13.3.2 三角形的外角 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十三章 三角形 13.3.2 三角形的外角 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册13.3.2《三角形的外角》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有6个外角，同一顶点处的两个外角相等。 三角形外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 重点辨析：外角**不等于**相邻内角加另外一个内角；外角与它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180°。解题技巧：求角度优先观察外角，利用外角定理可省去多次使用三角形内角和的步骤；多个三角形叠加图形，要分清哪些内角和外角是不相邻的，防止错用定理。本节常与三角形内角和、角平分线综合出题，是几何角度计算的高频考点。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 下列关于三角形外角说法正确的是（） A. 三角形的外角大于任意一个内角 B. 三角形外角等于两个内角之和 C. 三角形的一个外角和它相邻内角互补 D. 三角形只有3个外角 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的外角等于（） A. 70° B. 110° C. 120° D. 130° 3. 三角形的一个外角是100°，与它不相邻两个内角之比为2∶3，则较小内角为（） A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° 4. 如图，△ABC中，点D在BC延长线上，若∠ACD=125°，∠B=45°，则∠A等于（） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5. 若三角形一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 在△ABC中，∠A=40°，外角∠CBD=110°，则∠C等于（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 7. 一个三角形的外角中，最多有几个锐角（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，AD平分∠BAC，∠B=30°，∠ADC=70°，则∠BAC的度数为（） A. 50° B. 60° C. 80° D. 100° 9. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3，则∠C的外角等于（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 10. 下列角度组合，不能作为三角形外角和两个不相邻内角的是（） A. 100°，50°，50° B. 110°，60°，50° C. 130°，70°，60° D. 80°，50°，40° ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 三角形的外角等于________________________的两个内角之和。 12. 三角形的一个外角与相邻内角之和为________°。 13. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=45°，则∠ACB的外角等于________。 14. 三角形一个外角是112°，其中一个不相邻内角为42°，则另一个不相邻内角为________。 15. 在△ABC中，∠B=50°，∠ACD=120°，则∠A=________。 16. 若三角形两个内角分别是44°和56°，则第三个内角的外角为________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=38°，∠ACD=92°。 （1）求∠A的度数； （2）若CE平分∠ACD，求∠ECD的度数。 18.（12分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E在BC延长线上，∠BAC=60°，∠ACE=110°，求∠ADC的度数。 19.（12分）求证：三角形任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.C 10.D **填空题**： 11.与它不相邻；12.180；13.80°；14.70°；15.70°；16.100° **解答题** 17.解：（1）根据三角形外角定理，∠ACD=∠A+∠B， ∠A=∠ACD−∠B=92°−38°=54°。 （2）∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=$\frac12$∠ACD=$\frac12\times92^\circ=46^\circ$。 18.解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=$\frac12\angle BAC=30^\circ$。 ∠ACE是△ABC外角，∠ACE=∠B+∠BAC，∠B=∠ACE−∠BAC=110°−60°=50°。 ∠ADC是△ABD外角，∠ADC=∠B+∠BAD=50°+30°=80°。 19.证明：设△ABC，∠ACD为△ABC的外角，则∠ACD=∠A+∠B。 ∵∠A＞0°，∠B＞0°，∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。 即三角形任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。 本节最容易出错的地方：做题时常忽略“不相邻”三个字，直接认为外角等于任意两个内角相加；混淆外角与邻补角关系。遇到带有角平分线的几何图形，优先使用外角定理简化计算。书写证明过程时，要规范写出外角定理的条件，分清外角、相邻内角、不相邻内角，结合内角和定理综合解题，这是后续学习多边形角度计算的基础。 （全文：1412字） 下一节：**13.4 课题学习 最短路径问题**，同样1412字专项练习吗？ 理解并掌握三角形外角的定义，能在不同几何图形中准确识别三角形的外角. 一 能运用三角形外角的性质进行角度计算、角的大小比较以及简单的几何推理. 二 学习目标 在探究三角形外角性质和外角和的过程中，体会数学知识的内在联系，增强逻辑推理能力和数学探究能力. 三 复习引入 直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和等于180°. 与三角形 有关的角 三角形的内角 ？ 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形的外角 1．三角形内角和定理：_________________________. 2．直角三角形的性质：_________________________. 3．直角三角形的性质：__________________________________. 三角形的内角和等于180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 探究新知 操作：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD． 　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 探究新知 5 说一说：三角形的外角有什么特征？ 　 （1）顶点在三角形的一个顶点上； 　 （2）一条边是三角形的一条边； 　 （3）另一条边是三角形的某条边的延长线． 　　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 探究新知 试一试：画出△ABC的所有外角. 这些外角与相邻内角又有什么样的关系呢？ 每个顶点处都有2个外角； 每个三角形都有6个外角. 位置关系：互为邻补角 数量关系：互补 探究新知 思考1：在△ABC 中，∠A =70°，∠B =60°， ∠ACD是△ABC的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能， ∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系？ 70° 60° 50° 130° 解：能由∠A，∠B求出∠ACD. 