ，令，， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 如图所示： 所以，所以. 解得：. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于将题意转化为直线与有两个不同的交点，对求导，得出其单调性和最值，画出的图象，数形结合即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． （1）求，； （2）若为第四象限角，且，求． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【小问1详解】 因为角的终边经过点，则， 可得，， 所以，. 【小问2详解】 若为第四象限角，且，则， 所以. 16. 已知在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）． （2）单调递增区间为、，单调递减区间为． （3）在上的最大值为，在或时取得；最小值为，在时取得． 【解析】 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出，再检验导数是否变号． （2）根据导数的正负确定函数的单调区间． （3）方法一：比较闭区间端点和极值点的函数值．方法二：由候选值作差并因式分解，确定函数在闭区间上的上、下界． 【小问1详解】 ．因在处取得极值，故，解得． 此时，在两侧由正变负，确实取得极值． 【小问2详解】 由小问1知，当或时，； 当时，．故的单调递增区间为、，单调递减区间为． 【小问3详解】 方法一：由小问2知，内两个极值点的横坐标为和． 计算得，，，，所以最大值为，在或时取得； 最小值为，在时取得． 方法二：由得，计算得，，． 当时，，等号在或时成立； 又，其中，等号仅在时成立． 故最大值为，最小值为． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得. （2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，得，又， 则，， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知，而，则， 因此， 又，所以. 18. 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 【答案】（1）； （2）服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数关系. （2）分段求解不等式即可得解. 【小问1详解】 当时，，此时函数图象过点，则，解得； 当时，设函数解析式为，依题意，，解得， 所以所求函数关系式为. 【小问2详解】 由，即，解得，而，则， 由，解得，, 所以服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 19. 已知函数，． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值． 【答案】（1） （2）时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）代入后,求导即得切线斜率. （2）通分后分子恰可因式分解为，按相对两根,的位置分四类讨论. （3）先化简:与抵消,;注意时函数在开区间上无最小值,只有时有最小值,令其为解出. 【小问1详解】 定义域为，且 . 时,,,,. 切线斜率为,故切线方程为. 【小问2详解】 分母恒正,的符号由决定,按与,的大小分四类： ①，在上,,;在上. 故在上单调递减,在上单调递增. ②，在,；在上;在上. 故在,上单调递增,在上单调递减. ③,（仅处取等）,故在单调递增. ④，在,;在上;在上. 在,上单调递增,在单调递减. 综上所述：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 设（），则 . ①时，,在单调递增,但无最小值； 时，,;时,恒成立却取不到.两种情形均舍去. ②时，令得,当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为, 令得,. 验证:时,,在处取得最小值，成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门沧江高级中学2026—2027学年高三上学期9月考试数学试题 本试卷共4页．满分150分． 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 6. 已知，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 11. 设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 对任意的，都有 D. 当时，的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 13. 设为第二象限角.若，则______. 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点． （1）求，； （2）若为第四象限角，且，求． 16. 已知在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 18. 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 19. 已知函数，． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $