重庆市第八中学校2027届高三上学期数学周考（五）（10.3）

重庆八中高2027级高三（上)数学周考（五） 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)设集合A={0,-a,B={a,a-3,a-6},若AsB,则a=() A.-3 B.0 C.3 D.6 2.(本题5分)在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,且a=1,b=√3，A=30,则B=() A.60°或120° B.609 C.309 D.30°或150° 3.(本题5分)下列结论正确的是() A.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若f(x)在[a,b]上有极小值，则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极大值一定是x=a和x=b时取得 D.若f()在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值 4.(本题5分)已知B是第三象限角，则点Q(cosB,si2B)位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(本题5分)函数/倒-hF+可的图象大致为() 4 A. B.-6-4-22 6-4-220246x 0246x y 4 C D -6-4-2_2 246x -6-4-2 246 6.(本题5分)冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中 国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想某同学查阅资料得知，书 法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角 度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求该同学取端点绘制了△ABD(如图乙)，测得 AB=3,BD=4,AC=AD=2,若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sinACD的值() A. B.4 1 C.35 D. 16 16 专 试卷第1页（共4页） 7.(本题5分)已知3=0.2，b=1og0.3,则() A.ab>2 B.1<ab<2 C.0<ab<1 D.-1<ab<0 8.(本题5分)已知，B∈0， (nπsin(2a+B) 2 sing 2xos(a+)=la,则() tang A.arp- B.a+B=3 4 ca-A=-月 D.a- 二、多选题（共18分) 9.(本题6分)已知实数a>b>0>c>d,则下列不等式中一定正确的有() A.h(a-c)>0 B.adbc C.ctb D.a+b>ab+ab2 aa+b 10.(本题6分)已知f(x)=2cos2ox+5sin2ox(w>0)的最小正周期为元，则下列说法正确的是() A(是南线)=的一个对称中心 B.f(x)在 34 有两个极值点 c.f(s)在 6'3 的值域为[0,3] D.将y=)的图象向左平移”个单位长度后得到8)的图象，则g)为偶函数 6 11.(本题6分)若直线y=x+b与曲线y=e相交于不同两点A(3,),B(x2,),曲线y=e在A,B点 处的切线交于点P(x,o),设AP的斜率为k,BP的斜率为飞，则() A.b=0时，k>e B.2x=￥+为 1,1、2 C.0<v<eo D.k 三、填空题（共15分） 6 12.(本题5分) 1 的展开式的第4项是 13.(本题5分)已知陆线y=片r在点Q)处竹切线与角线y云a++1相切。则a 2 14（本题5分)已知函数f)=m(+o@>0网到如图。直线)-5与曲线=)交于A,8两 2 点，4-名，则P=一P-f倒在区间1+牙aeR)上的最大值与最小值的差的范国是 试卷第2页（共4页） 四、解答题（共77分) 2 15.（本题13分)如图，在正四棱柱ABCD-ABC1D中，A4=2AB,E为 24 棱BC的中点，F为棱CD的中点. (1)求证：BE1/平面ACF: (2)求直线AC与平面ACF所成角的正弦值. 1 B E C 16.(本题15分)2023年7月28日至8月8日在成都举行的第三十一届世界大学生夏季运动会是中国西 部第一次举办世界性综合运动会在本届成都大运会中，共有800多支城市志愿服务队139万青年志愿者参 加现某城市志愿服务队通过报名者对某比赛项目的了解程度进行筛选，筛选规则：对报名者进行分组，每 两人一组，同组两人以抢答形式进行比赛，共7道题，抢到并回答正确得一分，答错则对方得一分，先得 4分者获胜，比赛结束已知在这次分组中，甲乙两人被分为一组，已知甲，乙两人都参与每一次抢题，且 每次抢到的概率机同。甲和乙正确国答每道慰的概率分别是}、士，且两人各道题是否口答正确均相互独 立 (1)在第二道题结束时，求甲：乙的比分为2：0的概率； (2)若已知在第三道题结束时甲得分以2：1领先，设到比赛结束时，两人共再继续抢答了X道题，求X 的分布列和数学期望 17.（本题15分)己知f(x)=x2-(m+2)x+mnx,m∈R. (1)若f0)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集： (2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极大值，求m的取值范围： 试卷第3页（共4页） 8.(本题17分)已知椭圆C:+ 方=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,坐标原点O到直线AB的 .408的面积为5. 距离为6 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若过椭圆C右焦点F且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M,N两点， ①求△OMN面积的最大值以及此时直线l的方程： ②若直线AM,AN分别与y轴交于P,Q两点，证明：OrO9为定值. 19.(本题17分)记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知△ABC的面积为S,且满足 (b2-c2)sinB=2S,点H在线段AC上，BH平分∠ABC. (1)证明： BC CH AB AH (2)证明：B=2C: (3)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E,若存在符合题意的△ABC 和点D诗起船=，素卖数m的取位花用 试卷第4页（共4页）《重庆八中高2027级高三（上）数学周考（五）10.03》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c A D B D c B A D ACD ACD 1.C 【详解】由集合A={0,-a,B={a,a-3,a-6}, 因为A二B, 当a=0时，可得-a=0,此时集合A不满足元素的互异性，舍去： 当a-3=0时，即a=3时，此时A=0,-3},B=3,0,-3},满足A≤B,符合题意： 当a-6=0时，即a=6时，此时A={0,6,B={6,3,0},不满足A三B,舍去， 综上可得，实数a的值为3 故选：C 2.A 【详解】解：由正弦定理a=b。得mB-bsm4 sinA sin B a 2 因为a=1<b=√5，A=30°，故B∈(0,150）， 所以B=60或B=120 故选：A 3.D 【详解】因为函数f(,)在[a,b]上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值：最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在[a,b]上的连续函数f(x)一定存在最大值和最小值. 故选：D 4.B 【详解】因为B是第三象限角，故sinB<0,cosB<0, 则sin2B=2 sin B cos B>0, 故Q(cosF,sin2P)在第二象限， 故选：B 5.D 【详解】由于创h可的定义战为≠吗，故排除c 1-可h1-1-} =-f(x) n(+1-x 所以 (x2+1-x 1-冈 答案第1页（共11页） ∫(x)为奇函数，故排除A, 又f0- 1 ln√2-1 <0,排除B,故选：D 故选：D 6.c 【详解】由题意，在△ABD中，由余弦定理可得，cos∠ADB=4D+BD-AB_4+16-9_1 2AD·BD 2×2×416 因为∠ADBe(0,),所以sm∠ADB=M-LADB=-马-35 6 16 在△ACD中，由AC=AD=2得sim∠ACD=in∠ADB=3, 16 故选：C 7.B 【详解】因为3“=0.2，所以4=log0.2=-1og35, 所以b=(1e,5)1og,03=-1e203-1bg,03=loe号 ,10 log,3 10 因为1e:3<1og:3<1b9,所以1<b=1bg:3 故选：B 8.A 【i详解】由sn(2a+A）-2cos(a+0)-[+C+B】-2cos(a+p） sina sina sincs()+cosinp)2cos(+B) sina incosasin() sing sina _sim[(a+p)-a☑_sinB sin a sina 所以sinB 1 ,可得E-csa, sin a tan a sina sina 即mB=cosa,即s血B-sna, 因为a,B∈0π】 2，可得a0 2 2 所以B-号a,所以a+B-背 故选：A 9.BD 【详解】对于A,当a=0.5,c=-0.5时，h(a-c)=hl=0,故A错误： 对于B,因为a>b>0,d<0,所以ad<bd,又b>0,d<c<0,故bd<bc, 从而ad<bd<bc,故B正确： 答案第2页（共11页） 对于C, cc+b ac+bc-ac-ab b(c-a) aa+b a(a+b) a(a+b) 因为a>b>0>8>d,所以-a<0a+5>0,故三+hbC0<0. a atb a(a+b) 故S<C+b aa+b:故C错误， D,a+b3-(a'b+ab2)=(d-ab)+(b3-ab2)=a(a-b)+b(b-a) =(a-b)a2-b2)=(a-b)(a+b), 因为a>b>0,故a+b>0,(a-b)>0, 所以d+b-(adb+ab2)=(a-b)(a+b)>0,即a2+b>adb+ab2,故D正确. 故选：D 10.ACD 【详解】f(x)=2cos2ax+V3sin2ax=V5sim2ox+cos2ar+1=2sin(2ax+巧+1， 6 由题设2a=2=2今w=1,则f()=2sin2x+5+1, T 6 )-2m2侣爱+1=1，则音是有线-的个对格中，A对： 由（引2x+后e(受学表指正弦图数刻象知：a2x白在〔引有个促值点 在区间内只有一个极值点，B错： [引-2+[0则m2x+?5n 由xe63 6 所以f(x)∈[0,3]，C对； 了+司=2sil26x+月+原+1=2sm2x+孕+1-2cos2x+1为偶函数，D对。 故选：ACD 11.ACD 【详解】对于A,b=0时，y=, 又过原点(0，O)作曲线y=e的切线，设切点为(t,e), y'=e,则切线方程为y=e(x-t)+e=ex+(1-t)e,又过(0,0)， ∴.(1-t)e=0,解得t=1,即过原点(0,0)与曲线y=e相切的直线方程为v=ex, 又直线y=x与曲线y=e相交于不同两点，∴.k>e,故A正确； 答案第3页（共11页） 对于B,不妨取A(0,1),B(1,e), 则曲线y=e在A,B处的切线方程分别为y=x+l,y=x, e-1'此时26=2 1 解得x= 一X+=1,故B错误： 对于C,不妨取x<x2,则>x1, 曲线y=e在A(,片)处的切线方程为y=ex+(1-x)e, 设f(x)=e-ex-(1-x)e1,则f'(x)=e-e, 令f(x)=0,解得x=x, x<x时，f'(x)=e-ei<0,f(x)单调递减， x>x时，f'(x)=e-e>0,f(x)单调递增， f(x)≥f(,)=0,即e≥ex+(1-)e（当且仅当x=x时取等)， 由题易知≠x,eo>e1x+(1-x)e1=%, 又e1>0,所以y=ex+(1-x)e单调递增，且>x, y>e1>0,则0<%<e,故C正确； 对于D,由题可知飞=e,k=e的，k-e的-e et3-e e'a-e +2+2-)2+c-2 h ke ea ee ex2-e _e-9-e9-2032-x)_e2g0-1-2(3-)e-4 e5-e1 ee-e) 不妨取<x2,则e>e,e-e1>0,令m=x3-x(m>0), 则e2-)-1-2(x2-x)e1=e2m-2mem-1,令g(m)=e2m-2me"-1,m>0, g'(m)=2e2m-2(m+1)em=2e"(e"--1, u(m)=e"-m-1,u'(m)=e"-1, m>0时，'(m)=e"-1>0,u(m)在(0，+∞)单调递增， ∴.u(m)>u(0)=0,则g'(m)=2e"(em--1>0, 答案第4页（共11页） .8(m)在(0，+o)单调递增，则8(m)>8(O)=0, 1,12e2-0-1-2(x2-x)e “飞kk -十 e-i(e-e） 二0，用店士是收DE瑞 12.-20x2 【详解1白题设项式展式适缆为2。=c(=(rc片r=0L6, 第4项为=(-0C号.-20r2. 故答案为：-20x2 13.4 【详解】y三x2+nxPy=2x+1 因此曲线y=x+x在点L1)处的切线的斜率为-×1+}上， .1 2 12 11 所以曲线y=x2+hr在点，1)处的切线的方程为y-1三，x-→y三x+ 2 因为曲线y=x+v在点11)处的切线与曲线y=ar'+(a+1x+1相切， 1 2 2 y-a+(a-Ix+ 2 所以 有一个实数解， y=- 22 1 0ax+i上◆→m+10 -x+ 当a=0时，显然该方程不成立， 当a≠0时，△=a2-4a=0→a=4,a=0舍去， 故答案为：4 14. h-9a 【详解】由)=咖(@r+叭-=5可得似，p=2a,+p=交+2k=7。 4-若m+p-(o+pl-(s-管若0>m=-2 由于（景0在=图象上，所以云2+列0，所以9合，e2 因为p水号所以=即)=mx总： 设y=f(w在区间，t+孕上的最大值与最小值的差为g④， 当对称轴不在区间，+孕上时，函数f)在，+孕上单调，不妨设f)在，+牙上单调递增， 答案第5页（共11页） 则g0=t+孕-f0=sim2+学设-sm+受-oz+设smz+分=五co+孕s5, 当对称轴在区间，+孕上时，f)在对称轴上取得最大值1，其最小值为飞+孕或f0, 然当对称销经过区的中点时，0有发小监，此时有2《 +-+2x'keZ,解得 t=兀+m,keZ, 12 所以f0=P经++=ing2网= 12 2 所以80的最小值为1-巨 2 综上，g0的值拔为兰，=了()在区间11+引：eR)上的最大值与最小值的差的范围是 故答案为： 15.解：(1)证明：法一：如图1，连接BD与AC交于点O,连接OF,EF, A D 因为E为枝C的中点，F为枚CD的中点，所BD,且BP-BD, B 由ABCD-ABCD为正四棱柱，可知BD1/BD,且BD=BD, 所以BP∥BD且ER=}AD=BO,故四边形BEFO为平行四边形， 所以BE∥OF,又因为OFc平面ACF,BEa平面ACF, B E 所以BE1/平面AC1F. 图1 法二：如图2，取AD中点为G,连接AG,GP,EG,由于G,F分别为AD,CD的中点，则GF∥AC∥AC, A D 则A,G,F,C1四点共面： B 1 因为E,G分别为BC,AD中点，则有EG∥AB且EG=AB, 而AB,/1AB且AB=AB,故BG∥AB1且EG=AB, 故ABEG为平行四边形，所以B,E∥AG, 11 又因为AGc平面AC1F,BEC平面AC1F, E 图2 所以BE/1平面AC1F. 法三：如图： 答案第6页（共11页） 取AB中点M,连接MF、AC、ME、BM,则ME∥AC∥AC, 又MBa平面ACF,AC1C平面AC1F,所以ME‖平面AC1F. B MF∥BC,MF=BC,故BCFM为平行四边形，所以BM∥CF, 又BM工平面ACF,C1Fc平面ACF,所以BM‖平面ACF. 又BM∩ME=M,B,MC平面BME,MEc平面BME, B E 图3 所以平面BMEI平面AGF 又B,Ec平面BME,所以BE/平面ACF, (2)设正四棱柱底面边长为2，则侧棱长为4， 分别以AB,AD,A4为x,”,2轴正方向建立空间直角坐标系， B 则A(0,0,0),4(0,0,4),C(2,2,0),C1(2,2,4),F(1,2,0), 则AC=(2,2,-4),AC1=(2,2,0),AF=(1,2,-4), D 设平面AC1F的一个法向量为1=(x,y,z), E iAC=0 x+y=0 则有 iAF=0 x+2y-4z=0’取2=1，i=(4,4,1). 设直线AC与平面ACF所成角为， 则sina=cos(4C,= 2×(-4)+2×4+(-4)×1 √22 V22+22+(←4)2.V-42+42+133 16.解：(1)记“在一道题中，甲得1分”为事件A, 13115 P(A=二×三+ 24228 记“在第二道题结束时，甲乙比分为2：0”为事件B, 25 (2)X可能为：2,3,4 53 由(1)知：在一道题中，甲、乙各得1分的概率分别为： 881 2 P(X=2)= 5 25 8 64 答案第7页（共11页） Px=列=c 33177 +8 -512 P(X=4)=C 3) 135 8 512 所以X的分布列 X 2 3 200 177 135 512 512 512 200 ×2+ 177 135 1471 “E(X)= ×3+ ×4= 512512 512 512 17.解：(1)因为f(1)=0,故1--2+0=0，故m=-1,故f(x)=x2-x-nx, 故f(x)≤x2-1即为x+nx≥1， 设s(x)=x+lnx,x>0,则s(x)=1+上>0，故s(x)在(0，+)上为增函数， 而x+lnx≥1即为s(x)≥s(1),故x≥1， 故原不等式的解为[1，+o). (2)(x)在(0，+n)有极大值即为有极大值点. f(x)=2x-m+2)+m-2x2-(m+2x+m_2x-m- x 若m≤0，则x∈(0,1)时，f(x)<0,x∈(1，+∞)时，f'(x)>0, 故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍： 若0<经1即0<m<2,则(g时，f)<0, sefua+o)时，f>0. 故x=?为/()的极大值点，符合题设要求： 若m=2,则x∈(0，+o)时，"(x)≥0，f(x)无极值点，舍： 若贺1即m>2,则xe1罗时，f国<0， xeQu(经时，f)>0, 故x=1为∫(x)的极大值点，符合题设要求： 答案第8页（共11页） 综上，m>0且m≠2. 18.解：(1)A(a,0),B(0,b),所以AB=Va+b, 因为坐标原点O到直线AB的距离为6，所以G+E×6=b0, 2 又因为△40B的面积为5，所以ab=√5，即b=23②， 由①②及a>b得，d=6,B=2,所以椭圆℃的方程为：。+)=1 (2)(i)由(1)知焦点F的坐标为(2,0)， 因为直线I的斜率不为0，则可设直线l的方程为x=y+2, x=y+2 6,=1’消去x，得(mm+3)y+4w-2=0、 联立方程组x2,y2 △=16m2+8(m2+3=24(m2+1)>0, 设M(飞，N,为，则方+折=”写=子写 Sa-号oFx-y为=y-sl=G+y厂-4y-3 -26Vm+1 1m2+3 令e,22号B当组仅当1=5附，等号成立，可AON面积 的最大值为5. 令√m2+1=√2，解得m=1,所以此时直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0; 们A-60.直线w的方看为：3气G+同. 令x=0,所以y=6=V6y +6m+2+6,则P06】 （%+2+V6: 直线N的方程为：y5+V6,令x=0,所以y6=-V6g +V6+2+V61 则0， √6必2 %,+2+√6 所以O\oO= 64y2 m+2+V6m,+2+V6my+(2+V6)m(0y+为)+(2+6 答案第9页（共11页） -12 m2+3 -2m2,-4(2+V6)m2 m2+3 m2+3 +(2+V6) -12 4 -2m-4+6)r+2V6r++6x3i0+4610-+W6. 所以orOg为定值，且定值为10-4√6 19.解：(1)BH平分∠ABC,故∠ABH=∠CBH, 在△ABH中，由正弦定理得，AH AB sin∠ABH sin∠AHB 在aBCH中，由正弦定理得。CH BC sin∠CBH sin∠BHC 因为∠AHB+∠CHB=元，所以sin∠AHB=sin(π-∠CHB)=sin∠CHB, 又sim∠ABH=sin∠CBH,两式相除可得BC.CH AB AH (2)因为公-c)simB=2,故(6-c2)simB=2 *ocsinB=-csin8, 又△ABC为锐角三角形，Be0,故simB>0,所以b2-c2g 由正弦定理得sim2B-sin2C=sin Asin C, sin(B+C)sin (B-C)=(sinBcosC+cosBsinc)(sinBcosC-cosBsinc) sin2 B cos2 C-cos2 Bsin?C =(sin2 Bcos2 C+sin2Bsin2C)-(sin2 Bsin2C+cos2 Bsin2C) sin2 B(cos2 C+sin2C)-sin2C(sin2B+cos2B)=sin2 B-sin2C, sin(B+C)sin(B-C)=sinAsinC,sin(B+C)=sinA, 所以sin(B-C)=sinC, 又4ac为能角三角形，B0)co引g-ce(引】 故B-C=C或B-C+C=π，故B=2C或B=兀（舍去)： 答案第10页（共11页) (3)先证明4gBDC=1,过程如下： AC DH BE EC_sin∠CAE BD sin.∠AEB AH sin.∠ADH AC sin∠AEC'BE sin∠BDE'DH sin∠DAH 故BC.BD.AL-sin∠CAE.sn∠AEB SinLADH AC BE DH sin∠EC sin.∠BDE sin.∠DAH =1, 故4班BDB AC DH BE =1 88a8E,又3cE= Scp驱-CE =, SABDE DH=L,所以BC=BD BE DH 由(1)可知8C=CH 、BC+ABH十上.p一==D+1 AB AH AB AH AB AB 由正弦定理 BC a sin4 sin(-3C)sin3C sin(2C+C)sin 2CcosC+cos2Csinc AB c sinC sinC sinc sinC sinC 2sinC cosC+cos2CsinC=2cosC+cos2C=4cosC-1, sinc 4C=BC+1-4c0C-1+1=4c0C, AH AB 所以gBRG=4coCm1,所以㎡=4cosC, m,cosC均非负，故=2cosC, 因为B=2C,所以A=兀-B-C=兀-3C, 因为4到ec0引c0到 所以3c=写2c(6到引ee0解得cc(:引 则m=2cosC∈(W2,V3) E 答案第11页（共11页)