过程如下： 在△ABC 中， ∠ACB=180°∠A∠B =180°70°60° =50° ∴∠ACD =180°50° =130° ∠ACD =∠A +∠B 探究新知 思考2：观察动画，任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？试着证明你的猜想. 探究新知 已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B． 证明：∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B． ∵∠ACB＋∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°－∠ACB ＝180°－(180°－∠A－∠B) ＝∠A＋∠B． 探究新知 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 　　推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． 符号语言： ∵∠ACD 的△ABC 外角 ∴∠ACD =∠A +∠B 探究新知 例1：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE＝∠2＋∠3， ∠CBF＝∠1＋∠3， ∠ACD＝∠1＋∠2． ∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)． 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°． 你还能给出其他 解法吗？ 探究新知 知识点1 三角形外角的定义 1.如图，点B，G，C在直线FE上，点D在线段AC上，则下列是△ADB的外角的是(　　) A.∠FBA　　 B.∠DBC　　 C.∠CDB　　 D.∠BDG 返回 C 基础提优题 知识点2 三角形外角的性质 2.［2026厦门思明区期中］一副三角板如图①摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图②，即AB∥OD时，∠1的大小为(　　) A.45° 　　 B.60° 　　 C.75° 　　 D.90° 返回 C 基础提优题 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经过凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的直线交于点P，点F为焦点，若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的度数是(　　) A.50°　　 B.60°　　 C.45° 　　 D.40° C 基础提优题 返回 【点拨】如图.∵AB∥OF，∴∠4＋∠1＝180°.∴∠4＝180°－∠1＝20°.∵∠POF＝∠2＝25°，∴∠3＝∠POF＋∠4＝25°＋20°＝45°.故选C. 基础提优题 　　三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫做三角形的外角和． 三角形的外角和等于 360°． 探究新知 例2：如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，求∠1＋∠2 的度数． A D E C B 2 1 解：由三角形外角的性质，可知 ∠1＝90°＋∠AED，∠2＝90°＋∠ADE， ∴∠1＋∠2＝90°＋∠AED＋90°＋∠ADE ＝180°＋∠AED＋∠ADE． ∵∠AED＋∠ADE＝90°， ∴∠1＋∠2＝180°＋90°＝270°． 探究新知 三角形外角性质的三个应用 　 （1）求角的度数：在外角及与其不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出与外角相邻内角的度数； 　 （2）证明角相等：一般是把外角作为桥梁，通过等量代换证明角相等； 　（3）判断角的大小：外角大于与它不相邻的任意一个内角． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．如图，下列各角是△ABC的外角的是( ) A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( ) A．110° B．80° C．70° D．60° C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数． 解：∵∠A＝180°－∠B－∠ACB ＝180°－67°－74°＝39°， ∴∠BDF＝∠A＋∠AED ＝39°＋48°＝87° 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 B 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，AB//CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为______度． F 12 当堂检测 4. 一块板材如图所示，测得∠B＝90°，∠A＝20°，∠C＝35°，根据需要∠ADC为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动∠A，则可将∠A　　　(填“增加”或“减少”)　　°. 减少 5 基础提优题 【点拨】解法1如图，延长CD交AB于点E.∵∠ADC＝∠A＋∠CEA，∠CEA＝∠B＋∠C，∴∠ADC＝∠A＋∠B＋∠C＝20°＋90°＋35°＝145°.∵根据需要∠ADC为140°，∴可将∠A减少5°. 解法2：延长AD交BC于点F，同理可求. 基础提优题 返回 求角的度数时，常通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决. 基础提优题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数； 【解】∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠CBD＝130°. ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°. 基础提优题 (2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数. 返回 【解】∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 基础提优题 知识点3 三角形内、外角的关系 6.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A.∠A＞∠1＞∠2　　 B.∠2＞∠1＞∠A C.∠A＞∠2＞∠1　　 D.∠2＞∠A＞∠1 返回 B 基础提优题 7.如图，已知在△ABC中，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，点D在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是(　　) A.∠1＞∠2　　 B.∠1＞∠3 C.∠3＞∠5　　 D.∠4＞∠5 返回 D 【点拨】根据三角形外角的性质可知∠1＞∠3，∠3＞∠2，∠3＞∠5，∴∠1＞∠2，而∠4与∠5的大小无法判断. 基础提优题 8.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是(　　) A.30°　　 B.40°　　 C.50°　　 D.60° C 综合应用题 【点拨】∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABC.∴∠PCM＝40°＋∠ABC.∵CP平分∠ACM，∴∠PCM＝∠ACM. ∴∠ACM＝∠ABC＋40°.∴∠ACM－∠ABC＝80°. ∴∠BAC＝∠ACM－∠ABC＝80°.∵AP平分∠NAC，∴∠CAP＝∠NAP＝＝50°. 返回 综合应用题 9. 如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D＋∠E＋∠F＝107°，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 (　　) A.73°　　 B.63°　　 C.83°　　 D.93° A 综合应用题 10.如图，点A在y轴上，点B在x轴上，∠OAB的平分线交△OAB的外角∠OBD的平分线于点C，则∠C的度数是(　　) A.30°　　 B.45°　　 C.50°　　 D.60° B 综合应用题 与三角形有关的角 三角形的外角 三角形的外角和 概念 性质 概念 性质 课堂小结 谢谢观看 THANKS $