第13讲 二次函数概念及图像性质 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第12讲 二次函数概念及图像性质 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，会识别二次函数 · 掌握y=ax2的图像与性质 · 掌握y=a(x+m)2+h的图像与性质（顶点式） · 掌握y=ax2+bx+c的图像与性质（一般式） · 会求对称轴、顶点坐标，判断函数增减性与最值 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数概念 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数 a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 最高次为2次，且二次项系数不为0 自变量取值范围通常为全体实数 概念辨析例题：已知y=(n+2)xn^{2}-2是关于x的二次函数，求n 解析：由n2-2=2且n+2≠0，解得n=2 ☆ 2.y=ax^{2}的图像与性质 图像是抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴 a>0开口向上，顶点为最低点；a<0开口向下，顶点为最高点 |a|越大开口越小；|a|越小开口越大 a>0时x>0递增、x<0递减；a<0相反 概念辨析例题：抛物线y=ax2上横坐标为3的点到x轴距离为5，求解析式 解析：x=3时y=±5，代入得9a=±5，a=± ☆ 3.顶点式 y=a(x+m)^{2}+h 顶点坐标(-m,h)，对称轴直线x=-m 由y=ax2平移得到：左加右减、上加下减 a>0开口向上，x=-m时y取最小值h；a<0取最大值h 顶点式便于直接读出顶点与对称轴 概念辨析例题：求y=2(x-1)2+3在-1<x<2时的取值范围 解析：顶点(1,3)，x=-1时y=11，开口向上，故3≤y<11 ☆ 4.一般式 y=ax^{2}+bx+c 对称轴：直线x=- 顶点坐标：(-, ) a决定开口方向与大小 c是抛物线与y轴交点的纵坐标 概念辨析例题：抛物线过(-1,1)和(3,1)，求对称轴 解析：两点纵坐标相同，对称轴为两点中点：x==1 📋 知识总结表 形式 顶点与对称轴 开口与最值 y=ax2 顶点(0,0)，对称轴y轴 a>0上，a<0下 y=a(x+m)2+h 顶点(-m,h)，对称轴x=-m a>0上最小h，a<0下最大h y=ax2+bx+c 顶点(-,)，轴x=- a决定开口方向 |a|越大 开口越小 — 与y轴交点 (0,c) c为常数项 最值 在顶点处取得 a>0最小、a<0最大 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的定义（第1-4题） · 最高次为2次 · 二次项系数a≠0 · 化简后按次数与系数判断 · 含参数时列不等式 1．（2025秋•龙凤区期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．y＝3（x﹣1）2 D．y＝（x+2）2﹣x2 2．（2025秋•嘉定区期末）下列y关于x的函数中二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c（a≠0） B． C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝3x﹣9 3．（2023秋•沙坪坝区校级同步）已知y＝（n+2）xn2﹣2是关于x的二次函数，则n＝_____ ． 4．（2025秋•榆阳区期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为_________ ． 【考点2】y=ax²的图像与性质（第5-8题） · 顶点原点、对称轴y轴 · a>0上、a<0下 · |a|越大开口越小 · 结合一次函数图像综合判断 5．（2026•汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：____________________ ． 6．（2025•江安县模拟）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•姜堰区期末）下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（　　） A．y＝2（x﹣3）2 B．y＝﹣3x C．y＝x﹣3 D．y＝x2 8．（2025秋•自贡期末）我们把直线l：y＝2ax+2b叫做抛物线L：y＝ax2+bx的“倍亲直线”；若该直线与该抛物线的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“爱同点”，并且称直线l与抛物线L具备“爱同倍亲关系”，否则称直线l与抛物线L不具备“爱同倍亲关系”． （1）已知直线l：y＝mx﹣6是抛物线L：y＝x2+nx的“倍亲直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备“爱同倍亲关系”，若具备，请求出“爱同点”的坐标，若不具备，请说明理由； （2）已知直线l：y＝2ax+2b与抛物线L：y＝ax2+bx不具备“爱同倍亲关系”，当0≤x≤3时，抛物线L：y＝ax2+bx的最小值是﹣6，求直线l的解析式． 【考点3】y=a(x+m)²+h的图像与性质（第9-19题） · 直接读出顶点(-m,h)与对称轴 · 比较函数值大小：看离对称轴远近 · 开口向上时，离轴越远值越大 · 平移规律：左加右减、上加下减 9．（2025秋•东光县期中）二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 10．（2025秋•昌都市期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5 C．当y1＜y2时，m＞﹣1 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 11．（2025秋•荣县校级期中）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有，B（3，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 12．（2025秋•松原期末）抛物线y＝x2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 13．（2025秋•江津区期末）已知点（﹣2，y1），（4，y2），（1，y3）都在函数y＝x2+3x+5的图象上，请将y1，y2，y3按从大到小的顺序排列 _____________ ． 14．（2026春•西湖区校级期末）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是_____________ （用“＜”连接）． 15．（2026•仪征市一模）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）过点的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_____________ ．（用“＜”连接） 16．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1_____ y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 17．（2025•敦化市一模）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 18．（2019秋•贡井区校级期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 19．（2026•池州一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t） （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【考点4】y=ax²+bx+c的图像与性质（第20-33题） · 对称轴x=- · 顶点坐标公式 · 由图像判断a、b、c符号 · 点在图像上则代入成立 20．（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．（2026春•南海区校级月考）已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 22．（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 23．（2025秋•南关区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b；其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 24．（2026•建邺区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（2026•鼓楼区校级三模）二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b+1的值等于_________ ． 26．（2025秋•白云区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是________ （填序号）． 27．（2024秋•金山区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为 _______________ ． 28．