精品解析：北京市第一零一中学2026-2027学年度上学期九年级9月数学练习

北京一零一中2026—2027学年度第一学期初三练习 数学 2026.9 一．选择题（本题共16分，每小题2分，第1—8题均有四个选项，符合题意的只有一个） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据其顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：A． 2. 已知平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质求出的度数，再结合邻角互补计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ 3. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， ∴． 4. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出、的值，比较即可得出结果． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∴． 5. 某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确． 6. 如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 7. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质以及化为顶点式求顶点等知识点，掌握二次函数图象的性质是解答本题的关键． 先求出顶点点的坐标，再根据题意求出点的纵坐标，求出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为，把代入，得， ， ． 8. 如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得到，连接，，，在同一条直线上，以下结论正确的有（ ）个 ① ② ③平分 ④点到的距离为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形性质和折叠性质推导角度和边长关系可判断①；证明可得，易得即可判断②；证明可得，如图：过点D作于M，设，则，利用勾股定理列方程可得，进而得到、；设点F到的距离为h，利用三角形的面积公式求得h，即可判断④；若平分，则点F到的距离相等，设其为d，结合已知条件可得，再证明可得，即，利用勾股定理逆定理得到，与矛盾，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵A，F，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，解得， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过点D作于M， 设，则． 在和中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 设点F到的距离为h，则，即，解得：，故④正确； 若平分，则点F到的距离相等，设其为d， ∴， 又∵F是中点， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 但在中，，即，与矛盾， ∴不平分 ，故③错误． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在反比例函数中，当时，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】将已知的和的值代入反比例函数解析式，即可计算得到的值． 【详解】解：当时，， 将，代入， 得， 解得． 10. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴， 解得． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，得出，，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理． 由矩形的性质，得到，，由三角形的中位线定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，直线经过点，点，直线经过点A，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和不等式之间的关系，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 先由直线和直线都经过点，再利用数形结合的思想可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为直线和直线都经过点，且． 则：在直线的左侧，直线的图象在直线图象的下方， 即． 所以不等式的解集为：． 故答案为：． 14. 点在二次函数的图象上，若，，则_____．(填“>”，“=”或“<”)． 【答案】 【解析】 【分析】化二次函数一般式为顶点式，找到对称轴，根据对称轴的性质，可判断． 【详解】解：二次函数化为， 对称轴为直线， 由，，知较离对称轴近， 且开口向下，只有最大值，即离对称轴越近，值越大， 所以． 本题的答案是：> 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称轴，熟记性质并求出二次函数的对称轴是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，为边上任意一点，连接，则的最小值为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】构造含角的直角三角形，求出，使得求的最小值转化为求的最小值，利用三角函数计算边长，再根据垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：过点作射线，使得，作，交于点，如图， ∴在中，，， ∴， 求的最小值，即求的最小值， 的最小值就是点到射线的垂线段长度， 当时，，的长度即为所求的最小值， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ∵的最小值就是点到射线的垂线段长度，即，此时点为和交点， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 16. 如图，二次函数的图象经过点、、，如下四个推断： ①抛物线开口向下； ②当时，取最大值； ③当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根； ④若直线经过，两点，当时，的取值范围是，其中推断正确的是___________________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据待定系数法求出二次函数解析式，据此可判断①②推断；根据二次函数与直线的交点，可判断③④结论． 【详解】解：由图象可知，、、， 二次函数的图象经过点、、， ，解得：， ， ， 抛物线开口向下，①推断正确； ， 当时，取最大值为，②推断错误； 关于的一元二次方程总有两个不相等的实根， 关于的一元二次方程总有两个不相等的实根， 二次函数与直线有两个交点， ， 当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根，③推断正确； 直线经过、，且抛物线开口向下， 当时，二次函数的图象在直线的图象上方， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是，④推断正确． 三．解答题（共68分，其中17题、18题每题5分，19题6分，20题6分，21题4分，22题5分，23题6分，24题6分，25题6分，26题6分，27题7分，28题6分．） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程其中一个根为正数，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． （）求出的值即可求证； （）求出方程的解，再根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵该方程有一个根为正数， ∴， ∴． 19. 已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． 根据题意完成下列问题： … … … … （1）________； （2）根据上表描点画出函数图象； （3）结合图象，请直接写出，当时，的取值范围是________； （4）结合图象，请直接写出，当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）如图所示 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由表格中的数值可知该函数对称轴为直线, 由抛物线的对称性求解，又当和时，都有,故,从而可得． （2）抛物线的对称轴为直线,根据表格中的数据描点连线画出函数图象； （3）根据图象即可求解； （4）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：由表格中的数值可知当和时，都有, 根据对称性可知，抛物线的对称轴为直线, 又当和时，都有, 故, 从而可得． 【小问2详解】 如图所示 【小问3详解】 由表格中的点在该函数图象上， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． 当时，, 当时，函数取最大值为, ∴由图象可知当时，； 【小问4详解】 由表格中的点知当和时，都有, 由图象可知当时，． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，求二次函数的解析式，掌握相关知识是解决问题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求、的值； （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）4，1 （2）①，理由如下： 当时，， 令，代入，， ， ， ， 令代入， ， ， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）将点代入中即可求出的值，然后将的坐标代入反比例函数中即可求出的值． （2）①当时，分别求出、两点的坐标即可求出与的关系； ②由题意可知：的坐标为，由于，从而可知，根据图象可求出的范围． 【小问1详解】 解：将代入， ， ， 将代入， ； 【小问2详解】 解：①略； ②， 点在直线上， 过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交直线于点， 同①可得， ，， ， ∴， ， ∴， 或． 21. 为提高学生身体素质，学校利用智慧体育系统对八年级学生进行“立定跳远”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取次测试成绩（单位：厘米），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲同学的次测试成绩： ，，，，，，，，， ．四位同学次测试成绩的箱线图（不完整）： ．四位同学次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 乙 丙 丁 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________，甲的第一四分位数为________； （2）同学乙和丙中，稳定性更好的是________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表参加秋季运动会．体育老师按照如下原则进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距＝第三四分位数－第一四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行比赛的同学是________． 【答案】（1）， （2）乙 （3）乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数是所有数之和除以次数，即可求出平均数，根据第一四分位数的求解方法解答即可； （2）结合平均数和中位数相等，根据方差越小越稳定即可判断谁的稳定性好； （3）先根据平均数确定乙和丙的实力较强，再根据四分位距观察箱线图即可判断实力较强的是谁，从而确定代表班级进行比赛的同学． 【小问1详解】 解：甲的平均数， 方法一：将甲的成绩按照从小到大的顺序排列为：， 甲的中位数是175， 前五个数中最中间的数是甲的第一四分位数，即． 方法二：将甲的成绩按照从小到大的顺序排列为：， ，不是整数，取第3个数170， 甲的第一四分位数是． 【小问2详解】 解：,乙和丙的平均数、中位数都是175， 乙和丙中，稳定性更好的是乙． 【小问3详解】 解：由表平均数可知，， 乙和丙的平均数较高，为175． 观察箱线图可知，乙的第三四分位数大于丙的第三四分位数，乙的第一四分位数大于丙的第一四分位数，乙箱线图的箱体长度小于丙的箱线图的箱体长度， 乙的四分位距小于丙的四分位距， 代表班级进行比赛的同学是乙． 22. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度为6米 【解析】 【分析】设车道宽度为x米，根据图片可列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：设车道宽度为x米， 由图可得， 解得（舍去）， 答：车道宽度为6米． 23. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，根据，得出继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 24. 为了丰富学生课余生活，学校组织初三年级开展跳绳趣味活动．某数学兴趣小组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）． 探究过程如下： ①选两名身高基本相同的男同学持绳，两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米； ②当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米； ③现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线，记为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式： （2）当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？ （3）现有5位排球运动员参与该活动，身高如下（单位：米）：①②③④⑤．这位同学与两位摇绳人并排一列且人同时起跳（忽略运动员所占空间），为确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？________（填写“能”或者“不能”）．若能，请写出一种排队方案（按排队顺序写序号即可）；若不能，请说明理由__________________________________________________________________________________________． 【答案】（1） （2）解：小明不能顺利通过，理由如下： 由题意得，小明同学进入跳绳位置的横坐标为， 当时， ， ， 小明不能顺利通过； （3）能；④②①③⑤（除最高同学外的四位同学的位置不唯一） 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的顶点坐标，再设绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，进而与进行比较即可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再逐一比较便可得出结论． 【小问1详解】 解：由已知条件可知该抛物线过点，， ∴此时函数的对称轴为， 又∵最高点距地面的垂直距离为米， ∴顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：绳子能顺利甩过所有队员的头顶，方案如下： 这5位同学相邻两人的间距都为米，且身高的同学排在抛物线对称轴的位置，身高和两位同学排在身高同学的前后，身高和两位同学排在两端， 如：可按④，②，①，③，⑤的顺序排成一列． 将代入得， 绳子能顺利甩过身高同学的头顶． 将代入得， 绳子能顺利甩过身高和两位同学的头顶， 将代入得， 绳子能顺利甩过和两位同学的头顶， 按这种队列方案能使绳子顺利甩过所有队员的头顶． 25. 小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： （1）列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． （2）小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． （3）结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． （4）点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 【答案】（1）1 （2） （3）③④ （4）或 【解析】 【分析】（1）求解n时，将代入函数解析式，按照绝对值运算和代数运算规则计算即可． （2）画函数图象时，先根据绝对值的定义将函数写成分段形式，分界点为；或者先确定函数的对称轴，利用对称性补全部分的点，再平滑连线． （3）判断函数性质时，结合画出的图象：①若判断对称轴，看图象沿哪条直线对折后重合；②若判断增减性，观察区间内随变化的趋势；③若判断最小值，找图象的最低点对应的函数值；④若判断直线与图象的交点数，取不同范围的观察交点的最大数量． （4）求解的范围时，先解得到的取值范围，再解得到的取值范围；因为对任意满足条件的，都要落在对应的范围内，据此建立不等式求解． 【小问1详解】 解：将代入函数解析式，原式可变形为完全平方形式，代入得． 【小问2详解】 解：该函数本质是两个分段抛物线： 当时，，是顶点在的开口向上抛物线； 当时，，是顶点在的开口向上抛物线；整体图象关于直线对称，补全左侧点并平滑连线即可得到完整W型图象． 作图略； 【小问3详解】 解：①函数图象对称轴为直线，不是y轴， 错误； ②当时，， 在时，y随x增大而减小， 在时，y随x增大而增大， 错误； ③当或时，y有最小值0， 正确； ④当或时，直线与该函数图象有两个交点； 当时，直线与该函数图象有三个交点； 当时，直线与该函数图象有四个交点． 正确． 【小问4详解】 解：∵， ∴， 得， ∴， 即点M的横坐标范围是； 又∵， ∴， 得， ∴或， 即满足的点横坐标范围是或． 题目要求对任意，都有或： 若所有，则区间左端点， 得； 若所有，则区间右端点， 得． 因此k的取值范围是或． 26. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过点．将点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点． （1）直接写出_____________________； （2）求抛物线的对称轴； （3）设点是抛物线上的动点，其横坐标为．若存在满足的实数，使得点的纵坐标与线段上的点的纵坐标相等，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线 （3） 【解析】 【分析】（1）将点向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，代入，解答即可． （2）由，得到，将点代入，根据关系式，求抛物线的对称轴即可； （3）根据函数值相等，判定两个函数的函数值范围一定有公共部分，利用分类思想解答即可． 【小问1详解】 解：将点向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 把代入，得， ． 【小问2详解】 解：， 直线的解析式为， 当时，， 解得， 故， 将点代入， 得， ， 故抛物线的对称轴为：直线． 【小问3详解】 解：∵，， ∴线段上点的纵坐标范围为． 抛物线为经过． ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，不合题意，舍掉． ②当时，时y随x的增大而增大，时y随x的增大而减小． 当时y取得最大值为． 当时，当时，y取最小值，此时最小值小于0，只需最大值， ∴， 故； 当时，抛物线与y轴交点的纵坐标为，，此时只需最大值， ∴， 故． 综上所述，a的取值范围为． 27. 在四边形中，，点在线段的垂直平分线上，，过点作的垂线，与线段交于点．连接，为线段的中点． （1）补全图形，并直接写出与的数量关系_________________； （2）用等式表示线段、与的数量关系并证明； （3）点是直线上一个动点，延长线段至点，且满足，已知，在点运动的过程中，的最小值为_________________． 【答案】（1）补全图形如图： 与的数量关系： （2）， 证明：延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，再证明，得到； （2）延长至点，使，连接，根据倍长中线，得到，，再证明，得到，即可得到； （3）延长至点，使，连接，直线交于点，过作于，根据，得到，再证明，得到，则，即可得到点与是同一个点，点的运动轨迹为垂直的直线，最后根据轴对称的性质得到当在线段上时最小． 【小问1详解】 解：补全图形如图： ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的垂线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，直线交于点，过作于，连接， ∵，，，， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴点与是同一个点， ∴点的运动轨迹为垂直的直线， 延长至点，使，连接，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当在线段上时最小， ∵， ∴， ∴在点运动的过程中，的最小值为． 28. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，，，．给出如下定义：平移线段得到线段，使得，均在矩形的边上（，分别为点P，Q的对应点），线段长度的最小值称为线段到矩形的“平移距离”． （1）如图，平移线段到线段和，连接线段和，则和的位置关系是________；在点，，，中，连接点P与点________的线段的长度等于线段到矩形的“平移距离”； （2）若点，都在直线上，，记线段到矩形的“平移距离”为，求的最小值； （3）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，，，若点M的坐标为，，线段平移后，使线段两个端点均在正方形上，记到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值为________，最大值为________． 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）由平移的性质可得出和的位置关系，再结合“平移距离”的定义即可得出结果； （2）取，连接，根据“平移距离”的定义结合图象，利用矩形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结果； （3）根据题意先得出点N的轨迹，根据“平移距离”的定义，利用正方形的性质并结合图象进行分析，从而得出的最大值和最小值． 【小问1详解】 解：根据平移的性质：平移对应点连线平行，可得和的位置关系是； ∵线段长度的最小值称为线段到矩形的“平移距离”， ∴在点，，，中，与为点P平移后的对应点，且， ∴连接点P与点的线段的长度等于线段到矩形的“平移距离”． 【小问2详解】 解：如图，取，，连接，， ∴，， ∵，且点，均在直线上， ∴， ∵，， ∴在矩形内的平移范围为平行四边形， ∴， 由图象可知，线段到矩形的“平移距离”的最短距离即最小值为的长度， 过点D作，此时存在线段到矩形的“平移距离”，点L与点重合， ∴， 设直线与y轴的交点为P， 令，则， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴点N的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆， 如图，过点作交于点Q， ∵，， ∴， 当点与点G重合时，此时， 要使定义成立，则点的轨迹在距离正方形端点距离的线段上， ∵四边形为正方形，，，，， 如图，当点M对应点落在点F处时， 此时， ∵正方形中心O与点M在直线上， 如图，当且仅当为矩形时，为最大的“平移距离”， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 综上所述，的最小值为，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2026—2027学年度第一学期初三练习 数学 2026.9 一．选择题（本题共16分，每小题2分，第1—8题均有四个选项，符合题意的只有一个） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若点，在双曲线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 6. 如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得到，连接，，，在同一条直线上，以下结论正确的有（ ）个 ① ② ③平分 ④点到的距离为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 在反比例函数中，当时，，则____． 10. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 12. 如图，矩形的对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，则的长为___________． 13. 如图，直线经过点，点，直线经过点A，则不等式的解集为______． 14. 点在二次函数的图象上，若，，则_____．(填“>”，“=”或“<”)． 15. 如图，在矩形中，，，为边上任意一点，连接，则的最小值为___________________． 16. 如图，二次函数的图象经过点、、，如下四个推断： ①抛物线开口向下； ②当时，取最大值； ③当时，关于的一元二次方程总有两个不相等的实根； ④若直线经过，两点，当时，的取值范围是，其中推断正确的是___________________（填写序号）． 三．解答题（共68分，其中17题、18题每题5分，19题6分，20题6分，21题4分，22题5分，23题6分，24题6分，25题6分，26题6分，27题7分，28题6分．） 17. 解方程：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程其中一个根为正数，求m的取值范围． 19. 已知，二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表． 根据题意完成下列问题： … … … … （1）________； （2）根据上表描点画出函数图象； （3）结合图象，请直接写出，当时，的取值范围是________； （4）结合图象，请直接写出，当时，的取值范围是________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求、的值； （2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 21. 为提高学生身体素质，学校利用智慧体育系统对八年级学生进行“立定跳远”过程性监测．现从某班甲、乙、丙、丁四位同学中各随机抽取次测试成绩（单位：厘米），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲同学的次测试成绩： ，，，，，，，，， ．四位同学次测试成绩的箱线图（不完整）： ．四位同学次测试成绩的平均数、中位数、方差： 同学 平均数 中位数 方差 甲 乙 丙 丁 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为________，甲的第一四分位数为________； （2）同学乙和丙中，稳定性更好的是________； （3）现需要从四位同学中选择一位代表参加秋季运动会．体育老师按照如下原则进行实力强弱的评估：先比较平均数，平均数较高者实力更强；若平均数相同，则比较四分位距（四分位距＝第三四分位数－第一四分位数），四分位距较小者实力更强．则根据实力强弱，代表班级进行比赛的同学是________． 22. 如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为米，宽为米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为平方米，求车道的宽度． 23. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 为了丰富学生课余生活，学校组织初三年级开展跳绳趣味活动．某数学兴趣小组对多人跳绳的站队方式进行了相关研究．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作一条抛物线（如图所示）． 探究过程如下： ①选两名身高基本相同的男同学持绳，两人拿绳子的手离地面的高度都为米，并且两人相距米； ②当绳子甩到最高点时，最高点距地面的垂直距离为米； ③现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线，记为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式： （2）当绳子甩到最高处时，试通过计算说明身高米的小明，从乙的左侧距离乙米处进入跳绳游戏，能否顺利通过？ （3）现有5位排球运动员参与该活动，身高如下（单位：米）：①②③④⑤．这位同学与两位摇绳人并排一列且人同时起跳（忽略运动员所占空间），为确保安全，要求相邻两人的间距至少为米．当这位同学同时落地时，绳子能否顺利甩过所有队员的头顶？________（填写“能”或者“不能”）．若能，请写出一种排队方案（按排队顺序写序号即可）；若不能，请说明理由__________________________________________________________________________________________． 25. 小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象和性质．以下是小明的探究过程： （1）列表给出了部分，的取值： … … … … 则________． （2）小明绘制了部分函数图象，请描出点，并连线完成函数的图象． （3）结合画出的函数图象，判断下面关于该函数的性质描述正确的是________．（写序号即可） ①函数图象为轴对称图形，对称轴为轴； ②当时，随的增大而减小； ③函数存在最小值为； ④动直线与该函数图象最多有四个交点． （4）点是的图象上一点，且．若对于任意点，该函数图象上存在点，满足．请直接写出的取值范围_______________________． 26. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过点．将点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点． （1）直接写出_____________________； （2）求抛物线的对称轴； （3）设点是抛物线上的动点，其横坐标为．若存在满足的实数，使得点的纵坐标与线段上的点的纵坐标相等，求的取值范围． 27. 在四边形中，，点在线段的垂直平分线上，，过点作的垂线，与线段交于点．连接，为线段的中点． （1）补全图形，并直接写出与的数量关系_________________； （2）用等式表示线段、与的数量关系并证明； （3）点是直线上一个动点，延长线段至点，且满足，已知，在点运动的过程中，的最小值为_________________． 28. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，，，．给出如下定义：平移线段得到线段，使得，均在矩形的边上（，分别为点P，Q的对应点），线段长度的最小值称为线段到矩形的“平移距离”． （1）如图，平移线段到线段和，连接线段和，则和的位置关系是________；在点，，，中，连接点P与点________的线段的长度等于线段到矩形的“平移距离”； （2）若点，都在直线上，，记线段到矩形的“平移距离”为，求的最小值； （3）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，，，若点M的坐标为，，线段平移后，使线段两个端点均在正方形上，记到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值为________，最大值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $