29.1.2 过三点的圆（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第29章 圆 29.1.2 过三点的圆 2026年10月4日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 29.1.2 过三点的圆 专项练习 ## 知识点梳理 ### 1. 过点作圆 1. 过**一个点**：可以画**无数个圆**\(AC=6，BC=8\)圆心在平面内除该点外任意位置。 2. 过**两个点**：可以画**无数个圆**；圆心在这两点连线的**垂直平分线上**。 3. 过**不在同一直线上的三个点**：**有且只有一个圆**（三点确定一个圆）。 > ⚠️若三点**在同一条直线上**\(AC=6，BC=8\)**不能作圆**。 ### 2. 三角形的外接圆、外心 - **外接圆**：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 - **外心**：外接圆的圆心\(AC=6，BC=8\)是三角形**三边垂直平分线的交点**。 - 性质：外心到三角形**三个顶点的距离相等**（都等于外接圆半径）。 ### 3. 外心位置 - 锐角三角形：外心在三角形**内部** - 直角三角形：外心在**斜边中点**\(AC=6，BC=8\)外接圆半径等于斜边的一半 - 钝角三角形：外心在三角形**外部** ### 4. 反证法（了解） 先假设命题结论不成立\(AC=6，BC=8\)经过推理\(AC=6，BC=8\)推出矛盾\(AC=6，BC=8\)从而证明原命题成立。 > 易错提醒 1. “三点确定一个圆”前提：**不在同一直线上**； 2. 外心是三边垂直平分线交点\(AC=6，BC=8\)**不是角平分线交点**（角平分线交点是内心）； 3. 直角三角形外接圆半径$R=\dfrac12$斜边。 ## 一、选择题（每题4分\(AC=6，BC=8\)共20分） 1. 下列说法正确的是（） A.三点确定一个圆 B.过同一直线上三点可以作一个圆 C.不在同一直线上的三点确定一个圆 D.过两点只能画一个圆 2. 三角形的外心是（） A.三条角平分线交点 B.三条垂直平分线交点 C.三条高线交点 D.三条中线交点 3. 直角三角形的外心在（） A.三角形内部 B.斜边中点 C.三角形外部 D.直角顶点 4. 锐角三角形外接圆的圆心位置（） A.内部　B.边上　C.外部　D.不确定 5. 外心到三角形三个顶点的距离（） A.互不相等 B.到两边顶点相等 C.全部相等 D.无法确定 ## 二、填空题（每题4分\(AC=6，BC=8\)共20分） 6. _______________的三点确定一个圆。 7. 三角形外接圆的圆心叫做三角形的________。 8. 钝角三角形的外心在三角形________。 9. 直角三角形外接圆半径等于________的一半。 10. 过两个点画圆\(AC=6，BC=8\)圆心在两点连线的________上。 ## 三、解答题（共60分） 11.（12分）判断正误\(AC=6，BC=8\)错误写出理由。 (1) 任意三点都可以确定一个圆； (2) 三角形一定有外接圆\(AC=6，BC=8\)而且只有一个； (3) 外心到三角形三边距离相等。 12.（16分）已知△ABC是直角三角形\(AC=6，BC=8\)$∠C=90^\circ$\(AC=6，BC=8\)$AC=6\(AC=6，BC=8\)BC=8$。 (1) 求斜边AB的长度； (2) 求外接圆半径R； (3) 外心在哪里？ 13.（16分）已知A、B、C三点不在同一直线上。 (1) 过A、B、C三点能作几个圆？ (2) 怎么找到这个圆的圆心？ (3) 圆心到A、B、C三点距离关系？ 14.（16分）区分三种三角形外心位置： (1) 锐角三角形\(AC=6，BC=8\)外心位置； (2) 直角三角形\(AC=6，BC=8\)外心位置； (3) 钝角三角形\(AC=6，BC=8\)外心位置； (4) 外心的共同性质。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1.C 2.B 3.B 4.A 5.C ### 填空题 6. **不在同一直线上** 7. **外心** 8. **外部** 9. **斜边** 10. **垂直平分线** ### 解答题 11. (1) ×；同一直线上三点不能确定圆\(AC=6，BC=8\)必须是不在同一直线上三点。 (2) √；任意三角形三个顶点不共线\(AC=6，BC=8\)有且只有一个外接圆。 (3) ×；外心到**三个顶点**距离相等；到三边距离相等的是内心。 12. (1)由勾股定理：$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (2)直角三角形外接圆半径$R=\dfrac12AB=\boldsymbol{5}$ (3)外心是斜边AB的中点。 13. (1) **有且只有1个圆** (2) 作AB、BC两条边的垂直平分线\(AC=6，BC=8\)两条垂直平分线交点就是圆心。 (3) 圆心到A、B、C三点距离相等\(AC=6，BC=8\)都等于外接圆半径。 14. (1)锐角三角形：外心在三角形内部 (2)直角三角形：外心在斜边中点 (3)钝角三角形：外心在三角形外部 (4)共同性质：外心到三角形三个顶点距离相等。 > 本节小结 核心口诀：**不共线三点定一圆；外心是三边垂直平分线交点\(AC=6，BC=8\)到三顶点距离相等；直三角外心在斜边中点。** 下一课：**29.1.3 垂直于弦的直径**\(AC=6，BC=8\)继续写配套练习吗？也可以只导出纯题目不带答案。 问题1 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · 以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 探究新知 过不共线三点作圆 知识点 1 问题2 经过两个点A，B能不能作圆？这样的圆能作出多少个？所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这一点和点A或点B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. 圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 3 问题3： 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 位置关系 有且只有 A B C D E G F ●o 探究新知 定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 例 已知：不在同一直线上的三点A，B，C. 求作： ⊙O，使它经过点A，B，C. 作法：1. 连接AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3. 以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 利用尺规法作圆 素养考点 探究新知 问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1. 在圆弧上任取三点A，B，C; 2. 作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; 3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 探究新知 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ A B C D O ∵A，B两点在圆上，所以圆心与A，B两点的距离相等， 又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴圆心在CD所在的直线上，因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点为圆心. 巩固练习 解: 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆. A B C O 探究新知 三角形的外接圆及外心 知识点 2 外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. ⊙O叫作△ABC的________， △ABC叫作⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 三角形的外心： 定义： 外接圆　 内接三角形　 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫作三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： ●O A B C 要 点 归 纳 探究新知 1. 返回 下列条件中，不能确定一个圆的是(　　) A．圆心和半径 B．直径和圆心 C．平面上的三个点 D．三角形的三个顶点 C 举一反三 11 返回 2. [邢台信都区调研] 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 举一反三 返回 3. 