（2024秋•龙湖区校级月考）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）2+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（0，2），S△APO，则矩形ABCD的面积为 _______ ． 29．（2025•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+c上的两点． （1）若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，求抛物线的对称轴； （2）若对于2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，都有y1＞y2，求t的取值范围． 30．（2023秋•东莞市校级月考）作出函数y＝2x2的图象，并根据图象回答下列问题： （1）在下面给出的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，描出列表中的各点，并画出函数y＝2x2的图象： x … _______ _____ _____ … y … _____ _____ _____ … （2）若点（2，a），（4，b）都在抛物线上，则a _____ b（填“＞”，“＜”，“＝”）． （3）点P是抛物线y＝2x2在第一象限内的一个点，点A的坐标是（3，0），求△POA的面积S＝6时，求点P的坐标． 31．（2026•成武县三模）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m是常数，且m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1）和点B（m﹣1，y2）． （1）若存在实数k，且1＜k＜2，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），求m的取值范围； （2）当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求m的值． 32．（2026•衢州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）． （1）求该图象的对称轴． （2）若该函数的最大值为﹣a2+2a+5，求该函数的表达式． （3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，满足m≤3，x2＞x1，且1≤x2﹣x1≤4，求a的取值范围． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•双柏县期中）若是关于x的二次函数，则m的值为_____ ． 【练习 2】（2025秋•宝山区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t，3t+5），且线段AB与该抛物线图象有交点，则t的取值范围是____________________ ． 【练习 3】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为____________________ ． 【练习 4】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为___________ ． 【练习 5】（2026•玄武区一模）若二次函数的图象开口向下，则m的值为_______ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2026•龙湖区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么下列各式中不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a+b+c＜0 【作业 2】（2025秋•沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【作业 3】（2026•碑林区校级一模）已知点A（m，y1）、B（m+4，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣6 B．m＞﹣6 C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 【作业 4】（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝﹣3x2+bx+c的图象过点（﹣1，0）、（2，0），关于此函数图象与性质的叙述中，正确的是（　　） A．点（0，2）在函数图象上 B．图象开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 【作业 5】（2026•鸠江区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【作业 6】（2026•奉贤区二模）如果抛物线y＝ax2（a≠0）在对称轴的右侧部分下降，那么a的取值范围是________ ． 【作业 7】（2025秋•安阳期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，1）和（3，1），那么此二次函数图象的对称轴为直线________ ． 【作业 8】（2024秋•秦淮区期末）如图，点A，B和点C，D分别在和的图象上．若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，则线段AC，BD与两条抛物线围成的阴影部分的面积是_______ ． 【作业 9】（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 ____________________ ． 【作业 10】（2025•徐汇区一模）已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m _____ n（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【作业 11】（2026•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，b，c是常数，a＞0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值； （3）已知点P（m，y1），Q（﹣3，y2）都在二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象上，若c＜y1＜y2，求m的取值范围． 【作业 12】将抛物线y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出它的对称轴． 【作业 13】（2025秋•普陀区期中）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6． （1）求这个函数图象的顶点坐标，并指出它的变化情况； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，该函数图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形OADC的面积． 【作业 14】（2026•卫滨区模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示． x … ﹣1 0 2 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值． 复习建议 · 二次函数y=ax2+bx+c中a≠0 · 顶点式y=a(x+m)2+h：顶点(-m,h)、对称轴x=-m · 一般式对称轴x=-，顶点纵坐标 · a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值 · 比较函数值大小：看离对称轴远近 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 二次函数概念及图像性质 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次函数的概念，会识别二次函数 · 掌握y=ax2的图像与性质 · 掌握y=a(x+m)2+h的图像与性质（顶点式） · 掌握y=ax2+bx+c的图像与性质（一般式） · 会求对称轴、顶点坐标，判断函数增减性与最值 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数概念 形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数 a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 最高次为2次，且二次项系数不为0 自变量取值范围通常为全体实数 概念辨析例题：已知y=(n+2)xn^{2}-2是关于x的二次函数，求n 解析：由n2-2=2且n+2≠0，解得n=2 ☆ 2.y=ax^{2}的图像与性质 图像是抛物线，顶点在原点(0,0)，对称轴为y轴 a>0开口向上，顶点为最低点；a<0开口向下，顶点为最高点 |a|越大开口越小；|a|越小开口越大 a>0时x>0递增、x<0递减；a<0相反 概念辨析例题：抛物线y=ax2上横坐标为3的点到x轴距离为5，求解析式 解析：x=3时y=±5，代入得9a=±5，a=± ☆ 3.顶点式 y=a(x+m)^{2}+h 顶点坐标(-m,h)，对称轴直线x=-m 由y=ax2平移得到：左加右减、上加下减 a>0开口向上，x=-m时y取最小值h；a<0取最大值h 顶点式便于直接读出顶点与对称轴 概念辨析例题：求y=2(x-1)2+3在-1<x<2时的取值范围 解析：顶点(1,3)，x=-1时y=11，开口向上，故3≤y<11 ☆ 4.一般式 y=ax^{2}+bx+c 对称轴：直线x=- 顶点坐标：(-, ) a决定开口方向与大小 c是抛物线与y轴交点的纵坐标 概念辨析例题：抛物线过(-1,1)和(3,1)，求对称轴 解析：两点纵坐标相同，对称轴为两点中点：x==1 📋 知识总结表 【考点1】二次函数的定义（第1-4题） · 最高次为2次 · 二次项系数a≠0 · 化简后按次数与系数判断 · 含参数时列不等式 1．（2025秋•龙凤区期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2 C．y＝3（x﹣1）2 D．y＝（x+2）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、当a≠0时，y＝ax2+bx+c是二次函数，故A不符合题意； B、y＝x2，不是二次函数，故B不符合题意； C、y＝3（x﹣1）2，是二次函数，故C符合题意； D、y＝（x+2）2﹣x2＝4x+4，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键． 2．（2025秋•嘉定区期末）下列y关于x的函数中二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c（a≠0） B． C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝3x﹣9 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y＝ax2+bx+c（a≠0）符合二次函数的定义，它是二次函数， y，y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，y＝3x﹣9不符合二次函数的定义，它们不是二次函数， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2023秋•沙坪坝区校级同步）已知y＝（n+2）xn2﹣2是关于x的二次函数，则n＝　2　 ． 【分析】根据二次函数的定义可得n2﹣2＝2且n+2≠0，求解即可． 【解答】解：∵y＝（n+2）xn2﹣2是关于自变量x的二次函数， ∴n2﹣2＝2且n+2≠0， 解得n＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的解析式是解题的关键． 4．（2025秋•榆阳区期末）若函数是关于x的二次函数，则m的值为　﹣3或2　 ． 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（其中a、b、c都是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得m＝﹣3或m＝2， 故答案为：﹣3或2． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2】y=ax²的图像与性质（第5-8题） · 顶点原点、对称轴y轴 · a>0上、a<0下 · |a|越大开口越小 · 结合一次函数图像综合判断 5．（2026•汕尾一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）　 ． 【分析】三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【解答】解：∵三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式， ∴二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， 故答案为：顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（2025•江安县模拟）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（，0）， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴为直线x0， ∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2025秋•姜堰区期末）下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（　　） A．y＝2（x﹣3）2 B．y＝﹣3x C．y＝x﹣3 D．y＝x2 【分析】根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：对于A选项：y＝2（x﹣3）2是二次函数， ∵2＞0， ∴开口向上，对称轴为直线x＝3， ∴当x＜3时，y随x增大而减小， 当x＞3时，y随x增大而减大，不符合题意； 对于B选项：y＝﹣3x是一次函数，﹣3＜0， ∴y随x增大而减小，不符合题意； 对于C选项：y＝x﹣3是一次函数，1＞0， ∴y随x增大而增大，符合题意； 对于D选项：y＝x2是二次函数，开口向上，顶点在x＝0， 当x＜0时y随x增大而减小，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了一次函数和二次函数的性质，熟悉以上函数的增减性质是解题关键． 8．（2025秋•自贡期末）我们把直线l：y＝2ax+2b叫做抛物线L：y＝ax2+bx的“倍亲直线”；若该直线与该抛物线的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“爱同点”，并且称直线l与抛物线L具备“爱同倍亲关系”，否则称直线l与抛物线L不具备“爱同倍亲关系”． （1）已知直线l：y＝mx﹣6是抛物线L：y＝x2+nx的“倍亲直线”，请判断直线l与抛物线L是否具备“爱同倍亲关系”，若具备，请求出“爱同点”的坐标，若不具备，请说明理由； （2）已知直线l：y＝2ax+2b与抛物线L：y＝ax2+bx不具备“爱同倍亲关系”，当0≤x≤3时，抛物线L：y＝ax2+bx的最小值是﹣6，求直线l的解析式． 【分析】（1）先根据题干的新定义，计算出m与n的值，再联立直线与抛物线的方程，计算出交点坐标，并进行判断即可； （2）联立直线与抛物线的方程，通过解方程求出方程的两根，根据题意可知，方程两根相等，从而求出a与b的关系．对a的正负进行分类讨论，根据二次函数的增减性，计算每种情况下a的值即可． 【解答】解：（1）由新定义可知m＝2，2n＝﹣6，即n＝﹣3， ∴直线l的表达式为y＝2x﹣6，抛物线L的表达式为y＝x2﹣3x， 联立直线与抛物线得： ， 解得或， ∴直线l：y＝2x﹣6与抛物线L：y＝x2﹣3x有两个交点（2，﹣2）和（3，0）， ∴直线l与抛物线L具备“爱同倍亲关系”，“爱同点”的坐标为（2，﹣2）和（3，0）； （2）当直线与抛物线相交时，有2ax+2b＝ax2+bx， 整理得ax2+（b﹣2a）x﹣2b＝0， 因式分解得（x﹣2）（ax+b）＝0， 由二次函数的定义可知，a≠0， ∴该方程的解为x1＝2，， 由条件可知x1＝x2， ∴，即b＝﹣2a， ∴二次函数L：y＝ax2+bx的对称轴为直线， ①当a＞0时，抛物线L的开口向上，则离对称轴x＝1越近，函数值越小， ∵0≤x≤3， ∴a+b＝a﹣2a＝﹣6，解得a＝6， 此时直线l的解析式为y＝12x﹣24； ②当a＜0时，抛物线L的开口向下，则离对称轴x＝1越远，函数值越小， ∵0≤x≤3， ∴9a+3b＝9a﹣6a＝﹣6，解得a＝﹣2； 此时直线l的解析式为y＝﹣4x+8； 综上所述，直线l的解析式为y＝12x﹣24或y＝﹣4x+8． 【点评】本题考查新定义，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【考点3】y=a(x+m)²+h的图像与性质（第9-19题） · 直接读出顶点(-m,h)与对称轴 · 比较函数值大小：看离对称轴远近 · 开口向上时，离轴越远值越大 · 平移规律：左加右减、上加下减 9．（2025秋•东光县期中）二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 【分析】依据题意，根据二次函数的解析式为，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次项系数为3，一次项系数为﹣2、常数项为5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能根据解析式进行判断是关键． 10．（2025秋•昌都市期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）的图象上有A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3，下列说法正确的是（　　） A．当m＝1时，y1＞y2 B．当y1＞y2时，m＞5 C．当y1＜y2时，m＞﹣1 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【分析】得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，然后比较点A、点B离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+5（a＜0）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x2， ∵m﹣3＜x1＜m﹣1，m+1＜x2＜m+3， ∴当m＝1时，﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4， ∴点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要大， ∴y1＜y2．故A错误； 当y1＞y2时，点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要小， ①m﹣3≥2时，满足题意，此时m≥5； ②时，满足题意，此时m＝3， 故B错误； 当y1＜y2时，点A（x1，y1）到直线x＝2的距离比点B（x2，y2）到直线x＝2的距离要大， ①m﹣3≥2时，不合题意； ②3﹣m≥m+3，满足题意，此时m≤0， 故C错误； 当m＜﹣1时，m+3＜2， ∴A（x1，y1）和B（x2，y2）在对称轴的左侧，y1＜y2，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 11．（2025秋•荣县校级期中）已知函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上有，B（3，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【解答】解：∵函数y＝﹣（x﹣2）2， ∴图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，|3﹣2|＝1，|4﹣2|＝2， ∵， ∴y1＜y3＜y2， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 12．（2025秋•松原期末）抛物线y＝x2﹣4的图象与y轴的交点坐标为（　　） A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 【分析】求抛物线与y轴的交点，即令x＝0，计算此时y的值即可． 【解答】解：令x＝0，y＝0﹣4＝﹣4， ∴交点坐标为（0，﹣4）． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与坐标轴的交点，掌握好坐标轴上的点的特征是关键． 13．（2025秋•江津区期末）已知点（﹣2，y1），（4，y2），（1，y3）都在函数y＝x2+3x+5的图象上，请将y1，y2，y3按从大到小的顺序排列 y2＞y3＞y1 ． 【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴，根据函数的性质得出图象的开口向上，当x时，y随x的增大而增大，根据二次函数的对称性和增减性即可得到． 【解答】解：∵y＝x2+3x+5， ∴函数图象的对称轴是直线x，图象的开口向上， ∴当x时，y随x的增大而增大， ∵点（﹣2，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y1），且﹣1＜1＜4， ∴y2＞y3＞y1， 故答案为：y2＞y3＞y1． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 14．（2026春•西湖区校级期末）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3 （用“＜”连接）． 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点A（﹣1，y1）到对称轴的距离为|﹣1﹣3|＝4， 点B（2，y2）到对称轴的距离为|2﹣3|＝1， 点C（3，y3）到对称轴的距离为|3﹣3|＝0， ∵4＞1＞0， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 15．（2026•仪征市一模）若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）过点的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y1＜y3 ．（用“＜”连接） 【分析】先求出对称轴x＝1，再根据抛物线的对称性得出点A（﹣1，y1）的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【解答】解：若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）过点的图象上， ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴是， ∴点A（﹣1，y1）的对称点的坐标是（3，y1）． ∵抛物线开口向上，当x＞1时，y随着x的增大而增大，且2＜3＜4， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确进行计算是解题关键． 16．（2026春•海淀区校级期末）点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+2的图象上，若1＜x1＜2，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先求出抛物线对称轴x＝2，开口向上，离对称轴越远函数值越大，分别判断x1、x2到对称轴的距离长短，对比y1，y2大小， 【解答】解：y＝x2﹣4x+2，对称轴x2， ∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上， 1＜x1＜2，x1到对称轴距离：0＜|x1﹣2|＜1， 3＜x2＜4，x2到对称轴距离：1＜|x2﹣2|＜2， x2离对称轴更远，函数值更大，故y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查二次函数对称轴、开口方向与函数值大小比较，熟练掌握抛物线上点到对称轴距离和函数值的变化规律是解题的关键． 17．（2025•敦化市一模）已知二次函数的图象经过点（3，10），顶点坐标为（1，﹣2）． （1）试求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣2，然后把（3，10）代入求出a即可； （2）先分别计算出x＝0和x＝3对应的函数值，再根据二次函数的性质得到x＝1时，y有最小值﹣2，然后写出当0＜x＜3时，y的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数图象顶点坐标为（1，﹣2） ∴二次函数的表达式可设为y＝a（x﹣1）2﹣2， ∵二次函数的图象经过点（3，10）， ∴a（3﹣1）2﹣2＝10， 解得a＝3， ∴二次函数的表达式为y＝3（x﹣1）2﹣2； （2）∵x＝0时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝1； x＝3时，y＝3（x﹣1）2﹣2＝10 而x＝1时，y有最小值﹣2， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣2≤y＜10． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 18．（2019秋•贡井区校级期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解答】解：y＝2x2﹣2x﹣1 ＝2（x2﹣x）1 ＝2（x）2， 开口向上，对称轴是直线x，顶点坐标为（，）． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 19．（2026•池州一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3a的图象过点A（1，t），B（3，t） （1）求的值； （2）已知二次函数y＝ax2+bx+3a的最小值为a2﹣6． ①求该二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：． 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最小值为a2﹣6列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出x1+x2＝4，然后把代入通过分解因式和约分后即可证得结论． 【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为． ∵点A（1，t），B（3，t）在该函数的图象上， ∴， ∴． （2）①由（1）可得b＝﹣4a，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴该函数的表达式为y＝ax2﹣4ax+3a， 当x＝2时，y＝﹣a，即函数图象的顶点坐标为（2，﹣a）． ∵函数的最小值为a2﹣6， ∴a＞0，且﹣a＝a2﹣6， 解得a1＝2，a2＝﹣3（舍去）． ∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+6． ②证明：∵点M（x1，m）在函数的图象上， ∴． 由①知，即x1＝4﹣x2． ∴． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是关键． 【考点4】y=ax²+bx+c的图像与性质（第20-33题） · 对称轴x=- · 顶点坐标公式 · 由图像判断a、b、c符号 · 点在图像上则代入成立 20．（2025秋•沛县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a+c＜b；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤am2+bm＞a+b，（m≠1的实数）其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项错误； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＜b，正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确； ④由对称轴为直线x＝1， 1， ∴2a+b＝0，故此选项正确； ⑤∵x＝1时，y的值最大． 当m≠1的实数时a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞am2+bm，故此选项错误． 故②③④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 21．（2026春•南海区校级月考）已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（　　） A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1 【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，利用二次函数的对称性结合点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4，即可求得0＜m＜2，进一步得到﹣2＜m﹣2＜0，根据二次函数的增减性即可求得n的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵x＝0时，y＝4， ∵点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4， ∴0＜m＜2， ∴﹣2＜m﹣2＜0， 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4， ∴n的取值范围是﹣4＜n＜4， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 22．（2026•中原区校级四模）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【分析】根据抛物线的性质得：抛物线y＝﹣（x+1）2+m（m为常数）的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远， ∴y1最大，y3最小， ∴y3＜y2＜y1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 23．（2025秋•南关区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a+c＝0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b；其中说法正确的是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，即可判断②，把x＝﹣3代入二次函数的解析式，再根据图象及b＝2a即可判断③，当x＝﹣1时，y的值最小，可得am2+bm+c≥a﹣b+c，据此即可判断④． 【解答】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，故①正确，符合题意； ∵b＝2a， ∴2a﹣b＝0，故②正确，符合题意； ∵当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0， ∵b＝2a， ∴9a﹣6a+c＝0，即3a+c＝0，故③正确，符合题意； ∵当x＝﹣1时，y的值最小， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， ∴对于任意实数m，都有m（am+b）≥a﹣b，故④正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 24．（2026•建邺区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论中，正确的有（　　）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2＞4ac；④4a+2b+c＞0；⑤3a+c＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ②根据对称轴求解即可； ③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④根据轴对称性求出当x＝2时的函数值大小即可； ⑤由图可知，当x＝﹣1时的函数值为0，所以a﹣b+c＝0，再结合b＝﹣2a，可求得3a+c＝0，即可判断． 【解答】解：∵图象开口向下，图象交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错，不符合题意； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对，符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴△b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对，符合题意； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故开口向下，图象与x轴交点在﹣1和3之间， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对，符合题意； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤错，不符合题意；共三个对， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 25．（2026•鼓楼区校级三模）二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b+1的值等于　2028　 ． 【分析】由点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数图象上，可知a，b是方程x2﹣2x﹣2024＝﹣1的两个根，利用根与系数的关系可得a+b＝2，再将点A代入二次函数解析式，得到a2＝2a+2023，将其代入所求式子变形后即可求值． 【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2024的图象上， ∴a，b是方程x2﹣2x﹣2024＝﹣1的两个根， ∴x2﹣2x﹣2023＝0， 由根与系数的关系得a+b＝2， 将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2024得： a2﹣2a﹣2024＝﹣1， ∴a2＝2a+2023， ∴原式＝2a+2023+2b+1＝2（a+b）+2024＝2×2+2024＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2025秋•白云区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：①abc＞0；②b2≥4ac；③9a+3b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．正确的结论是　①④⑤　 （填序号）． 【分析】根据抛物线的开口方向判断a，根据对称轴的位置判断b，根据抛物线与y轴的交点位置判断c，即可判断abc＞0，根据抛物线与x轴的交点情况判断②；根据横坐标为3的抛物线上的点的纵坐标正负情况判断③；根据对称轴判断④；根据横坐标为﹣1的抛物线上的点的纵坐标取值范围判断⑤． 【解答】解：由于抛物线的开口向上，则a＞0，由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以b＜0，由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故abc＞0，故①正确； 由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误； 当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故③错误； 因为对称轴为x1，则b＝﹣2a，所以2a+b＝0，故④正确； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点情况确定b2﹣4ac与0的关系． 27．（2024秋•金山区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2﹣1　 ． 【分析】利用完全平方公式变形即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 28．（2024秋•龙湖区校级月考）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）2+c经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为（0，2），S△APO，则矩形ABCD的面积为 　24　 ． 【分析】先利用待定系数法求得抛物线的解析式，再根据三角形APO的面积可求出P点的横坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得P点的坐标．过P作PE⊥OA于E，通过△DEP∽△DAB，可求出AD的长，有了长和宽即可求出矩形的面积． 【解答】解：由条件可知：OA＝2，2＝（0﹣2）2+c， ∴c＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣2， ∴点B的纵坐标为2， ∴2＝（x﹣2）2﹣2， 解得x＝0或x＝4， ∴点B的坐标为（4，2）， ∴AB＝4， 由可得：，即， ∴（负舍）， 将代入抛物线解析式得：， 过P点作垂直于y轴的垂线，垂足为E， ∴△DEP∽△DAB， ∴， 解得：AD＝6， ∴S矩形ABCD＝24． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识点，熟练掌握原式知识是关键． 29．（2025•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+c上的两点． （1）若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2，求抛物线的对称轴； （2）若对于2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，都有y1＞y2，求t的取值范围． 【分析】（1）利用抛物线的对称性可求抛物线的对称轴； （2）由题意可知抛物线y＝x2﹣2tx+c开口向上，对称轴为直线x＝t，则Q（x2，y2）在对称轴的右侧，P（x1，y1）关于对称轴的对称点为（2t﹣x1，y1），根据对于2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，都有y1＞y2，则得到2t﹣3＞t+3或2＞t+3，解不等式即可． 【解答】解：（1）∵P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+c上的两点． 若对于x1＝﹣1，x2＝3，有y1＝y2， 则P（﹣1，y1），Q（3，y2）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x1； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+c开口向上，对称轴为直线xt， ∵2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3， ∴Q（x2，y2）在对称轴的右侧，P（x1，y1）关于对称轴的对称点为（2t﹣x1，y1）， ∴2≤2t﹣x1≤3， ∵对于2t﹣3≤x1≤2t﹣2，t+1≤x2≤t+3，都有y1＞y2， ∴2t﹣3＞t+3或2＞t+3， 解得t＞6或t＜﹣1， 综上，t的取值范围是t＞6或t＜﹣1． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 30．（2023秋•东莞市校级月考）作出函数y＝2x2的图象，并根据图象回答下列问题： （1）在下面给出的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，描出列表中的各点，并画出函数y＝2x2的图象： x … 　﹣1　 　0　 　1　 … y … 　2　 　0　 　2　 … （2）若点（2，a），（4，b）都在抛物线上，则a　＜　 b（填“＞”，“＜”，“＝”）． （3）点P是抛物线y＝2x2在第一象限内的一个点，点A的坐标是（3，0），求△POA的面积S＝6时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据函数的解析式填表，然后描点、连线，画出的函数图象即可； （2）根据函数图象即可判断； （3）利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1）列表： x … 1 0 1 … y … 2 0 2 … 画出函数y＝2x2的图象如图： （2）由图象可知，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∵点（2，a），（4，b）都在抛物线上， ∴a＜b， 故答案为：＜． （3）∵点A的坐标是（3，0）， ∴OA＝3， ∵△POA的面积S＝6， ∴6，即6， ∴x， ∵点P是抛物线y＝2x2在第一象限内的一个点， ∴P（，4）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，正确的画图是解题的关键． 31．（2026•成武县三模）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m是常数，且m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1）和点B（m﹣1，y2）． （1）若存在实数k，且1＜k＜2，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），求m的取值范围； （2）当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求m的值． 【分析】（1）先计算y1，y2，用m表示，进而可得，分别代入得出关于m的不等式组，解不等式即可； （2）根据当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大，可得点B（m﹣1，y2）在抛物线对称轴x＝m的左侧，点A（2m+1，y1）在抛物线对称轴x＝m的右侧．当x＝m时，y的最小值是﹣m2．然后分两种情况讨论y的最大值，由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【解答】解：（1）把x＝2 m+1代入得：y1＝2m+1；把x＝m﹣1代入得：， ∵y2﹣1＝k（y1﹣1）， ∴， ∵1＜k＜2， ∴， ∴若存在实数k，且1＜k＜2，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），则﹣4＜m＜﹣2； （2）∵二次函数y＝x2﹣2mx的对称轴为， 当m﹣1≤x≤2m+1时，x的值增大，y的值先减小再增大， ∴点B（m﹣1，y2）在抛物线对称轴x＝m的左侧，点A（2m+1，y1）在抛物线对称轴x＝m的右侧， ∴当x＝m时，y的最小值是﹣m2， 若2m+1﹣m＞m﹣（m﹣1），即m＞0， 当x＝2 m+1时，y的最大值是（2m+1）2﹣2m（2m+1）＝2m+1， ∴2m+1﹣（﹣m2）＝3． 解得：，（舍去）， 若2m+1﹣m＜m﹣（m﹣1），即m＜0， 当x＝m﹣1时，y的最大值是（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝1﹣m2， ∴1﹣m2﹣（﹣m2）＝1≠3． 综上，当m﹣1≤x≤2m+1时，则m的值是． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 32．（2026•衢州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）． （1）求该图象的对称轴． （2）若该函数的最大值为﹣a2+2a+5，求该函数的表达式． （3）已知M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，满足m≤3，x2＞x1，且1≤x2﹣x1≤4，求a的取值范围． 【分析】（1）代入点（2，1）到y＝ax2+bx+1（a≠0）整理得到b＝﹣2a，再根据二次函数的对称轴公式即可求解； （2）由（1）得y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，结合函数有最大值可知a＜0，且当x＝1时，二次函数取得最大值1﹣a，结合题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答； （3）根据二次函数的对称性可得，则x1＝2﹣x2结合1≤x2﹣x1≤4求得则有当时，m≤3恒成立，再分a＞0和a＜0两种情况讨论，求出y在3范围内的最大值，进而列出关于a的不等式，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象经过点（2，1）， ∴1＝4a+2b+1， ∴b＝﹣2a， ∴1， ∴该图象的对称轴为直线x＝1； （2）由（1）可知二次函数y＝ax2﹣2ax+1， ∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a， ∴该函数的最值为1﹣a， ∵该函数的最大值为﹣a2+2a+5， ∴a＜0，1﹣a＝﹣a2+2a+5， 整理得a2﹣3a﹣4＝0， （a﹣4）（a+1）＝0， 解得a＝﹣1或a＝4（舍去）， ∴二次函数y＝﹣x2+2x+1； （3）由题意，∵M（x1，m），N（x2，m）为该函数图象上两点，且点M和点N纵坐标相同， ∴点M和点N关于对称轴x＝1对称， ∴，即x1+x2＝2， ∴x1＝2﹣x2， 若1≤x2﹣x1≤4， ∴1≤x2﹣（2﹣x2）≤4，解得， ∴当时，满足m≤3， ①若a＞0，则y＝ax2﹣2ax+1， 在范围内y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y有最大值9a﹣6a+1＝3a+1， ∴3a+1≤3，解得， ∴； ②若a＜0，则y＝ax2﹣2ax+1， 在范围内y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为或． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•双柏县期中）若是关于x的二次函数，则m的值为　2　 ． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：若是关于x的二次函数， 则m2﹣2＝2，且m+2≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•宝山区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t，3t+5），且线段AB与该抛物线图象有交点，则t的取值范围是　　 ． 【分析】根据题意，利用待定系数法得出AB的解析式为，再分0＜t＜5、t＝5、t＞5三种情况，结合图象求解即可． 【解答】解：已知抛物线y＝x2﹣4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t，3t+5）， ∵y＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4（t＞0）， ∴抛物线的顶点坐标为（2，t﹣4），与y轴交于点C（0，t）， 设AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴AB的解析式为， ①当0＜t＜5时，x＝2t，y＝4t2﹣7t，即E（2t，4t2﹣7t）， ∴4t2﹣7t≥3t+5，即4t2﹣10t﹣5≥0， 解得或， 又∵0＜t＜5， ， ②t＝5时，A（0，5）在抛物线上，符合题意； ③当t＞5时，令，即， ，解得， ∵的对称轴为， 与y轴交于点（0，t﹣5），且t﹣5＞0， ∴当时，在上，方程有一个解， 又∵， ∴时，线段AB与该抛物线图象有交点， 综上，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 【练习 3】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为yx2或yx2．　 ． 【分析】根据题意求出这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5），然后分别把坐标代入解析式得出a即可． 【解答】解：根据题意知，这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5） 把（3，5）代入y＝ax2，得9a＝5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 把（3，﹣5）代入y＝ax2，得9a＝﹣5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 综上所述，二次函数的解析式是yx2或yx2． 故答案为：yx2或yx2． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是根据题意得到抛物线上这一点的坐标． 【练习 4】（2026•苏州校级模拟）已知关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为　3≤y＜11　 ． 【分析】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围． 【解答】解：∵关于x的二次函数y＝2（x﹣1）2+3，图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值3， 当x＝﹣1时，y＝11， ∴当﹣1＜x＜2时，函数y的取值范围为3≤y＜11． 故答案为：3≤y＜11． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键． 【练习 5】（2026•玄武区一模）若二次函数的图象开口向下，则m的值为　﹣1　 ． 【分析】根据二次函数的定义，指数必须为2，且二次项系数小于零． 【解答】解：由题意得，m2+1＝2， ∴m＝±1， 又∵图象开口向下， ∴二次项系数为m＜0， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查二次函数的概念和性质，掌握二次函数最高次数为2，当a＞0，函数图象开口向上，当a＜0函数图象开口向下是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数y=ax2+bx+c中a≠0 · 顶点式y=a(x+m)2+h：顶点(-m,h)、对称轴x=-m · 一般式对称轴x=-，顶点纵坐标 · a>0开口向上有最小值，a<0开口向下有最大值 · 比较函数值大小：看离对称轴远近 【作业 1】（2026•龙湖区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么下列各式中不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a+b+c＜0 【分析】根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点，对各选项逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， 故A选项正确，不符合题意； ∵0， ∴＜0， ∴b＜0， 故B选项错误，符合题意； ∵抛物线的图象与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， 故C选项正确，不符合题意； 根据函数图象，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•沙河口区期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业 3】（2026•碑林区校级一模）已知点A（m，y1）、B（m+4，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣6 B．m＞﹣6 C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据顶点纵坐标最大判断抛物线开口向下，再利用开口向下二次函数的性质：点离对称轴越近，函数值越大，列出不等式求解m的范围． 【解答】解：由对称轴公式可知其中b＝4a， ∴，即抛物线对称轴为直线x＝﹣2， ∵C为顶点，且y0≥y1，说明顶点纵坐标是抛物线的最大值， ∴抛物线开口向下，a＜0，开口向下时，点离对称轴越近，对应函数值越大， ∵y1＞y2， ∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即|m﹣（﹣2）|＜|（m+4）﹣（﹣2）|， 整理得|m+2|＜|m+6|， 两边平方得（m+2）2＜（m+6）2， 展开得m2+4m+4＜m2+12m+36， 解得m＞﹣4， ∴m的取值范围是m＞﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征及二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 4】（2023秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝﹣3x2+bx+c的图象过点（﹣1，0）、（2，0），关于此函数图象与性质的叙述中，正确的是（　　） A．点（0，2）在函数图象上 B．图象开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点 【分析】根据a＝﹣2即可判断B，利用抛物线的对称性求得对称轴即可判断C，用待定系数法即可求得二次函数的解析式，再把x＝0代入求得函数值，即可判断A，利用根的判别式即可判断D． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣3x2+bx+c中，a＝﹣3＜0， ∴抛物线开口向下，故B错误，不合题意； ∵图象过点（﹣1，0）、（2，0）， ∴对称轴为直线x，故C错误，不合题意； ∵二次函数y＝﹣3x+bx+c的图象过点（﹣1，0）、（2，0）， ∴y＝﹣3（x+1）（x﹣2）， ∴二次函数的解析式为y＝﹣3x2+3x+6， ∵x＝0时，y＝6， ∴点（0，6）在函数图象上，故A错误，不合题意； 令﹣3x2+3x+6＝3x，整理得﹣3x2+6＝0， ∴Δ＝02+4×（﹣3）×6＞0， ∴抛物线与直线y＝3x有两个交点，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 【作业 5】（2026•鸠江区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得a＜0，c＞0，可知一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c，然后结合图象可得y＝a+2a+c＝3a+c＜0，最后根据一次函数y＝ax+c，当x＝3时，y＝3a+c＜0判断即可． 【解答】解：由条件可知a＜0．c＞0， ∴一次函数y＝ax+c的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴b＝﹣2a，即二次函数y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c． 当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c＜0． 对于一次函数y＝ax+c，当x＝3时，y＝3a+c＜0， 所以图象D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与一次函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 6】（2026•奉贤区二模）如果抛物线y＝ax2（a≠0）在对称轴的右侧部分下降，那么a的取值范围是a＜0　 ． 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，解答即可． 【解答】解：∵抛抛物线y＝ax2（a≠0）在对称轴的右侧部分下降， ∴抛物线开口向下， ∴a＜0． 故答案为：a＜0． 【点评】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下． 【作业 7】（2025秋•安阳期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，1）和（3，1），那么此二次函数图象的对称轴为直线x＝1　 ． 【分析】根据题意，得出点（﹣1，1）和（3，1）关于抛物线的对称轴对称，据此求出抛物线的对称轴即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，1）和（3，1）， 则点（﹣1，1）和（3，1）关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线x． 故答案为：x＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业 8】（2024秋•秦淮区期末）如图，点A，B和点C，D分别在和的图象上．若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，则线段AC，BD与两条抛物线围成的阴影部分的面积是　24　 ． 【分析】依据题意，分别连接AB、CD，从而若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4，进而可得AC∥y轴∥BD，又上面的抛物线为yx2向下平移可得4个单位可得下面的抛物线yx2﹣4，从而AC＝BD＝4，可得四边形ACDB为平行四边形，结合平移的性质，从而阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积＝AC•|xB﹣xA|＝4×（4+2）＝24，进而得解． 【解答】解：如图，分别连接AB、CD． ∵若点A，C的横坐标均为﹣2，点B，D的横坐标均为4， ∴AC∥y轴∥BD． 又∵上面的抛物线为yx2向下平移可得4个单位可得下面的抛物线yx2﹣4， ∴AC＝BD＝4． ∴四边形ACDB为平行四边形． 又由平移可得， ∴阴影部分的面积为平行四边形ACDB的面积＝AC•|xB﹣xA|＝4×（4+2）＝24． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用平移的思想解题是关键． 【作业 9】（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 　k　 ． 【分析】根据顶点纵坐标为求得a＝2，即可求得抛物线为y＝2x2+2x﹣4，然后令y，解方程求得x或x，令y，解方程求得x或x，根据抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为，即可得k． 【解答】解：如图： ∵y＝ax2+ax﹣4＝a（x）24， ∴抛物线的顶点为（，4）， ∵顶点纵坐标为， ∴4， ∴a＝2， ∴y＝2x2+2x﹣4， 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴K（，），T（，） 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴R（，），S（，）， ∵抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为， ∴Q在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴k． 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 【作业 10】（2025•徐汇区一模）已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m　＜　 n（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＜2时．y随x的增大而减小． ∵0＞﹣1， ∴m＜n． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是关键． 【作业 11】（2026•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，b，c是常数，a＞0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值； （3）已知点P（m，y1），Q（﹣3，y2）都在二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象上，若c＜y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）由对称轴是直线x，可求解； （2）求出y的最大值和最小值，即可求解； （3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到﹣3＜m＜0或﹣3＜4﹣m＜0，解不等式组即可． 【解答】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x2； （2）∵a＞0， ∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c图象开口向上， ∵对称轴为直线x＝2， ∴在﹣2≤x≤3内， 当x＝2时，y有最小值为y＝4a﹣8a+c＝﹣4a+c， 当x＝﹣2时，y有最大值为y＝4a+8a+c＝12a+c， ∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值的差为4， ∴12a+c﹣（﹣4a+c）＝4． ∴a； （3）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与y轴的交点为（0，c）， ∴（0，c）关于对称轴的对称点为（4，c）， ∵点P（m，y1），Q（﹣3，y2）都在二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象上，且c＜y1＜y2， ∴﹣3＜m＜0或﹣3＜4﹣m＜0， ∴﹣3＜m＜0或4＜m＜7． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二函数的性质是解答此题的关键． 【作业 12】将抛物线y＝2x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并直接写出它的对称轴． 【分析】运用配方法将抛物线解析式整理为二次函数的顶点式即可得出答案． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x）+1 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1 ＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法是解本题的关键． 【作业 13】（2025秋•普陀区期中）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6． （1）求这个函数图象的顶点坐标，并指出它的变化情况； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，该函数图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形OADC的面积． 【分析】（1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作DH⊥y轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【解答】解：（1）由条件可知． 把x＝1代入y＝﹣2x2+4x+6，得y＝﹣2×1+4×1+6＝8． ∴这个二次函数图象的顶点坐标是（1，8）． ∵二次函数图象的开口向下， ∴在直线x＝1左侧的部分是上升的，在直线x＝1右侧的部分是下降的； （2）如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H， 把y＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得﹣2x2+4x+6＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1（舍去）． ∴点A坐标是（3，0）． ∵二次函数图象的顶点坐标是D（1，8），与y轴交点坐标是C（0，6）， 则OC＝6，OH＝8，DH＝1，CH＝2． ∴S四边形OADC ＝15． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【作业 14】（2026•卫滨区模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示． x … ﹣1 0 2 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），再通过画函数图象的方法即可画出函数图象； （3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，然后分①当m≥1时；②当m+3≤1，即m≤﹣2时；③当，即时；④当，即时，四种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， 列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 描点，连线， ∴二次函数的图象如图所示： （3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1， ①当m≥1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3；x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2+4m﹣（m2﹣2m﹣3）＝6m+3＝3， 解得m＝0（舍去）； ②当m+3≤1，即m≤﹣2时，x＝m时， p＝m2﹣2m﹣3；当x＝m+3时，q＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m2+4m）＝﹣6m﹣3＝3， 解得m＝﹣1（舍去）； ③当，即时，x＝1时，q＝﹣4，当x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2+4m﹣（﹣4）＝（m+2）2＝3， 解得或（舍去）； ④当，即时，x＝1时，q＝﹣4；当x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， 则p﹣q＝（m﹣1）2＝3， 解得或（舍去）； 综上所述：m的值或． 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，熟练掌握该知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $