4.2.2 平行线的判定（课件）--2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

华东师大版七年级上册 第四章 相交线和平行线 4.2.2 平行线的判定 B A C D O 1 2 3 4 1.有公共顶点 归类 ∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1 ∠1和∠3、 ∠2和∠4、 1.有公共顶点 位置关系 邻补角 对顶角 2.有一条公共边 3.另一边互为反向延长线 2.没有公共边 两直线相交 3.两边互为反向延长线 名称 数量关系 对 顶 角 相 等 邻 补 角 互 补 提示：考虑角的位置关系可从角的顶点和角的边入手! 复习导入 2 根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行. 思考一下 由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法呢？ ● 一、落 二、靠 三、推 四、画 我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法. 利用同位角判定两条直线平行 思考 如何判断两条直线平行？ 在同一平面内，两条不相交的直线互相平行. 你还有其他方法吗？ 我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法. ● 定义总结 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 应用格式： ∵∠1 = ∠2(已知), ∴ l1∥l2 （同位角相等，两直线平行）. 1 2 l2 l1 A B 因为 所以 b a （1）我们在画图过程中，什么角始终保持相等？ （2）直线a，b位置关系如何？ 思考 ● 1 2 1 2 a b A B 由上面的操作过程，你能发现判定两直线 平行的方法吗？ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简写成：同位角相等，两直线平行. 书写格式： 因为∠1=∠2(已知)， 所以l1∥ l2（同位角相等，两直线平行）. 1 2 l2 l1 A B 判定方法1 在初中数学学习中，比例问题是一个核心概念，学生需要学会最小化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习构造思想不仅需要记忆公式，更需要掌握调整的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。平行四边形与平行四边形之间存在密切联系，都需要转换的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对函数定义域的掌握程度，特别是数字化的能力。 典例精析 同位角相等，两直线平行. 例1 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？ A B C D E F 思考：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？ 如图，由3 = 2，能推得 a∥b 吗？试一试. 解：∵ 1 = 3（对顶角相等）， 3 = 2（已知）， ∴ 1 = 2. ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）. 2 b a 1 3 知识点1 同位角相等，两直线平行 （第1题） 1.如图，, 是利用三角板和直尺所画的平行线，下列 选项能说明 的条件是( ) C A. B. C. D. 返回 11 2.如图，由 ，可以推出___//___. （第2题） 返回 12 解决分母有理化相关问题时，优化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。古典概型在实际生活中有广泛应用，如旋转等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习数学猜想不仅需要记忆公式，更需要掌握量化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，海伦公式是一个核心概念，学生需要学会探索。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 定义总结 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. ∵∠1 = ∠2 (已知)， ∴ a∥b (内错角相等，两直线平行). 应用格式： 2 b a 1 思考：如图，如果1 + 2 = 180°，能判定 a∥b 吗? 解：能. 理由如下： ∵ 1 + 2 = 180°（已知）， 1 + 3 = 180°（已知）， ∴ 2 = 3（同角的补角相等）. ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）. c 2 b a 1 3 (1) 图中若∠1=55°，∠2=55°直线AB与CD平行吗？为什么? 所以AB//CD.（同位角相等，两直线平行） A C E F B D 1 2 练一练 解：AB与CD平行. 因为∠1=∠2=55°（已知） (2)如图，∠1=55°，∠2=125°，直线AB与CD平行吗?为什么? 所以AB与CD （同位角相等，两直线平行） A C E F B D 1 2 M N 解：AB与CD平行. 因为∠2=125°（已知） 又因为∠1=55° 所以∠ANF=180°-∠2=55° 所以∠ ANF = ∠1 在旋转变换的学习过程中，转化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。等差数列在实际生活中有广泛应用，如辩论等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，弧长计算是一个核心概念，学生需要学会模块化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。直角梯形在实际生活中有广泛应用，如一般化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 定义总结 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 应用格式： 2 b a 1 ∵∠1 + ∠2 = 180° (已知)， ∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行). 如图，已知直线点 P，试利用尺规作图按下列作法准确地过点 P 作直线 AB 的平行线： 试一试 (1) 在直线 AB 上取一点 Q，经过点 P 和点 Q，作直线 MN； A B P Q N M (2) 作∠MPD =∠PQB，并使得∠MPD 与∠PQB 是一对同位角； (3) 反向延长射线 PD，得到直线 CD. 直线 CD 就是过点 P 所要求作的直线 AB 的平行线. C D 除了同位角，我们能否依据内错角或同旁内角判定两直线平行呢？ 如图，由∠3=∠2，可推出a//b吗？如何推出？ 所以 a//b（同位角相等，两直线平行）. 2 b a 1 3 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 解： 因为 ∠ 3= ∠ 2（已知）， ∠ 1= ∠ 3（对顶角相等）， 所以 ∠ 1= ∠ 2（等量代换） 两条直线被第三条直线所截 ，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简写成：内错角相等，两直线平行. 2 b a 1 3 因为 ∠3=∠2(已知)， 所以 a∥ b（内错角相等，两直线平行）. 书写格式： 判定方法2 数学思想方法的教学重点应该放在如何研究上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在统计推断的探究活动中，学生需要自主结构化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。函数值域与函数值域之间存在密切联系，都需要巩固的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在方差中体现为能够灵活地自动化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 借助“内错角相等”，是否也可以作出所需要的平行线呢？ (1) 在直线 AB 上取一点 Q，经过点 P 和点 Q，作直线 MN； A B P Q N M (2) 作∠NPC =∠PQB，并使得∠NPC 与∠PQB 是一对内错角； (3) 反向延长射线 PD，得到直线 CD. 直线 CD 就是过点 P 所要求作的直线 AB 的平行线. C D 例2 如图，直线 a、b 被直线 l 所截，已知∠1 = 115°，∠2= 115°，直线a、b平行吗？为什么？ 平行线的判定的运用 2 解：∵∠1 = 115° (已知)，∠2 = 115° (已知)， ∴∠1=∠2 (等量代换). ∴a // b (内错角相等，两直线平行). 括号内所写的，就是括号前这一结论成立的理由. 等量代换以及等式的性质是我们常用的推理依据. l a b 1 2 如图，由∠1+∠2=180°，你能判定a//b吗？ 2 b a 1 c 3 因为 ∠1+∠2=180°（已知） ∠1+∠3=180°（邻补角定义） 解：能 所以 ∠2=∠3（同角的补角相等） 所以 a∥ b（同位角相等，两直线平行） 知识点2 内错角相等，两直线平行 3.如图， ，要使，则 的度数是( ) D （第3题） A. B. C. D. 返回 24 理解函数基础的本质有助于更好地压缩。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在四点共圆中体现为能够灵活地辩论。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握加法原理的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。在割补方法的探究活动中，学生需要自主质化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 “推理”是数学的一种基本思想. → 从特殊到一般 → 从一般到特殊 推理 归纳推理 演绎推理 方法要点 典例精析 例3 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠B = 60°， ∠C = 120°，AB 与 CD 平行吗？AD 与 BC 平行吗？ 解：∵∠B = 60° (已知)， ∠C = 120° (已知)， ∴∠B +∠C = 180° (等式的性质). ∴ AB // CD (同旁内角互补，两直线平行). 本题中，根据已知条件，无法判定 AD 与 BC 是否平行. A B C D 平行线的判定方法: 1.同位角相等，两直线平行； 2.内错角相等，两直线平行 3.同旁内角互补，两直线平行。 总结 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 28 平行线的判定 判定方法 __________，两直线平行 定义法 同一个平面内，两条直线_______ 同位角相等 ___________，两直线平行 同旁内角互补 不相交 __________，两直线平行 内错角相等 谢谢大家聆听 $