【情境题 生活应用】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是________．(填序号) ① 举一反三 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内， 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点， 钝角三角形的外心位于三角形外. A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 探究新知 14 例1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． （1）求∠DAO的度数； 解：∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°. 探究新知 圆与平面直角坐标系相结合的问题 素养考点 1 （2）求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 解： ∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90°，∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ . 因此，圆的半径为3， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度． 探究新知 点A的坐标( ，0). 例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径． 解：连接OB，过点O作OD⊥BC. D 则OD＝5cm， 在Rt△OBD中， 即△ABC的外接圆的半径为13cm. 探究新知 考查三角形的外接圆的有关知识 素养考点 2 思考：经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ l1 l2 A B C P 探究新知 反证法 知识点 3 如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 反证法的定义 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法． 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）; 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾; 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 探究新知 例 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A，∠B，∠C是中不能有两个角是直角. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 则　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　相矛盾，所以假设不成立． 因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． ∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 ∠A=∠B＝90° 三角形的内角和为180度 一个三角形中不能有两个角是直角 ∠A+∠B+∠C >180° 探究新知 反证法的应用 素养考点 返回 4. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　　) A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE B 举一反三 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则Rt△ABC外接圆的半径为(　　) A．3 B．4 C．5 D．不确定 返回 5. C 举一反三 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(－1，－1) D．(0，－1) 返回 6. A 举一反三 返回 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC边上的中线AD＝12. (1)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图所示，⊙O即为所求． 举一反三 返回 (2)求△ABC的外接圆的半径． 解：如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC＝13，AD＝12，∴BD＝ 设OA＝OB＝x，则OD＝12－x， 在Rt△OBD中，OD2＋BD2＝OB2，∴(12－x)2＋52＝x2， 举一反三 返回 8. 用反证法证明时，假设的结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关系只能是(　　) A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆外 D 举一反三 返回 9. 用反证法证明：如果a＋b>0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a，b都不大于零，即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数，所以a＋b≤0， 这与已知条件a＋b>0矛盾，所以假设不成立． 所以a，b中至少有一个大于零． 举一反三 27 返回 10. [石家庄期中]如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC.若∠1＝40°，则∠BAC的度数为(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° D 举一反三 28 返回 11. 平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C 举一反三 29 返回 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，6)，点B为平面内不在y轴上的一点，且AB＝10，△ABO外接圆圆心的坐标为C(x，y)． (1)若点B恰在x轴的正半轴上，则点C的坐标为__________； (2)x的取值范围是______________． (4，3) x≥4或x≤－4 举一反三 30 13. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C(小正方形的边长均为1)． (1)请求出该圆弧所在⊙P的圆心坐标和半径； 返回 解：连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心．如图所示： 由图可知P(2，－1)． 在Rt△AEP中，AE＝2，PE＝4，由勾股定理可知， 举一反三 (2)判断点M(－1，1)与⊙P的位置关系． 返回 解：连接PM，∵点M(－1，1)， 举一反三 14. 用反证法证明下题： 如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互相平分． 证明：连接DE，如图．假设BD和CE互相平分， 则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD. ∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上， ∴AB不可能平行于AC，与BE∥CD矛盾， 故假设不成立，原命题正确，即BD和CE不可能互相平分． 返回 举一反三 15. [徐州中考]“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的等弧连成一圈．图②为另一件连弧纹镜(残件)的示意图． (1)若将图②中的连弧纹镜补全，则该 铜镜应为“________连弧纹镜”； 七 返回 举一反三 (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图②中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．(保留作图痕迹，不写作法) 返回 解：如图． 举一反三 易知△BGH是直角三角形． 在Rt△BGH中，GC＝ BH，∴CB＝CG＝CD＝CH， ∴B，D，G，H这四个点在以点C为圆心，BC的长为半径的 圆上，即点B，D，G，H这四个点在同一个圆上． 返回 举一反三 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆. 课堂小结 一个三角形的外接圆是唯一的 反证法 定义 步骤 假设，推理，得证 三角形的外心 定义 性质 在各类三角形中的位置 课堂小结 谢谢观看 THANKS ＝＝5， ∴x＝，即△ABC的外接圆的半径为. AP＝＝2 .即⊙P的半径为2 . ∴PM＝＝， ∵<2 ，∴点M在⊙P内． $