精品解析：天津市西青区杨柳青第一中学2026-2027学年高三第一学期第一次阶段性测试数学试题

数学西青杨柳青一中26秋高三第一次月考试卷 2026-2027学年度第一学期高三年级第一次阶段性测试 数学学科 （2026.9） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解得，故， 故， 故． 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】由且可得； 若，可取，则且不成立. 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的特征，结合选项逐一验证即可. 【详解】由图可知，函数定义域为，是奇函数，且没有零点； 对于A，的定义域为，不合题意，A不正确； 对于B，，，有零点，不合题意，B不正确； 对于C，，，是偶函数，不合题意，C不正确； 对于D，定义域为，，是奇函数，符合题意. 故选：D 4. 某产品的研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下表： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 6 7 产品收益y（亿元） 2 3 5 7 8 8 9 根据表中数据建立y关于x的线性回归方程，则下列说法中错误的是（ ） A. ， B. 由散点图可知变量x和y呈正相关 C. 用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入18亿元，估计产品收益为23亿元 【答案】C 【解析】 【分析】先计算样本中心点，结合线性回归直线过样本中心点的性质求解，再逐一判断各选项正误. 【详解】由数据趋势可知，研发投入增大时，产品收益整体呈上升趋势，因此变量和呈正相关， 由数据可知，，， 把，代入得， 故， 把代入得，因此估计产品收益为23亿元， 综上所述C错误. 5. 设，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 根据对数函数的性质，可得， 所以. 故选：B. 6. 设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面位置关系判断ABC，利用线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理判断D，从而得解. 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则或或与相交，故C错误； 对于D：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，若，则， 因为，所以，又，所以，故D正确； 故选：D. 7. 若正数，满足，则的最小值是（       ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 8. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的关系，可得数列是公差为4的等差数列，再由等差数列的通项公式与求和公式求解即可. 【详解】当时，， 则，即， 所以数列是公差为4的等差数列． 又，则． 所以． 故选：A. 9. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设，列方程可得点A的坐标，然后求解得，再由，即可求出双曲线的方程. 【详解】由题意，点，抛物线的准线方程为，作，由抛物线的定义可知，，又为等边三角形，所以，所以，即点重合，所以，设，不妨设，则，得，所以，所以，又因为，所以得，所以双曲线的方程为. 故选：A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题卡上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 10. i是虚数单位，__________． 【答案】 【解析】 【详解】因, 则. 11. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的通项为， 令，解得， 故常数项为． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．则边________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理直接列方程求解即可 【详解】在中，，，， 则由余弦定理得，即， 化简得，解得或（舍去）， 故答案为：5 13. 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______. 【答案】 ①. ##0.3 ②. ##0.5 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】解：因为袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球， 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回， 所以两次都摸到红球的概率为 设第一次摸到红球的事件为A，第二次摸到红球的事件为B, 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为， 故答案为：， 14. 如图，在中，，P为上一点，．记，，用和表示__________；若，的面积为，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则及共线向量定理将用基底 表示，结合三角形面积公式得到的值，最后利用数量积运算及基本不等式求解模的最小值. 【详解】由题意可知，， 因为，所以， 因为， 所以， 将代入上式，得：； 由的面积为，， 得，解得 ， 则， 所以 ， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即即时取等号， 所以， 故，即的最小值为. 15. 定义函数，给出下列结论： ①； ②； ③若直线与的图像有3个交点，则； ④在区间上的值域为，则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】可以先将写出分段函数的形式，之后逐个分析结论. 【详解】记，，则. 当 时,， 当时,， ； 由上两式得：当或时，，此时； 当时，，此时. 即. ,结论①正确. ，分两种情形.当时，，而，等式成立.当时，，故 两种情形等式都成立,结论②正确. 函数的对称轴为，. 则函数在单调递减，值域为； 在上单调递增，值域为； 在上单调递减，值域为； 在上单调递增，值域为. 当也有三个解,结论③错误. 一方面， 恒成立，当且仅当，故要取到最小值必须有. 另一方面，令，解得. 由在各个区间的单调性与值域知， 当时，取得最大值,结论④正确. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最值； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2）函数的最小值为，最大值为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，根据正弦函数的周期公式即可求得答案； （2）根据，确定，结合正弦函数性质，即可求解； （3）根据已知条件求出，即可求得，继而求出的值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知 ， 故的最小正周期为； 【小问2详解】 当时，， 则，故， 故函数的最小值为，最大值为； 【小问3详解】 ，，故， 则， ， 故 ， 则. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点M是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）取的中点为，连接, 由于为的中点， 所以且， 又且， 因此，且， 所以四边形为平行四边形， 故, 平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形为平行四边形，即可利用线面平行的判定求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据三棱锥体积的性质和公式，结合线面垂直的性质和判定定理进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， . 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面，即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， 由，令，得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面. 因为,平面，平面， 所以平面； 因此点到平面的距离相等，即为， 三棱锥的体积. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率，焦点坐标及关系列方程组求得，得椭圆标准方程； （2）直线斜率不存在时直接求得斜率之积，斜率存在时，设直线的方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式求得，计算原点在的距离，得三角形面积，从而得出关系，此关系式代入斜率之积的表达式化简可得结论． 【小问1详解】 由题意可得 ，解得 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设 ①当直线的斜率不存在时，根据陏圆的对称性不妨设点在第一象限，则 因为，所以 又因为，解得 所以 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由联立，得 得 点到直线的距离为， 则 解得 综上所得，求直线的斜率之积的值. 【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求值的量，如本题中斜率之积，代入韦达定理的结论化简后可得定值． 19. 已知是等差数列，其前项和为，，．是各项均为正数的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和； （3）在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式、通项公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法和等差数列前n项和公式分类讨论进行求解即可； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由 进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为. 因为是等差数列， 所以由． 因为是各项均为正数的等比数列， 所以由， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1），可得， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 设数列的前项和为， 所以，， 当为奇数时，， ， 当为偶数时，， ， 所以； 【小问3详解】 ， 截至共有项， 当时，， . 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 【答案】（1）； （2）当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； （3） ①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先进行参数分离，再转化为与图象交点的个数可得； （3）分两种情况讨论：当时，用导数可判断的单调性可得；当时，先证，进而再用导数证明，从而可证明不等式. 【小问1详解】 当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. 解法二：因为， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学西青杨柳青一中26秋高三第一次月考试卷 2026-2027学年度第一学期高三年级第一次阶段性测试 数学学科 （2026.9） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 某产品的研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下表： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 6 7 产品收益y（亿元） 2 3 5 7 8 8 9 根据表中数据建立y关于x的线性回归方程，则下列说法中错误的是（ ） A. ， B. 由散点图可知变量x和y呈正相关 C. 用最小二乘法求得y关于x的线性回归直线方程为 D. 如果研发投入18亿元，估计产品收益为23亿元 5. 设，，，则，，的大小关系为( ) A. B. C. D. 6. 设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 若正数，满足，则的最小值是（       ） A. B. C. 5 D. 6 8. 设数列的前项和为，已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点，点是抛物线的准线上一点，抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，且为等边三角形，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题卡上．试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 10. i是虚数单位，__________． 11. 在的展开式中，常数项为__________．（用数字作答） 12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．则边________． 13. 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______. 14. 如图，在中，，P为上一点，．记，，用和表示__________；若，的面积为，则的最小值为__________． 15. 定义函数，给出下列结论： ①； ②； ③若直线与的图像有3个交点，则； ④在区间上的值域为，则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最值； （3）若，，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点M是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，的面积为，求直线的斜率之积的值. 19. 已知是等差数列，其前项和为，，．是各项均为正数的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和； （3）在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前项和． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $