第1章 勾股定理 B卷（培优验收） 2026‑2027学年北师大版八年级数学上册

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章 勾股定理 B卷（培优验收） 参考答案 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C D B C C C D D C 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10. 24 11. 14.8 12. 20 13. 3 14. 7.5 15. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分） 【答案】(1)如图，即为所求； ………………2分 (2)5；………………6分 (3)如图，点即为所求． ………………8分 17．（7分） 【答案】 （1）解：在中，∵，，， ∴；………………3分 （2）解：∵是斜边上的高，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：．………………7分 18．（8分） 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； ………………4分 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．………………8分 19．（8分） 【答案】 （1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，………………3分 速度为， 答：外来车辆的平均速度为；………………4分 （2）能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得，………………5分 由（1）可知， ，………………6分 外来车辆到达处所需的时间为．………………7分 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆．………………8分 20．（10分） 【答案】(1)9，40，41………………2分 (2) 由（1）得，最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时， 另外两个数分别，．………………6分 故答案为：，． 验证： 所以，小华的猜想正确．………………10分 21．(10分） 【答案】 （1）解：根据题意可知，，，， 则………………3分 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为；………………4分 （2）解：滑块B向左滑动了 ，………………6分 ………………8分 据（1）知绳子总长为 ………………9分 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了………………10分 22．（12分） 【答案】 （1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，；………………3分 （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①；………………5分 （3）， ， ，， ；………………9分 （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴．………………12分 23．（12分） 【答案】(1) ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴，………………3分 (2) 连接， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，………………5分 ∴， 在中，， ∴；………………6分 (3)， 证明如下： 根据题意得：， ∴， ∴，………………8分 ∴， ∵， ∴，………………9分 ∵， ∴， ∴，………………10分 ∵， ∴．………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章 勾股定理 B卷（培优验收）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章勾股定理B卷（培优验收）·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共27分） 1 [A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][G][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][c][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 10.（3分) 11.(3分) 12.（3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 西 B D C公路东 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) B B 图1 9dm图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 世心4☒ a 图1 图2 图3 图① 图② 图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章 勾股定理 B卷（培优验收）·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章 勾股定理 B卷（培优验收） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东河源·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各线段长度，通过全等判定验证A、C、D选项；对B选项使用反证法，构造截线三角形，依据三角形边长不相等推出内错角不相等，证明两直线不平行，找出错误选项． 【详解】解：设单个小正方形网格边长为 选项A，∵，，， ∵， ∴，故A项正确，不符合题意． 选项B，假设，则 ∵， ∴， ∴，这与矛盾， ∴与不平行．故B项错误，符合题意． 选项C，，故C项正确，不符合题意． 选项D，∵，，． ∴，故D项正确，不符合题意． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 5．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 6．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】将长方体木条的侧面展开，把问题转化为平面上两点间的最短路径问题，再利用勾股定理计算出最短路径的长度． 【详解】解：如图，将长方体木条的侧面及地面展开，得到新的长方形，其长为，宽为． 蚂蚁从点爬到点的最短路径为展开图中线段的长度，， 由勾股定理得： ， ∴一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走． 7．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈雕龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 9．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】先分析为等腰直角三角形，根据已知条件构造全等三角形，得出，再利用，得出，设未知量并列方程，根据勾股定理求出的值，计算面积即可． 【详解】解：根据题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 在和中 ，， ， ，， ， ， 设，， ， 又， 在中，， 解得， ． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 11．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）小明参加学校“数学实践节”的场地设计项目，需要规划一个直角三角形展区，其中，米，米，如图所示．现要在斜边上安装一个照明灯P，灯需连接展区三个顶点A，B，C的电源接口（接口位于顶点处），为了节省电线，三条电线，，的长度之和的最小值是_______米． 【答案】14.8 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用垂线段最短得到当时，取得最小值，即取得最小值，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∴ ∵点P在上 ∴当时，取得最小值，即取得最小值 此时， ∴ ∴ ∴的最小值为，即的最小值为． 12．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 【答案】20 【分析】过点作于，则四边形为矩形，先由折叠性质得出，在中用勾股定理求出，再根据是中点及折叠性质得到，最后在中用勾股定理求出，进而求得． 【详解】解：过点作于，则四边形是长方形， ∴，． ∵长方形纸片沿对折， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠使落在处， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵沿折叠使落在处，为中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 【答案】7.5 【分析】利用勾股定理求出斜边 的长，计算三角形周长得到总路程，再除以速度得到时间． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴， （分钟）， 故需要分钟． 15．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 【答案】 【分析】解题的关键是掌握从特殊到一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．根据是边长为1的等腰直角三角形分别求出、、的面积，找出规律即可． 【详解】解：∵是边长为1的等腰直角三角形， ∴第1个等腰三角形的面积：， ∴，； ∴第2个等腰三角形的面积：， 第3个等腰三角形的面积：， 以此类推，第n个等腰直角三角形的面积：， ∴第2026个等腰直角三角形的面积是． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1)如图，即为所求； ………………2分 (2)5；………………6分 (3)如图，点即为所求． ………………8分 【分析】（1）分别作出点关于直线对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求，根据对称可得，则，根据两点之间线段最短即可说理． 【详解】（1）略 （2）解：；； （3）略 17．（7分）（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)25 (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴；………………3分 （2）解：∵是斜边上的高，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：．………………7分 18．（8分）（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理是解题关键． （1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：； ………………4分 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．………………8分 19．（8分）（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)见详解 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ，………………3分 速度为， 答：外来车辆的平均速度为；………………4分 （2）能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得，………………5分 由（1）可知， ，………………6分 外来车辆到达处所需的时间为．………………7分 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆．………………8分 20．（10分）（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数_______； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为_______，________，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)9，40，41………………2分 (2) 由（1）得，最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时， 另外两个数分别，．………………6分 故答案为：，． 验证： 所以，小华的猜想正确．………………10分 【分析】本题主要考查了勾股数的定义： （1）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （2）如果最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 【详解】（1）解：当最小奇数为3时，； 当最小奇数为5时，； 当最小奇数为7时，； 所以，当最小奇数为9时，； 故答案为：9，40，41 （2）略 21．(10分）（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则………………3分 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为；………………4分 （2）解：滑块B向左滑动了 ，………………6分 ………………8分 据（1）知绳子总长为 ………………9分 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了………………10分 22．（12分）（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4)见详解 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再逆用乘法公式所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，；………………3分 （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①；………………5分 （3）， ， ，， ；………………9分 （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴．………………12分 23．（12分）（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： (1)； (2)； (3)如图2，点P为等腰直角内一点，，证明线段之间的数量关系． 【答案】(1) ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴，………………3分 (2) 连接， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，………………5分 ∴， 在中，， ∴；………………6分 (3)， 证明如下： 根据题意得：， ∴， ∴，………………8分 ∴， ∵， ∴，………………9分 ∵， ∴， ∴，………………10分 ∵， ∴．………………12分 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定得出，再利用勾股定理求解即可； （3）根据全等三角形的判定得出，确定，再由等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再证明，则，可证得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $20262027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章勾股定理B卷（培优验收)·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [X][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） -、 选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7.[A][B][CI[D] 4.A][B][C]ID] 8.[A][BJ[C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10」 11 12. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(8分) 17.(7分) 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 西 B D C公路东 20.(10分) 21.(10分) B C 浪dn 图1 9dm图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 心风下 图1 图2 图3 图① 图② 图③ 23.(12分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章 勾股定理 B卷（培优验收） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东河源·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 5．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 7．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 9．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 11．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）小明参加学校“数学实践节”的场地设计项目，需要规划一个直角三角形展区，其中，米，米，如图所示．现要在斜边上安装一个照明灯P，灯需连接展区三个顶点A，B，C的电源接口（接口位于顶点处），为了节省电线，三条电线，，的长度之和的最小值是_______米． 12．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 13．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 14．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 15．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 17．（7分）（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 18．（8分）（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 19．（8分）（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 20．（10分）（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数_______； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为_______，________，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 21．（10分）（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22．（12分）（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 23．（12分）（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： (1)； (2)； (3)如图2，点P为等腰直角内一点，，证明线段之间的数量关系． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步检测卷 第1章 勾股定理 B卷（培优验收） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·广东河源·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，著名的《周髀算经》中记载了这一定理．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．4，5，6 B．5，7，8 C．3，4，5 D．5，10，13 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·贵州·期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 5．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，四边形是长方形地面，在它中间有一长方体木条．若，，，一只蚂蚁从点爬到点，它必须翻过中间的木条，则它至少要走（   ）． A．11 B．12 C．13 D．14 7．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 9．（26-27八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，，、是斜边上两点，且，，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，（     ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 11．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）小明参加学校“数学实践节”的场地设计项目，需要规划一个直角三角形展区，其中，米，米，如图所示．现要在斜边上安装一个照明灯P，灯需连接展区三个顶点A，B，C的电源接口（接口位于顶点处），为了节省电线，三条电线，，的长度之和的最小值是_______米． 12．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 13．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 14．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，一只蜗牛从点C出发，以每分钟的速度沿的路径再回到点C，需要_______分钟． 15．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 17．（7分）（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 18．（8分）（25-26七年级上·全国·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 19．（8分）（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 20．（10分）（24-25八年级上·山西晋中·期中）学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数_______； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为_______，________，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 21．（10分）（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22．（12分）（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 23．（12分）（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： (1)； (2)； (3)如图2，点P为等腰直角内一点，，证明线段之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $