12.3分式的加减（课件）2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册12.3分式的加减专项练习（1212字） 分式加减是在分式乘除基础上的重要运算，分为同分母分式加减与异分母分式加减。同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，运算结果必须化为最简分式或整式。解题关键：通分要找对最简公分母；分子是多项式时，加减运算要添加括号，避免符号出错；最后记得约分。本节易错点集中在符号处理、通分漏乘、结果没有化简。本套习题由浅入深，包含基础选择、填空、化简求值与应用题，适合课后巩固训练。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 计算$\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{x}$的结果是（） A.$\dfrac{8}{2x}$ B.$\dfrac{8}{x}$ C.$\dfrac{15}{x}$ D.$8x$ 2. 化简$\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}$的结果为（） A.$1$ B.$a-b$ C.$\dfrac{a-b}{a+b}$ D.$0$ 3. 计算$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2a}$等于（） A.$\dfrac{2}{3a}$ B.$\dfrac{3}{2a}$ C.$\dfrac{1}{2a}$ D.$\dfrac{2}{a}$ 4. 下列计算正确的是（） A.$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{2}{m+n}$ B.$\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2}=1$ C.$\dfrac{2}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a-b}$ D.$\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x^2-1}$ 5. 化简$\dfrac{x^2}{x-1}-x-1$的结果是（） A.$\dfrac{1}{x-1}$ B.$x-1$ C.$\dfrac{-1}{x-1}$ D.$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. $\dfrac{5}{a+2}-\dfrac{3}{a+2}=$________。 7. 分式$\dfrac{1}{2x}$与$\dfrac{1}{x^2-1}$的最简公分母是________。 8. 计算：$\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2-x}=$________。 9. 已知$\(x=2\)$，则$\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+1}$的值为________。 10. 甲完成一项工程需要$a$天，乙完成同一项工程需要$b$天，则两人合作一天完成的工作量为________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 计算： (1)$\dfrac{2x}{x+y}+\dfrac{y-x}{x+y}$； (2)$\dfrac{3}{2a}-\dfrac{1}{3ab}$。 12. 化简： (1)$\dfrac{x}{x^2-4}-\dfrac{1}{2x-4}$； (2)$\dfrac{2}{m^2-9}+\dfrac{1}{3-m}$。 13. 先化简，再求值：$\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)\div\dfrac{2}{x^2-1}$，其中$\(x=4\)$。 14. 应用题：甲、乙两地相距$s$千米，一辆汽车从甲地到乙地，原计划速度为$v$千米/时，实际行驶速度每小时加快2千米，则实际比原计划提前多少小时到达？ ## 参考答案与解析 **选择题** 1. B，同分母相加，分母不变，分子相加：$\dfrac{3+5}{x}=\dfrac{8}{x}$。 2. A，原式$=\dfrac{a-b}{a-b}=1$。 3. B，最简公分母$2a$，$\dfrac{2}{2a}+\dfrac{1}{2a}=\dfrac{3}{2a}$。 4. B；A不能直接分子分母相加；C通分错误；D结果应为$\dfrac{-2}{x^2-1}$。 5. A，原式$=\dfrac{x^2-(x+1)(x-1)}{x-1}=\dfrac{x^2-x^2+1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$。 **填空题** 6.$\dfrac{2}{a+2}$；7.$2x(x+1)(x-1)$；8.$0$；9.$\dfrac{7}{6}$；10.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$。 **解答题** 11.(1)原式$=\dfrac{2x+y-x}{x+y}=\dfrac{x+y}{x+y}=1$； (2)原式$=\dfrac{9b}{6ab}-\dfrac{2}{6ab}=\dfrac{9b-2}{6ab}$。 12.(1)$\dfrac{x}{(x+2)(x-2)}-\dfrac{1}{2(x-2)}=\dfrac{2x-x-2}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{2(x+2)(x-2)}=\dfrac{1}{2(x+2)}$； (2)$\dfrac{2}{(m+3)(m-3)}-\dfrac{m+3}{(m+3)(m-3)}=\dfrac{-m-1}{(m+3)(m-3)}$。 13.原式$=\left(\dfrac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)}\right)\cdot\dfrac{(x+1)(x-1)}{2}=\dfrac{2}{x^2-1}\cdot\dfrac{x^2-1}{2}=1$，代入$\(x=4\)$，结果为$1$。注意$x eq\pm1$。 14.原计划时间$\dfrac{s}{v}$小时，实际时间$\dfrac{s}{v+2}$小时，提前时间：$\dfrac{s}{v}-\dfrac{s}{v+2}=\dfrac{s(v+2)-sv}{v(v+2)}=\dfrac{2s}{v(v+2)}$。答：提前$\dfrac{2s}{v(v+2)}$小时到达。 ## 本节小结 分式加减运算，同分母运算重在分子加减，多项式分子一定要加括号，防止符号出错；异分母分式加减第一步是找最简公分母，完成通分后再运算。通分是分式加减的难点，遇到分母能因式分解的式子，要先因式分解再确定公分母。另外要注意互为相反数的分母，如$2-x$与$x-2$，可以通过提取负号统一分母。化简求值题，化简后再代入数值计算，同时要保证原式分母不为0。应用题要读懂题意，把时间、工作量关系转化成分式加减模型。分式加减混合运算，是分式运算综合题的基础，熟练掌握符号、通分、约分三大要点，才能从容应对后续分式方程的学习。 （全文1212字） 继续下一节：**12.4分式方程**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 12.3分式的加减 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 分式和分式方程 学习目标 情境●引入 甲同学完成一项国学经典调查任务需n天,乙同学要比甲同学多用3天才能完成该项任务,两人合作一天完成这项任务的几分之几? 答:甲同学一天完成这项任务的 ， 乙同学一天完成这项任务的 , 两人合作一天完成这项任务的 . 思考： 如何计算？ 新知●探究 思考： 观察下列分数加减运算的式子 你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 总结 同分母分式的加减法则 典例●精析 例1 分母不变 分子相加减 去括号 合并同类项 分解因式 约分，化简 解：原式= = = = 原式= 典例●精析 例2 计算 解：原式 注意提取公因式！ 典例●精析 例3 此题并未给出x和y的具体值，而是利用彼此的关系整体代换！这个关系也可以是一个方程. 知识点1 同分母分式的加减 1. 若，则 中的数是( ) B A. B. C. D. 任意实数 2. 若，互为倒数，且，则分式 的值为___. 1 举一反三 7 3. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 举一反三 8 同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号， 结果一定要化简.对于分母是互为相反数的分式，先将分母统 一成一致的，此时注意符号的变化. . . . . 举一反三 9 典例●精析 例4 先化简，再求值： 其中 解：原式 当x=3时，原式= 一定要先将原式化简，再带值计算. 新知●探究 思考： 观察下列分数加减运算的式子 你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 总结 异分母分式的加减法则 典例●精析 例5 解：原式= 计算: 结果也可以写成 通分后的公分母是 (2p+3q)(2p-3q) 典例●精析 例6 计算：（1） ； （2） ； （3） ． 解：（1）取6x2y2 为公分母，则 ； （2）取(x-3)(x-2) 为公分母，则 （3）取x+2 为公分母，则 归纳总结 典例●精析 02 03 01 异分母相加减 通分 分母不变 分子 相加减 同分母相加减 转化 异分母分式加减运算的方法思路 典例●精析 例7 日期： 原题（可粘贴）： 来源： 重要程度：☆☆☆☆☆ 原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析： 漏掉了分母 错题本订正 = = = 原式= 典例●精析 例8 计算： ，并求当a=-3时原式的值． 解： 当a=-3，时原式＝　　　 ． 典例●精析 例9 先化简，再求值： 解：原式＝ 其中a＝－2，b＝1. 当a＝－2，b＝1时， 原式＝ ＝2. 知识点2 通分与最简公分母 4. 分式与 的最简公分母是_______________. 【点拨】分式与的分母分别是 ， ，故最简公分母是 . 举一反三 18 确定最简公分母的方法：①取各分母系数的最小公 倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的 一个因式；③同底数幂取次数最高的.得到的各因式的积就是 最简公分母. 举一反三 19 5. 若将分式与分式通分后，分式 的分母变 为，则分式 的分子应变为_____. 举一反三 20 知识点3 异分母分式的加减 6. [天津中考] 计算 的结果等于( ) A A. B. C. D. 1 7. [河北中考] 已知为整式，若计算 的结果为 ，则 ( ) A A. B. C. D. 举一反三 21 8. 已知是整数，且 的值为整数，则所有符 合条件的 的值的和为( ) A A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【点拨】 . 因为为整数，且原式的值为整数，所以或 ,解 得或2或5或1， ，故选A. 举一反三 22 9. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其 中物距记为，像距记为，透镜焦距记为 ，三者满足关系 式：，若已知，且 ，则透镜焦 距 ____. 10 【点拨】，. ，且 ，，解得 . 举一反三 23 10. 计算： （1） ； 【解】原式 . 举一反三 24 （2） . 原式 . 举一反三 25 11. 已知，，其中 ， 则， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 不能确定 举一反三 26 12. 已知实数，，满足 ， 且，则 的值为( ) A A. 12 B. 14 C. D. 9 举一反三 27 【点拨】 , , 即 . . 又 , . . 举一反三 28 13. 若，则使 最接近的正整数 是( ) B A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 举一反三 29 【点拨】， ， ， , 举一反三 30 . 当时， , 当时， , 当时， , 当时， , 显然最接近 .故选B. 举一反三 14. 已知，则 ___. 1 【点拨】 . ， 原式 . 举一反三 32 15. 已知且 ，则 ____. 【点拨】原式 . 因为, 所以原式 . 举一反三 33 题中有 这一条件，可将所求式子化为 含有 的形式. 举一反三 34 16. [台州竞赛] 设，，， 都是正数，且 ，那么 的取值范围是 __________. 举一反三 35 课堂●小结 分式的加减 运算法则 基本性质 异分母分式相加减先转化为同分母分式的加减运算 (1) 若分式作为减式，则运算时要注意 适时添加括号 (3) 异分母分式进行加减运算需要先通分， 关键是确定最简公分母 (2) 整式和分式之间进行加减运算时，则要 把整式看成分母是 1 的式子，以便通分 谢谢观看 THANKS 已知：x≠y，y＝－x＋8，求代数式＋的值． 解：原式＝＋＝－＝， ∵x≠y，y＝－x＋8， ∴原式＝x＋y＝x＋(－x＋8)＝8. $